Анализ и синтез системы автоматического регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Амурский государственный университет

(ФГБОУ ВПО «АмГУ»)

Факультет Энергетический

Кафедра Автоматизации производственных процессов и электротехники

Курсовой проект

По дисциплине «Теория автоматического управления»

на тему: Анализ и синтез системы автоматического регулирования

Исполнитель

студент группы 841Э

С.О.Столяров

Руководитель

Зав. кафедрой А.Н. Рыбалев

Нормоконтроль И.В. Хисматова

Благовещенск 2011

Содержание

Введение

1. Математическое описание линейной системы и ее анализ

1.1 Описание системы в пространстве состояний

1.2 Получение передаточной матрицы системы

1.3 Получение передаточных функций элементов САР

1.4 Получение передаточных функций САР по управлению и по возмущению

1.5 АФЧХ разомкнутой системы

1.6 Влияние коэффициента Кр на показатели качества системы

1.6.1 Статическая ошибка при возмущении номинальным моментом

1.6.2 Ошибка по задающему воздействию, изменяющемуся со скоростью 1 град/сек

1.6.3 Прямые показатели качества переходных процессов

1.6.4 Корневые показатели качества

1.6.5 Частотные показатели качества

1.7 Корневой годограф замкнутой системы

1.8 Построение статической характеристики системы по нагрузке

1.9 Построение переходных характеристик по заданию и возмущению

2. Синтез линейной системы

2.1 Определение коэффициента передачи П-регулятора

2.2 Расчет регулятора на заданное значение частотного показателя колебательности

2.3 Расчет статического последовательного корректирующего устройства по ЛАЧХ

3. Синтез нелинейной системы

3.1 Построение упрощенной модели, не учитывающей малые инерционности в Simulink

3.2 Построение полной модели оптимальной системы в Simulink

3.3 Построение траекторий оптимальной по комбинированному критерию системы

3.4 Построение модели оптимальной по комбинированному критерию системы управления

Заключение

Библиографический список

Введение

Данный проект посвящён проблеме автоматического регулирования систем, обеспечивающих получение необходимого наклона исполнительного механизма. Сами системы, рассматриваемые в проекте, основаны на цифро-аналоговом и цифро-дискретном способах управления углов поворота выходных валов. Системами допускается локальное (оператором) и внешнее (через промышленную сеть) задание выходного параметра.

Курсовой проект включает следующие темы: математическое описание объектов управления и систем управления; анализ линейных систем, в т.ч. определение устойчивости и построение переходных и частотных характеристик; синтез линейных систем, в т.ч. расчёт регуляторов и корректирующих устройств; анализ нелинейных систем управления.

В первой части курсового проекта рассмотрены общие вопросы:

1.1 Построение модели системы в пространстве состояний. В качестве входных величин принимаются заданный угол поворота выходного вала цзад (задание) и приведенный к валу двигателя момент сил сопротивления нагрузки (возмущение), выходная величина - действительный угол поворота выходного вала ц.

1.2 Получение передаточной матрицы системы по уравнениям в пространстве состояний, состоящей из передаточных функций по заданию и по возмущению.

1.3 Получение передаточных функций элементов системы - преобразователя, двигателя, редуктора. Построение структурной схемы замкнутой системы с единичной обратной связью и регулятором.

1.4 Определение по структурной схеме, путем необходимых преобразований, передаточных функций системы по заданию и возмущению.

1.5 Построение АФЧХ разомкнутой системы при Кр = 1. Определение с помощью этой характеристики критического коэффициента Кркр, соответствующего нахождению системы на границе устойчивости.

1.6 Определение влияние коэффициента Кр на следующие показатели системы:

1.6.1 статическая ошибка при возмущении номинальным моментом при нагрузке двигателя;

1.6.2 ошибка по задающему воздействию, изменяющемуся со скоростью 1 град/сек;

1.6.3 прямые показатели качества переходных процессов (время регулирования и перерегулирования);

1.6.4 корневые показатели качества (степень устойчивости и показатель колебательности);

1.6.5 частотные показатели качества (запасы устойчивости по фазе и амплитуде, частотный показатель колебательности, резонансная частота и частота среза).

1.7 Построение корневого годографа замкнутой системы.

1.8 Расчёт и построение статических характеристик системы по нагрузке, при фиксированных значениях коэффициента регулятора, соответствующих запасам устойчивости по амплитуде 0.2, 0.4, 0.6, 0.8.

1.9 Расчёт и построение переходных характеристик системы по нагрузке, при фиксированных значениях коэффициента регулятора, соответствующих запасам устойчивости по амплитуде 0.2, 0.4, 0.6, 0.8.

Во второй части производится синтез линейных систем, отвечающих заданным требованиям по показателям качества. В неё включены вопросы:

1 Определение коэффициента передачи П-регулятора, обеспечивающего выполнение требований к точности системы в стационарных режимах.

2 Расчёт настроек ПИД-регулятора на заданное значение частотного показателя колебательности, применение которых гарантирует отсутствие статической ошибки по возмущению и ошибки по задающему воздействию, изменяющемуся с постоянной скоростью (также настройки должны обеспечить максимальное подавление низкочастотных возмущений).

3 Расчёт статического последовательного корректирующего устройства с помощью ЛАЧХ.

Третья часть является заключительной и обобщающей. В ней рассматриваются методы оптимального управления. Здесь применяются как расчётные так и методы Simulink-моделирования, являющиеся более простыми при изучении нелинейных систем. Часть разделена на четыре подпункта, в которых решаются следующие задачи:

1 Построение упрощенной модели оптимальной системы, не учитывающей малые инерционности системы, в Simulink. С помощью модели получение графиков изменения управления и координат объекта при отработке системой различных рассогласований. Рассматриваются варианты с тремя, двумя и одним интервалами постоянного управления.

2 Построение полной модели оптимальной системы в Simulink, учитывающей динамику всех входящих в нее звеньев (инерционность преобразователя напряжения и электромагнитную инерционность двигателя).

3 Расчет и построение четырех вариантов оптимальной по комбинированному критерию системы управления.

4 Построение полной модели оптимальной по комбинированному критерию системы управления в Simulink, учитывающую динамику всех входящих в нее звеньев (инерционность преобразователя напряжения и электромагнитную инерционность двигателя).

1. Математическое описание линейной системы и ее анализ

автоматический simulink программный алгоритм

1.1 Описание системы в пространстве состояний

Общее представление линейной системы в пространстве состояний имеет вид:

=АХ+BU - уравнение состояния. (1)

Y=CX+DU - уравнение выхода, (2)

где Х - вектор переменных состояния системы и объекта;

U - вектор входных воздействий;

Y - вектор входных величин;

А - матрица состояний;

В - матрица входа;

С - матрица выхода;

D - матрица прямого обхода.

Согласно заданию:

, (3)

Y=. (4)

Анализ схемы показывает, что ее состояние в каждый момент времени описывается следующими величинами:

- напряжение якоря ДПТ - Uя ;

- ток якоря I;

- угловая скорость двигателя дв;

- угол поворота выходного вала ;

Таким образом

. (5)

Для того, чтобы определить матрицы A, B, C, D необходимо составить дифференциальные уравнения всех элементов системы.

Тиристорный преобразователь (ТП) описывается дифференциальным уравнением вида:

, (6)

где К - коэффициент передачи ТП

Рассчитываем К исходя из того, что при максимальном сигнале

Uу = Uу мах =10 на выходе преобразователя установится напряжение

UЯ мах=514 В.

, (7)

, (8)

Uу = kp(цзад - ц), (9)

где kp - неизвестный пока коэффициент передачи пропорционального регулятора. Примем kp = 1.

Двигатель постоянного тока.

Описание ДПТ в пространстве состояний получим из анализа уравнений электрического и механического равновесия.

Уравнение электрического равновесия:

, (10)

где R = 0,291- активное сопротивление якорной цепи.

. (11)

Для определения коэффициента Ке двигателя рассмотрим естественную механическую характеристику машины (зависимость скорости от момента при номинальном напряжении питания в установившемся режиме).

, (12)

Н·м, (13)

, (14)

Решая это квадратное уравнение, находим значение коэффициента Ке =0.9445.

Уравнение механического равновесия моментов на валу двигателя:

, (15)

где М = Се ·Ф·I=Kе·I - электромагнитный момент двигателя.

, (16)

Редуктор описывается дифференциальным уравнением:

, (17)

где i - передаточное число редуктора

Передаточное число рассчитываем исходя из того, что при номинальной скорости двигателя максимальный угол поворота выходного вала цmax должен быть отработан за заданное время t.

, (18)

. (19)

Рисунок 1 Схема модели редуктора

Зная дифференциальные уравнения всех элементов системы, построим полную структурную схему модели системы в пространстве состояний.

Рисунок 2 Схема модели системы

1.2 Получение передаточной матрицы системы

По схеме определим матрицы

,

,

,

Так как , передаточная матрица определяется по формуле:

, (20)

.

Первый элемент передаточной матрицы системы - передаточная функция по управлению, второй элемент - передаточная функция по возмущению.

1.3 Получение передаточных функций элементов САР

Усилитель постоянного тока

. (21)

Тиристорный преобразователь:

, (22)

Двигатель постоянного тока:

Передаточные функции двигателя по каналам напряжение якоря - скорость и момент - скорость получим из уравнений:

, (23)

, (24)

, (25)

, (26)

. (27)

Решая совместно уравнения (23) и (24) получим следующее:

. (28)

В операторной форме это уравнение имеет вид:

. (29)

Передаточная функция ДПТ будет представлена передаточными функциями (р) и (р):

. (30)

. (31)

Передаточная функция редуктора:

. (32)

Структурная схема системы приведена на рисунке 4.

Рисунок 3 Структурная схема системы

1.4 Получение передаточных функций САР по заданию и по возмущению путем структурных преобразований

- по заданию:

, (33)

- по возмущению:

, (34)

1.5 АФЧХ разомкнутой системы

АФЧХ (kр=1) изображена на рисунке 4.

Рисунок 4 АФЧХ разомкнутой системы при kр=1

Найдем точку пересечения с действительной осью:

|S|= 0.001742,

Кркr = 1/0.001742 = 574.0528.

1.6 Влияние коэффициента Кр на показатели качества системы

1.6.1 Статическая ошибка при возмущении номинальным моментом

Запишем ПФ статической ошибки по возмущению:

, (35)

,

.

ПФ W1(p) не имеет нулевых полюсов, ПФ W2(p) имеет один нулевой полюс, значит, статическая ошибка равна:

, (36)

где К1 - коэффициент передачи прямого канала;

f - возмущающий сигнал.

,

.

Отсюда в угловых минутах:

,

При Кркr=574,0528:

угловых минут.

Рисунок 5 Статическая ошибка при номинальном моменте

При увеличении графика видно, что статическая ошибка составляет менее одной угловой минуты при Кр > 696,4.

1.6.2 Ошибка по задающему воздействию, изменяющемуся со скоростью 1 град/сек

ПФ динамической ошибки по k-ой производной задающего сигнала:

, (37)

где k = 1 - порядок воздействия (воздействие, изменяющееся с постоянной скоростью);

l = 1 - порядок астатизма системы

Порядок астатизма системы равен порядку воздействия, динамическая ошибка равна:

, (38)

где c = 1 град/сек. - скорость изменения воздействия;

К`раз - коэффициент передачи разомкнутой системы, ПФ которой не имеет нулевых полюсов.

,

Тогда в угловых минутах:

,

При Кркr=574,0528:

угловых минут.

Рисунок 6 Динамическая ошибка

1.6.3 Прямые показатели качества переходных процессов

Рисунок 7 Влияние Кр на время регулирования системы

Время переходного процесса характеризует быстродействие системы. Интервал времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее установившегося значения становится меньше определенной, достаточно малой величины. В качестве которой часто используется 5% от установившегося значения выходной величины. Перерегулирование определяется по задающему воздействию.

. (39)

Рисунок 8 Влияние Кр на перерегулирование в системе

1.6.4 Корневые показатели качества

Корневые показатели основаны на оценке качества переходных процессов по значениям полюсов и нулей передаточной функции системы.

Степень устойчивости з определяется минимальной по модулю вещественной частью полюса среди всех полюсов передаточной функции системы:

з = min|бi|, i = 1…n, (40)

где n - порядок знаменателя передаточной функции

Показателем колебательности называется минимальное по модулю среди всех пар комплесно-сопряженных корней характеристического полинома замкнутой системы отношение действительной части корня к мнимой.

Рисунок 9 Влияние Кр на степень устойчивости системы

Показателем колебательности называется минимальное по модулю среди всех пар комплесно-сопряженных корней характеристического полинома замкнутой системы отношение действительной части корня к мнимой.

, i = 1…k, (41)

Рисунок 10 Влияние Кр на корневой показатель колебательности системы

1.6.5 Частотные показатели качества

Частотный показатель колебательности есть отношение максимального значения амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы к значению этой характеристики при нулевой частоте.

(42)

Рисунок 11 Влияние Кр на частотный показатель колебательности системы

Резонансная частота - частота, при которой наблюдается максимальное значение АЧХ замкнутой системы.

Частоту среза определяем как частоту, при которой ЛАЧХ разомкнутой системы равна нулю.

Рисунок 12 Влияние Кр на резонансную частоту

Рисунок 13 Влияние Кр на частоту среза

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема L(щ) или увеличение А(щ), при котором система окажется на границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной Дц, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза щсреза, чтобы она оказалась на границе устойчивости.

Рисунок 14 Влияние Кр на запас устойчивости по фазе

Рисунок 15 Влияние Кр на запас устойчивости по амплитуде

1.7 Корневой годограф замкнутой системы

Корневой годограф системы - это зависимость положения ее полюсов на комплексной плоскости от коэффициента передачи регулятора.

При увеличении коэффициента от значения, близкого к нулю, происходит «сближение» полюсов p3 и p4 и уменьшение вещественной части полюсов p1 и p2. Переходные характеристики системы носят апериодический характер, быстродействие системы растет.

При Кр = 17,2 полюса p3 и p4 «сходятся», т.е. становятся равными. С дальнейшим ростом коэффициента регулятора полюса p3 и p4 вновь «расходятся», становясь комплексно-сопряженными. Переходная характеристика системы принимает колебательный характер, причем с ростом Кр увеличивается частота колебаний и величина перерегулирования.

При Кр = Кр кр=574 полюса p3 и p4 становятся чисто мнимыми, а система выходит на границу устойчивости. Дальнейшее увеличение коэффициента регулятора делает систему неустойчивой.

Рисунок 16 Корневой годограф замкнутой системы при изменении коэффициента

1.8 Построение статической характеристики системы по нагрузке

Для расчета статической характеристики системы по нагрузке определим передаточные функции системы по возмущению для четырех значений коэффициента усиления, для этого нужны передаточная функция разомкнутой системы и замкнутой системы по возмущению и управлению.

Рисунок 17 Статическая характеристика системы по нагрузке

1.9 Построение переходных характеристик по заданию и возмущению

Рисунок 18 Переходные характеристики системы по заданию

Рисунок 19 Переходные характеристики системы по возмущению

Из рисунка 19 определим:

tР1 = 1.36 с у1 = 34.9 %

tР2 = 1.97 с у2 = 58.9%

tР3 = 2.94 с у3 = 75.7 %

tР4 = 6.19 с у4 = 89.3 %

По результатам расчетов сделаем выводы о влиянии коэффициента усиления усилителя на статические и динамические характеристики системы:

Увеличение коэффициента усиления приводит к уменьшению статистической ошибки.

Увеличение коэффициента усиления приводит к уменьшению запаса устойчивости, увеличению колебательности и перерегулирования. Частота колебаний увеличивается, время нарастания сигнала уменьшается.

2. Синтез линейной системы

2.1 Определение коэффициента передачи П-регулятора

К требованиям к точности системы в стационарных режимах относятся статическая ошибка по возмущению и ошибка по задающему воздействию. В данном случае статическая ошибка по возмущению номинальным моментом не должна превышать 1 угл. мин., ошибка по задающему воздействию, изменяющемуся со скоростью 1 град/сек, не более 1 угл. мин.

Данным условиям соответствует коэффициенты усиления:

1) Кp1 = 696.4;

2) Кp2 = 657.51.

Проверим устойчивость системы при этих значениях коэффициента, построив переходные характеристики замкнутой системы (рисунок 21, 22).

Рисунок 20 Переходная характеристика системы (kp=696.4)



Рисунок 21 Переходная характеристика системы (kp=657.51)

Из характеристики видим, что система является неустойчивой, следовательно П-регулятор применить нельзя.

2.2 Расчет регулятора на заданное значение частотного показателя колебательности

Этот метод ориентирован на обеспечение требуемого значения максимума АЧХ Азам(щрез) , а не показателя колебательности. Однако для реальных систем эти показатели практически совпадают, т. к. Азам(0) равно или близко к единице. Для статических систем Азам(0) обычно немного меньше единицы, что объясняется присутствием в них статической ошибки.

АФЧХ замкнутой системы выражается через АФЧХ разомкнутой следующим образом:

, (43)

, (44)

Инверсная обратная характеристика разомкнутой системы.

Радиус окружности с центром, лежащим на отрицательной вещественной полуоси и отстоящим от начала координат на расстояние:

, (45)

. (46)

Этой окружности должна касаться АФЧХ разомкнутой системы, чтобы максимум АЧХ замкнутой системы был равен Л.

Исходную систему приводят к расчетной схеме, изображенной ниже:

Рисунок 22 Расчетная схема

Искомой величиной является коэффициент передачи регулятора kр. Передаточная функция W'раз(р) представляет собой передаточную функцию последовательного соединения всех элементов САР, в т. ч. И-регулятора (с единичным коэффициентом передачи). Если рассчитывать ПИД-регулятор с передаточной функцией:

, (47)

Для определения коэффициента передачи регулятора kр на комплексной плоскости построим АФЧХ разомкнутой системы W' раз(jщ). Из начала координат под углом Я=arcsin(1/Л) к отрицательной вещественной полуоси проведем луч. Затем циркулем прочертим окружность с центром на вещественной отрицательной полуоси, касающуюся одновременно АФЧХ системы и луча. (рисунок 23)

Рисунок 23 Определение радиуса R

Радиус этой окружности r связан с коэффициентом передачи регулятора следующим соотношением

, (48)

. (49)

Таблица 1 Определение коэффициента передачи регулятора

Постоянная времени изодрома	Радиус окружности r	Коэффициент передачи регулятора
0,3	0.0132	195.5735
0,4	0,0145	175,3525
0,5	0,0162	124,3526
0,6	0.0212	98,2625
0,7	0.0365	75,3589

В этом методе определяется радиус окружности r. По формуле 42 определяется Кр.

Выбираем Тиз=0,3 , Кр=206.6116.

ПФ замкнутой системы по управлению с ПИД регулятором:

(50)

Построим переходную характеристику с найденными параметрами. (рисунок 24)

Рисунок 24 Переходная характеристика по заданию при Тиз=0.3 и М=1.2

При частотном показателе колебательности М=1.2, постоянной времени изодрома Тиз=0,3 и коэффициенте передачи kp=206.6116 перерегулирование составляет у =12,2 %, а время регулирования tп =0,8 с, что соответствует требованиям, предъявляемым к прямым показателям качества переходного процесса ( и tр ? 1,5).

Переходная характеристика системы с ПИД - регулятором по возмущению (рисунок 25).

Рисунок 25 Переходная характеристика системы по возмущению

2.3 Расчет статического последовательного корректирующего устройства по ЛАЧХ

При расчёте первоначально определили частоты среза и излома объекта (исходя из передаточных функций звеньев объекта).

Общий коэффициент усиления:

, (51)

с-1,

с-1, (52)

с-1. (53)

Далее строим ЛАЧХ желаемую. Для этого определим частоту среза.

с-1. (54)

Выбираем частоту щср = 10 с-1.

с-1. (55)

Выбираем частоту щ3 = 40 с-1.

с-1. (56)

Выбираем частоту щ3 = 2 с-1, так как желаемая ЛАЧХ должна проходить не меньше одной декады под наклоном -20 дБ/дек.

с-1 (находим путём сопряжения Lж и Lоб).

Строим ЛАЧХ желаемую, путём вычитания из Lж Lоб находим Lку (рисунок 26).



Рисунок 26 Расчёт корректирующего устройства с помощью ЛАЧХ

По полученной ЛАЧХ КУ находим его передаточную функцию:

Строим его переходную характеристику (рисунок 28).

Передаточная функция КУ физически нереализуема, так как порядок числителя больше порядка знаменателя, поэтому вводится дополнительное балластное звено с небольшой постоянной времени:



Рисунок 27 Переходная характеристика системы с КУ

Рисунок 28 Переходная характеристика по возмущению

3. Синтез нелинейной системы

3.1 Построение упрощенной модели, не учитывающей малые инерционности в Simulink

Важным с точки зрения будущего синтеза системы является то обстоятельство, что величины, описывающие состояние двигателя ток и скорость в реальной системе должны быть искусственно ограничены по величине определенными предельными значениями.

Ток двигателя по условиям нормальной коммутации и неразрушения коллекторного узла во всех режимах не должен превышать по модулю трехкратного от номинального значения:

. (57)

Скорость вращения вала в обоих направлениях не должна превышать 150% номинальной скорости по условию сохранения механической прочности:

. (58)

Процесс отработки заданного угла поворота может быть оптимизирован по многим показателям, важнейшими из которых являются время переходного процесса и потери энергии на процесс. Первый показатель определяет быстродействие системы, второй энергетическую эффективность привода. Если механизм, обслуживаемый системой, совершает циклическое движение (например, звено манипулятора), оба показателя в конечном итоге влияют на его максимальную производительность. Быстродействие задает возможную частоту включений привода по условию времени цикла отработки заданного угла, а потери возможную частоту включений по условиям нагрева двигателя. Поэтому при синтезе системы имеет смысл рассматривать комбинированный критерий, учитывающий как время процесса, так и потери энергии.

Для определения оптимального управления желательно иметь как можно более простое описание объекта. Анализируя описание объекта, можно сделать следующие выводы:

1) в общем случае объект не является линейным;

2) в линейном диапазоне функционирования, когда напряжение якоря, ток и скорость двигателя не достигают своих предельных значений, объект имеет четвертый порядок.

Принимая во внимание то обстоятельство, что оптимизация системы приносит ощутимые выгоды и имеет смысл только при отработке относительно больших начальных рассогласований, можно упростить описание объекта, пренебрегая его малыми инерционностями. Таковыми, очевидно, следует считать инерционность преобразователя напряжения (канал Uу Uя) и электромагнитную инерционность двигателя (Uя I). Поэтому будем полагать, что система управления способна «мгновенно» устанавливать требуемое значение тока якоря, а сам этот ток будем считать управляющим воздействием на объект. Помимо относительной малости соответствующих постоянных времени, такому допущению способствует наличие в составе системы управления внутреннего быстродействующего токового контура с воздействием на напряжение управления преобразователем Uу. Контур позволяет значительно увеличить скорость установки заданного тока двигателя, а его построение не вызывает особенных затруднений в техническом плане, учитывая, что сигнал по току уже заводится в контроллер, а максимальное выходное напряжение преобразователя более чем вдвое превосходит его номинальное значение и, следовательно, допустимая степень воздействия на ток достаточно велика.

Кроме того, будем считать приведенный к валу двигателя суммарный момент сил сопротивления равным нулю. Этому допущению способствует большое передаточное число редуктора.

С учетом сделанных допущений описание объекта примет вид:

(59)

, (60)

, (61)

,

,

,

.

Оптимизация системы по быстродействию.

Рассмотрим задачу перевода системы (59) с учетом ограничений (60) и (61) из любого начального состояния в начало координат за минимальное время. Необходимо найти такое управление, которое доставляло бы минимум функционалу

, (61)

где tк время переходного процесса.

Поскольку постановка задачи содержит ограничения типа неравенств, для ее решения воспользуемся принципом максимума.

По уравнениям объекта составим гамильтониан:

(63)

Так как коэффициент k2 положителен, то при 2 0 максимум гамильтониану доставляет управление:

(64)

Или то же самое в компактной форме:

. (65)

Сопряженные уравнения:

, (66)

. (67)

Из (66), (67) получаем

, (68)

, (69)

где С1, С2 постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

При 2 = 0 управление не определено. Рассмотрим, какие значения оно может принимать в данном случае. Предположим, что функция 2(t) равна нулю на некотором интервале времени. В течение этого интервала:

(70)

, (71)

=const. (72)

Поскольку функция 1(t) непрерывна, то С3 = С1, т.е. функция 1(t) постоянна в течение всего переходного процесса. Согласно принципу максимума при оптимальном управлении функция Н(t) максимальна и равна нулю. Поэтому из (70) следует, что на интервале, когда 2 = 0:

1) , (73)

2) (74)

и в силу второго уравнения системы (59)

Кроме того, из постоянства 1(t) следует, согласно (69), что функция 2(t) может обращаться в нуль не более чем на одном интервале (рисунок 30).



Рисунок 29 Возможные графики зависимости 2(t)

Таким образом, установлено, что оптимальное управление может принимать три возможных значения: umax, 0, umax, и число интервалов его постоянного уровня не превышает трех. На последнем интервале управление должно принимать предельное значение, так как при u = 0, объект не сможет достигнуть начала координат.

Рассмотрим фазовые траектории объекта при всех возможных значениях управления. При u = umax из (59) получим:

, (76)

, (77)

где С4, С5 постоянные интегрирования, определяемые как начальные значения координат объекта на интервале.

Из (76) получим:

. (78)

Подставим (78) в (77):

(79)

Это уравнение параболы с вершиной в точке x1 = C6.

Аналогично можно показать, что при u = umax

. (80)

При u = 0 возможны два варианта движения системы:

1) , , (81)

2) , . (82)

На фазовой плоскости оба варианта представляются горизонтальными прямыми линиями, которые ограничивают область допустимых состояний объекта.

На рисунке 31 показаны фазовые траектории объекта, рассчитанные при следующих значениях постоянных: k1 = 1, k2 = 1, x2max = 1, umax = 1.

Постоянные интегрирования выбраны равными:

С6 = 2, 1, 0 при u = umax,

C7 = 0, 1, 2 при u = umax.

При C6 = 0 и C7 = 0 фазовые траектории проходят через начало координат, т.е. через конечную точку процесса. Обозначим через + участок фазовой траектории при u = umax, C6 = 0 до точки {0,0}, а через участок фазовой траектории при u = umax, C7 = 0 до точки {0,0} ( рисунок 31).

Очевидно, что на заключительном этапе процесса движение объекта должно происходить либо по линии +, либо по линии , так как в противном случае объект не попадет в начало координат. Выйти на линию + объект может только справа (с помощью отрицательного или нулевого управления), а на линию только слева (с помощью положительного или нулевого управления). Линия = (,+), «объединяющая» и +, делит область допустимых состояний объекта на две зоны: слева находится зона, в которой управление должно быть положительным, справа зона, в которой управление должно быть отрицательным. На линиях и управление должно быть нулевым. На рисунке 32 также показана оптимальная траектория для начальных условий x1(0) = 2, x2(0) = 0 (кривая ABCO). Эта траектория включает участок положительного управления AB (разгон), участок нулевого управления BC (движение с постоянной скоростью) и участок отрицательного управления СО (торможение).

Рисунок 30 Фазовые траектории объекта

Очевидно, что в общем случае число интервалов управления зависит от начального состояния объекта. Например, если смещать точку А вправо по оси x1, длительность движения на участке нулевого управления будет уменьшаться. В предельном случае, когда процесс начинается с точки А, эта длительность равна нулю (траектория АСО). При дальнейшем смещении начальной точки процесса к началу координат оптимальная траектория уже не будет содержать участка , а оптимальное управление интервала u = 0. Наконец, в случае, когда начальная точка лежит на линии , оптимальная траектория состоит всего из одного участка. Сформулируем полученные результаты, одновременно обобщив их для всех состояний объекта (включая и недопустимые состояния ). Представление оптимального закона управления на фазовой плоскости показано на рисунке 32. При его построении учитывалось, что управление должно «возвращать» объект в область допустимых состояний, если по каким-либо причинам последний его покинул.

Рисунок 31 Представление закона управления на фазовой плоскости

Составим алгоритм управления. Для этого определим уравнение линии и координаты точек С и D. Уравнение линии найдем, объединяя уравнения (79) и (80) при С6 = 0 и С7 = 0:

(83)

или

. (84)

Координаты точки С: , x2 = x2max.

Координаты точки D: , x2 = x2max.

Алгоритм управления будет следующим.

Если :

(85)

Если :

 (86)

Если :

(87)

Для упрощения закона управления исключим из алгоритма условия, касающиеся движения по траекториям , + и , и сделаем кривую, изображенную на рисунке 32 линией переключения управления с u = umax на u = umax. Это оправдано по нескольким причинам. Во-первых, упрощается алгоритм управления. Во-вторых, технически невозможно точно реализовать контроль нахождения объекта на исключенных траекториях. В-третьих, «свободное» движение объекта при u = 0 на практике не будет проходить по линии вследствие действия на объект неучтенных возмущений. Применительно к рассматриваемой задаче оптимального управления электроприводом это означает следующее: при нулевом токе якоря момент, развиваемый двигателем, также равен нулю и не компенсирует приведенного момента нагрузки. В результате привод получает некоторое ускорение. В зависимости от знака приведенного момента изображающая точка вновь попадает либо в зону u = umax, либо в зону u = umax. Таким образом, реализовать вариант управления u = 0 не имеет смысла.

Схема модели системы оптимального управления в Simulink показана на рисунке 32.

Рисунок 32 Упрощенная схема оптимального управления

Модель содержит блок Matlab Fcn, вызывающий внешнюю функцию Matlab, которая в нашем случае реализует упрощенный алгоритм оптимального управления. Эта функция помещена в отдельный файл, имя которого заносится в блок Matlab Fcn.

Рассмотрим вариант с тремя интервалами постоянного управления.

Рисунок 33 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 34 Зависимость скорости при оптимальном управлении

Рисунок 35 Зависимость скорости от положения

Рассмотрим вариант с двумя интервалами постоянного управления.

Рисунок 36 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 37 Зависимость скорости при оптимальном управлении

Рисунок 38 Зависимость скорости от положения

Рассмотрим вариант одним интервалом постоянного управления.

Рисунок 39 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 40 Зависимость скорости при оптимальном управлении

Рисунок 41 Зависимость скорости от положения

3.2 Построение полной модели оптимальной системы в Simulink

Модель содержит блок Matlab Fcn, вызывающий внешнюю функцию Matlab, которая в нашем случае реализует упрощенный алгоритм оптимального управления. Эта функция помещена в отдельный файл, имя которого заносится в блок Matlab Fcn.



Рисунок 42 Схема оптимального управления в Simulink

Рисунок 43 Переходный процесс в системе

Рисунок 44 Изменение скорости



Рисунок 45 Изменение тока

Рисунок 46 Изменение напряжения теристорного преобразователя

Рисунок 47 Зависимость скорости от угла поворота

После проделанной работы сделаем выводы о том, что из за влияния неучтенных инерционностей увеличилось время переходного процесса. Работа регуляторов осуществляется попеременно, благодаря чему удается получить процесс без колебаний.

3.3 Построение траекторий оптимальной по комбинированному критерию системы

Оптимизация системы по комбинированному критерию.

Производительность обслуживаемого приводом механизма определяется не только быстродействием привода, но и потерями энергии, уходящими на нагрев двигателя и преобразователя в цикле работы. Поэтому в качестве критерия оптимизации системы может выступать минимум электрических потерь. Потери пропорциональны квадрату тока, поэтому минимизируемый функционал в наших обозначениях мог бы иметь вид:

(88)

Однако задача поиска управления для объекта (59), минимизирующего функционал (88), не имеет решения.

Поскольку мы пренебрегли приведенным моментом сил сопротивления, движение с постоянной скоростью осуществляется при нулевом токе и не сопровождается выделением потерь. Поэтому потери на процесс тем меньше, чем меньше потери на участках разгона и торможения двигателя. Длительность этих участков можно свести к нулю, а максимальную скорость - к бесконечно малой величине. В итоге получаем, что наилучшим следует считать процесс с нулевыми потерями, занимающий бесконечное время.

Поэтому мы будем рассматривать комбинированный критерий, сочетающий как требования к быстродействию, так и требования к потерям:

(89)

Коэффициент k3 входящий в функционал (89), есть весовой множитель, выражающий степень важности обеспечения быстродействия в общей структуре требований к процессу.

Возможны четыре варианта оптимального управления в зависимости от того, вступают ли в силу ограничения на само управление и на значение координаты х2.

Определим предельные значения коэффициента k3 и начального рассогласования x1к-x10, разграничивающие четыре варианта оптимального управления.

Для варианта 1:

, (90)

. (91)

Для варианта 2:

, (92)

. (93)

Для варианта 3:

, (94)

. (95)

Для варианта 4:

, (96)

. (97)

Расчет вариантов оптимального управления и оптимальных траекторий

Вариант 1. Никакие ограничения не вступают в силу

Рисунок 48 Зависимость ш2(t) и u(t)

Значение гамильтониана в начальный момент времени:

. (98)

Условиями формирования оптимального управления по рассматриваемому варианту будут:

, (99)

, (100)

, (101)

где значение x2 при ш2 = 0 принимает вид:

, (102)

С учетом (90) можно получить конечное время:

. (103)

Рисунок 49 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 50 Зависимость скорости вала при оптимальном управлении

Рисунок 51 Оптимальное управление

На рисунках 50, 51, 52 представлены зависимости при к3=100, x10=0, x1k=1. Вариант 2. Величина x2 не достигает ограничения, управление ограничивается

Рисунок 52 Зависимость ш2(t) и u(t)

Значение гамильтониана в начальный момент времени:

. (104)

Условиями формирования оптимального управления по рассматриваемому варианту будут:

Для интервала t = 0 . . t1:

, (105)

, (106)

, (107)

Для интервала t = t1 . . t4:

, (108)

(109)

. (110)

Для интервала t = t4 . . tк:

, (111)

(112)

. (113)

Для данного варианта величины t1, t4, tк и н определяются по следующим формулам:

, (114)

, (115)

, (116)

x1(t2)-x10 = 0.5(x1к - x10)

. (117)

Рисунок 53 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 54 Зависимость скорости вала при оптимальном управлении

Рисунок 55 Оптимальное управление

На рисунках 54, 55, 56 представлены зависимости при к3=40000, x10=0, x1k=0.1

Вариант 3. Ограничивается координата x2, управление не достигает ограничения.



Рисунок 56 Зависимость ш2(t) и u(t)

Условиями формирования оптимального управления по рассматриваемому варианту будут:

Для интервала t = 0 . . t2:

, (118)

, (119)

. (120)

Для интервала t = t2 . . t3:

, (121)

, (122)

, (123)

. (124)

Для интервала t = t3 . . tк:

, (125)

(126)

. (127)

Для данного варианта величины t2, t3 и tк определяются по следующим формулам:

, (128)

, (129)

. (130)

Рисунок 57 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 58 Зависимость скорости вала при оптимальном управлении

Рисунок 59 Оптимальное управление

На рисунках 58, 59, 60 представлены зависимости при к3=100, x10=0, x1k=5.

Вариант 4. Ограничивается как координата x2, так и управление

Рисунок 60 Зависимость ш2(t) и u(t)

Условиями формирования оптимального управления по рассматриваемому варианту будут:

Для интервала t = 0 . . t1:

, (131)

, (132)

. (133)

Для интервала t = t1 . . t2:

, (134)

(135)

. (136)

Для интервала t = t2 . . t3:

, (137)

, (138)

, (139)

. (140)

Для интервала t = t3 . . t4:

, (141)

(142)

(143)

Для интервала t = t4 . . tк:

, (144)

(145)

. (146)

Для данного варианта величины t1, t2, t3, t4 и tк определяются по следующим формулам:

, (147)

, (148)

, (150)

, (151)

. (152)

На рисунках 62, 63, 64 представлены зависимости при к3=40000, x10=0, x1k=1.

Рисунок 61 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 62 Зависимость скорости вала при оптимальном управлении

Рисунок 63 Оптимальное управление

3.4 Построение модели оптимальной по комбинированному критерию системы управления

Рисунок 64 Модель оптимальной по комбинированному критерию системы

Модель содержит блок Matlab Fcn, вызывающий внешнюю функцию Matlab, которая в нашем случае реализует упрощенный алгоритм оптимального управления. Эта функция помещена в отдельный файл, имя которого заносится в блок Matlab Fcn, и содержит следующий код.

Для 1 варианта:

function u = timeregulator(inp)

persistent state;

global In wn

In=35.7847;

wn=221.8933;

t = inp(1); %время

cur = inp(2); %ток

sp = inp(3); %скорость

u = zeros(1,7);

if cur<10

u(2) = 1;

u(3) =10;

u(4:7) = zeros(1,4);

end

if t<4.671

u(2) = 1;

u(3) = -4.2817.*t+10;

u(4:7) = zeros(1,4);

else

u(1:7) = zeros(1,7);

end

Для 2 варианта:

function u = timeregulator(inp)

persistent state;

global In wn

In=35.7847;

wn=221.8933;

t = inp(1); %время

cur = inp(2); %ток

sp = inp(3); %скорость

u = zeros(1,7);

if t<0.1053

u(1) = 0;

u(2) = 1;

u(3) = 3*In;

u(4:7) = zeros(1,4);

else

if t<0.2757

u(1) = 0;

u(2) = 1;

u(3) = -1259.6.*t+239.9764;

u(4:7) = zeros(1,4);

else

u(1) = 0;

u(2) = 1;

u(3) = -3*In;

u(4:7) = zeros(1,4);

end

if t>=0.381

u(1:7) = zeros(1,7);

end

end

Для 3 варианта:

function u = timeregulator(inp)

persistent state;

global In wn

In=35.7847;

wn=221.8933;

t = inp(1); %время

cur = inp(2); %ток

sp = inp(3); %скорость

u = zeros(1,7);

if cur<10

u(2) = 1;

u(3) = 10;

u(4:7) = zeros(1,4);

end

if t<4.0595

u(2) = 1;

u(3) = -2.4633.*t+10;;

u(4:7) = zeros(1,4);

u(1) = 0;

else

if t<7.6046

u(1:7) = zeros(1,7);

u(4) = 1;

u(5) =1.5*wn;

else

if t<11.6641

u(1) = 0;

u(2) = 1;

u(3) = -2.4633.*t+ 18.7328;

u(4:7) = zeros(1,4);

else

u(1:7) = zeros(1,7);

end

end

end

Для 4 варианта:

function u = timeregulator(inp)

persistent state;

global In wn

In=35.7847;

wn=221.8933;

t = inp(1); %время

cur = inp(2); %ток

sp = inp(3); %скорость

u = zeros(1,7);

if cur<10

u(2) = 1;

u(3) = 10;

u(4:7) = zeros(1,4);

end

if t<0.0801

u(2) = 1;

u(3) =3*In;

u(4:7) = zeros(1,4);

u(1) = 0;

else

if t<0.298

u(1:7) = zeros(1,7);

u(2) = 1;

u(3) = -492.6692*t+ 146.8267;

else

if t<1.7035

u(1:7) = zeros(1,7);

u(4) = 1;

u(5) =1.5*wn;

else

if t<1.9214

u(1:7) = zeros(1,7);

u(2) = 1;

u(3) = -492.6692*t+ 839.2801;

else

if t<2.0016

u(1:7) = zeros(1,7);

u(2) = 1;

u(3) = -3*In;

else

u(1:7) = zeros(1,7);

end

end

end

Рисунок 65 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 66 Зависимость скорости при оптимальном управлении

Рисунок 67 Оптимальное управление

Рисунок 68 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 69 Зависимость скорости при оптимальном управлении

Рисунок 70 Оптимальное управление

Рисунок 71 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 72 Зависимость скорости при оптимальном управлении

Рисунок 73 Оптимальное управление

Рисунок 74 Зависимость угла поворота вала при оптимальном управлении

Рисунок 75 Зависимость скорости при оптимальном управлении

Рисунок 76 Оптимальное управление

Заключение

При выполнение проекта закреплены и углублены знания, полученные при изучении предмета «Теория автоматического управления».

Проведён анализ линейной систем автоматического регулирования. Для линейной САР определены критический коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости; влияние коэффициента усиления на различные показатели системы (статическая ошибка и ошибка по задающему воздействию, прямые, корневые и частотные показатели качества); построена статическая и переходные характеристики системы; определён коэффициент передачи П-регулятора, обеспечивающий выполнение заданных требований к точности системы; рассчитаны настройки ПИД-регулятора, применение которого гарантирует отсутствие статической ошибки по возмущению и ошибки по задающему воздействию, изменяющемуся с постоянной скоростью; по методу ЛАЧХ спроектировано последовательное корректирующее устройство.

Так как все реальные системы автоматического регулирования принадлежат к классу нелинейных, то были ограничены внутренние координаты линейной системы исходя из условий механической и электрической прочности. Примененное в третьей части проекта оптимальное управление, делает вывод о том, что неучтенные при синтезе закона управления инерционности, а также возмущения приведенным к валу двигателя моментом нагрузки механизма оказывают существенное влияние на оптимальную систему по быстродействию из-за очень медленного регулятора положения, а на систему по комбинированному критерию практически не влияют.

Библиографический список

1 Рыбалёв А.Н. Теория автоматического управления: курсовое проектирование: Уч. пособие - Благовещенск: Амурский Гос. университет, 2004. - 144 с.

2 Рыбалёв А.Н. Теория оптимального. Оптимальные системы: Уч. пособие - Благовещенск: Амурский Гос. университет, 2006. - 104 с.

Размещено на Allbest.ru