О стабилизации двумерных линейных дискретных систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

О стабилизации двумерных линейных дискретных систем

нестационарный стабилизация линейный связь

Введение

Проблема стабилизации линейным объектом управления с помощью стационарной линейной обратной связи является классической и рассматривалась многими авторами (см., например, обзоры [1 _ 4], а также библиографию в [5]). Были получены достаточные условия стабилизируемости (и, более общо, управления спектром матрицы) линейных систем с помощью стационарной обратной связи. Одним из достоинств решения проблемы стационарной стабилизации является его аналитически замкнутая форма, что весьма важно в теории и практике управления при синтезе линейной обратной связи.

Однако, как хорошо известно, возможности стационарной стабилизации ограничены по сравнению с нестационарной.

В работах [6-11] было показано, как введение нестационарной периодической обратной связи в линейной дискретной системе расширяет возможности управления спектром матрицы замкнутой системы (и, в частности, стабилизации). Отметим, что для непрерывных систем соответствующая проблема нестационарной стабилизации была поставлена Р. Брокеттом в [12]. Решению этой проблемы посвящены работы Леонова [13,14], Моро и Аэлса [15].

В работе [11] в ряде важных случаев дано решение дискретного аналога стабилизационной проблемы Брокетта. В частности, в этой работе доказана теорема, дающая необходимые и достаточные условия стабилизируемости двумерной линейной дискретной системы с помощью периодической с достаточно большим периодом (низкочастотная стабилизация) обратной связи. Доказательство вышеупомянутой теоремы использует ряд общих теорем, и поэтому в целом является непростым.

В настоящей статье дается элементарное и прямое доказательство теоремы Леонова о стабилизируемости линейной дискретной системы с помощью периодической с периодом 3 обратной связи.

Рассмотрим двумерную линейную дискретную систему со скалярным входом и скалярным выходом

,

Здесь есть вектор состояния в текущий момент времени , и- вход (управление) и выход соответственно в момент времени ; , b и c являются вещественными постоянными матрицами размеров и соответственно.

Введем в рассмотрение передаточную функцию системы (1)

Здесь I _ единичная матрица.

В работе [11] доказано следующее утверждение.

Теорема Леонова о стабилизации ([11]). Пусть передаточная функция (2) системы (1) невырождена. Тогда для стабилизируемости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы было выполнено, по крайней мере, одно из условий

или . (3)

При этом в обратной связи , стабилизирующей систему (1), функция имеет достаточно большой период.

Отметим, что сформулированная выше теорема Леонова дает полное решение дискретного аналога проблемы Брокетта [12] для двумерных систем.

Как было отмечено во введении, при доказательстве теоремы Леонова используется ряд вспомогательных общих теорем, доказательства которых, в свою очередь, непростые.

1.Некоторые предварительные понятия и факты из линейной теории управления

Напомним некоторые хорошо известные понятия и факты из линейной теории управления, которые понадобятся нам ниже.

Систему (1) называют управляемой, если и наблюдаемой, если . Здесь знак обозначает операцию транспонирования.

Вместо управляемости и наблюдаемости системы (1) часто говорят просто об управляемости и наблюдаемости пар и соответственно.

Передаточная функция системы (1) называется невырожденной, если её нельзя представить в виде отношения многочленов со степенью знаменателя меньшей, чем 2. Хорошо известно, что невырожденность передаточной функции эквивалентна управляемости и наблюдаемости пар и . Отметим также, что передаточная функция инвариантна относительно невырожденных линейных преобразований.

Систему (1) называют стабилизируемой, если существует обратная связь

(и )

такая, что система (1), замкнутая обратной связью (4), т.е. система

,

асимптотически устойчива.

Если , то говорят о стационарной стабилизации, а если , то _ о нестационарной стабилизации.

Асимптотическая устойчивость дискретной системы (5) определяется так же, как и для непрерывных систем.

Хорошо известен ([5]) следующий критерий асимптотической устойчивости линейных дискретных систем вида с постоянной матрицей : линейная дискретная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости.

2.Переформулировка задачи

Будем искать стабилизирующую функцию в обратной связи (4) в классе периодических с периодом 3 функций:

. (6)

Тогда система (1), замкнутая периодической обратной связью (4), (6) будет периодической с периодом 3.

Пусть . Тогда, используя (1) и (6), легко найти связь между состояниями и :

. (7)

Введя обозначения , перепишем соотношение (7) в виде

, , где (8)

. (9)

Таким образом, динамика периодической системы (1), (4), (6) определяется динамикой системы (8) с постоянной матрицей (9). Ясно, что асимптотическая устойчивость системы (5) эквивалентна асимптотической устойчивости системы (8).

Итак, задача стабилизируемости системы (1) с помощью периодической обратной связи (4), (6) сводится к следующей:

Даны вещественные и матрицы , и соответственно.

Требуется найти вещественные числа ,и такие, что собственные значения матрицы из (9) лежат внутри единичного круга.

3.Элементарное доказательство теоремы Леонова о стабилизации двумерной дискретной системы

А. Необходимость доказывается так же, как и в [11].

Если не выполнены соотношения (3), то, используя хорошо известное детерминантное равенство ([5])

( и - матрицы _ столбцы, а _ единичная матрица) и, учитывая равенство , имеем

Так как по предположению, то .

Используя последнее неравенство, из формулы общего решения системы (5)

получаем отсутствие асимптотической устойчивости системы (5) при любой функции .

В. Доказательство достаточности. Представим передаточную функцию системы (1) в виде дроби

. (10)

Здесь ; _ некоторые вещественные числа. Заметим, что знаменатель дроби (10) есть характеристический многочлен матрицы .

По условию функция невырождена, т.е. выполнено неравенство

. (11)

Как было отмечено в п.3, невырожденность функции , и, следовательно, выполнение неравенства (11) является необходимым и достаточным условием управляемости и наблюдаемости системы (1). Поэтому в силу свойства инвариантности передаточной функции систему (1) при помощи некоторого невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду, для которого

, , . (12)

Таким образом, не умаляя общности, можно считать, что система (1) уже имеет канонический вид (1), (12). Теперь легко подсчитать матрицу из (9). Введя обозначения

; , имеем:

,

,

,

.

Потребуем, чтобы , т.е.

. (13)

Из (13) находим

, (14)

если , и

, (15)

если (при этом в силу (11)).

При значениях и , определяемых из (14) и (15), спектр (набор собственных значений) матрицы имеет вид

. (16)

Из (16) видно, что собственные значения матрицы зависят от двух варьируемых параметров и в случае , , и и в случае , , а в случае , ? от одного варьируемого параметра .

Рассмотрим эти случаи в отдельности.

1). Случай , .

Тогда спектр из (16) лежит внутри единичного круга, если значения и определяются из неравенств

, (). (17)

Если , то оба собственных значения матрицы равны нулю.

Поскольку , то система (1) в рассматриваемом случае стабилизируема с помощью периодической обратной связи (4) периода 3, если .

2). Случай , .

В этом случае спектр (16) в силу равенства (13) имеет вид

. (18)

Спектр (18) лежит внутри единичного круга, если выполняются неравенства

(19)

Если , то оба собственных значения матрицы равны нулю.

Система неравенств (19) удовлетворяется, если

. (20)

Поскольку , то из (20) следует, что система (1) в рассматриваемом случае стабилизируема с помощью периодической обратной связи (4) периода 3, если .

3) Случай , .

Из равенств (14) и (13) находим

, (21)

(). (22)

Подставляя (21) и (22) в (16), перепишем выражение для спектра в следующем виде:

. (23)

Заметим, что в (23) два свободных параметра и . Спектр (23) лежит внутри единичного круга, если выполнены неравенства

(24)

Ясно, что второе из неравенств (24) разрешимо относительно (так как ) при любом фиксированном значении .

Перепишем первое из неравенств (24) в виде

. (25)

В силу условия (11) неравенство (25) разрешимо относительно . Следовательно, искомые значения параметров и , удовлетворяющие (24), определяются из неравенств:

(26)

Здесь в силу (11).

Итак, в рассматриваемом случае система (1) всегда стабилизируема с помощью периодической обратной связи (4) периода 3.

Таким образом, достаточность, и, следовательно, теорема Леонова о стабилизируемости двумерной дискретной системы доказана.

Замечание. В ходе вышеприведенного доказательства теоремы дан конструктивный метод нахождения стабилизирующей систему (1) периодической с периодом 3 обратной связи (4), (6). При этом значения , и определяются из неравенств (17) (в случае , ), из (19) (в случае , ), из (26) (в случае , ).

Литература

1. Andry A.N., Shapiro E.Y., Chung J.C. Eigenstructure Assignment for Linear Systems // IEEE Aerospace & Electronics Systems. 1983. Vol. Aes-19, № 5. P. 711-728.

2. Bernstein D.S. Some Open Problems in Matrix Theory Arising in Linear Systems and Control // Linear Algebra and its Applications. 1992. Vol. 162-164. P. 409-432.

3. Static Output Feedback.-A Survey / V.L. Syrmos, C.T. Abdallah, P. Dorato, K. Grigoriadis// Automatica. 1977. V. 33, № 2. P. 125-137.

4. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению// Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7-46.

5. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. СПб., 2005. 420 с.

6. Greschak J.P., Verghese G.C. Periodically varying compensation of time-invariant systems// Systems and Control Letters. 1982. V. 2. P. 88-93.

7. Kaczorek T. Pole placement for linear discrete-time systems by periodic output feedbacks// Systems and Control Letters. 1985. V. 6. P. 267-269.

8. Willems J.L. Time-varying feedback for the stabilization of fixed modes in decentralized control systems// Automatica. 1989. V. 25. P. 127-131.

9. Aeyels D., Willems J.L. Pole Assignment for Linear Time-Invariant Second-Order Systems by Periodic Static Output Feedback// IMA Journ. of Math. Contr. & Inform. 1991. V. 8. P. 267-274.

10. Aeyels D., Willems J.L. Pole Assignment for Linear Time-Invariant Systems by Periodic Memoryless Output feedback// Automatica. 1992. V. 28, № 6. P. 1159-1168.

11. Леонов Г.А. Проблема Брокетта для линейных дискретных систем управления// Автоматика и телемеханика. 2002. № 5. С. 92-96.

12. Brockett R. Stabilization problem. In book: Open problems in Mathematical Systems and Control Theory. Berlin, 1999. P. 75-78.

13. Леонов Г.А. Проблема Брокетта в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, вып. 4. С.134-155.

14. Леонов Г.А. Стабилизационная проблема Брокетта // Автоматика и телемеханика. 2001. № 5. С. 190-193.

15. Moreau L., Aeyels D. Periodic output feedback stabilization of single-input single-output continuous-time systems with odd relative degree // Systems & Control Letters. 2004. V. 54. P. 395-406.

Размещено на Allbest.ru