Применение системы MathCAD для исследования математической модели диодного ограничителя

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение системы MathCAD для исследования математической модели диодного ограничителя

Введение

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов. Для облегчения проведения математических расчетов была разработана программа MathCAD. Система MathCAD пользуется огромной популярностью во всем мире, позволяя готовить вполне профессиональные документы, имеющие вид статей и книг по математике.

При проектировании технических объектов и в математических расчетах используют множество видов математических моделей, в зависимости от уровня иерархии, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа проектирования. Математические модели, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров.

1. Принципы математического моделирования и их реализация

1.1 Понятие математической модели, свойства моделей и классификация

Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Моделирование - это процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте.

Различают следующие виды моделирования:

· Предметное моделирование связано с построением физической модели, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование называют физическим;

· Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т.п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании [1].

Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием.

Математическая модель - это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п.

Классификация математических моделей:

1 Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин. К ним относятся регрессионные модели.

2 Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п.

3 Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа дерева.

4 Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений.

5 Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных.

6 Экспериментальные модели получают на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический «черный ящик».

7 Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта.

Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. Они должны отображать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирования. При этом модель должна быть как можно проще, но в тоже время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.

1.2 Классификация и применение численных методов алгебры и анализа в математическом моделировании

С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.

Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приёмов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи.

Главным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.

При формировании математической модели технического объекта на основе компонентных и топологических уравнений используют следующие методы:

- узловой;

- контурный;

- метод переменных состояний;

- табличный;

- формальный.

Наибольшую известность и широкое применение получил узловой метод. Он основан на использовании топологических уравнений, выражающих условия равновесия потенциалов в узлах дискретизации динамической системы. Математическая модель объекта получается в виде системы интегро-дифференциальных уравнений, искомыми неизвестными в которых являются фазовые переменные типа потока, характеризующие состояние сосредоточенных масс.

Метод переменных состояния ориентирован на получение математической модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме коши. Однако представление структуры динамической модели в этом методе гораздо сложнее, чем в узловом, и требует выполнение большого объема подготовительной работы, которая не поддается автоматизации.

Табличный метод использует исходные компонентные и топологические уравнения непосредственно, без каких-либо преобразований, поэтому автоматизировать его легко и просто. Однако математическая модель при этом получается высокого порядка и имеет избыточное число фазовых координат. Система уравнений оказывается переопределенной. Количество уравнений превышает число степеней свободы системы. Это приводит к неустойчивости вычислительных алгоритмов при решений полученной системы уравнений.

Контурный метод применяется в электротехнике и строительной механике, где схемы взаимодействия конструктивных элементов образуют замкнутые контуры прохождения сигналов. Применение его для других технических объектов требует построения схемы замещения (эквивалентной схемы) и сопряжено со значительными сложностями формализации процесса составления математической модели.

Формальный метод основан на использовании интегральных вариационных принципов аналитической механики. Одним из наиболее мощных теоретических методов формального моделирования является вариационный принцип Гамильтона-Остроградского. Он применим к техническим объектам различной физической природы (механическим, гидравлическим, электрическим и др.).

Все упомянутые выше методы предназначены для получения математических моделей технических объектов в инвариантной форме. Эти модели представляют собой либо систему компонентных и топологических уравнений, либо систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.3 Обзор систем компьютерной математики

Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов. Системы MathCAD традиционно занимают особое место среди множества таких систем (Eureka, Mercury, Matlab, Mathematica 2 и 3, Maple v r3 и r4 и др.) И по праву могут называться самыми современными, универсальными и массовыми математическими системами. Они позволяют выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеют чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики. Системы класса MathCAD предоставляют уже привычные, мощные, удобные и наглядные средства описания алгоритмов решения математических задач.

Система MATLAB (матричная лаборатория) была создана, как язык программирования высокого уровня для технических вычислений. Она вобрала не только передовой опыт развития и реализации численных методов, накопленный за последние три десятилетия, но и весь опыт становления математики за всю историю человечества.

Одним из самых важных достоинств MATLAB является возможность её расширения с целью решения новых научно-технических задач. Это достигается прежде всего созданием целого ряда пакетов расширения системы, охватывающих многие новые и практические полезные направления компьютерной математики.

Maple - это программный пакет для автоматизации символьных, численных и графических вычислений. Он может решать как простые, так и довольно сложные математические задачи. Широта функциональных возможностей Maple поражает - она охватывает такие разделы, как линейная алгебра, дифференциальные вычисления, геометрия, статистика и многое другое. По каждому разделу написано большое количество процедур и функций, которыми можно пользоваться, набрав имя одного из них в командной строке Maple.

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи и ее реализация

модель математический компьютерный mathcad

Задачей в предложенной нам курсовой работе является практическое использование средств пакета MathCAD для расчета значения функции напряжения на ёмкости в схеме без диода и в схеме с диодом.

Необходимо исследовать влияние значений изменяемого параметра C на вид функции напряжения на ёмкости в схеме с диодом.

И построить сводный график всех полученных функций напряжения на одном поле.

Схема баз диода

Математическая модель решения задачи:

Электрическая цепь, приведённая на рисунке 1, описывается дифференциальным уравнением вида:

Здесь e(t) определяется по формуле:

Электрическая цепь, приведённая на рисунке 2 (цепь без диода), описывается дифференциальным уравнением вида:

2.2 Перечень исходных данных

Параметры элементов цепи:

Ом

сопротивление резистора

Ф емкость конденсатора

Параметры функции напряжения ЭДС

В-начальное напряжение

индуктивность катушки

время исследования

2.3 Алгоритмический анализ задачи

Is, л - параметры вольт-амперной характеристики диода;

e(t) - функция ЕДС;

R - исходное сопротивление;

C - исходная емкость;

U₀ - начальное значение напряжения;

Т - время исследования.

Результирующими данными являются значения напряжения от времени.

Описываются функция ЭДС источника цепи в зависимости от времени, функция напряжения на диоде.

Применяется решение дифференциального уравнения с помощью функции rkfixed в схеме с диодом. Результатами решения системы являются значения напряжений на ёмкости в зависимости от времени.

Применяется решение дифференциального уравнения с помощью функции rkfixed в схеме без диода. Результатами решения системы являются значения напряжений на ёмкости в зависимости от времени.

2.4 Графическая схема алгоритма

3. Описание программы, реализующей алгоритм в системе MathCad

3.1 Выводы по проведенному исследованию для контура содержащего последовательно включенное сопротивление R и конденсатор, с параллельно подсоединённым к нему диодом

При исследовании электрической цепи нас интересует как будет изменяться напряжение на ёмкости если варьировать параметр С. Изменяя значение ёмкости график функции напряжения от времени начинает изменяться таким образом:

1) При начальном значении С на графике есть промежуток, где наблюдается неизменное значение напряжения, причем являющееся максимальным.

2) С увеличением ёмкости С данный промежуток начинает убывать и это говорит о том, что конденсатор с увеличением ёмкости будет стремиться к тому, чтобы зарядиться линейно.

3) И также конденсатор стремиться к разрядке линейно, но она уже будет происходить с наибольшей длительностью по времени.

3.2 Выводы по проведенному исследованию для контура содержащего последовательно включенное сопротивление R и конденсатор С без параллельного подсоединения диода

1) С увеличением ёмкости С максимальное значение напряжения, в схеме без диода, падает и стремится к максимальному значению напряжения в схеме с диодом.

2) С увеличением ёмкости С конденсатор, в схеме без диода, ведёт себя аналогичным образом, как и в схеме с диодом - т.е. заряжается за тоже время и линейно, разряжается тоже линейно, но дольше.

Заключение

В ходе проделанной работы изучено:

1) Математическое моделирование;

2) Система математического моделирования MathCAD.

Исследовано:

1) Влияние диода подсоединённого параллельно к конденсатору на подзарядку и разрядку конденсатора.

2) Зависимость максимального значения напряжения на конденсаторе, без параллельного подсоединения диода к нему.

Литература

1. Алексеев А.К. Основы информатики. М.: Дрофа, 1998 г.

2. Трудоношин В.А., Пивоварова Н.В. Математические модели технических объектов. - Мн: Вышэйшая школа, 1988.

3. MathCAD 6 PLUS.: Руководство пользователя. /Пер. с анг. - М.: Филинъ, 1996.

4. Токочаков В.И. Практическое пособие по теме «Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде MathCAD Windows» для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. - Гомель: ГГТУ, 2000.

5. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. - Мн.: Дизайн ПРО, 1997.

6. Харитонова В.В. Математические методы решений физических задач. - Mн.: 1991.

Размещено на Allbest.ru