Математическое моделирование технических объектов с помощью MathCad. Основы создания Web-сайта

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

Введение

1. Математическое моделирование технических объектов

1.1 Понятие математических моделей, их классификация и свойства

1.2 Пакет MathCad. Функции для аппроксимации данных

1.3 Описание создание web-сайта

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

2.2 Анализ исходных данных и результатов. Описание математической модели

2.3 Алгоритмический анализ расчета базовой модели и проведение исследований

3. Описание реализации математической модели

3.1 Описание реализации базовой модели в MathCAD

3.2 Создания web-сайта

3.3 Выводы о проделанной работе, анализ полученных результатов

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В переводе с английского слово «computer» - вычислительная машина, на сегодняшний день имеет много терминологических значений, основным из которых является электронное программное оборудование для обработки информации. Ранее очень распространенной была аббревиатура ЭВМ - электронная вычислительная машина, которая стала альтернативой механической вычислительной машине в результате научного прогресса. Однако, сегодня название «ЭВМ» практически не употребляется, а на замену ему пришел синоним - ПК (персональный компьютер). Аббревиатуру ЭВМ можно встретить в юридической документации, она используется инженерами - электронщиками, а также имеет историческую смысловую нагрузку - обозначает различную вычислительную технику, использующуюся в период с 1935 по 1975 гг.

С точки зрения физических процессов, работа персонального компьютера представляет собой движение частиц - фотонов, электронов, а также квантовых частиц. Компьютер - сочетание двух составляющих: «software» и «hardware». Говоря простым языком, понятие компьютер включает в себя «железо», то есть оборудование - монитор, системный блок и т. д., а так же программное обеспечение, с помощью которого ПК обрабатывает огромное количество информации, вычисления производятся по специальному алгоритму.

Современному человеку очень тяжело представить повседневную жизнь без компьютера. Множество программ созданы для работы - практически все сферы деятельности человека компьютеризированы - наука, медицина, образование, финансы, политика и т. д.

Также компьютер - способ проведения свободного времени (досуга) - музыка, игры, фильмы. Ну и, конечно, мировая паутина. Интернет - современный и очень популярный способ общения между людьми. Мировая паутина покрывает на сегодняшний день 150 стран и насчитывает более 15 миллионов пользователей. Кроме того, в сети с огромной скоростью растет количество методов заработка. Интернет дает возможность получать доход, не выходя из дома. Персональный компьютер - это значимое достояние современного общества и является незаменимым помощником современного человека.

Основной целью курсового проекта является: систематизация, закрепление и расширение знаний студента по реализации задачи; приобретение студентом навыков самостоятельной работы над задачей; приобретение студентом навыков по оформлению пояснительной записки к проделанной работе, представлению и защите результатов работы.

моделируемый вычислительный полиномиальный

1. Математическое моделирование технических объектов

1.1 Понятие математической модели их классификация и свойства

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т. е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеет одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие.

При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие. Вероятностное подобие отмечается при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели. Геометрическое подобие имеет место при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей.

Словесная или монографическая модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности.

Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа.

Физические или вещественные модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки, ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.

При моделировании используется аналогия между объектом - оригиналом и его моделью. Аналогии бывают следующими: внешняя аналогия (модель самолета, корабля, микрорайона, выкройка); структурная аналогия (водопроводная сеть и электросеть моделируются с помощью графов, отражающих все связи и пересечения, но не длины отдельных трубопроводов); динамическая аналогия (по поведению системы) - маятник моделирует электрический колебательный контур.

Математические модели относятся ко второму и третьему типу. Смысл математического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием. Для них свойственно то, что они реализуются с использованием информационных технологий. Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По степени агрегирования объектов моделирования различают модели: микроэкономические; одно-, двухсекторные; многосекторные; макроэкономические; глобальные.

По учету фактора времени модели подразделяются на: статические; динамические.

В статических моделях экономическая система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени.

Динамические модели описывают экономическую систему в развитии.

По цели создания и применения различают модели: балансовые; эконометрические; оптимизационные. А также сетевые; систем массового обслуживания; имитационные (экспертные).

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых) переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наилучшим образом для достижения поставленной цели.

Сетевые модели наиболее широко используются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Наряду с машинными решениями содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае персональный компьютер, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

По учету фактора неопределенности модели подразделяются на: детерминированные (с однозначно определенными результатами); стохастические (с различными, вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели: линейного и нелинейного программирования; корреляционно-регрессионные; матричные; сетевые; теории игр; теории массового обслуживания и т. д.

1.2 Пакет MathСad. Функции для аппроксимации данных

MathCAD (Mathematical Aided Design) - математическая система автоматизированной фирмы Math Soft.

Система MathCAD - одна из самых мощных и эффективных систем математического направления, которая ориентирована на широкий круг пользователей и позволяет выполнять математические расчеты, как в численном, так и в символьном виде. Причем, описание решения задач задается с помощью привычных математических формул и знаков.

MathCAD объединяет в себе простой текстовый редактор, математический интерпретатор и графический процессор. Весь функциональный набор возможностей системы можно классифицировать следующим образом:

а) вычислительные функции;

б) графические функции;

в) программирование;

г) сервисные функции;

д) аналитические вычисления.

Вычислительные возможности системы могут, применяются для решения разнообразных задач из области математики, физики, экономики, инженерных расчетов, статистики, научных исследований и т. д. К основным вычислительным функциям можно отнести следующие:

а) вычисление арифметических выражений с различной точностью;

б) вычисление производных (обычных и частных), интегралов (обычных, многомерных и контурных);

в) вычисление суммы и произведения;

г) выполнение операций с размерными величинами и переменными;

д) решение уравнений и неравенств и их систем;

е) решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений;

ж) обработка матриц, векторов и ранжированных переменных;

з) использование встроенных математических функций;

и) создание пользовательских функций;

к) использование символьных преобразований и вычислений.

Графические возможности системы применяются для визуализации результатов вычислений и включают построение двумерных графиков, поверхностей, карт линий уровня, трехместных гистограмм, точечных графиков и графиков, векторных полей.

Система позволяет продемонстрировать процесс движения или изменения каких-либо результатов в виде анимационного клипа.

Возможно также внесение графических файлов определенного формата из других систем в документ, создавать программы MathCAD.

Система позволяет создавать программы, представляющие собой выражения, состоящие из программных конструкций, подобных конструкциям языков программирования. Программные выражения позволяют успешно решать в системе те задачи, которые невозможно вычислить с помощью имеющихся встроенных функций.

К основным сервисным функциям программы MathCAD можно отнести следующие:

а) ведение диалога с пользователем посредством меню, пиктограмм или команд;

б) размещение на экране и редактирование математических, графических и текстовых конструкций;

в) вывод документа или его части на принтер;

г) форматирование различных конструкций документа, изменение локальных и глобальных форматов;

д) поддержка файловой структуры документа;

е) создание и использование файлов данных на диске;

ж) обработка текстовой информации.

Пакет MathCAD позволяет выполнять аналитические (символьные) преобразования. Символьные операции можно разделить на шесть разделов:

а) символьная алгебра (упрощения, раскрытие скобок, разложение на множители, приведение подобных, ряды и т. д.);

б) символьные действия анализа (производные, интегралы, пределы);

в) символьное решение уравнений (решение уравнений и систем уравнений);

г) символьные действия с матрицами (матричная алгебра, транспонирование, обращение, определитель);

д) способы отображения символьных результатов;

е) символьные преобразования (преобразования Фурье, Лапласа, z-преобразования).

Аппроксимацией называется нахождение такой функции f(x), которая была бы близка к заданной в соответствии с выбранным критерием. Задачей аппроксимации является нахождение функции f(x), проходящей через заданные узлы в соответствии с заданным критерием.

Для представления физических закономерностей и при проведении научно-технических расчетов часто используются зависимости вида y(х), причем число точек этих зависимостей ограничено. Неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией исходной зависимости, т. е. ее подменой какой-либо достаточно простой функцией. Система МаthCAD предоставляет возможность аппроксимации двумя важными типами функций: кусочно-линейной и сплайновой.

Многомерную регрессию также можно реализовать в Mathcad. Самый типичный случай ее использования - приближение поверхностей в трехмерном пространстве. Их можно описать, задав массив значений высот z, соответствующих двухмерному массиву Мху координат точек (х,y) на горизонтальной плоскости.

Для реализации регрессионного анализа в пакете MathCad использовались функции:

Полиномиальная регрессия:

Для построения полиномиальной регрессии после функции regress необходимо использовать функцию interp.

Regress (Mxy, Vz, n) - возвращает вектор, запрашиваемый функцией interp (VS. Mxy, Vz, V) для вычисления многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает точки множества Мху и Vz, Мху - матрица размера 2m, содержащая координаты х и у. Vz - m-мерный вектор, содержащий z-координаты, соответствующие m точкам, указанным в Мху.

Interp (VS, Mxy, Vz, V) - возвращает значение z по заданным векторам VS (создается функцией regress) и Мху, Vz и V (вектор координат х и у заданной точки, для которой находится z).

В Mathcad реализована регрессия одним полиномом, отрезками нескольких полиномов, а также двумерная регрессия массива данных.

Экспоненциальная регрессия:

Для проведения экспоненциальной регрессии используется функция

Регрессия экспонентой:

f(х)=а*еbx+с

осуществляется заданием помимо массива данных, еще и заданием некоторых начальных значений коэффициентов а, b, с. Соответствующий вид регрессии используется в том случае, если ясно, какой зависимостью описывается массив данных. Когда тип регрессии плохо отражает последовательность данных, то ее результат часто бывает неудовлетворительным и даже сильно различающимся в зависимости от выбора начальных значений. Каждая из функций выдает вектор уточненных параметров а, b, с.

Нелинейная регрессия общего вида:

Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора K параметров произвольной функции F (x, K1, K2,...,Kn), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения «облака» исходных точек.

Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция genfit (VX, VY, VS, F), которая возвращает вектор K параметров функции F, дающий минимальную среднеквадратичную погрешность приближения функцией F (x, K1, K2,…,Kn) исходных данных. Вектор F должен быть вектором с символьными элементами, причем они должны содержать аналитические выражения для исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор VS должен содержать начальные значения элементов вектора K, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом.

Линейная регрессия:

Приближение данных (xi, yi) осуществляется линейной функцией:

у(х)=а•х+b,

которая координатной плоскости представляется прямой линией. Для расчета линейной регрессии в MathCAD используется функция line (x, y), результатом применения которой является вектор из двух элементов (b, а) коэффициентов линейной регрессии ах+b, где х - вектор действительных данных аргумента, у - вектор действительных данных значений того же размера.

Логистическая регрессия:

Регрессия логистической функции:

f(x)=a/(1+b•е-с•х)

осуществляется заданием помимо массива данных, еще и заданием некоторых начальных значений коэффициентов а, b, с.

И имеет следующий вид lgsfit (x, y, g), где х - вектор действительных данных аргумента, у - вектор действительных значений того же размера, g - вектор из трех элементов, задающий начальные значения а, b, с.

Соответствующий вид регрессии используется в том случае, если ясно, какой зависимостью описывается массив данных. Когда тип регрессии плохо отражает последовательность данных, то ее результат часто бывает неудовлетворительным и даже сильно различающимся в зависимости от выбора начальных значений.

Метод наименьших квадратов:

Метод наименьших квадратов (МНК, OLS, Ordinary Least Squares) -- один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Необходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключается или удовлетворяет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Поэтому метод наименьших квадратов может применяться также для приближённого представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т. д.

Иногда необходимо оценить значения формул в точках, находящихся вне области расположения сетки, на которой заданы значения функции. В Mathcad есть функция predict, которая позволяет это сделать.

Эта функция использует линейный алгоритм предсказания, который является полезным, когда экстраполируемая функция является гладкой и осциллирующей, хотя не обязательно периодической. Линейное предсказание можно рассматривать как разновидность экстраполяции, но нельзя путать с линейной или полиномиальной экстраполяцией.

Функция predict возвращает предсказанных значений, основанных на m последовательных значениях вектора данных. Элементы вектора должны представлять собой значения, взятые через равные интервалы. Функция predict использует последние m исходных значений данных, чтобы вычислять коэффициенты предсказания. Как только это сделано она использует последние m точек, чтобы предсказать координаты точки, фактически создавая скользящее окно шириной в точке.

В-сплайн-интерполяция отличается от обычной сплайн-интерполяции тем, что «сшивка» отдельных отрезков (сплайнов) производится не в точках хi, а в точках, координаты которых задаются пользователем. Для определения коэффициентов этой интерполяции используется функция bspline (x, y, хх, n), где:

а) x - вектор опытных значений аргумента;

б) y - вектор опытных значений функции;

в) хх - вектор значений аргумента, при которых вычисляются интерполирующие значения функции (точки «сшива» полиномов);

г) n - порядок полиномов сплайн-интерполяции (1, 2 или 3).

Размерность вектора хх должна быть на n-1 меньше, чем размерность вектора х. Первый элемент вектора хх должен быть меньше или равен первому элементу вектора х, а последний элемент вектора хх должен быть больше или равен последнего элемента вектора х.

1.3 Описание создания Web-сайта

Открытие веб-узела, созданного в Front Page:

а) В меню File (Файл) выберите Open Site (Открыть).

б) В диалоговом окне Open Site (Открыть) перейдите к папке, в которой расположен требуемый веб-узел.

в) Щелкните на имени веб-узла и нажмите кнопку Open (Открыть).

г) Создание узла компании или личного узла

Создание веб-страницы:

а) Нажмите кнопку Создание новой обычной страницы.

б) Щелкните правой кнопкой по полю страницы, выберете в свойствах страницы вкладку Язык.

в) Задайте в графе Сохранить документ, используя - кириллица, в графе Повторить загрузку текущего документа, используя - кириллица.

Создание веб-узел с помощью шаблона:

а) Если область задач New (Создание) не отображается на экране, в меню File (Файл) выберите New (Создать).

б) В секции New Web Site (Создать веб-узел) области задач New (Создание) выберите

в) В диалоговом окне шаблонов веб-узлов щелкните на значке типа веб-узла, который вы хотите создать.

Вставки текста:

а) Откройте веб-узел и страницу, куда требуется добавить текст, в окне просмотра и редактирования страниц.

б) Поместите курсор в то место, где должен быть размещён текст.

в) Введите текст.

Вставка существующего текста на веб-страницу:

а) Откройте страницу, куда требуется добавить текст, в окне просмотра и редактирования страниц.

б) Поместите курсор в то место, где должен быть размещен текст.

в) В меню Insert (Вставка) выберите пункт File (Файл).

г) Перейдите в папку, где хранится файл с текстом для вставки.

д) Выберите из списка имеющихся файлов нужный файл и щелкните на кнопке Open (Открыть), чтобы вставить весь текст этого документа на веб-страницу.

Форматирование текста:

Выделите текст, который хотите изменить.

а) Для увеличения размера шрифта на панели форматирования щелкните на кнопке Increase Font Size (Увеличить размер шрифта).

б) для оформления текста курсивом щелкните на кнопке Italic (Курсив).

в) для изменения шрифта щелкните на направленной вниз стрелке справа от поля Font (Шрифт) и выберите требуемый шрифт в раскрывающемся списке.

г) Для изменения цвета шрифта на панели форматирования щелкните на направленной вниз стрелке справа от кнопки Font Color (Цвет шрифта) и выберите новый цвет.

д) Для добавления границы щелкните на направленной вниз стрелке на панели форматирования справа от кнопки Borders (Границы) и выберите нужный вариант границы.

е) Для изменения форматирования абзаца выберите пункт Paragraph (Абзац) в меню Format (Формат). В окне Paragraph (Абзац) задайте способ выравнивания, величину отступов, межстрочный интервал и прочее, а затем нажмите ОК.

Вставка гиперссылки:

а) Щелкните в том месте страницы, где нужно поместить гиперссылку

б) Введите и выделите текст, который должен стать гиперссылкой.

в) В меню Insert (Вставка) выберите пункт Hyperlink (Гиперссылка).

г) В диалоговом окне Insert Hyperlink (Добавление гиперссылки) щелкните на кнопке Папка (Browse for File), перейдите в папку с нужным файлом, затем нажмите ОК, чтобы выделить этот файл, после чего еще раз нажмите ОК.

Просмотр веб-узла:

а) Откройте веб-узел в режиме конструктора.

б) Щелкните на кнопке Preview (Просмотр) внизу экрана, чтобы перейти в панель просмотра.

в) Щелкните на кнопке Preview in Browser (Просмотр в обозревателе) на стандартной панели инструментов, чтобы просмотреть свой веб-узел в браузере, установленном по умолчанию.

г) Выполните обход узла, щелкая на различных гиперссылках, чтобы убедиться в их функционировании.

Удаление веб-узла:

а) В панели Folder List (Список папок) щелкните правой кнопкой на папке верхнего уровня этого узла и затем в контекстном меню выберите пункт Delete (Удалить).

б) В диалоговом окне Confirm Delete (Подтвердить удаление) выберите вариант Delete this Web entirely (Удалить этот веб-узел полностью) и нажмите ОК.

Основные теги:

<HTML> </HTML>,определяет, что документ написан с использованием html (языка разметки гипертекста) и все другие теги должны размещаться внутри данного, т.е. весь документ обрамляется этим тегом;

<HEAD> </HEAD>, теги, находящиеся в этом теге, содержат наименование документа, другие данные о нем, а так же данные, используемые поисковыми системами, вся эта информация в теле документа не отображается;<HEAD> должен стоять сразу после тега <HTML> и нигде больше;

<TITLE> </TITLE>, описывает наименования документа, которое Вы видите в строке заголовка окна своего браузера, этот тег размещается в теге<HEAD>;

<BODY> </BODY>, предназначен для размещения тела документа (весь основной текст, ссылки на другие документы, таблицы, картинки и пр.), все, что видимо в окне браузера.

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

Определить аналитические функции различных видов регрессий и построить графики. Выбрать из полученного набора функцию, наилучшим образом отражающую исходный процесс. Предсказать поведение процесса на n-шагов с использованием этой функции и функции predict. Проанализировать полученные результаты. Создать web-сайт, в котором должны быть представлены полученные результаты.

Вторая часть задания состоит в создании Web-сайта, в котором должны быть представлены полученные результаты.

Сайт должен содержать:

а) Основную страницу

б) По странице на каждый тип регрессии

в) Страницу с данными анализа регрессий

г) Страницу с предсказанием поведения на n шагов

д) Выводы по работе

2.2 Описание исходных данных

Исходные вектора:

У:= 1.80 6.83 11.31 6.94 3.06 4.20 9.54 0.84 7.081 2.37 7.73 7.25 5.29 4.75 7.10 11.39 4.70 2.22 6.89 7.52 0.59 3.12

Дан набор регрессий:

а) Полиномиальная (степень 3)

б) Линейная

в) Логистическая

г) Нелинейная общего вида

д) Экспоненциальная

Результатами расчетов являются:

а) аналитические функции видов регрессий.

б) построенные графики.

в) предсказание поведения процесса на n=7 шагов

2.3 Алгоритмический анализ расчета базовой модели и проведение исследований

Исходные данные для работы:

а) число значений X (Y);

б) число шагов предсказания n=7;

в) набор экспериментальных данных X и Y;

г) формулы аппроксимирующих функций.

Результаты расчетов:

а) определение коэффициента корреляции;

б) построение графика зависимости;

в) предсказание поведения функции.

Аппроксимация и интерполяция данных в MathCad осуществляется с помощью встроенных функций.

Последовательность шагов алгоритма решения имеет вид:

а) задать исходные вектора;

б) задать аппроксимирующую функцию;

в) вычислить коэффициенты исходной функции;

г) построить график зависимости;

д) определить коэффициент корреляции;

е) выбрать из полученного набора функцию, наилучшим образом отражающую исходный процесс.

ж) предсказание поведения процесса на n=7 шагов с использованием выбранной функции и встроенной функции predict.

Размещено на http://www.allbest.ru

Рис. 2.1 - Графическая схема алгоритма и ее описание

3. Описание реализации математической модели

3.1 Описание реализации базовой модели в MathCAD

В моей курсовой работе был проведён регрессионный анализ по следующим видам функций: Полиномиальная (степень 3), Экспоненциальная, Нелинейная общего вида, Линейная, Логистическая.

Вводим исходные данные Х и У. Задаем диапазон изменения i. Строим график исходных данных.

Рисунок 3.1 - График исходных данных

Для создания полиномиальной регрессии, используем функции regress и interp. В результате получим следующий аналитический вид функции:

f(x)= 3+3x+ 3x2 +6.471x3-0.068x4+1.339·10-3x5-6.621*10-6x6.

Далее строим график исходного процесса и этой регрессии на одном поле:



Рисунок 3.2 - График полиномиальной функции

С помощью метода наименьших квадратов рассчитаем коэффициент:

Для создания экспоненциальной регрессии, используем функции expfit. В результате получим следующий аналитический вид функции:

f1(t)= -5.201*10-6*e0.085*t+5.945

Далее строим график исходного процесса и этой регрессии на одном поле.

Рисунок 3.3 - График экспоненциальной функции

С помощью метода наименьших квадратов рассчитываем коэффициент:

Для создания линейной регрессии используем функцию linfit. В результате получим следующий аналитический вид функции:

f2(x)=6.253-8.183*10-3x

Далее строим график исходного процесса и этой регрессии на одном поле.

Рисунок 3.4 - График линейной функции

С помощью метода наименьших квадратов рассчитываем коэффициент:

Для создания логистической регрессии, используем функцию pwrfit. В результате получим следующий аналитический вид функции:

f3(x)= 5.941/(1+0*e-1.747x)

Далее строим график исходного процесса и этой регрессии на одном поле.

Рисунок 3.5 - График логистической функции

С помощью метода наименьших квадратов рассчитываем коэффициент:

Для создания нелинейной регрессии общего вида используем функции genfit. В результате получим следующий аналитический вид функции:

f4(x)=6.241+((ln(x)*(x-80.534)2)/(6.241+541.244))

Далее строим график исходного процесса и этой регрессии на одном поле:



Рисунок 3.6 - График нелинейной функции общего вида

С помощью метода наименьших квадратов рассчитываем коэффициент:

Далее проводим предсказание экспоненциальной регрессии. На основе полученных результатов видно, что экспоненциальная регрессия наилучшим образом отображает исходный процесс.

Для создания процесса предсказания исследуем функцию predict. Далее задаем интервал, на котором будет строиться аппроксимирующая функция. После задаем значения интервала для построения графика экспоненциальной регрессии. Далее задаем интервал переменной, на котором будем строить график исходного процесса и график предсказания.

Затем мы строим график исходного процесса.

Рисунок 3.7 - График предсказаний

b-сплайн интерполяция была проведена с помощью функции bspline.

Задаем интервал, на котором будет строиться интерполяция:

Записываем функцию b-сплайн интерполяцию

Рисунок 3.8 - График b-сплайн интерполяции

3.2 Описание создания Web-сайта

По результатам расчетов моей курсовой работы был создан web-сайт, состоящий из основных страниц, вот несколько примеров этих страниц:

1) Главная,

2) страница исходных данных,

3) страница отображение результатов полиномиальная регрессия (степень 3),

4) страница отображение результатов линейная регрессия,

5) страница отображения нелинейной регрессии общего вида,

6) страница отображение результатов логистическая регрессия,

7) страница отображения экспоненциальной регрессии,

8) страница предсказания исходного процесса,

9) страница метода наименьших квадратов,

10) страница b-сплайн интерполяция,

11) страница вывода.

Рисунок 3.9 - Структура Web-сайта

3.3 Выводы о проделанной работе, анализ полученных результатов

В данной курсовой работе были заданы исходные данные, для которых были получены следующие аналитические виды регрессий:

1) Полиномиальная.

2) Линейная.

3) Нелинейная общего вида.

4) Логистическая.

5) Экспоненциальная.

Для каждой из регрессий с помощью метода наименьших квадратов были выведены следующие оценки:

Полиномиальная = 185.996.

Экспоненциальная = 185.138.

Линейная = 199.164.

Логистическая = 205.273.

Нелинейная общего вида =11580.

На основе полученных результатов видно, что экспоненциальная регрессия наилучшим образом отображает исходный процесс. Далее было проведено предсказание с помощью функции predict и наилучшей функции регрессии. В ходе анализа графика было видно, что экспоненциальная регрессия не подходит для дальнейшей аппроксимации.

Заключение

При выполнении курсового проекта были проведены моделирование и анализ экспериментальной зависимости с помощью ЭВМ. Проведя данную работу, были соблюдены все условия и выполнены все пункты, указанные в курсовом проектировании.

Корреляционно-регрессионный анализ требует большого количества трудоемких расчетов и большой подготовительной работы. Для выполнения этого было очень удобно использовать пакет MathCAD, который даёт значительное повышение точности в расчётах и облегчает процесс программирования при вычислении функций, и обычный компьютер, тем самым вновь убеждаемся в преимуществе компьютерного моделирования.

Список использованных источников

1) Грудецкий Г.А., Мурашко И.А. Графические средства пакета Mathcad: Практическое пособие для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. М/ук. №2564 - Гомель: Учреждение образования "Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого", 2001, - 36с.

2) Трохова Т.А. и др. Информатика. Практическое руководство к курсовому проектированию по одноименному курсу для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения. М/ук. №3014 - Гомель, ГГТУ им. П.О. Сухого, 2004. - 34с.

3) Охорзин В.А. Компьютерное моделирование в системе MathCad 2006.

4) Асенчик О.Д., Стародубцев Е.Г. Подготовка Web-страниц средствами языка HTML.: Практическое пособие для студентов всех специальностей дневного и заочного отделения - ГГТУ им. П.О. Сухого, М/УК 2872. 2003 - 28с.

Размещено на Allbest.ru