Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Факультет телекоммуникаций

Кафедра систем телекоммуникаций

Дисциплина: Прикладное программирование

Пояснительная записка

к курсовой работе

на тему

Проектирование устройств фильтрации

Курсант: гр. Панглиш Ф.А.

Руководитель: Бунас В.Ю.

ассистент каф. СТК

Минск 2011



СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР ПОДСИСТЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ SPLINE TOOLBOX И OPTIMIZATION TOOLBOX СИСТЕМЫ MATHLAB

2. МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЯ УСТРОЙСТВ ФИЛЬТРАЦИИ ПО РАБОЧИМ ПАРАМЕТРАМ

3. ВИДЫ АППРОКСИМАЦИИ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК: ЧЕБЫШЕВА И БАТТЕРВОРТА

4. ВЫВОД ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛЬТРА ПО СТРУКТУРЕ РАУХА

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРА НА ФУНКЦИОНАЛЬНОМ УРОВНЕ В MATHCAD В ЧАСТОТНОЙ И ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТЯХ (РАСЧЁТ АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ И В НОРМИРОВАННОМ И ДЕНОРМИРОВАННОМ ВИДЕ)

6. РАЗРАБОТКА ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ СХЕМЫ ФИЛЬТРА

7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРА НА СХЕМОТЕХНИЧЕСКОМ УРОВНЕ В ELECTRONIC WORKBENCH В ЧАСТОТНОЙ И ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТЯХ (АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ИХ, ПХ В ДЕНОРМИРОВАННОМ ВИДЕ)

8. ИЗМЕРЕНИЕ АЧХ В ELECTRONIC WORKBENCH С ПОМОЩЬЮ ЛЧМ-ИМПУЛЬСА)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



ВВЕДЕНИЕ

Неотъемлемая часть телекоммуникационных задач связана с преобразованием сигналов. Одной из основных является фильтрация, т.е. выделение или подавление определенных частот сигнала.

Устройства выполняющие подобное преобразование называются фильтрами. Понятие фильтра было введено в 1915 г. Независимо друг от друга Дж. Кэмпбелом и К. Вагнером в связи с их исследованиями в области линий передачи и колебательных систем. Первые простейшие фильтры, служащие для разделения телеграфных и телефонных сигналов, передавшихся по одному проводу, и состоявшие из одной катушки индуктивности и одного конденсатора, были применены военным связистом капитаном Игнатьевым ещё в XIX веке. Другим простейшим типом фильтров, появившимся практически с момента зарождения радиотехники, был колебательный контур, также состоящий из катушки индуктивности и конденсатора. С тех пор теория и технология фильтров непрерывно развивались и продолжают совершенствоваться по настоящий день. Сегодня фильтры настолько глубоко вошли в электронную технику, что трудно представить себе сколь-угодно сложные системы, в которых в той или иной форме не использовались бы фильтры.

Этот процесс усложнения радиоэлектронных устройств привёл к тому, что в настоящее время существует множество самых различных принципов реализации частотно-избирательных устройств: LC-фильтры, активные RC-фильтры, пьезоэлектрические (кварцевые), пьезокерамические, электромеханические, магнитострикционные, спиральные, полосковые, коаксиальные, волноводные, параметрические, цифровые и даже электротепловые - для очень низких частот.

Электрическим фильтром называют четырехполюсник, через который электрические колебания одних частот проходят с малым затуханием, а других с большим. Электрические фильтры по расположению полос пропускания и затухания подразделяют на фильтры нижних частот, фильтры верхних частот, полосовые и заграждающие (режекторные) фильтры.

В данном курсовом проекте рассмотрим фильтр на операционных усилителях с многопетлевой обратной связью (структура Рауха) через аппроксимацию Чебышева прямая 7-ого порядка. А так же представим методику расчёта фильтра верхних частот. Для выполнения поставленной задачи воспользуемся пакетом MathCAD - построения различных характеристик и численного расчёта выражений, а также Electronic Workbench - для построения принципиальной схемы фильтра и получения тех же характеристик. После чего проведем анализ полученных данных путем сопоставления результатов.



1. ОБЗОР ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕЛЕВИЗИОННЫХ СИСТЕМ И СЕТЕЙ

MATLAB и ряд ToolBox'ов предоставляют широкие возможности для приближения и интерполяции одномерных и многомерных данных. Причем эти возможности реализованы на различных уровнях: от достаточно простых средств графического окна для приближения уже визуализированных данных, до специальных функций MATLAB и ToolBox'ов, включая среды с графическим интерфейсом пользователя, которые позволяют импортировать данные, производить их предварительную обработку и сглаживание, приближать и интерполировать данные различными методами. В состав MATLAB входят функции для решения некоторых задач вычислительной геометрии. Функции MATLAB и ряда ToolBox'ов позволяют решать следующие задачи:

- приближение полиномами по методу наименьших квадратов;

- интерполяция одномерных данных сплайнами;

- приближение сглаживающими сплайнами;

- приближение сплайнами в смысле наименьших квадратов;

- интерполяция и приближение двумерных и многомерных данных сплайнами, являющимися тензорным произведением одномерных сплайнов;

- сглаживание сплайнами типа тонких пластин;

- приближение рациональными сплайнами;

- построение выпуклой оболочки двумерных и многомерных данных;

- построение триангуляции Делане на плоскости и в N-мерном пространстве;

- построение диаграммы Вороного на плоскости и в N-мерном пространстве;

- нахождение ближайшей точки;

- приближение разбросанных данных;

- построение линейных и нелинейных параметрических моделей для приближения данных (решение задачи о подборе параметров в одной из стандартных моделей или заданной пользователем и оценка качества приближения).

Перед приближением данных параметрической или непараметрической моделью возможна их предварительная обработка: исключение данных вручную или по некоторому критерию, задание различных весов.

Имеются средства для сглаживания данных при помощи фильтрации или локальной регрессии.

Построив интерполянт или параметрическую модель, легко производить с ними различные действия: при помощи функций MATLAB и ToolBox'ов:

- визуализировать

- интегрировать и дифференцировать

- вычислять значения в различных точках

Мы рассмотрим применение базовых средств и встроенных функций MATLAB, а также Spline ToolBox и Optimization Toolbox для решения задач о приближении данных и их оптимизации. Часть функций и средств MATLAB и перечисленных ToolBox'ов дублируют друг друга. Например, некоторые задачи, в которых требуется интерполяция сплайнами, могут быть решены как при помощи встроенных функций MATLAB, так и в Spline ToolBox.

Spline ToolBox

Spline Toolbox позволяет конструировать сплайны, интерполировать и аппроксимировать одномерные и многомерные данные. Построенные сплайны записываются в специальном формате, который дает возможность визуализировать сплайны, производить арифметические и другие операции с ними (интегрирование, дифференцирование, поиск минимума и корней и др.) при помощи функций Spline Toolbox, не углубляясь в способ хранения сплайна.



Рисунок 1.1.1 - Главное окно программы Spline Toolbox

Spline Toolbox поддерживает работу со следующими основными формами записи сплайнов:

- кусочно-полиномиальная форма (piecewise polynomial form, pp-form, pp-форма);

- B-форма (B-form);

- рациональные сплайны (rational splines), числитель и знаменатель которых могут быть представлены как в кусочно-полиномиальной форме (rp-form, rp-форма), так и B-сплайнами (rB-form, rB-форма);

- сплайн-поверхности, или сплайны типа тонкой пластинки (scattered translates form, stform, st-форма);

- сплайны, зависящие от нескольких переменных, представленные тензорными произведениями (tensor product splines).

Имеется возможность строить интерполяционные и сглаживающие сплайны и аппроксимировать данные методом наименьших квадратов.

Функции Spline ToolBox основаны на пакете программ (на языке Fortran), приведенных в книге К. Де Бора: «Carl de Boor. A Practical Guide to Splines»

В состав Spline Toolbox входят функции и приложения с графическим интерфейсом пользователя, предназначенные для работы со сплайнами и для демонстрации различных возможностей Spline Toolbox. Функции Spline ToolBox делятся на несколько основных категорий:

- интерполяция и аппроксимация данных сплайнами различного порядка;

- конструирование сплайнов по заданным узлам и коэффициентам;

- визуализация сплайнов и операции над ними, включая интегрирование и дифференцирование, поиск точек экстремума и нулей сплайна;

- нахождение узлов и полюсов интерполяции для получения хорошего приближения;

- приложения с графическим интерфейсом для экспериментов со сплайнами;

- демонстрационные примеры, освещающие важные вопросы приближения сплайнами.

Названия функций говорят об их назначении следующим образом:

- имя функции начинается с cs - приближение кубическим сплайном в кусочно-полиномиальной форме;

- имя функции начинается с sp - приближение сплайном в B-форме;

- имя функции начинается с fn - визуализация сплайнов или выполнение операций над ними;

- в середине имени функции есть 2 - преобразование сплайна из одной формы в другую или установление связи между узлами (и их кратностями) и точками разрыва;

- имя функции заканчивается на api - интерполирование сплайном;

- имя функции заканчивается на aps - сглаживание сплайном;

- имя функции заканчивается на ap2 - приближение в смысле наименьших квадратов;

- имя функции заканчивается на knt - генерирование последовательности узлов сплайна;

- имя функции заканчивается на mak - конструирование сплайна по заданным узлам (или точкам разрыва) и коэффициентам;

- имя функции заканчивается на dem - демонстрационные приложения.

Рисунок 1.1.2 - Общий вид интерфейса

Пакет Spline оснащен программами работы с В-сплайнами, описанными в работе «A Practical Guide to Splines» Карлом Дебуром, создателем сплайнов и автором пакета Spline. Функции пакета в сочетании с языком MATLAB и подробным руководством пользователя облегчают понимание сплайнов и их эффективное применение к решению разнообразных задач.

В пакет включены программы для работы с двумя наиболее широко распространенными формами представления сплайнов: В-формой и кусочно-полиномиальной формой. В-форма удобна на этапе построения сплайнов, в то время как кусочно-полиномиальная форма более эффективна во время постоянной работы со сплайном. Пакет включает функции для создания, отображения, интерполяции, аппроксимации и обработки сплайнов в В-форме и в виде отрезков полиномов.

Optimization Toolbox

Optimization Toolbox предоставляет инженерам и исследователям средства необходимые для поиска оптимальных и компромиссных решений, позволяет настраивать и проводить диагностику задач оптимизации и быстро объединять стандартные алгоритмы оптимизации со своими собственными методами.

Используя функции выхода можно сохранять параметры итерационного процесса и создавать собственные критерии остановки расчета. Функции Optimization Toolbox написаны на открытом языке MATLAB, что позволяет пользователю контролировать исполнение алгоритмов, изменять исходный код, а также создавать свои собственные функции и процедуры.

Рисунок 1.2.1 - Окно программы Optimization Toolbox

Optimization Toolbox содержит подпрограммы для реализации наиболее широко используемых методов минимизации и максимизации. Toolbox включает в себя алгоритмы для решения многих типов задач оптимизации, таких как:

- современные стандартные алгоритмы оптимизации.

- нелинейная минимизация без ограничений.

- нелинейная минимизация с ограничениями, включая задачи минимакса,

- достижения цели и полубесконечной минимизации.

- квадратичное и линейное программирование.

- нелинейный метод наименьших квадратов и подбор кривых с границами.

- решение системы нелинейных уравнений.

- линейный метод наименьших квадратов с ограничениями.

- специализированные крупно-масштабные алгоритмы (большой размерности) для решения больших разреженных задач.

- подбор данных с помощью подбора кривых, нелинейный метод наименьших квадратов, определение нулей нелинейных уравнений и системы нелинейных уравнений.

- гибкая среда, которая обрабатывает ввод скаляра, вектора или матрицы. (Оптимизируемые функции могут быть записаны в виде сохраняемых функций или интерактивно с помощью командной строки MATLAB.)

В Optimization Toolbox реализованы современные алгоритмы оптимизации. Основными алгоритмами минимизации без ограничений являются Квази-Ньютоновский метод BFGS и метод прямого поиска Нелдера-Мида с линейным поиском. Для задач минимизации с ограничениями, минимакса, достижения цели и полубесконечной оптимизации используются разновидности последовательного квадратичного программирования (SQP). Нелинейная задача наименьших квадратов решается с помощью методов Гаусса-Ньютона или Левенберга-Маркуарда. Подпрограммы для решения задач линейного и квадратичного программирования используют методы из активного набора в сочетании с проекционными методиками.

Стандартные алгоритмы обладают следующими особенностями:

- Градиенты рассчитываются автоматически с помощью адаптированного метода конечных разностей (за исключением случая, когда они прилагаются как функции).

- Прилагаемые градиенты могут быть проверены путем сравнения с расчетом посредством конечных разностей.

- Аргументы опций для нелинейного метода наименьших квадратов и нелинейной минимизации допускают введение границ в виде переменных.

- Ограничения могут быть в виде равенств или неравенств, линейными или нелинейными.

- Зависимые от задачи параметры могут быть переданы непосредственно в функции, что устраняет необходимость использования глобальных переменных.

Optimization Toolbox также включает в себя алгоритмы для крупно-масштабных (большой размерности) задач с разреженными матрицами или структурой. Крупно-масштабные методы вобрали в себя все преимущества возможностей MATLAB работы с разреженными матрицами.

Toolbox включает в себя алгоритмы решения крупно-масштабных задач, таких как:

- линейное программирование.

- нелинейный метод наименьших квадратов с границей.

- нелинейная минимизация без ограничений.

- нелинейная минимизация с ограничениями в виде границ.

- нелинейная минимизация с линейными равенствами.

- решение систем нелинейных уравнений.

- квадратичная минимизация с ограничениями в виде границ.

- квадратичная минимизация с линейными равенствами.

- линейный метод наименьших квадратов с ограничениями в виде границ.

Новый крупномасштабный алгоритм линейного программирования основан на методе Жин-Занга LIPSOL (Линейное программирование с расчетом внутренних точек), алгоритм одновременного решения прямой и двойственной задач с внутренними точками на основе метода Мерота предиктор-корректор.

Также для крупномасштабного метода доступны некоторые формулировки квадратичного программирования и нелинейных объектов с ограничениями в виде границ или ограничениями в виде линейных равенств. Эти методы основаны на разработанных Томасом Ф. Колеманом алгоритмах крупно-масштабных доверительных областей и используют методы отражения Ньютона и проекционными методы для оперирования с ограничениями.

Крупномасштабные алгоритмы обладают следующими особенностями:

Матрицы Якобиана и Гессе рассчитываются автоматически с использованием метода конечных разностей (за исключением случая, когда они вводятся вместе с целевыми функциями).

Образ разреженности матриц Якобиана или матрицы Гессе может обеспечить повышение эффективности использования конечных разностей.

Принимаемые по умолчанию параметры оптимизации могут быть изменены посредством структуры параметров опций.

Зависимые от задачи параметры могут быть переданы непосредственно в функции, что устраняет необходимость использования глобальных переменных.

Выбор типа программы обработки разреженности, непосредственно или итеративно, задается в алгоритме оптимизации, а выбор типа предварительной обработки для решения систем линейных уравнений задается в алгоритме оптимизации.

Итоги обзора

На сегодняшний день ряд ToolBox'ов предоставляют широкие возможности для приближения и интерполяции одномерных и многомерных данных. Причем эти возможности реализованы на различных уровнях: от достаточно простых средств графического окна для приближения уже визуализированных данных, до специальных функций MATLAB и ToolBox'ов, включая среды с графическим интерфейсом пользователя, которые позволяют импортировать данные, производить их предварительную обработку и сглаживание, приближать и интерполировать данные различными методами. В состав MATLAB входят функции для решения некоторых задач вычислительной геометрии.

Пакет прикладных программ для работы со сплайнами. Поддерживает одномерную, двумерную и многомерную сплайн-интерполяцию и аппроксимацию. Обеспечивает представление и отображение сложных данных и поддержку графики.

Пакет позволяет выполнять интерполяцию, аппроксимацию и преобразование сплайнов из В-формы в кусочно-полиномиальную, интерполяцию кубическими сплайнами и сглаживание, выполнение операций над сплайнами: вычисление производной, интеграла и отображение.

Optimization Toolbox расширяет среду MATLAB, обеспечивая доступ к сервисным средствам обычной и крупномасштабной (большой размерности) оптимизации. Дополнительные средства обеспечивают решение задач линейного программирования, квадратичного программирования, нелинейного метода наименьших квадратов и решения нелинейных уравнений.

2. Метод проектирования устройств фильтрации по рабочим параметрам

Одним из способов проектирования фильтров является каскадный способ. Его преимуществом является простота реализации, возможность индивидуальной настройки отдельных звеньев и хорошее согласование по входу и выходу за счет применения ОУ. Проектирование фильтра на основе способа каскадной реализации независимо от типа фильтра содержит ряд этапов:

1. Расчет структурной схемы устройства

2. Выбор аппроксимации

3. Определение порядка фильтра

4. Выбор структуры фильтра

5. Схемная реализация

6. Расчет и выбор элементов схемы

7. Связь фильтра с источником сигнала (ИС) и нагрузкой

8. Схемотехническое моделирование устройства и его оптимизация

По результатам моделирования может быть принято решение о возврате на один из ранних этапов проектирования, т.е. данная процедура носит итерационный характер.

На рисунке 2.1 показан фильтр, с коэффициентом передачи К(p). K(p) определяется следующим образом:

Рисунок 2.1 - Фильтр

(2.1)

Если в K(p) заменить и преобразовать: ,то можно получить зависимости для частотных и временных характеристик фильтра:

· выражение под знаком модуля - АЧХ;

· выражение - ФЧХ;

· импульсную характеристику (ИХ);

· переходную характеристику (ПХ);

· характеристику рабочего затухания (ХРЗ);

· характеристику группового времени задержки (ХГВЗ).

Представим коэффициент передачи фильтра с помощью полиномов

,

, порядком фильтра n называют наибольшую степень р в знаменателе. G(p)-полином степени m, корни которого могут лежать, где угодно на комплексной плоскости. V(p)-полином Гурвица, степени n с вещественными коэффициентами. Его корни могут лежать только в левой полуплоскости мнимой оси.

,(2.2)

,,.

Фильтр физически реализуем, если выполнены следующие условия:

· полюсы должны иметь отрицательные действительные части;

· степень полинома в числителе должна быть равна или меньше

· степени полинома в знаменателе.

При проектировании фильтров следует иметь ввиду, что идеальные АЧХ физически не реализуемы. Можно лишь стремиться к наилучшему приближению (или аппроксимации), совместимому с требованиями, предъявляемыми к фильтру.

Рисунок 2.2 - АЧХ фильтра

Из рисунка 2.2 следует, что реальная АЧХ лишь приближенно представляет (аппроксимирует) идеальную АЧХ.

Фильтрующие свойства часто оцениваются величиной относительного затухания, определяемой в децибелах как

(2.3)

Если она равна 0, то , если ?, то на выходе фильтра ничего нет.

Примерный вид реальных характеристик затухания для ФВЧ и ФНЧ приведен на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 - Характеристика затухания

ФНЧ(а) и ФВЧ(б)

Область частот пропускаемых колебаний, для которых АЧХ изменяется незначительно, называется полосой пропускания. Область частот задерживаемых колебаний для которых АЧХ не превосходит некоторого малого заданного значения, называется полосой задерживания. Условная граница между этими полосами называется частотой среза щ_c и находится в пределах переходной полосы. A_p - максимальное затухание в полосе пропускания; A_a - минимальное затухание в полосе задерживания.

В данной курсовой работе будет проектироваться ФВЧ, со структурой на операционных усилителях - Рауха. Порядок фильтра - седьмой, с аппроксимацией частотных характеристик - Чебышева и Баттерворта. Частотой среза 0.2 кГц. Неравномерность в полосе пропускания 55%.

Исходные данные:

Коэффициенты операторной передаточной функции нормированного ФНЧ- прототипа:

с = 4.21473775422783*10¹ а= 1.72990133076610*10^-1

в₀ = 9.89408023899159*10^-1 б₀ = 3.84939259774342*10^-2

в₁= 7.93443630473121*10^-1 б₁= 1.07857583795521*10^-1

в₂= 4.40327995083862*10^-1 б₂= 1.55858724356449*10^-1

Коэффициент передачи ФВЧ в нормированном виде можно записать следующим образом:

Поскольку в задании по курсовому проекту даны коэффициенты c, б_i, в_i, в нормированном виде, то необходимо осуществить денормирование.

Проведем денормировку коэффициентов:

Получаем новые коэффициенты:

Структура фильтра 7-го порядка будет состоять из 3 каскадов фильтров второго порядка и одного каскада первого порядка:

Вход

Рисунок 2.5 - Каскадное соединение звеньев первого(K0(p)) и второго (K1(p), K2(p), K3(p)) порядков ФВЧ

операционный частотный временной фильтр

3. Виды аппроксимации частотных характеристик: Чебышева и Баттерворта

Аппроксимация АЧХ практически сводится к выбору таких коэффициентов полиномов, которые обеспечивают не только аппроксимацию АЧХ, но и физическую реализуемость фильтра.

Рисунок 3.1 - Зависимость затухания от частоты

Известно довольно много аппроксимаций, отвечающих вышеуказанному условию, однако наибольшее распространение получили три из них: Баттерворта, Чебышева, Золотарёва-Кауэра и Бесселя. Каждый из этих типов имеет свои особенности, которые хорошо видны на графике зависимости рабочего затухания от частоты Рисунок 3.1

При анализе свойств аппроксимаций для общности используется нормирование по частоте и коэффициенту передачи, который полагают единичным. Следует отметить, что рассматриваемые аппроксимации используются также при проектировании цифровых фильтров.

Наиболее простой является аппроксимация Баттерворта. Данная аппроксимация дает максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания при заданном n. АЧХ имеет максимум при щ = 0 и монотонно убывает с ростом частоты. Данную аппроксимацию следует применять, если накладывается требование монотонности АЧХ во всем диапазоне частот.

В аппроксимации Чебышева в отличие от предыдущего, допускается некоторая немонотонность АЧХ типа пульсаций в полосе пропускания, т.е. затухание колеблется между нулем и заданным максимальным уровнем. В полосе задерживания пульсации отсутствуют. Иногда данную аппроксимацию называют равноволновой. Число пульсаций увеличивается с ростом порядка фильтра. За счет появления пульсаций крутизна спада АЧХ возрастает по сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка.

Аппроксимация Кауэра является логическим развитием идеи равноволнового фильтра и допускает пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. За счет этого реализуется еще большая крутизна спада АЧХ, чем у фильтра Чебышева.

В данной курсовой рассмотрим такие виды аппроксимации частотных характеристик как Чебышева и Баттерворта и их особенности, которые хорошо видны на графике зависимости рабочего затухания от частоты.

Запишем функцию характеристики рабочего затухания:



Рассмотрим аппроксимацию Чебышева(прямая). Так как по условию нам известно что неравномерность в полосе пропускания 55% получаем для нормированного вида:

Рисунок 3.2 - Характеристика рабочего затухания в нормированном виде (аппроксимация Чебышева (прямая))

Для денормированного вида:

Рисунок 3.3 - Характеристика рабочего затухания в денормированном виде (аппроксимация Чебышева (прямая))

Рассмотрим аппроксимацию Баттерворта:

Рисунок 3.4 - Характеристика рабочего затухания в нормированном виде (аппроксимация Баттерворта)

Определим рабочие параметры:

W_s=0,512 a_s=35дБ, W_d= 1 a_d=0,98 дБ

Для денормированного вида:

Рисунок 3.5 - Характеристика рабочего затухания в денормированном виде (аппроксимация Баттерворта)

Определим рабочие параметры:

W_s=640 a_s=35дБ

W_d= 1230 a_d=1,22 дБ

Вывод: Аппроксимация Чебышева обеспечивают высокую крутизну склона АЧХ при переходе от ПП к ПЗ. Иногда данную аппроксимацию называют равноволновой. Число пульсаций увеличивается с ростом порядка фильтра. За счет появления пульсаций крутизна спада АЧХ возрастает по сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка.

4. Вывод передаточных функций фильтровых звеньев по структуре Рауха

В варианте данной курсовой работы предложено спроектировать фильтр нижних частот девятого порядка, используя структуру Рауха.

С целью вывода передаточной функции фильтра верхних частот по структуре Рауха рассмотрим отдельно фильтр второго порядка и фильтр первого порядка, которые будут соединены каскадно.

Построим принципиальную схему фильтра верхних частот второго порядка на операционном усилителе.

Рисунок 4.1 - Функциональная схема структуры Рауха второго порядка

Найдем передаточную функцию данного звена:

(4.1)

Применим первый и второй законы Кирхгофа:

(4.2)

(4.3)

Выражая токи через проводимости получим:

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Ток i₄ протекает через проводимость Y₄ и втекает в ветвь с проводимостью Y₅ без потерь. Подставим (4.7), (4.8), (4.6) в (4.2), а затем получившееся выражение подставим в (4.5):

(4.10)

Подставим (3.4) в (3.10) и преобразуем, чтобы получить окончательное выражение для передаточной функции:



(4.11)

(4.12)

Анализируя выражения передаточной характеристики фильтра, определим типы проводимостей для обеспечения требуемой степени p. Так, сделаем вывод о том, что проводимости Y₂, Y₅ должны заменить резисторы, а проводимости Y₁,Y₃ и Y₄ - емкости:

(4.13)

Подставив в выражения передаточной характеристики фильтра в и преобразовав к виду (4.12), получим:

(4.14)

Таким образом, коэффициенты нормированного ФВЧ-прототипа для одного звена второго порядка можно представить следующим образом:

(4.15)

С учётом (4.14) построим принципиальную схему фильтра.



Рисунок 4.3 - Функциональная схема структуры Рауха второго порядка

Данное функциональное звено представляет собой активный фильтр второго порядка, построенный на основе операционного усилителя.

Построим принципиальную схему фильтра верхних частот первого порядка на операционном усилителе по аналогичной схеме.

Рисунок 4.4 - Функциональная схема структуры Рауха первого порядка

Применим первый и второй законы Кирхгофа:

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

Подставим (4.18) и (4.19) в (4.16), а затем получившееся выражение подставим в (4.17):

(4.20)

Преобразовав (4.20), получим передаточную характеристику:

(4.21)

Общая же формула передаточной характеристики фильтра нижних частот имеет вид:

(4.22)

Проанализируем эти два выражения. Видно, что проводимости Y₁, Y₂, Y₄ должны заменить резисторы, а проводимость Y₃ - емкость:

(4.23)

Подставим (4.23) в (4.21) и преобразуем к виду (4.22):

(4.24)



Сравним это выражение с передаточной характеристикой ФВЧ и составим систему:

(4.25)

С учётом (4.24) построим принципиальную схему фильтра.

Рисунок 4.5 - Функциональная схема структуры Рауха первого порядка

5. Моделирование разрабатываемого фильтра на функциональном уровне в MathCAD в частотной и временной областях (расчёт АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ, ПХ их и в нормированном и денормированном виде)

Амплитудно-частотная характеристика ФВЧ в нормированном виде:

Фазово-частотная характеристика ФВЧ в нормированном виде:

Характеристика рабочего затухания ФВЧ в нормированном виде:

Характеристика групового времени запаздывания в нормированном виде:



Импульсная характеристика в нормированном виде:

Переходная характеристика в нормированном виде:

Характеристики в денормированном виде:

Фазово-частотная характеристика ФВЧ в денормированном виде:

Характеристика рабочего затухания ФВЧ в денормированном виде:

Характеристика группового времени запаздывания в денормированном виде:

Импульстная характеристика в денормированном виде:

Переходная характеристика в денормированном виде:



6. Разработка принципиальной схемы фильтра

Для построения принципиальной схемы седьмого порядка необходимо последовательно соединить три функциональных звена второго порядка и одного первого порядка структуры Рауха.

Операторную функцию представим произведением операторных функций каждого звена:

(6.1)

Операторная функция каждого звена запишется следующим образом:

(6.2)

(6.3)

(6.4)



(6.4)

Таким образом, для расчета элементов принципиальной схемы фильтра необходимо определить коэффициенты передаточной функции реального фильтра и решить четыре системы.

Система для одного каскада второго порядка представляет собой три уравнения с пятью неизвестными, то есть с двумя степенями свободы. Следовательно, два элемента зададим произвольно. Рациональнее задавать емкости конденсаторов и вычислять необходимые значения конденсаторов.

Определим значения нормирующего коэффициента для каскадов:

В итоге мы получаем значения для всех резисторов и конденсаторов:

Размещено на Allbest.ru