Алгебра логики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

по информатике и ИКТ

на тему: «Алгебра логики»

Пименов Александр

11 класс



Что такое алгебра логики

Алгебра логики - это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Создателем алгебры логики является живший в XIX в. английский математик Джордж Буль, в честь которого она названа булевой алгеброй высказываний.

Логическое высказывание - это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Так, например, предложение «6 - четное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение «Рим - столица Франции» тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения «ученик десятого класса» и «информатика - интересный предмет» - первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределенное понятие «интересный предмет» Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа «в городе А более миллиона жителей», «у него голубые глаза» не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения, о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения - является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание «площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн. км²» в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой - истинным. Ложным - так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным - если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», или», «если „., то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний «Петров - врач», «Петров - шахматист» при помощи связки «и» можно получить составное высказывание «Петров - врач и шахматист», понимаемое как «Петров - врач, хорошо играющий в шахматы».

При помощи связки «или» из этих же высказываний можно получить составное высказывание «Петров - врач или шахматист», понимаемое в алгебре логики как «Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно».

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Пусть через А обозначено высказывание «Тимур поедет летом на море», а через В - высказывание «Тимур летом отправится в горы». Тогда составное высказывание «Тимур летом побывает и на море, и в горах» можно кратко записать как А и В. Здесь «и» - логическая связка, А, В - логические переменные, которые могут принимать только два значения - «истина» или «ложь», обозначаемые соответственно «1» и «О».

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

- Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком 1). Высказывание А истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Например,

«Луна - спутник Земли» (А); «Луна - не спутник Земли» (А).

- Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой * (может обозначаться знаком ^ или &). Высказывание А-В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Например, высказывание «10 делится на 2 и 5 больше 3» истинно, а высказывания «10 делится на 2 и 5 не больше 3», «10 не делится на 2 и 5 больше 3», «10 не делится на 2 и 5 не больше 3» ложны.

- Операция, выражаемая связкой «или» (в неразделительном, не исключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание AvB ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание «10 не делится на 2 или 5 не больше 3» ложно, а высказывания «10 делится на 2 или 5 больше 3», «10 делится на 2 или 5 не больше 3», «10 не делится на 2 или 5 больше 3» истинны.

- Операция, выражаемая связками «если..., то», «из... следует», «... влечет...», называется импликацией (лат. implico - тесно связаны) и обозначается знаком ->. Высказывание А-»В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: «данный четырехугольник - квадрат» (А) и «около данного четырехугольника можно описать окружность» (В). Рассмотрим составное высказывание А->В, понимаемое как «если данный четырехугольник - квадрат, то около него можно описать окружность». Есть три варианта, когда высказывание А->В истинно:

А истинно и В истинно, т. е. данный четырехугольник - квадрат, и около него можно описать окружность;

А ложно и В истинно, т. е. данный четырехугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырехугольника); А ложно и В ложно, т. е. данный четырехугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т. е. данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка «если..., то» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться «бессмысленностью» импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: «если президент США - демократ, то в Африке водятся жирафы», «если арбуз -ягода, то в бензоколонке есть бензин».

- Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо - достаточно», «... равносильно...», называется эквиваленцией или двойственной импликацией и обозначается знаком <-> или ~. Высказывание А <-» В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, истинны высказывания:

«24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3», «23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3» - и ложны высказывания:

«24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5», «21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3».

- Высказывания А и В, образующие составное высказывание А<-»В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: «три больше двух» (А), «пингвины живут в Антарктиде» (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания «три не больше двух» (А), «пингвины не живут в Антарктиде» (В). Образованные из высказываний А, В составные_ высказывания А<->В и А <-» В истинны, а высказывания А<-»В и А<-»В ложны.

Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А >В =АvB

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А<->В = (АvB)*(В vА).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно что бы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем - конъюнкция («и»), после конъюнкции - дизъюнкция («или») и в последнюю очередь - импликация.



Что такое логическая формула

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, т. е. заменить логической формулой. Дадим определение логической формулы:

Всякая логическая переменная и символы «истина» («1») и «ложь» («О») - формулы.

Бета А и В - формулы, то А, (А * В), (AvB), (A->B), (А<->В) - формулы. Никаких других формул в алгебре логики нет.

В пункте 1 определены элементарные формулы, в пункте 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

В качестве примера рассмотрим высказывание «если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог». Это высказывание формализуется в виде (AvB)-> С; такая же формула соответствует высказыванию «если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика».

Как показывает анализ формулы (A v В) -» С, при определенных сочетаниях значений переменных А, В и С она принимает значение «истина», а при некоторых других сочетаниях - значение «ложь» (разберите самостоятельно эти случаи). Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение «истина» при любых значениях истинности входящих в них переменных. Такой будет, например, формула A v A, соответствующая высказыванию «этот треугольник прямоугольный или косоугольный». Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник непрямоугольный. Такие формулы называются тождественно-истинными формулами или тавтологиями.

Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А * А, которой соответствует, например, высказывание «Катя - самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати». Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо А обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями.

Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

Если две формулы А и В одновременно, т. е. при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом «=» или символом «=». Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.

Связь между алгеброй логики и двоичным кодированием

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два." «1» и «О».

Из этого следует два вывода:

Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных.

На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

В каком виде записываются в памяти компьютера и в регистрах процессора данные и команды

Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины.

Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации, но чаще всего единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем нуль (или наоборот), например:

5 вольт

0 1 0 0 1 1 0 1 0 0

О вольт

Что такое логический элемент компьютера

Логический элемент компьютера - это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, Или, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др. (называемые также вентилями), а также триггер. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода. Чтобы представить два логических состояния «1» и «0» в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт. Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» («1»), а низкий - значению «ложь» («0»). Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица 1

Х	У	ХvУ
0 0 1 - 1 - -	0 1 - 0 - 1 -	0 1 - 1 - - 1

1

Х

ХvУ

У

Рис.1

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания.

Связь между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = х, где х читается как «не х» или «инверсия х».

Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение инвертора - на рисунке 2, а таблица истинности - в таблице 2.

Таблица 2

Х	Х
0 1	1 0

Х Х

- -

- 0

Рис. 2

Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И.

Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают дующим образом:

z = х*у,

где ху читается как «инверсия х и у».

Условное обозначение схемы И-НЕ представлено на рисунке 3, а таблица истинности схемы И-НЕ - в таблице 3.

Таблица 3

Х	У	Х*У
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 0

Х

Х*У

У

- 0 -

Рис. 3

Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.

Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают следующим образом: z = xvy, где xvy читается как «инверсия х или у». Условное обозначение схемы ИЛИ-НЕ представлено на рисунке 4, а таблица истинности схемы ИЛИ-НЕ - в таблице 4.



Таблица 4

Х	У	ХvУ
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 0

Рис. 4

Что такое триггер

Триггер - это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надежного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер (имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое - двоичному нулю).

Термин «триггер» происходит от английского слова trigger - защелка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает «хлопанье». Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на ее способность почти мгновенно переходить (перебрасываться) из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Самый распространенный тип триггера - так называемый RS-триггер (S и R соответственно от английских слов set - установка и reset-сброс). Условное обозначение триггера - на рисунке.6. Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и Q, причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала Q. На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов (_ГП_). Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие - нулем.

Рис. 5

На рисунке 6 показана реализация триггера с помощью вентилей ИЛИ-НЕ, в таблице 5 - соответствующая таблица истинности.

Рис. 6

Таблица 5

S	R	Q	Q
0	0	Запрещено
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	Хранение бита

Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ-НЕ (см. табл. 5).

Если на входы триггера подать S=«l», R = «0», то (независимо от состояния) на выходе Q верхнего вентиля появится «О». После этого на входах нижнего вентиля окажется R =«0», Q =«0» и выход Q станет равным «1».

Точно так же при подаче «0» на вход S и «1» на вход R на выходе Q появится «0», а на Q - «1».

Если на входы R и S подана логическая «1», то состояние Q и Q не меняется.

Подача на оба входа R и S логического «0» может привести к неоднозначному результату, поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.

Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта соответственно 8 * 2¹⁰ = 8192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.

Что такое сумматор

алгебра логика процессор триггер

Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Сумматор служит прежде всего центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнем. Условное обозначение одноразрядного сумматора приведено на рисунке 7.



a_i

b_i

P_i

P_i-1

c_i

А ПС

В

П_ВЫХ

Рис. 7

При сложении чисел А и В в одном i-м разряде приходится иметь дело с тремя цифрами:

1. цифра а. первого слагаемого;

2. цифра Ь. второго слагаемого;

3. перенос р₍_, из младшего разряда.

В результате сложения получаются две цифры:

1. цифра с. для суммы;

2. перенос p_i из данного разряда в старший

Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами, работа которого может быть описана следующей таблицей истинности (табл. 6):

Таблица 6

Входы	Выходы
Первое слагаемое	Второе слагаемое	Перенос	Сумма	Перенос
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1	0 0 0 1 0 1 1 1

Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причем для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Например, схема вычисления суммы С = (с₃ с₂ с, с₀) двух двоичных трехразрядных чисел А = (а₂ а, а₀) и В = (b₂ b, Ь_о) может иметь вид, как показано на рисунке 8.

Рис. 8

Основные законы алгебры логики

В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений (табл.7):

Таблица 7. Основные законы алгебры логики

ЗАКОН	Для ИЛИ	Для И
Переместительный	xvy = у vx	x * у = y * x
Сочетательный	xv (yvz) = (xvy)vz	(x * у) * z = x * (у * z)
Распределительный	X*(yvz) = x*yvx*z	x v у * z = (xvy) * (xvz)
Правила де Моргана	xvy= x*y	X*y =Xvy
Идемпотенции	xvx = x	X * X = X
Поглощения	xvx*у = x	x * (xvy) = x
Склеивания	(x-y)v(x -У) = У	(xvy) * (xvy) = у
Операция с переменной и её инверсией	xvx = 1	х- x =0
Операция с константами	xvO = x; xv 1= 1	x * 1 = x; x* 0 = 0
Двойного отрицания	Х = Х

Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Нарушения этих законов приводит к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

1. ПРЕДМЕТ ОБСУЖДЕНИЯ ДОЛЖЕН БЫТЬ СТРОГО ОПРЕДЕЛЕН И НЕ ДОЛЖЕН МЕНЯТЬСЯ ДО КОНЦА ОБСУЖДЕНИЯ.

Первый закон логики, сформулированный древнегреческим философом Аристотелем,- закон тождества.

Примером нарушения закона тождества является подмена понятий: например, когда программирование толкуется как единственное содержание информатики. Нарушение этого закона приводит к непониманию, двусмысленности и разногласиям.

Второй закон логики, также впервые высказанный Аристотелем,- закон противоречия.

2. НЕ МОГУТ БЫТЬ ОДНОВРЕМЕННО ИСТИННЫ УТВЕРЖДЕНИЕ И ЕГО ОТРИЦАНИЕ.

Примеры противоречивых утверждений: «Это яблоко спелое» и «Это яблоко неспелое», « Этот треугольник прямоугольный, но ни один угол в нем не является прямым»

В рассуждениях и доказательствах часто используется принцип выбора.

3. ЕСЛИ ИСТИННО А ИЛИ В, НО В НЕ ВЫПОЛНИМО ТО ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ А.

Где А и В - произвольные суждения. Пример рассуждений: «Это сделал Коля или Саша», «Саша этого не делал». Следовательно: «Это сделал Коля»

Принцип выбора - это принцип косвенного доказательства. Такие доказательства не дают явного обоснования утверждаемого, но позволяют отбросить другие гипотезы, которые противоречат выявленным фактам.

С принципом выбора тесно связан один из законов формальной логики, предложенный Аристотелем,- закон исключенного третьего.

4. ИСТИННО ЛИБО СУЖДЕНИЕ, ЛИБО ЕГО ОТРИЦАНИЕ.

Примеры рассуждений: «Сегодня я получу пятерку либо не получу», «Этот треугольник либо правильный, либо неправильный». В этой категоричной закон исключает появление третьего.

Другим принципом косвенного доказательства является закон двойного отрицания.

5. ЕСЛИ ОТРИЦАНИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ ЛОЖНО, ТО ИСХОДНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ ИСТИННО.

Примеры рассуждений:«Если неверно, что вчера не было дождя, то вчера был дождь», «Если неправда, что Коля этого не делал, то это сделал Коля».

Как видно из примеров, закон двойного отрицания не дает явного обоснования утверждений, а доказывает их лишь косвенно.

В тоже время мы широко пользуемся доказательствами от противного. Эти доказательства строятся на основе применения закона противоположности.

6. ЕСЛИ УСЛОВИЕ А ВЛЕЧЕТ СЛЕДСТВИЕ В, НО В НЕ ВЫПОЛНИМО, ТО НЕ ВЫПОЛНИМО САМО УСЛОВИЕ А.

Примеры рассуждений: «Если идет дождь, то на улице мокро». « На улице сухо». Следовательно: «Дождя не было».

Смысл этого закона, как видно из примеров, заключается в следующем. Если между некоторыми фактами имеется закономерная связь: предпосылки следствия, но следствие не имеет места, то не могут быть выполнены и предпосылки. Перечисленные законы широко используются для опровержений и доказательств от противного. Такие рассуждения начинаются с отрицания вывода и заключаются в выявлении предпосылок, при которых верно отрицание. Если выявленные предпосылки оказываются противоречащими исходным, то в силу закона двойного отрицания утверждение признается истинным.

И наконец, правильность утверждений даже при безупречной логике доказательств зависит от достоверности исходных фактов и положений. Эту идею выражает закон достаточных оснований, сформулированный немецким математиком Лейбницем.

7. ЛЮБОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ ДОЛЖНО ПРЕДПОЛАГАТЬ НАЛИЧИЕ АРГУМЕНТОВ И ФАКТОВ, ДОСТАТОЧНЫХ ДЛЯ ЕГО ОБОСНОВАНИЯ.

Данный закон выражает суть научных подходов к изучению явлений в природе и обществе, отвергающих бездоказательное утверждение истин. Нарушениями закона являются рассуждения, которые опираются на недостоверные факты или положения, истинность которых не проверяется, а принимается на веру.

Размещено на Allbest.ru