Определение числовых характеристик по экспериментальным данным в табличном процессоре Excel

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ EXCEL

1. Теоретические основы

На практике очень часто приходится иметь дело с различными опытами. Качественная характеристика результата опыта есть событие. А количественной характеристикой случайного результата опыта является случайная величина. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное (но только одно) значение, причем до опыта неизвестно, какое именно.

Среди случайных величин можно выделить два основных типа: дискретные величины и непрерывные величины. Дискретной случайной величиной называется величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счетное множество. Случайной непрерывной величиной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси. Очевидно, что возможных значений случайной непрерывной величины бесконечно.

На практике в психологии чаще всего используют именно дискретную случайную величину. Приведем пример: предположим, исследуется уровень интеллекта в какой-либо группе испытуемых. В результате эксперимента каждый из обследованных выдаст некое значение. Мы не можем заранее предсказать, какова будет величина этого значения: 70, 100, 130 баллов и т.п., - и потому наша величина СЛУЧАЙНА. Даже если людей в группе столько, что обязательно отыщутся те, у кого будет 71 балл, 72, 73, 74… и так далее - до 127, 128, 129, 130, то все равно не может быть человека, набравшего 129,5 балла или 71,5 балла - и потому наша случайная величина ДИСКРЕТНА.

Значения наблюдаемых в практике случайных величин более или менее колеблются около среднего значения. Это явление называется рассеянием величины около ее среднего значения. Числовые характеристики, характеризующие рассеяние случайной величины, называются характеристиками рассеивания, основными из которых являются дисперсия и средне квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания

(1)

Соответственно, для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой

(2),

где p_i - вероятность случайной величины.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

Для чего вообще необходимы понятия дисперсии и среднеквадратического отклонения?

Во многих экспериментах необходимо знать, как в среднем характеризуется данная исследуемая величина, какое, в среднем, она может принять значение. (Допустим, надо определить, каков, в среднем, показатель интеллекта в той или иной группе лиц.)Пусть известно, что средний показатель интеллекта в некой группе равен такому-то числу. Что можно сказать об интеллекте группы, на основании лишь знания этого среднего показателя? Решительно ничего. Ведь неизвестно, все ли значения тесно сгруппированы вокруг среднего (все демонстрируют средний интеллект) или половина показателей очень низких, а половина - очень высоких. Может статься, что большинство демонстрируют интеллект выше среднего, но показатели одного-двух человек так низки, что «тянут» назад всю группу. В каждом из трех вариантов может быть одно и то же среднее значение.

В таком случае требуется иметь такую характеристику, которая бы говорила о том, сколь велик разброс значений вокруг среднего, или сколь далеко, как правило, от среднего отстоит любое, случайно взятое, значение. Для ответа на этот вопрос и служит такая математическая величина, как ДИСПЕРСИЯ, то есть - мера рассеяния. Что касается среднеквадратического отклонения, то оно более удобно на практике, так как сохраняет размерность исследуемой величины.

Обобщением основных числовых характеристик случайных величин является понятие моментов случайных величин. В теории вероятности различают моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называют математическое ожидание величины x^k:

(4)

Из начальных моментов особое значение имеет момент первого порядка, который представляет собой математическое ожидание случайной величины.

Начальные моменты высших порядков используются главным образом для вычисления центральных моментов.

Центральным моментом к-го порядка случайной величины X называют математическое ожидание величины (X-M(X))^k :

(5).

Среди центральных моментов случайной величины особое значение имеет центральный момент второго порядка, который представляет собой дисперсию случайной величины.

На практике, кроме математического ожидания, применяются и другие характеристики положения случайной величины, в частности мода и медиана. Модой М₀ случайной дискретной величины называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой М_D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.

Третий центральный момент служит характеристикой асимметрии («скошенности») распределения. Так как третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то обычно рассматривают безразмерную величину - отношение ₃ к среднему квадратическому отклонению в третьей степени

(6)

величина носит название коэффициента асимметрии.

Четвертый центральный момент служит для характеристик островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины Х называется величина

(7)

2. Задания на лабораторную работу

Экспериментально определены скорости, с которыми люди записывают цифры арабского алфавита:

Табл.1

Требуется оценить положение, рассеивание, асимметрию и эксцесс распределения значений скорости записывания цифр людьми по экспериментальным данным.

Решение задачи с помощью программного обеспечения

1) Сформировать таблицу на 1 столбец и 10 строк, заполнив ее данными задачи.

2) Для того, чтобы определить среднее значение, дисперсию и средне квадратическое отклонение, необходимо воспользоваться встроенными функциями из категории «статистические»: «СРЗНАЧ», «ДИСПР», «СТАНДОТКЛОНП».

3) Определить центральные моменты до 4-го порядка по формулам:

- центральный момент второго порядка,

- центральный момент третьего порядка,

- центральный момент четвертого порядка,

где х_i - i-тый вариант признака, x_ср - среднее значение признака, n - объем выборки.

Вычисление центрального момента в Microsoft Excel связано с выполнением следующих операций:

ь отдельно для всего блока А1:Е10 подсчитать разницу (x_i - x_ср)² (среднее значение должно иметь абсолютный адрес);

ь растянуть данную ячейку на соответствующее число строк и столбцов согласно исходной таблице;

ь в отдельной ячейке посчитать сумму всех значений получившейся таблицы и разделить на объем выборки.

4) Медиану и моду случайной величины можно найти, воспользовавшись встроенными статистическими функциями «МЕДИАНА» и «МОДА». Функция «МОДА» возвращает наиболее часто встречающееся или повторяющееся значение в массиве или интервале данных. Также как и функция МЕДИАНА, функция МОДА является мерой взаимного расположения значений.

5) Вычислить асимметрию и эксцесс, воспользовавшись выше указанными формулами (6) и (7).

Задача 2

У участников психологического эксперимента был измерен уровень вербального интеллекта с помощью методики Д. Векслера. Было обследовано 42 студента (средний возраст 20 лет) Московского Государственного Университета. 14 из них были студентами юридического факультета, 14- студентами филологического факультета и 14 - студентами физико-математического факультета. Необходимо определить: 1) среднее значение показателя интеллекта, дисперсию и среднеквадратическое отклонение, а также структурные средние - моду и медиану в каждой группе исследуемых; 2) оценить положение, рассеивание, асимметрию и эксцесс уровня интеллекта для всей группы испытуемых. Показатели вербального интеллекта представлены в таблице 2.

Табл. 2

Решение задачи с помощью программного обеспечения

1) сформировать таблицу на 14 строк и 3 столбца, заполнив ее данными таблицы. Для определения числовых характеристик по экспериментальным данным необходимо воспользоваться встроенными статистическими функциями «СРЗНАЧ», «ДИСП», «СТАНДОТКЛОН», «МОДА», «МЕДИАНА», считая каждый столбец - выборками;

2) что касается второго задания, то здесь необходимо определять все вышеуказанные характеристики для всей генеральной совокупности (три группы испытуемых), а при определении дисперсии и среднеквадратического отклонения воспользоваться статистическими функциями «ДИСПР» и «СТАНДОТКЛОНП». случайная величина excel асимметрия эксцесс

3) нахождение асимметрии и эксцесса произвести в 2 этапа: с помощью встроенных функций «СКОС» и «ЭКСЦЕСС» и с помощью расчетных формул (6), (7). Сравнить полученные результаты.

3. Контрольные вопросы

1. Что понимается под случайной величиной? На какие два типа подразделяется случайная величина?

2. Приведите пример использования случайной дискретной величины в психологии

3. Объясните понятия выборочной и генеральной совокупности

4. Какие числовые характеристики, характеризующие рассеивание случайной величины вам известны? Дайте определение каждой из них

5. С помощью каких функций в Microsoft Excel можно найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение?

6. Приведите пример использования данных характеристик в психологических расчетах

7. Что называют начальным и центральным моментом к-го порядка?

8. Что представляет собой начальный момент первого порядка? Центральный момент второго порядка?

9. Расскажите алгоритм нахождения центрального момента в Microsoft Excel

10. Что называется модой и медианой случайной величины?

11. Дайте определения асимметрии и эксцесса. Что на графике характеризуют данные величины?

12. Расскажите два способа нахождения асимметрии и эксцесса в Microsoft Excel

Размещено на Allbest.ru