Вопросы нелинейного программирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

нелинейный программирование бифуркационный диаграмма

Построить математическую и компьютерную (с использованием технологии электронная таблица - Excel) модель задачи линейного программирования (смеси)

Из трех продуктов - I, II, III составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. - вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в следующей таблице:

Таблица

Составьте наиболее дешевую смесь

Обозначим через x1, x2 и х3 количества вещества А, В и С, которые должны быть в составе смеси. Стоимость смеси будет F= c1x1 + c2x2 + c3x3 Мы должны назначить х1, х2 и х3 так, чтобы величина F была минимальной. Переменные х1 х2 и х3 не могут принимать произвольных значений. Их значения ограничены составом продуктов А,В и С и стоимостью этих продуктов. Поскольку в состав продукта I входит 2 единицы вещества А, 1 единица вещества В, 3 единицы вещества С, а стоимость продукта 2, то величины х1,х2 и х3 должны удовлетворять неравенству 2х1 + 1х2 + 3х3 <= 2

Аналогично можно составить неравенства для продуктов II и III

1x1 +2x2 +4x3 <= 3

3x1 +1,5x2 + 2x3 <= 2,5

Кроме того, величина х1 должна быть не менее 6, х2 не менее 8, х3 не менее 12

х1=> 6

x2=> 8

x3 => 12

задача записывается следующим образом:

{ 2х1 + 1х2 + 3х3 <= 2 (1.1)

{ 1x1 +2x2 +4x3 <= 3

{ 3x1 +1,5x2 + 2x3 <= 2,5

х1=> 6, x2=> 8, x3 => 12 (1.2)

F= c1x1 + c2x2 + c3x3 -> min (1.3)

Т.е. Задача линейного программирования запишется в виде:

Задача 2

Построить математическую и компьютерную (с использованием технологии электронная таблица - Excel) модель задачи линейного программирования (транспортная задача)

Три завода выпускают грузовые автомобили, которые отправляются четырем потребителям. Первый завод поставляет 90 платформ грузовиков, второй - 30 платформ, третий - 40 платформ. Требуется поставить платформы следующим потребителям: первому - 70 штук, втором - 30, третьем - 20, четвертому - 40 штук. Стоимость перевозки одной платформы от поставщика до потребителя указана в следующей таблице (д.е.):

Таблица

Составьте оптимальный план доставки грузовых автомобилей

Математическая модель транспортной задачи:

F = ??c_ijx_ij, (1)

при условиях:

?x_ij = a_i, i = 1,2,…, m, (2)

?x_ij = b_j, j = 1,2,…, n, (3)

Таблица. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

?a = 90 + 30 + 40 = 160

?b = 70 + 30 + 20 + 40 = 160

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

Таблица

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Таблица

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалыu_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

Таблица

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i<= c_ij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 18*20 + 20*30 + 10*40 + 10*30 + 16*20 + 10*20 = 2180

Задача 3

Построить математическую и компьютерную (с использованием технологии электронная таблица - Excel) модель задачи нелинейного программирования

Найти минимальное значение F=9(x₁-5)²+4(x₂-6)² при условиях

Рис.

Таблица

Задача 4

Постройте математическую модель матричной игры сведением к паре двойственных задач линейного программирования

А =

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Таблица

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 7, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₃.

Верхняя цена игры b = min(b_j) = 7.

Седловая точка (3, 2) указывает решение на пару альтернатив (A3,B2). Цена игры равна 7.

Задача 5

Исследовать поведение дискретной модели (логистическое отображение). Средствами Excel и VBA построить бифуркационную диаграмму.

Рис.

Рис.

Рис.

Рис.

Рис.

Рис.

Размещено на Allbest.ru