Элементы теории графов. Сеть Петри. Конечный автомат

Размещено на http://www.allbest.ru

Вариант №8

Задача 1. Элементы теории графов

Связный ориентированный граф G(Х, Г) задан множеством вершин X={x1, x2, …, xn} и отображением Гxi={x|Ik|, x|Il|}, i =1, 2,…, n. Здесь i - текущий номер вершины, n- количество вершин графа. Значение индексов n, k и l взять из табл. 1 в соответствии с номером варианта. Индексы k и l формируют значения индексов , , … переменной x в отображении Гxi = {x , x , x,…}. Если значения индексов , , … переменной x не соответствуют ни одному из номеров вершин графа, то эта переменная не учитывается во множестве Гxi.

Выполнить следующие действия:

а) определить исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами;

б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов;

в) выделить в ориентированном графе два подграфа. Найти объединение, пересечение и разность подграфов;

г) описать систему уравнений, соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами xi и xj

i*j при i j;

Kij =

1/(p+1) при i<j .

Найти передачу между вершинами x1 и xn, используя правило Мезона. Построить структуру кибернетической системы, определяемой топологией графа.

Таблица 1

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
N	5	5	5	5	5	5	5	5	5	6	6	6	6	6	6
K	2	3	4	1	1	1	3	5	2	4	2	3	4	5	6
L	1	1	1	2	3	4	2	1	3	3	1	1	1	1	1
№ варианта	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
N	6	6	6	6	6	6	6	6	6	7	7	7	7	7	7
K	1	1	1	1	3	2	5	5	2	3	4	5	6	5	3
L	2	3	4	5	2	3	2	3	3	2	3	2	1	3	5

Решение:

Множество вершин X = {x1, x2, x3, x4, x5}, n = 5, k = 5, l = 1. Гxi={x|Ik|, x|Il|}.

а) определим исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами:

Определим граф аналитическим способом:

Гx1 = { x4, x2 };

Гx2 = { x3, x1 };

Гx3 = { x2, x4 };

Гx4 = { x1, x5, x3};

Гx5 = {x4}.

Ориентированный граф графическим способом:

Неориентированный граф графическим способом:

Ориентированный граф матричным способом:

RG - матрица смежности

	x1	x2	x3	x4	x5
x1	0	1	0	1	0
x2	1	0	1	0	0
x3	0	1	0	1	0
x4	1	0	1	0	1
x5	0	0	0	1	0

AG - матрица инцидентности

	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7	v8	v9	v10
x1	1	-1	0	0	0	0	0	0	1	-1
x2	-1	1	1	-1	0	0	0	0	0	0
x3	0	0	-1	1	1	-1	0	0	0	0
x4	0	0	0	0	-1	1	1	-1	-1	1
x5	0	0	0	0	0	0	-1	1	0	0

Неориентированный граф матричным способом:

RD - матрица смежности

	x1	x2	x3	x4	x5
x1	0	2	0	2	0
x2	2	0	2	0	0
x3	0	2	0	2	0
x4	2	0	2	0	2
x5	0	0	0	2	0

AD - матрица инцидентности

	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7	v8	v9	v10
x1	1	1	0	0	0	0	0	0	1	1
x2	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0
x3	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0
x4	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1
x5	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0

б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов:

- матрица отклонений; - вектор отклонения.

	x1	x2	x3	x4	x5
x1	0	1	2	1	2
x2	1	0	1	2	3
x3	2	1	0	1	2
x4	1	2	1	0	1
x5	2	3	2	1	0

=>

Центры графа - это вершины с наименьшей удаленностью. Периферийные вершины - вершины с наибольшей удаленностью. В данном случае периферийными вершинами являются две вершины x2, x4, а центрами графа являются три вершины x1, x3, x5. Тогда радиус с(G) =2, а диаметр графа D(G) = 3.

в) выделим в ориентированном графе два подграфа и найдем объединение, пересечение и разность подграфов:

Выделяем два подграфа: G1 и G2

X1 - {x1, x2}, Г1х1 = { x2 }, Г1х2 = {x1},

X2 - {x1, x2, x3}, Г2х1 = {x2}, Г2х2 = {x3}, Г2х3 = {x2}.

Объединение графов:

,

, , , .

G

Пересечение ,

, , .

G

Разностью графов G1(X1, Г1) и G2(X2, Г2) называется граф , где - дополнение по отображению графа G2 до насыщенного.

, где

.

Он имеет вид

;, .

Граф имеет вид:

G

г) i*j при i j;

Kij = 1/(p+1) при i<j .

Сигнальный граф имеет вид

Система уравнений, соответствующая сигнальному графу имеет вид

x1 = 2 x2 + 4x4

x2 = x1 +6x3

x3 =x2 +12 x4

x4 = x1 +x3 +20x5

x5 =x4.

Определить передачу k15 по правилу Мезона. Формула Мезона имеет вид

PS - передача пути,

DS - алгебраическое дополнение,

D - определитель.

Пути из х1 в х5:

.

Контура:

;

; ;

; .

;

Пары несоприкасающихся контуров L1L3, L1L4, L2L4, L2L5.

Отсюда

(L1L3+ L1L4+ L2L4+ L2L5).

D1 = 1- L2

D2 = 1.

.

Структура кинематической системы представлена на рисунке

Задача 2. Задача о максимальном потоке и потоке минимальной стоимости

На рисунке приведена транспортная сеть в виде ориентированного графа. На каждом из ребер через черту проставлены значения пропускной способности С() ребра и стоимость транспортировки единицы потока d() по этому ребру. Для заданной сети определить:

максимальный поток max транспортировки груза между указанной парой вершин, считая одну из них источником, а другую -- стоком.

стоимость доставки груза по путям, формирующим максимальный поток в сети.

Решение:

найдем максимальный поток max транспортировки груза между вершинами х1 и х8.

Первый шаг. 1. Находим какой-либо путь из х1 в х8 с положительной пропускной способностью.

Таблица 1

	x1	x2(1)	x3(2)	x4(2)	x5(1)	x6(2)	x7(6)	x8(2)
x1		3-			15
x2	0+		4	7	18	2		9-
x3		0		5
x4		0				15
x5	0	0				10		4
x6		0		0	0		11	11
x7						0		3
x8		0+			0	0	0

В результате получен путь l1 = (x1,x2,x8). Элементы этого пути Cij помечаем знаком минус, а симметричные элементы Cji - знаком плюс.

Определяем пропускную способность найденного пути, которая равна наименьшей из пропускных способностей дуг:

Определяем остаточные пропускные способности дуг найденного пути и симметричных ему дуг. Для этого из элементов табл. 1 вычитаем C1, а к элементам прибавляем C1. В результате получим новую табл. 2 с измененными пропускными способностями.

Tаблица 2

	x1	x2	x3	x4	x5(1)	x6(5)	x7(6)	x8(5)
x1		0			15-
x2	3		4	7	18	2		6
x3		0		5
x4		0				15
x5	0+	0				10		4-
x6		0		0	0		11	11
x7						0		3
x8		3			0+	0	0

Второй шаг. 1. Помечаем столбцы табл. 2, находим второй путь l2 = (x1, x5, x8) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l2

Изменим пропускные способности помеченных дуг на С2 в табл. 3.

Tаблица 3

	x1	x2	x3	x4	x5(1)	x6(5)	x7(6)	x8(6)
x1		0			11-
x2	3		4	7	18	2		6
x3		0		5
x4		0				15
x5	4+	0				10-		0
x6		0		0	0+		11	11-
x7						0		3
x8		3			4	0+	0

Третий шаг. 1. Помечаем столбцы табл. 3, находим третий путь l3 = (x1, x5, x6, x8) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l2

Изменим пропускные способности помеченных дуг на С3 в табл. 4.

Tаблица 4

	x1	x2	x3	x4	x5(1)	x6	x7	x8
x1		0			1
x2	3		4	7	18	2		6
x3		0		5
x4		0				15
x5	14	0				0		0
x6		0		0	10		11	1
x7						0		3
x8		3			4	10	0

Четвертый шаг. Просматривая строки, убеждаемся в том, что больше не существует ни одного пути с положительной пропускной способностью из вершины x1 в вершину x8. Подмножество R образуют помеченные вершины х1, х5, а подмножество - остальные непомеченные вершины х2, х3, х4, х6, х7, х8. Разрез с минимальной пропускной способностью образуют дуги, начальные вершины которых принадлежат подмножеству R, а конечные - . Таким образом, разрез с минимальной пропускной способностью . Удалив дуги этого разреза, блокируем все пути из источника в сток. Пропускная способность разреза

Заключительный шаг. Вычитая из элементов табл.1 соответствующие элементы табл.4, получим табл.5

Tаблица 5

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x1		3			14
x2	-3		0	0	0	0		3
x3		0		0
x4		0				0
x5	-14	0				10		4
x6		0		0	-10		0	10
x7						0		0
x8		-3			-4	-10	0

Величина максимального потока равна сумме элементов x1-й строки табл. 5 или сумме элементов x8-го столбца

Максимальный поток равен .

положительные элементы табл.5 характеризуют величины дуговых потоков:

; ;; ; ;.

Стоимость доставки груза определяется по формуле:

.

.

.

Задача 3. Анализ сетей Петри

Сеть Петри задана графически (рис. 23…30). В табл. 1 в соответствии с вариантом и указанным номером рисунка приведены различные начальные маркировки сети.

Выполнить следующие действия:

Описать сеть аналитическим и матричным способами.

Проверить условия срабатывания каждого из переходов и найти новые маркировки, к которым приведет срабатывание соответствующих переходов, путем выполнения матричных преобразований.

Построить дерево достижимости заданной сети.

Проверить, является ли достижимой одна из маркировок, получаемых на четвертом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Таблица 1

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	0	1	0	1	1	1	1	2	2	0	1	3	0	1	1
2	1	2	2	2	3	1	2	2	1	2	3	1	1	2	0
3	2	3	1	0	1	1	1	3	2	1	0	1	2	3	3
4	3	1	3	4	0	2	1	1	0	1	1	2	1	1	2
5	1	2	5	1	2	2	3	0	3	3	2	0	3	2	1
№ рисунка	Рис. 23	Рис. 27	Рис. 28	Рис. 29

Решение:

Опишем сеть аналитическим и матричным способами. Приведем графическое представление сети Петри, в которой позиции P = {p1, p2, p3, p4, p5} и переходы T = {t1, t2, t3, t4, t5}. Начальная маркировка сети обозначается вектором м0 [м1,м2,м3,м4,м5], м0 [2 2 3 1 0]. Отсюда получим:

При аналитическом способе задания сеть Петри задается как C = (P,T,F,H,м0), где, кроме множеств позиций Р и переходов Т, задаются входная F и выходная Н функции. Через F(tj) обозначается множество входных позиций, а через H(tj) - множество выходных позиций перехода tj; м0 - начальная маркировка сети.

F(t1) = {p1}, H(t1) = {p2, p3 },

F(t2) = {p2}, H(t2) = {p4},

F(t3) = {p3}, H(t3) = {p5 },

F(t4) = {p4, p5}, H(t4) = {p1},

F(t5) = {p4, p5}, H(t5) = {p2, p3}.

м0 [2 2 3 1 0]

Матричная форма определения сети Петри эквивалентна аналитическому способу задания C = (P,T,D-,D+,м0). Здесь D- и D+ - матрицы входных и выходных инциденций соответственно размером m Ч n, где m - число переходов и n - число позиций.

Элемент dij- матрицы D- равен кратности дуг, входящих в i-й переход из j-й позиции.

Элемент dij+ матрицы D+ равен кратности дуг, выходящих из i-ro перехода в j-ю позицию.

Для рассматриваемой сети Петри

Матрица D = D+ - D - называется матрицей инцидентности сети Петри,

2. Найдем переходы, которые разрешены при начальной маркировке м0 [2 2 3 1 0] сети Петри.

Переход t1

[м0] ? [10000]* D- = [10000] · ; [2 2 3 1 0] ? [1 0 0 0 0] - условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t1 определяется следующим образом:

.

Переход t2

[м0] ? [01000]* D- = [01000] ; [2 2 3 1 0] ? [0 1 0 0 0] - условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t2 определяется следующим образом:

.

Переход t3

[м0] ? [00100]* D- = [00100] ; [2 2 3 1 0] ? [0 0 1 0 0] - условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t3 равна:

.

Переход t4

[м0] ? [00010]* D- = [00010] ; [2 2 3 1 0] ? [0 0 0 1 1] - условие не выполняется, переход запрещен.

Переход t5

[м0] ? [00001]* D- = [00001] ; [2 2 3 1 0] ? [0 0 0 1 1] - условие не выполняется, переход запрещен.

Построим дерево достижимости заданной сети.

Проверим, является ли достижимой одна из маркировок, полученных на пятом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Уравнение принимает вид

Перенесем в левую часть и выполним умножение, тогда

Приравняем составляющие векторов

Система имеет решение x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 1; x5 = 1.

Это значит, что исследуемая маркировка достижима и в последовательности срабатываний переходы t2, t4, t5 срабатывают по одному разу, переход t3 срабатывает два раза, переход t1 не срабатывает ни разу.

Задача 4. Элементы математической логики и теории автоматов

граф сеть петри конечный

Конечный автомат задан графом, определенным в задаче 1 контрольной работы № 1. Вершины графа отождествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q1, q2 ,…, qn}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x1, x2, x3, x4}. Переходы определяются законом отображения Г вершин графа, причем каждому переходу соответствует только одна из букв множества X. При задании графа эти буквы расставить произвольно.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y1, y2, y3}:

y1 - переход из состояния qi в состояние qi (петля);

y2 - переход из состояния qi в qj при i<j;

y3 - переход из состояния qi в qj при i>j.

Осуществить структурный синтез конечного автомата. Реализацию осуществить на элементах, указанных в табл. 1, в соответствии с номером варианта. Обязательной является минимизация реализуемых функций.

Таблица 1

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тип элементов	И НЕ	И ИЛИ НЕ	ИЛИ НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ	ИЛИ НЕ	ИЛИ НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ	ИЛИ НЕ
Тип триггера	RS	JK	T	RS	JK	D	RS	T	D	RS

Решение:

Множество вершин X = {x1, x2, x3, x4, x5}.

Вершины графа отожествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q1, q2, q3, q4, q5}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x1, x2, x3, x4}. Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y1, y2, y3}. Так как в графе нет петель, выходной сигнал y1 будет отсутствовать.

На основании аналитического описания ориентированного графа из задания № 1 запишем закон отображения состояний автомата:

Гq1 = { q2(x1/y2), q4(x2/y2)},

Гq2 = {q1(x3/y3), q3(x4/y2)},

Гq3 = {q2(x1/y3), q4(x2/y2)},

Гq4 = {q1(x3/y3), q5(x4/y2), q3(x1/y3)},

Гq5 = {q4(x2/y3)}.

Обобщенная таблица переходов и выходов соответствующего конечного автомата представлена в табл. 2.

Таблица 2

X	Q	q1	q2	q3	q4	q5
X1	q2/y2	-	q2/y3	q3/y3	-
X2	q4/y2	-	q4/y2	-	q4/y3
X3	-	q1/y3	-	q1/y3	-
X4	-	q3/y2	-	q5/y2	-

Осуществим структурный синтез автомата, заданного табл. 1. В качестве элементов памяти используем T-триггеры, в качестве элементной базы используем логические элементы И ИЛИ НЕ.

n = 4 p ? log2 n = log2 4 = 2;

m = 3 e ? log2 m = log2 3 = 2;

r = 5 z ? log2 r = log2 5 = 3.

Приступаем к кодированию:

	u	u1	u2
x1	0	0	3
x2	0	1	3
x3	1	0	2
x4	1	1	2

	v
y2	1	5
y3	0	5

q	w	w1	w2	w3
q1	1	0	0	2
q2	0	0	1	2
q3	0	1	0	2
q4	0	0	0	3
q5	1	1	0	1

На основании результатов кодирования строим обобщенную таблицу переходов и выходов структурного автомата (табл.3), заменяя состояния, входные и выходные переменные их кодами.

Таблица 3

u1u2	w1w2w3	100	001	010	000	110
00	001/1	-	001/0	010/0	-
01	000/1	-	000/1	-	000/0
10	-	100/0	-	100/0	-
11	-	010/1	-	110/1	-

Используя таблицу переходов T-триггера и данные предыдущей таблицы, составим обобщенную таблицу функционирования структурного автомата (табл.4). Функции возбуждения трех триггеров обозначены через T1, T2, T3 соответственно.

Таблица 4

u1	u2	w1(t)	w2(t)	w3(t)	w1 (t+1)	w2 (t+1)	w3 (t+1)	v	T1	T2	T3
0	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	1
0	1	1	0	0	0	0	0	1	1	0	0
1	0	1	0	0	*	*	*	*	*	*	*
1	1	1	0	0	*	*	*	*	*	*	*
0	0	0	0	1	*	*	*	*	*	*	*
0	1	0	0	1	*	*	*	*	*	*	*
1	0	0	0	1	1	0	0	0	1	0	1
1	1	0	0	1	0	1	0	1	0	1	1
0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	1	1
0	1	0	1	0	0	0	0	1	0	1	0
1	0	0	1	0	*	*	*	*	*	*	*
1	1	0	1	0	*	*	*	*	*	*	*
0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	*	*	*	*	*	*	*
1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	1	1	0	1	1	1	0
0	0	1	1	0	*	*	*	*	*	*	*
0	1	1	1	0	0	0	0	0	1	1	0
1	0	1	1	0	*	*	*	*	*	*	*
1	1	1	1	0	*	*	*	*	*	*	*

По этой таблице запишем СДНФ выходной функции V и функций возбуждения триггеров T1, T2, T3, зависящих от набора переменных u1, u2, w1(t), w2(t), w3(t). В результате получим систему логических функций для построения комбинационной части автомата:

.

.

.

.

Минимизируем функции согласно картам Карно:

Функциональная схема структурного автомата:



Список используемой литературы

А.В. Павлова Контрольные задания по курсу “Математические основы теории систем”, для студентов специальности «Информационные технологии и управление в технических системах». Часть 1.- Мн.: 2006. - 17 с.

А.В. Павлова Математические основы теории систем: Конспект лекций для студентов специальности «Информационные технологии и управление в технических системах». Часть 1.- Мн.:БГУИР, 2004. - 84 с.

Размещено на Allbest.ru