Обобщенные модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

по вычислительной техники и программированию

ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ

Обобщенный подход базируется на понятии агрегативной системы (от англ., aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть А-схемой. Этот подход позволяет описывать поведение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем.

Комплексное решение проблем, возникающих в процессе создания и машинной реализации модели, возможно лишь в случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую формальную математическую схему, т. е., А-схему. А-схема должна выполнять несколько функций:

- являться адекватным математическим описанием объекта моделирования;

- позволять в упрощенном варианте (для частных случаев) проводить аналитические исследования.

Представленные требования несколько противоречивы, но в рамках обобщенного подхода на основе А-схем удается найти между ними компромисс.

При агрегативном подходе первоначально дается формальное определение объекта моделирования - агрегативной системы. При агрегативном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. В случае сложной организации полученных подсистем, подсистемы декомпозируются до уровней в которых они могут быть удобно математически описаны. В результате сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

Элементом А-схемы является агрегат. Связь между агрегатами (внутри системы S и с внешней средой E) осуществляется с помощью оператора сопряжения R.

Агрегат может рассматриваться как А-схема, т. е., может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня.

Характеристиками агрегата являются множества моментов времени Т, входных X и выходных Y сигналов, состояний Z в каждый момент времени t.

Пусть переход агрегата из состояния z(t₁) в состояние происходит за малый интервал времени z. Переходы из состояния z(t₁) в z(t₂) определяются внутренними параметрами агрегата.

В начальный момент времени t₀ состояния z имеют значения, равные z, т. е., z=z(t₀), которые задаются законом распределения L. Пусть изменение состояния агрегата при входном сигнале х_п описывается случайным оператором V. Тогда для момента времени при поступлении входного сигнала х_n состояние определяется (1).

(1)

Если на интервале времени нет поступления сигналов, то для состояние агрегата определяется случайным оператором U, это можно записать как - (2).

(2)

Так как на оператор U не накладываются ни какие ограничения, то допустимы скачки состояний z в моменты времени, не являющимися моментами поступления входных сигналов x.

Моменты скачков z называются особыми моментами времени t_s, состояния z(t_s) - особыми состояниями А-схемы. Для описания скачков состояний z в особые моменты времени t_s используется случайный оператор W, который представляет собой частный случай оператора U (3).

(3)

На множестве состояний Z выделяется такое подмножество Z^(Y), что если z (t) достигает Z^(Y), то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала.

Выходной сигнал можно описать оператором выходов (4).

(4)

Агрегатом будем понимать любой объект, который описывается следующим образом (5).

(5)

Структура агрегативной системы.

Рассмотрим А-схему, структура которой приведена на рис.

Рисунок - Структура агрегата системы:

Функционирование А-схемы связано с переработкой информации, передача последней на схеме показана стрелками. Вся информация, циркулирующая в А-схеме, делится на внешнюю и внутреннюю. Внешняя информация поступает от внешних объектов, внутренняя информация вырабатывается агрегатами самой А-схемы. Обмен информацией между А-схемой и внешней средой Е происходит через агрегаты, называющиеся полюсами А-схемы.

Различают входные полюсы на которые поступают x-сообщения (агрегаты A_t А₂, А_б), и выходные полюсы А-схемы, выходная информация которых является у - сообщениями (агрегаты А₁ А₃, А₄, А₅, А₆). Агрегаты, не являющиеся полюсами, называются внутренними.

Каждому агрегату А-схемы А_п подводятся входные контакты (I_n) с элементарными входными сигналами x_i(t), i = 1I_n, и выходные контакты (J_n) с сигналами y_j(t), j = 1J_n.

Введем ряд предположений:

1) взаимодействие между А-схемой и внешней средой Е, а также между отдельными агрегатами внутри системы S осуществляется при передаче сигналов;

2) для описания сигнала достаточно некоторого конечного набора характеристик;

3) элементарные сигналы мгновенно передаются в А-схеме независимо друг от друга по элементарным каналам;

4) к входному контакту любого элемента А-схемы подключается не более чем один элементарный канал, к выходному контакту - любое конечное число элементарных каналов при условии, что ко входу одного и того же элемента А-схемы направляется не более чем один из упомянутых элементарных каналов.

Взаимодействие А-схемы с внешней средой Е рассматривается как обмен сигналами между внешней средой Е и элементами А-схемы, поэтому внешняя среда является фиктивным элементом системы А₀, вход которого содержит I₀ входных контактов и выход - J₀ выходных контактов. Можем записать контакты (6):

 (6)

Каждый агрегат, в т. ч., А_п можно охарактеризовать множеством входных контактов:

И множеством выходных контактов:

Пара множеств {X_i⁽ⁿ⁾}, {У_j⁽ⁿ⁾} представляют математическую модель агрегата, которая описывает сопряжения его с прочими элементами А-схемы и внешней средой Е.

В силу предположения о независимости передачи сигналов каждому соответствует не более чем один выходной контакт:

По входному контакту:

Введем оператор сопряжения R: оператор:

Y* = R * (X_i⁽ⁿ⁾)

С областью определения в множестве {X_i⁽ⁿ⁾} и областью значений {У_j⁽ⁿ⁾}, сопоставляющий входному контакту Х_iⁿ выходной контакт Y_jⁿ связанный с ним элементарным каналом.

Совокупность множеств {X_i⁽ⁿ⁾}, {У_j⁽ⁿ⁾} и оператор R представляют схему сопряжения элементов в А-схему. Это есть одноуровневая система сопряжения.

Оператор сопряжения R можно задать в виде таблицы, в которой на пересечении строк с номерами элементов (агрегатов) п и столбцов с номерами контактов i располагаются пары чисел k, l, указывающие номер элемента k и номер контакта l, с которым соединен контакт Х_i⁽ⁿ⁾. (таб.)

Таблица:

Если столбцы и строки такой таблицы пронумеровать парами n,i и k,l соответственно и на пересечении помещать 1 для контактов n,i и k,l, соединенных элементарным каналом и 0 в противном случае, то получим матрицу смежности ориентированного графа, вершинами которого являются контакты агрегатов, а дугами - элементарные каналы А-схемы.

В более сложных случаях могут быть использованы многоуровневые иерархические схемы сопряжения. Схема сопряжения агрегата, определяемая оператором R, может быть использована для описания весьма широкого класса объектов. Упорядоченную совокупность конечного числа агрегатов n = N_A и оператора R можно представить А-схемой при следующих условиях:

1) каждый элементарный канал, передающий сигналы во внешнюю среду должен начинается в одном из выходных каналов первого агрегата А-схемы; каждый элементарный канал, передающий сигналы из внешней среды должен заканчиваться на одном из выходных каналов А-схемы;

2) сигналы в А-схеме передаются непосредственно от одного агрегата к другому без устройств, которые способны отсеивать сигналы, по каким-либо признакам; детерминированный агрегативность моделирование

3) согласование функционирования агрегатов А-схемы во времени;

4) сигналы между агрегатами предаются мгновенно, без искажений и перекодирования, изменяющего структуру сигнала.

Размещено на Allbest.ru