Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной и высшей математики

Лабораторная работа

На тему: Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

Курган 1998

Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( ² u/ t²) = c ² * ( ²u/ x²). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t T, начальным условиям u(x,0) = f(x), u(x,0)/ t = g(x), 0 x a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.

Так как замена переменных t ct приводит уравнение (1) к виду ( ² u/ t²) = ( ²u/ x²), то в дальнейшем будем считать с = 1.

Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x,t) | 0 x a, 0 t T } сетку x_i = ih, i=0,1... n, a = h * n, t_j = j* , j = 0,1..., m, m = T и аппроксимируем уравнение в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения.

Здесь u_ij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (x_i,t_j).

Полагая, что = / h, получаем трехслойную разностную схему

u_i,j+1 = 2(1- ²⁾u_i,j + ² (u_i+1,j- u_i-1,j) - u_i,j-1, i = 1,2... n

Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. ₁(t) 0, ₂(t) 0. Значит, в схеме u_0,j= 0, u_nj=0 для всех j. Схема называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j, j+1. Схема явная, т.е. позволяет в явном виде выразить u_i,j через значения u с предыдущих двух слоев.

Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений u_i,j решения u(x,t) в узлах (x_i,t_j) при i =1,... n, j=1,2,...,m. Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое (j = 2,3,4,... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев (j=0,1,2,..., n-1) по формуле. На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия u_i0 = f(x_i).

Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить u(x,0)/ t (u(x, ) - u(x,0))/ (6), то u_i1=u_i0+ (x_i), i=1,2,... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу. Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле.

Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( +h²). Невысокий порядок аппроксимации по объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е.

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта < h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при h 0 решение разностной задачи равномерно стремится к решению исходной смешанной задачи.

Недостаток схемы в том, что как только выбранная величина шага сетки h в направлении x, появляется ограничение на величину шага по переменной t. Если необходимо произвести вычисление для большого значения величины T, то может потребоваться большое количество шагов по переменной t. Указанный недостаток характерен для всех явных разностных схем.

Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки.

Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной схеме предназначена часть программы, обозначенная Subroutine GIP3 Begn... End. Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с двух предыдущих слоев.

Входные параметры:

hx - шаг сетки h по переменной х;

ht - шаг сетки по переменной t;

k - количество узлов сетки по x, a = hn;

u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на (j - 1) временном слое, j = 1, 2,...;

u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на j - м временном слое, j = 1, 2,...;

u3 - рабочий массив из k действительных чисел.

Выходные параметры:

u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из j - м временном слое, j = 1, 2,...;

u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из (j +1) - м временном слое, j = 1, 2,....

К части программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin... End происходит циклическое обращение, перед первым обращением к программе элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 - значения на решения на первом слое. При выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.

Порядок работы программы:

1) описание массивов u1, u2, u3;

2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, соблюдая условие Куранта;

3) присвоение начального значения решения элементам массива и вычисленное по формулам значение решения на первом слое;

4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое (k 2).

Пример: задача уравнение сетка колебание

Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с шагом по t, равным 0.05, провести вычисления для 16 временных слоев с печатью результатов на каждом слое.

Таким образом, задача имеет вид

( ² u/ t²) = ( ² u/ x ²), x [ 0, 1 ], t [ 0, T ],

u (x, 0) = f (x), x [ 0, a ], u(x,0)/ t = g(x), x [ 0, a ],

u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, t [ 0, 0.8 ],

2x, x [ 0, 0.5 ],

f(x) = g(x) = 0

2 - 2x, x [ 0.5, 1 ],

Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по t.

Размещено на Allbest.ru