Геометричне моделювання променевого енергообміну між аналітично заданими поверхнями

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

КИIВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНIЧНИЙ УНIВЕРСИТЕТ БУДIВНИЦТВА I АРХIТЕКТУРИ

УДК 515.2

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОМЕНЕВОГО ЕНЕРГООБМІНУ МІЖ АНАЛІТИЧНО ЗАДАНИМИ ПОВЕРХНЯМИ

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрiя, інженерна графiка

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата технiчних наук

Шоман Ольга Вікторівна

Київ - 1998

Анотація

Шоман О.В. Геометричне моделювання променевого енергообміну між аналітично заданими поверхнями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський державний технічний університет будівництва і архітектури, Україна, Київ, 1998.

Дисертацію присвячено розробці геометричного методу обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання (ККВ) щодо променевого енергообміну між аналітично заданими поверхнями. В методі здійснено побудову радіально-паралельних проекцій (RP-проекцій) поверхонь засобами комп'ютерної графіки. Кутові коефіцієнти випромінювання отримано для випадків енергообміну між каналовими поверхнями. Алгоритми реалізовано у вигляді PASCAL-програм. В методі враховано наявність характерного для каналових поверхонь ефекту самозатінення. Розв'язано задачу самоопромінювання гвинтової каналової поверхні для витка. Результати дисертації знайшли впровадження в наукових дослідженнях оптичних систем передачі інформації, в розробках сучасних теплообмінників, у проектуванні установок полімеризації ізоляційного покриття дротів.

Ключові слова: геометричне моделювання, кутовий коефіцієнт випромінювання (ККВ), радіально-паралельна проекція (RP-проекція), гвинтова каналова поверхня.

випромінювання променевий енергообмін

Аннотация

Шоман О.В. Геометрическое моделирование лучевого энергообмена между аналитически заданными поверхностями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский государственный технический университет строительства и архитектуры, Украина, Киев, 1998.

Диссертация посвящена созданию геометрического метода определения угловых коэффициентов излучения (УКИ) при лучевом энергообмене между аналитически заданными поверхностями. В методе осуществлено построение радиально-параллельных проекций (RP-проекций) поверхностей средствами компьютерной графики. Угловые коэффициенты излучения получены для случаев энергообмена между каналовыми поверхностями. Алгоритмы реализованы в виде PASCAL-программ. В методе учтен характерный для каналовых поверхностей эффект самозаслонения. Решена задача самооблучения винтовой каналовой поверхности для витка. Результаты диссертации нашли применение в научных исследованиях оптических систем передачи информации, в разработках современных теплообменников, в проектировании установок полимеризации изоляционного покрытия проводов.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, угловой коэффициент излучения (УКИ), радиально-параллельная проекция (RP-проекция), винтовая каналовая поверхность.

Annotation

Shoman O.V. Geometrical modelling of energy exchange by radiation between surfaces presented by analytical form. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 05.01.01 - applied geometry, engineering graphics. - Kyiv State Technical University of Building and Architecture, Ukraine, Kyiv, 1998.

The dissertation is devoted to the creation of geometrical method for view factor definition during radiation energy exchange between surfaces presented by analytical form. In this method construction of radial parallel projections (RP-projections) of surfaces has been carried out by means of computer graphics. View factors have been obtained for cases of energy exchange between channel surfaces. Algorithms have been realized as PASCAL-programs. Typical channel surfaces effect of hiding parts of surface by itself has been taken into account in the method. The self-irradiation problem of screw channel surface has been solved for the whole turn. The results of the work have found an utility in the scientific investigations of optical systems of transmitting information, in elaborating modern thermal energy exchange devices, in the design of wire isolation polymerisation units.

Key words: geometrical modelling, view factor, radial parallel projection (RP-projection), screw channel surface.

випромінювання променевий енергообмін

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Потреба у розрахунках променевого енергообміну між поверхнями складної просторової форми виникає під час досліджень великої кількості задач у галузі техніки та технології. Розв'язання цих задач має важливе значення для становлення економіки України як молодої незалежної держави. Серед прикладів таких впроваджень та конкретних систем поверхонь А і В, які приймають участь у променевому енергообміні (позначати це будемо так А В), назвемо теоретичні розрахунки для: нагрівання котлів (факел полум'я низка труб у об'ємі печі); скловарного виробництва (джерело тепла скляна маса, що застигає); аналізу пожеж (поверхня вогню будівельні конструкції або спорядження пожежника); накачки лазерів (спіралеподібна лампа циліндрична активна речовина); космічних досліджень (сонце конструкції космічного апарату) тощо.

Ефективність чисельних розрахунків променевого енергообміну багато в чому залежить від можливостей методу обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання (ККВ) - тобто геометричних факторів, що характеризують частку променевого потоку, який випромінюється однією поверхнею і досягає другої поверхні. ККВ чисельно дорівнює значенню поверхневого інтегралу спеціального виду. Для реальних поверхонь обчислення таких інтегралів складає самостійну проблему. Аналітичний розв'язок тут можливий лише для обмеженої кількості поверхонь нескладної просторової форми. На практиці використовуються чисельні розв'язки з застосуванням обчислювальної техніки. Але при цьому алгоритмічна реалізація пов'язана з аналізом затінення поверхні - тобто з виявленням фрагментів поверхні, які будуть закриті або іншою поверхнею, або тією ж поверхнею (як у випадку спіралеподібної поверхні). Досвід показує, що цю складову частину алгоритмів важко формалізувати. Тому доцільним буде розробка такого методу обчислення ККВ, який би не спирався на аналіз самозатінення поверхонь.

Серед графічних методів обчислення ККВ увагу привертає метод сфери одиничного радіуса (метод В. Нусельта). Цей метод дозволяє обчислювати значення локальних ККВ шляхом побудови низки радіально-паралельних проекцій однієї з поверхонь, яка бере участь у енергообміні. Оскільки побудова проекцій є предметом досліджень прикладної геометрії та комп'ютерної графіки, то виникла думка модифікувати метод сфери одиничного радіуса за допомогою R-функцiй - як математичного апарату, що дозволяє описувати компоненти проекцiювання. Використання R-функцiй дало змогу взятися за розробку методу складання для ЕОМ алгоритму обчислення локальних та інтегрального ККВ щодо променевого енергообміну між поверхнями, які задані аналітично (тобто у вигляді неявних або параметричних рівнянь).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках науково - дослідної програми кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки ХДПУ.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є створення методу обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання для розрахунку енергообміну між поверхнями, які задано аналітично у вигляді рівнянь, на базі побудови засобами машинної графіки радіально-паралельних проекцій однієї з поверхонь. Для досягнення цієї мети у дисертації поставлено такі основні задачі:

- виявити геометричні інваріанти енергообміну між поверхнями, що дозволить обчислювати ККВ методом “оберненого променя”;

- розробити прийнятний для інженерної практики метод побудови радіально-паралельної проекції даного об'єкта, коли: а) об'єкт описано рівнянням у неявному вигляді; б) об'єкт описано рівнянням у параметричному вигляді;

- скласти алгоритми обчислення значень локальних та інтегрального ККВ при енергообміні між каналовою поверхнею з віссю у вигляді гвинтової лінії та одним витком цієї ж поверхні (задача самоопромінювання спіралі), або елементом деякої іншої поверхні (задача самозатінення спіралі);

- перевірити вірогідність розглянутого методу шляхом розв'язання тестових прикладів;

- обчислити значення локальних та інтегрального ККВ під час розв'язання реальних задач.

Наукову новизну роботи має новий метод обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання для розрахунку енергообміну між аналітично заданими поверхнями, складовими частинами якого є:

- означення операціїї RP-проекціювання, яка дозволяє одержати на картинній площині рівняння в неявному вигляді обрису радіально - паралельної проекції просторового геометричного об'єкта, описаного рівнянням у неявному вигляді;

- точний опис RP- проекцій для поверхонь певного класу;

- метод обчислення поверхневих інтегралів спеціального виду.

Вiрогiднiсть та обгрунтованість одержаних результатів підтверджується доведенням аналітичних залежностей та побудованими за допомогою комп'ютера графічними зображеннями радіально - паралельних проекцій для тестових прикладів, а також розрахунками реальної задачі енергообміну випромінюванням в процесі впровадження методу в практику.

Практичне значення дисертації полягає в можливості на iї теоретичній базі розробити та впровадити в реальну практику алгоритми обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання для розрахунку енергообміну між довільними аналітично заданими поверхнями.

Реалізація роботи відбулася в науково - дослідному технологічному інституті приладобудування Мінмашпрому України - для розрахунку параметрів приладів оптичних систем передачі інформації; в Українському науково-дослідному та конструкторському інституті хімічного машинобудування - для розрахунку геометричних параметрів хімічних теплообмінників; на підприємстві “ЯСОН LTD” - для розрахунку параметрів устаткування для виготовлення ізоляції електричних дротів. Реалізації підтверджуються довідками про можливість використання запропонованої у роботі методики.

Особистий внесок здобувача полягає в розробці теоретичної бази та в складанні алгоритмів обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання для розрахунку енергообміну між системою об'єктів, одним з яких є спіралеподібна поверхня.

Методика досліджень. В роботі використовується математичний апарат R-функцiй, що дає змогу описувати просторові геометричні об'єкти та їх радіально-паралельні проекції рівняннями у неявному вигляді. Застосовуються положення прикладної геометрії, теорії променевого енергообміну, чисельних методів.

Теоретичною базою досліджень послужили роботи вчених:

- в галузі аналітичного моделювання об'єктiв - В.Є. Михайленка, А.В. Павлова, В.М. Найдиша, О.Л. Пiдгорного, А.М. Пiдкоритова, С.М. Ковальова, I.А. Скидана, Ю.I. Бадаєва, В.Л. Рвачова, Ю.Г. Стояна;

- в галузі променевого енергообміну - А.В. Арендарчука, Н.А. Рубцова, Ю.А. Сурінова, В.А. Лебедєва, М.М. Мельмана, А.Н. Мінаєва, С.И. Решетняка, А. Шапіро.

На захист виносяться положення, які складають наукову новизну результатів досліджень, а також програмне забезпечення для обчислення ККВ при енергообміні між аналітично заданими поверхнями.

Апробація роботи. Основні положення дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на 3-й та 4-й Міжнародних науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м.Мелiтополь; 1996 та 1997 рр.), на науково-методичній конференції “Інженерна графіка та геометричне моделювання із застосуванням комп'ютерної технології” (м. Рівне; 1997 р.), на Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м.Харків; 1998 р.), а також на семінарах провідних кафедр графічного профілю вищих технічних навчальних закладів України.

Кількість публікацій за темою роботи складає 5 найменувань.

2. Змiст роботи

У вступi розкривається сутність і стан наукової проблеми та ії значущість, обгрунтовується актуальнiсть теми дослiджень, проведено критичний огляд лiтературних джерел, сформульовано мету та задачi дисертацiйноi роботи, її наукову новизну та практичне значення.

У першому розділі дано означення кутових коефіцієнтів випромінювання (ККВ) та розглянуто існуючі графічні методи їх обчислення.

На рис.1 зображено схему енергообміну між двома поверхнями - випромінюючою (А) і сприймаючою (В). Виберемо на поверхнях А і В елементарні ділянки dА і dВ. Позначимо через і гострі кути між нормалями до ділянок dA і dВ і напрямом випромінювання, а через r_MN - відстань між центральними точками M і N ділянок dА і dВ відповідно.

Рис.1. Схема енергообміну між поверхнями

При вивченні радіаційного енергообміну між реальними поверхнями велике значення має фактор взаємної видності точок M і N на поверхнях А і В. Припускається, що точки M і N є взаємно видимі; тобто відрізок MN не повинен мати з поверхнями А і В інших точок, відмінних від M і N.

Як відомо, відношення потоку випромінювання, що виходить з ділянки dA і падає на поверхню В, до всього потоку, що випромінюється ділянкою dA у півсферу, зветься локальним ККВ і визначається значенням поверхневого інтегралу

. (1)

При складанні алгоритму обчислення таких інтегралів необхідно враховувати факт належності точки N до ділянки поверхні В, зверненої до А. Це дуже актуально у випадку неопуклої поверхні В (далі буде розглянуто одну з таких поверхонь - гвинтову спіраль). Тому в керуючий алгоритм компонентом повинен входити алгоритм аналізу самозатінення поверхні. Але, як показують дослідження з комп'ютерної графіки, процес виявлення ділянок самозатінення поверхні погано формалізується, в результаті чого інтегрування можна здійснити лише за допомогою малоефективного “крокування” по поверхні В.

Задача буде ще важчою при складанні алгоритму обчислення інтегрального ККВ

(тут А в знаменнику означає величину площі ділянки поверхні А, зверненої до поверхні В). У цьому випадку необхідно провадити аналіз самозатінення поверхні В для кожної точки ділянки поверхні А, зверненої до В. Легко зрозуміти неперспективність алгоритмів, які базуються на стратегії “крокування точками”, що розташовані на взаємно звернених ділянках реальних поверхонь А і В (тобто на стратегіі повного перебору точок).

Особливо це стосується “трубоподібних” каналових поверхонь, що належать, наприклад, до гвинтових спіралей (рис.2). Дійсно, в цьому випадку деякі витки спіралі будуть затінювати фрагменти інших витків. Для визначення таких ділянок поверхонь необхідно складати алгоритм, комп'ютерна реалізація якого потребує обробки великого об'єму графічної інформації. При цьому на поверхні гвинтової спіралі необхідно визначити множину точок, що будуть невидимі відносно деякої точки. В роботі зазначено, що ця множина точок складається з таких невидимих точок: i) тих, що розташовані “за обрієм” поверхні гвинтової спіралі, а також ii) тих, що закриті витками цієї ж каналової поверхні.

Рис.2. Ефект самозатінення поверхні спіралі



Рис.3. Побудова радіально- паралельної проекції

Для обчислення ККВ на практиці доцільно застосовувати універсальний метод сфери одиничного радіуса, який запропонував В. Нусельт. Суть методу полягає в такому. Спочатку виберемо площину , що є дотичною до елемента dA і проходить через його центральну точку. З цієї ж точки будуємо півсферу одиничного радіуса, що спирається на площину . З центру півсфери на її поверхню радіально проекціюємо задану поверхню В. Отриману радіальну проекцію поверхні В ортогонально спроекціюємо на дотичну площину . В результаті одержимо радіально-паралельну проекцію поверхні В (скорочено RP-проекцію В).

Твердження 1. Чисельне значення локального ККВ (1) дорівнює відношенню площі RP-проекції поверхні В до площі великого круга сфери одиничного радіуса.

Отже, для обчислення локального ККВ методом сфери одиничного радіуса необхідно оцінити площу RP-проекції. В роботах Л.М. Куценка пропонується цю оцінку здійснити на базі опису RP-проекції поверхні В у вигляді нерівності f (x, y) 0. Для цього слід обрати декартову систему координат Oxyz з початком в центральній точці елемента dA, координатну площину Oxy сумістити з площиною , а вісь Oz направити у напрямі зовнішньої нормалі до елемента dA (рис. 3). Тоді маючи на увазі знак функції f, засобами комп'ютерної графіки можна побудувати растрове зображення RP-проекції, яке суміщується з растровим зображенням круга одиничного радіуса. Наближене значення локального ККВ буде дорівнювати відношенню кількості растрових точок, що складають зображення RP-проекції та круга одиничного радіуса.

Проведений критичний аналіз літературних джерел у галузі створення методу обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання для розрахунку енергообміну між аналітично заданими поверхнями на базі побудови засобами комп'ютерної графіки радіально-паралельних проекцій однієї з поверхонь, показав, що невирішеними є питання:

- виявлення геометричних інваріантів енергообміну між поверхнями, що дозволить обчислювати ККВ значно простіше - методом “оберненого променя”;

- розробки придатного для інженерної практики методу побудови радіально-паралельної проекції заданого об'єкта, коли:

а) об'єкт описано рівнянням у неявному вигляді;

б) об'єкт описано рівнянням у параметричному вигляді;

- складання алгоритму обчислення значень локальних та інтегрального ККВ при енергообміні між каналовою поверхнею з віссю у вигляді гвинтової лінії та одним витком цієї ж поверхні (задача самоопромінювання спіралі), або елементом деякої іншої поверхні (задача самозатінення спіралі);

Піддано критичному аналізу відомий алгоритм обчислення локальних ККВ, запропонований М.О.Рубцовим та В.О.Лебедєвим. Серед недоліків помічено, що алгоритм

- не обійшов розв'язання проблеми самозатінення поверхні;

- не є адитивним відносно логічних операцій над поверхнями, які приймають участь у променевому теплообміні;

- потребує суттєвого коректувати після геометричного редагування поверхонь, які приймають участь у енергообміні.

Вищенаведене вказує на актуальність обраної теми роботи.

В другому розділі дисертацiї розглядаються теоретичнi основи методу сфери одиничного радіуса, який модифіковано за допомогою R-функцій.

В роботі застосовано такі означення. Зверненими фрагментами А_О і В_О поверхонь А і В названо їх ділянки, які складаються зі взаємно видимих точок. Звернені фрагменти складаються з частково і повністю звернених фрагментів вихідних поверхонь. Частково зверненими фрагментами А_Ч і В_Ч поверхонь А і В названо їх ділянки, з точок яких іншу поверхню видно не повністю. Повністю зверненими фрагментами А_П і В_П поверхонь А і В названо їх ділянки, з точок яких іншу поверхню видно повністю. Наголошено на тому, що в літературі з променевого енергообміну такий геометричний аналіз не провадиться, тому далі під А та В будемо розуміти звернені ділянки поверхонь.

Зазначено, що при розрахунку променевого енергообміну велике значення має відношення потоку випромінювання до щільності потоку, що надходить з поверхні А у навколишній простір. Тобто Н_A-B=AF_A-B, де А - площа ділянки поверхні А, зверненої до поверхні В, а F_A-B - інтегральний ККВ. Величина Н_A-B має розмірність і фізичне значення взаємної поверхні взаємодіючих поверхонь А і В. Площа цієї поверхні обчислюється за допомогою формули Н_A-B = A F_A-B. Взаємна поверхня використовується в інтегральній геометрії (міра Крофтона). У зв'язку з цим взаємну поверхню Н_А-В можна розглядати як міру чотиривимірної множини променів, що перетинають довільно орієнтовані у просторі поверхні А і В. Останнє виходить з визначення поверхонь тіл, що обмінюються променями, як мір двовимірної множини точок, які являють собою джерела гомоцентричних пучків променів. Враховуючи це, в роботі прийнято припущення, згідно якого Н_A-B = Н_В-А, або

A F_A-B = В F_B-A.. (2)

Тут А та В - площі ділянок взаємозвернених поверхонь, а F_A-B i F_В-А - інтегральні ККВ. Зазначено, що співвідношення Н_A-B = Н_В-А в теорії енергообміну випромінюванням можна використовувати як геометричну характеристику випромінюючих систем, що залишається незмінною при зміні напряму переносу випромінювання (тобто як геометричний інваріант випромінювання).

Розглянутий інваріант дозволяє враховувати геометричні особливості енерговипромінюючих і енергосприймаючих поверхонь і проводити кількісні розрахунки енергообміну. Зокрема, прийом зміни напряму випромінювання зручно використовувати в алгоритмах розрахунку променистого енергообміну у випадку, якщо поверхня В є “трубоподібною” каналовою гвинтовою спіраллю. Підкреслено, що для інженерних розрахунків величину площі взаємної поверхні одержують переважно на основі експериментів. Тому доцільними будуть дослідження в галузі теорії чисельних методів обчислення площі взаємної поверхні для аналітично заданих енерговипромінюючих і енергоcприймаючих поверхонь.

Рис.4. Побудова RP-проекції сферичної поверхні

В роботі показано, для яких випадків RP-проекцію можна описати точно. Нехай поверхня B описана у декартовій системі координат 0xyz. На загальний перебіг міркувань не вплине те, що центральна точка елемента A буде збігатися з початком координат цієї системи, а дотична площина - з координатною площиною 0xy. Тому рівняння півсфери з радіусом, що дорівнює одиниці, яка опирається на дотичну площину, запишемо у вигляді Нагадаємо, що необхідно вказати алгоритм побудови функції f(x,y), кресленням якої була б RP-проекція поверхні В. Зазначено, що коли поверхня В має спільні точки з зазначеною півсферою, то RP-проекцію лінії перетину цих поверхонь можна описати рівнянням F(x,y, ) = 0. Твердження 2. Рівняння RP-проекції сфери з радіусом r і з центром в точці (a, b, c) має вигляд

. (3)

Координати RP-проекції центра сфери обчислюються за формулами

Зазначено, що у деяких окремих випадках є можливість знайти точний опис RP-проекції. Мова йде про два випадки: а) поверхня В вироджується у фігуру, що задана на довільній площині рівня; б) поверхня В є поверхнею другого порядку.

Твердження 3. Нехай фігура В задана на площині рівня x = x_p рівнянням F(y, z) = 0. Тоді рівняння RP-проекції В має вигляд

. (4)

Твердження 4. Нехай фігуру В задано на площині рівня z = z_p рівнянням F(x, y) = 0. Тоді рівняння RP-проекції В матиме вигляд

(5)

Твердження 5. Рівняння RP-проекції поверхні другого порядку

P(x,y,z)=a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+

2a₂₃yz+2a₁x+2a₂y+2a₃z+a=0

має вигляд

(6)

Приклад. Рівняння конічної поверхні з вершиною в точці (a, 0, b) і описаної навколо еліпсоїда обертання

( x² +(y - y₀)² ) / r f² + z²/ hf² = 1

має вигляд

F (x, y, z) (a (x-a)/rf²+b (z-b)/hf²) ² - (7)

- ((x-a) ²/rf2+(y-y0) ²/rf² +(z-b) ²/hf²) (a²/rf²+b²/hf²-1) =0.

Тоді буде рівнянням RP - проекції еліпсоїда, де функцію F надано виразом (7).

Твердження 6. Нехай поверхня В має спільні точки з півсферою з радіусом, що дорівнює одиниці (рис.5). Тоді RP-проекція лінії перетину зазначених поверхонь може описуватися рівнянням

F(x,y, ) = 0. (8)

Твердження 7. Нехай поверхня В: F(x,y,z) = 0 розташована між двома концентричними півсферами з радіусами t_min i t_max і з центрами, що співпадають з початком координат (рис.6).

Рис.5. Півсфера одиничного радіуса

Рис.6. Побудова гомотетії геометричного об'єкта

Нехай також поверхня В підлягає перетворенню гомотетії відносно початку координат. З ряду гомотетій оберемо дві “фази” - поверхні C i D, дотичні до півсфери з радіусом, що дорівнює одиниці, відповідно всередині і зовні. Тоді C:

F(xt_min, yt_min, zt_min) = 0, D: F(xt_max, yt_max, zt_max) = 0.

З твердження 7 виходить наступне важливе положення: якщо змінювати параметр t в інтервалі [t_min, t_max], то рівнянням F(xt, yt, zt) = 0 , будуть описані гомотетії поверхні В, що “проходять крізь” півсферу з радіусом, що дорівнює одиниці, від “фази” С до “фази” D (рис.6).

Твердження 8. Нехай поверхня B: F(x,y,z) = 0 розташована між концентричними сферами з радіусами t_min i t_max (t_min < t_max) відповідно з центрами в початку координат. Тоді на площині 0xy послідовність рівнянь

Рис.7.Геометричні параметри формули (11)

, (9)

де t_i = [(n - i) t_min + it_max] / n при n збігається до рівняння f(x,y) = 0 RP-проекції поверхні В.

Далі розглянуто опис каналової поверхні, у якої віссю є гвинтова лінія (спіраль). При цьому гвинтову лінію задано рівняннями

(10)

Тут t - довжина дуги лінії, h=2B - крок гвинта, А - радіус “намотки” гвинтової лінії. Рівняння гвинтової спіралі матиме вигляд

(11)

.

Тут r > 0 - радіус “дроту” спіралі. При цьому слід враховувати, що координатам (t, ) та (t, +2) відповідає одна і та ж точка на спіралі, та що повинна виконуватись умова Ar < A² + B². Інші величини, які входять до формули (11), ілюструються на рис.7.

У третьому розділі наведено алгоритм обчислення локальних ККВ для спіралеподібної поверхні.

Розглянуто алгоритм для аналіза замозатінення спіралі. Зазначено, що довільна точка М на поверхні гвинтової спіралі (рис.2) буде видимою з точки спостереження К у разі виконання двох умов:

i) якщо додатне значення має косинус кута між вектором нормалі до поверхні в точці М та вектором МК;

ii) якщо ніяка сфера з центром на гвинтовій лінії не перетинає відрізок МК.

Показано, що умову ii) доцільно замінити іншою умовою, яка базується на понятті нормальної функції відрізка:

ii^*) якщо додатним буде значення виразу f(x_T, y_T, z_T )-r, де r>0 - радіус каналу гвинтової спіралі, f(x,y,z) - нормальна функція відрізка МК, Т(x_T, y_T, z_T ) - точка на гвинтовій лінії.

У роботі використано таку нормальну функцію відрізка, який сполучає точки М(x_M,y_M,z_M) та К(x_K,y_K,z_K):

, (12)

де ;

.

Для наочності видимі точки запропоновано зображувати на псевдорозгортці гвинтової спіралі. Псевдорозгортку матимемо тоді, коли “розрізати” поверхню гвинтової спіралі за “меридіаном” = 0, а потім умовно розгорнути розрізану поверхню на площину. На рис. 8 наведено приклад розгортки гвинтової спіралі (кільцями позначено невидимі точки).

Варіант обчислювався для спіралі з параметрами: А = 8; r = 2; w = h / r = 5. Кількість витків - 9. Координати спостерігача обрано К(70; 0; 0). На рис. 8 наведено розгортки 4 - 9-го витків (рядок зображення відповідає поверхні одного витка). Перед зображенням розгортки останнього витка наведена кількість видимих і невидимих точок. Ця інформація необхідна для розрахунку енергії випромінювання. На рис.9 надано наглядні приклади зображення гвинтової спіралі.

Як приклад, на рис. 10 наведено зображення RP-проекції спіралі, вісь якої розташована на деякій відстані паралельно тій площині, на яку спирається півсфера одиничного радіуса.

Позначимо через W всю поверхню гвинтової спіралі, а через V -поверхню одного з ії витків. Елементарні ділянки цих поверхонь позначимо як dW та dV. Нехай r - відстань, яка вимірюється вздовж миттєвого напряму випромінювання, що відповідає ділянкам dW та dV. Через та позначимо гострі кути, які утворює напрям з перпендикулярами до поверхні спіралі, проведеними через центральні точки dW та dV.

Рис. 8. Псевдорозгортка 4 - 9-го витків поверхні спіралі (кільцями позначено невидимі точки)

“а”“б”“в”

Рис. 9. Наочні зображення гвинтової спіралі в залежності від відстані спостереження: “а” - 70; “б” - 120; “в” - 210.

Рис.10. Растрове зображення RP-проекції гвинтової спіралі

Міру самоопромінювання спіралі будемо визначати шляхом обчислення інтегрального кутового коефіцієнта випромінювання (ККВ)

, (13)

де внутрішній інтеграл ( позначимо його F_dV-W ) визначає локальний ККВ між елементарною ділянкою dV поверхні одного витка спіралі і всією ії поверхнею W.

Локальний ККВ обчислювався шляхом побудови засобами комп'ютерної графіки радіально - паралельної проекції спіралі W на площині, що є дотичною до поверхні витка V в центральній точці елементарної ділянки dV.

Інтеграл для знаходження площі елемента dV поверхні спіралі є еліптичним і точно не обчислюється. Тому елемент поверхні спіралі був замінений на елемент поверхні тора (рис.11). Знайдено формули для обчислення площі поверхні тора між двома його паралелями.

При обчисленні інтегральних ККВ припускається, що RP-проекції поверхні спіралі є незмінними для усіх dV, для яких параметр t змінюється у межах “від мінус піввитка до плюс піввитка”.

Значення інтегрального ККВ знаходилось за формулою

(14)

де V - площа поверхні одного витка спіралі, S_i - площі k штук торових поверхонь між його паралелями, - значення локального ККВ для елемента dS_i з центральною точкою, розташованою на поверхні нормальної площини при t=0.

Наведемо опис алгоритму обчислення інтегральних ККВ.

1. Обирається значення параметра гвинтової лінії (наприклад, t=0) . Цим задається нормальна січна площина каналу спіралі.

2. На січній площині визначається кут _i (початковий кут ₁=0). Обчислюються відповідні до цього кута координати точки (x,y,z) і координати {x_A, y_A, z_A}вектора нормалі до поверхні спіралі.

3. У системі координат Oxyz спіраль переноситься так, щоб точка (x, y, z) на ії поверхні збіглася б з початком координат.

4. Шляхом обертання спіралі у просторі досягається збіг напряму вектора {x_A, y_A, z_A} з віссю Oz.

5. Методом сфери одиничного радіуса із застосуванням алгоритмів комп'ютерної графіки для побудови RP-проекцій обчислюється локальний ККВ для кута ₁. Значення запам'ятовується.

6. Куту ₁ надається приріст ₂ = ₁ + , і, починаючи з пункту 2 цього алгоритму, всі операції повторюються. Якщо величина кута _К виявиться більшою, ніж 360⁰, то слід перейти до виконання п.7.

7. Обчислюються значення dS_i, що відповідають кутам _i.

8. За формулою (14) обчислюється значення інтегрального ККВ.

На рис.12 зображена низка RP-проекцій поверхні спіралі для кута у межах 0 360⁰ з кроком 30⁰. Параметри спіралі: кількість витків - 21, радіус каналу - r = 1, радіус намотки осі спіралі - A = 10, коефіцієнт самозатінення спіралі (тобто відношення величини кроку спіралі до радіусу ії каналу) - 5. На рис.12 наведено графіки залежності інтегрального ККВ від коефіцієнта самозатінення спіралі. У наведеному прикладі досліджено самоопромінювання одинадцятого витка.

Рис. 12. Залежність інтегрального ККВ від w

Алгоритми обчислення локального ККВ базуються на знаходженні відношення значень площ RP-проекції поверхні і круга з радіусом одиниця. При цьому малося на увазі, що відомий опис її RP-проекції рівнянням у вигляді f(x,y) = 0. Отже, всі точки растру у крузі з радіусом, що дорівнює одиниці, за допомогою функції f(x,y) можна розділити на два класи - ті, що належать, і ті, що не належать до RP-проекції.

Це легко зробити, якщо враховувати знак функції f(x,y). Нехай для растру з кроком зображення RP-проекції поверхні спіралі і круга одиничного радіуса складаються, з M і N пікселів. Тоді значення локального ККВ дорівнює F_dВ-A=M/N. Далі обчислення повторюються для растру з кроком /2. Розрахунок локального ККВ припиняється, якщо буде виконуватися нерівність

, (15)

де -задана величина.

В четвертому розділі наведено приклади впровадження методу обчислення ККВ. Зокрема, наведено алгоритми розрахунку енергообміну між конкретними геометричними об'ктами типу гвинтова спіраль поверхня циліндра..

Спільною ознакою для розглянутих задач є те, що енергію (теплову, світлову, тощо) в них випромінює гвинтова спіраль (тобто поверхня, що має форму каналової поверхні, у якої віссю є гвинтова лінія), а сприймаючою є циліндрична поверхня. Мається на увазі, що енергію у навколишній простір випромінює вся поверхня спіралі. Необхідно оцінити частку енергії, яка потрапляє на певну ділянку поверхні циліндра.

Крим того, при розрахунках необхідно враховувати, що деякі витки спіралі будуть екранувати випромінювання інших витків. Це спричинятиме марні витрати енергії випромінювання. Отже, на практиці необхідно оцінити частку енергії, яка потрапляє на поверхню одного з наперед обраних витків цієї ж спіралі.

Остання задача має важливе практичне значення. Тому при розрахунках необхідно провадити геометричний аналіз самозатінення витків гвинтової спіралі. Розв'язання цієї задачі дозволяє звести до мінімуму витрати енергії шляхом раціонального вибору геометричних параметрів компонентів енергообміну.

В роботі одержані значення залежностей інтегрального кутового коефіцієнта випромінювання від коефіцієнта самозатінення спіралі.

Серед конкретних задач, які розглянуто у роботі, назвемо

- розрахунок променевого енергообміну у оптоволоконних лініях зв'язку; показано, який локальний кутовий коефіцієнт випромінювання необхідно розрахувати, для того щоб забезпечити оптоволокну широку смугу пропускання сигналу;

- розрахунок режиму полімеризації ізоляційного покриття електричних дротів; показано, що тут необхідно провести геометричний аналіз самозатіненням витків ніхромової спіралі, що є джерелом тепла.

- розрахунок променевого теплообміну для тепломасообмінних агрегатів хімічного виробництва.

Наголошується, що дисертація присвячена геометричним, а не фізико-технологічним питанням щодо конструкцій устаткування. В ній лише доводиться ефективність розглянутих алгоритмів обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання у відповідних впровадженнях

Висновки

В роботi виконано дослiдження у галузi геометричного моделювання променевого енергообміну між поверхнями складної просторової форми. Зокрема, створено теоретичну основу комп'ютерних програм обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання (ККВ) для розрахунку енергообміну між поверхнями, які задано аналітично у вигляді рівнянь. При цьому одержано такi результати, що мають наукову та практичну цiннiсть.

1. Виявлено геометричні інваріанти процесу енергообміну між поверхнями, що дозволяє обчислювати ККВ методом “оберненого променя”.

2. Розроблено прийнятний для інженерної практики метод побудови радіально-паралельної проекції даного об'єкта, коли:

а) об'єкт описано рівнянням у неявному вигляді;

б) об'єкт описано рівнянням у параметричному вигляді.

3. Запропоновано метод обчислення інтегралів спеціального виду (міри Крофтона).

4. Розроблено метод розрахунку локальних ККВ.

5. Складено алгоритми обчислення значень локальних та інтегрального ККВ при енергообміні між такими системами поверхонь:

а) каналова поверхня з віссю у вигляді гвинтової лінії елемент деякої поверхні;

б) каналова поверхня з віссю у вигляді гвинтової лінії один виток цієї ж поверхні (задача самоопромінювання спіралі);

6. Розроблено метод розрахунку променевої енергії, що досягає точки зовні спіралі з урахування ефекту ії самозатінення.

7. Розв'язано ряд тестових прикладiв обчислення ККВ.

8. Результати роботи впроваджено: а) в науково - дослідному технологічному інституті приладобудування Мінмашпрому України -для розрахунку геометричних параметрів приладів оптичних систем передачі інформації; б) в Українському науково-дослідному та конструкторському інституті хімічного машинобудування - для розрахунку геометричних параметрів хімічних теплообмінників; в) на підприємстві “ЯСОН LTD” - для розрахунку геометричних параметрів устаткування для виготовлення ізоляції електричних дротів.

Основнi положення дисертацiї опублiкованi у таких роботах

1. Куценко Л.Н., Шоман О.В. Приближенный метод вычисления локальных угловых коэффициентов излучения // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - Київ: КДТУБА, 1996. - Вип. 60. - С. 46-49.

2. Шоман О.В. Вычисление угловых коэффициентов при энергообмене между трубообразными поверхностями // Тр. 4-й Межд. научно-практич. конф. “Современные проблемы геометрического моделирования”. - Мелитополь: ТГАТА, 1997. - Ч. 3. - С. 43-48.

3. Шоман О.В. Геометрические инварианты теории лучевого энергообмена между поверхностями // Тр. Таврической государственной агротехнической академии. - Мелитополь: ТГАТА, 1997. - Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. - Т. 1. - С. 99-102.

4. Шоман О.В. Аналіз видимості точок, які розташовані на каналовій трубоподібній поверхні // Зб. пр. Міжнар. науково-практичної конф. “Сучасні проблеми геометричного моделювання”. - Харків: ХІПБ МВС України, 1998. - Ч. 2. - С. 69-73.

5. Шоман О.В. Дослідження самоопромінювання каналової поверхні, у якої віссю є гвинтова лінія. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - Київ: КДТУБА, 1998. - Вип. 63. - С. 213-216.

Размещено на Allbest.ru