Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Частотный анализ систем автоматического управления



Предварительно рассмотрим комплексные числа и основные операции над ними. Существует три формы записи комплексного числа

1. Обычная форма W = W_x+ j W_y, j = - мнимая единица. (1)

2. Тригонометрическая форма W = A(cos + j sin). (2)

3. Показательная форма W = A e^j.. (3)

Комплексное число представляет собой точку на комплексной плоскости с действительной и мнимой частями W_x, W_y. Точке соответствует вектор с длиной (модулем) А и аргументом (фазой) (рис. 1). На рис. 1 на осях последовательно перечислены встречающиеся в сочетании типовые обозначения вещественной и мнимой осей.

Рис. 1 Задание комплексного числа на комплексной плоскости

Рис. 2. Опрределение аргумента вектора в ІІІ четверти

Положительное направление отсчета углов - против часовой стрелки. Из (1) - (3) и рис. 1 вытекают соотношения:

W_x = Acos; ; W_y = Asin; . (4)

Пусть W₁ = A₁e^j1 и W₂ = A₂e^j2.

Тогда _; (5)

, (6)

т. е. при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В случае деления комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Заметим также, что произведение комплексно-сопряженных чисел дает квадрат модуля, т.е.

WW^*=( W_x + j W_y ) ( W_x - j W_y )=W_x² + W_y² = A². (7)

Если имеем дробь

, (8)

то для определения вещественной и мнимой частей надо умножить числитель и знаменатель (8) на число, комплексно-сопряженное знаменателю (т.е. на ). В результате получим

, (9)

где . (10)

Заметим, что не содержит мнимой единицы, имеющейся в записи (9). Если нужно найти модуль и аргумент дроби (8), то следует воспользоваться правилом (6), а не искать и по (9) с последующим нахождением модуля и аргумента по (10).

Разложение на элементарные множители позволяет избежать ошибки определения аргумента без анализа, какой четверти принадлежит точка (комплексное число). Это иллюстрирует рис. 2, на котором два вектора направлены противоположно и расположены в I и III четвертях, так что их аргументы и отличаются на . В то же время формально по формуле из (4) получим одну и ту же величину, равную . Имеем = + . Следовательно, формула (4) работает в I четверти. Если находить аргумент как сумму или разность аргументов векторов типа с и , то не нужен анализ, и результат получится без ошибки. Это особенно существенно, если аргумент больше, чем и анализ четверти, в которой расположен вектор, не приведет к успеху.

Частотную передаточную функцию, или комплексный коэффициент усиления W(j), можно ввести двумя способами:

1. Путем нахождения реакции на синусоидальный (гармонический сигнал).

2. С помощью преобразования Фурье.

Начнем с первого способа и найдем реакцию системы (1) на гармонический сигнал, который представим в показательной форме

,(11)

где Х_m и - амплитуда и круговая частота.

Так как в линейной системе отсутствуют нелинейные искажения, то в установившемся режиме на выходе также будет гармонический сигнал той же частоты , в общем случае с другими амплитудой и фазой, т.е.



(12)

Для определения амплитуды и фазы подставим выражения сигналов (11), (12) и их производных в дифференциальное уравнение и после сокращения на е^jt 0 и элементарных преобразований получим тождество

.(13)

Отсюда

(14)

Эти соотношения можно рассматривать как определение частотной передаточной функции. В них заключается физический смысл частотной передаточной функции и из них вытекает способ её экспериментального нахождения путем измерения амплитуд гармонических сигналов на входе и выходе и сдвига по фазе между ними для одной и той же частоты.

В случае второго способа определения частотной передаточной функции сравним (2.4.13) и (2.2.15). Из сравнения следует, что частотная передаточная функция является частным случаем передаточной функции по Лапласу при р = j, т.е.

. (15)

Так как передаточная функция по Лапласу применима к сигналам произвольной (любой) формы, то и частотная передаточная функция применима для нахождения реакции на сигнал произвольной формы, а не обязательно гармонический. Из (5) для Фурье-изображения реакции имеем

.(16)

Сама реакция, то есть оригинал, находится по формуле обращения

.(17)

Формула обращения позволяет трактовать сигнал как сумму элементарных гармонических составляющих вида

, (18)

причем в соответствии с (2.4.18) и первым определением частотной передаточной функции элементарная выходная гармоника равна произведению элементарной входной гармоники на частотную передаточную функцию при данной частоте.

Таким образом, из второго определения частотной передаточной функции вытекает частотный метод (метод преобразования Фурье) нахождения реакции:

1. Для заданного входного сигнала находим изображение по Фурье

. (19)

2. Находим Фурье-изображение реакции, используя (16)



Y(j) = X(j)W(j). (20)

3. По формуле обращения (обратного преобразования Фурье) находим реакцию

. (21)

На практике для аналитически заданных x(t) и W(j) операции (19) и (21) выполняются с помощью таблиц соответствия между оригиналами и изображениями. Если нет аналитических выражений или они сложны, то прибегают к численным методам интегрирования (19), (21) с помощью ЭВМ.

Функция веса представляет собой (по определению) реакцию на -функцию. Следовательно, функция веса - это некоторый сигнал, а частотная передаточное функция - это изображение по Фурье этого сигнала. Поэтому одинаково, как по (21), так и по (30) можно объяснить смысл отрицательных частот, трактуя сигнал - действительную функцию действительного аргумента t как сумму комплексных величин (гармоник) - элементарных векторов , вращающихся с круговой частотой на комплексной плоскости. Для получения в результате суммирования действительного числа нужно, чтобы каждому элементарному вектору, вращающемуся против часовой стрелки ( > 0), соответствовал элементарный вектор, вращающийся в противоположном направлении ( < 0). Тогда cyммa таких элементарных векторов по правилу параллелограмма будет давать элементарный вектор, направленный вдоль вещественной оси, т.е. действительное число. Суммируя эти элементарные векторы, получим результирующий вектор, направленный по вещественной оси, т.е. действительный сигнал. Это иллюстрирует рис. 3.



Рис. 3. Интерпретация отрицательных частот

Следовательно, отрицательные частоты представляют собой математическую абстракцию. Физически их не существует. В результате измерения энергии сигнала в полосе частот от до , т.е. на выходе полосового фильтра с полосой пропускания (, ), мы получим величину, вдвое большую по сравнению с теоретической величиной. Т.е. результат физического измерения надо разделить на два для абстрагирования к отрицательным частотам.

Заметим, что все реальные системы инерционны, т.е. имеют ограниченную полосу пропускания и

W(j)0 при . (31)

Отсюда вытекает, что степень числителя передаточной функции (15) или (13) меньше степени знаменателя, т.е. m < n. Соответственно h(0) = 0.

Виды частотных характеристик.

Характер преобразования входного сигнала звеном или системой определяется частотной передаточной функцией или соответствующими ей частотными характеристиками. Виды частотных характеристик тесно связаны с формами записи комплексных чисел, поскольку для частотная передаточная функция является комплексным числом.

Перечислим теперь основные частотные характеристики (рис. 3-6).

1. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) - зависимость W(j) на комплексной плоскости при изменении от от - до + (Рис. 2.4.3). Так как W_х() = W_х(-) - четная функция, а W_у() = W_у(-) - нечетная функция, то АФХ для < 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 и ее обычно не изображают.

Рис. 4. Амплитудно-фазовая характеристика

Рис. 5. Вещественная и мнимая частотные характеристики

2. Вещественная W_х() и мнимая W_у() частотные характеристики (рис. 4) - зависимости вещественной и мнимой части от частоты. Имея в виду четность вещественной характеристики и нечетность мнимой, их для < 0 обычно не изображают. Четность W_х() и нечетность W_у() вытекают из правила (22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в четной степени - действительное число (отходит к W_х()), а в нечетной -мнимое (отходит к W_y()).

3. Амплитудная (АЧХ) и фазовая (ФЧХ) частотные характеристики - зависимости А() и () от частоты (рис. 5). В силу четности А() и нечетности (), их для < 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.

4. Обратная частотная характеристика W^-1(j) = 1/ W(j). Определяя амплитуду и аргумент (фазу) для дроби по правилу (2.4.6), найдем

. (22)

Из связи между формами записи комплексных чисел вытекает, что по АФХ можно построить W_х(), W_у() или А(), (), а также W^-1(j) и наоборот. На рис. 6 изображена обратная для характеристики на рис. 3 характеристика. На рисунке построена окружность единичного радиуса. В соответствии с правилом (22) точки, соответствующие А() > 1, лежат внутри круга единичного радиуса. Точка А() = 1 остается на окружности, но фаза меняется на противоположную (на 180).

Заметим, что реальные (физически реализуемые) звенья и системы имеют ограниченную полосу пропускания, т. е. А() 0 при 0 или W(j) 0 при . Для выполнения этого условия в (13) должны иметь n > m, т. е. степень знаменателя передаточной функции должна быть больше степени числителя.

Тем не менее, рассматриваются звенья, для которых условие физической осуществимости не выполняется. Это правомерно в определенном диапазоне частот. Если спектр сигнала на входе звена выходит за пределы этого диапазона, то возникнут искажения в реакции, не предусмотренные передаточной функцией звена.

Размещено на http://www.allbest.ru/

5. Логарифмические частотные характеристики

Наиболее широкое применение нашли логарифмические характеристики. Для их объяснения представим частотную передаточную функцию в показательной форме и возьмем натуральный логарифм от :

Он равен комплексному выражению; вещественная его часть является логарифмом от модуля, а мнимая - фазой.

Вещественная часть логарифма представляет собой логарифмическую амплитудную характеристику, а мнимая часть - фазовую.

На практике берется десятичный логарифм, так что логарифмические амплитудная (ЛАХ) и фазовая (ЛФХ) характеристики определяются выражениями:

(23)



По оси абсцисс на графиках откладывается частота в логарифмическом масштабе, т.е. lg. Однако желательно делать оцифровку непосредственно в значениях круговой частоты , а для разметки можно воспользоваться табл. 1.

Таблица 1

Значения

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
lg	0	0.301	0.477	0.602	0.699	0.778	0.845	0.903	0.954	1

Амплитуда измеряется в децибелах, фаза - в градусах. Для разметки оси абсцисс непосредственно в значениях (рад/с) можно воспользоваться любой из трех шкал (основной, квадратичной и кубической) логарифмической линейки (рис. 7).

Рис. 7



Если взять за декаду D мм, то, например, 0.301 дек (соответствует = 2 рад/с) составит 0.301D мм, 1.301 дек (соответствует 20 рад/с) составит D+0.301D мм и т.д. Таким образом, точки с оцифровкой в пределах от 1 до 10 смещаем вправо на декаду и оцифровываем от 10 до 100 и т.д. (рис.2.4.7), смещаем влево от исходного положения на одну декаду и оцифровываем от 0.1 до 1 и т.д.

Если ₂ /₁ = 10, то расстояние между частотами равно одной декаде (lg10=1), если ₂ /₁ = 2, то расстояние равно одной октаве.

Так как lg( = 0) = -, то точка = 0 находится на бесконечности слева. Поэтому ось ординат проводят в любом месте с таким расчетом, чтобы на график попал интересующий диапазон частот. Так как 20lg1 = 0, то L() > 0, если А()>1 и L() < 0, если А( ) < 1. Если А() 0, то L() -.

Рассмотрим ЛАХ инерционного звена. Имеем

A() = ; . (24)

Левее частоты сопряжения ₀, т.е. в случае ₀, пренебрежем под знаком радикала величиной ² по сравнению с ₀². Тогда

L() 20lg(k). (25)

Следовательно, левее ₀ асимптотическая ЛАХ представляет собой горизонтальную прямую на высоте 20lg(k). Если k = 1, то эта прямая совпадает с осью частот.

Правее частоты сопряжения ₀, где ₀, аналогично получим

L() 20lg(k) - 20lg, (26)



т.е. прямую с наклоном -20 дБ/дек, так как по оси абсцисс откладывается lg.

В точке ₀ имеем погрешность замены точной (реальной) характеристики на асимптотическую, равную

Рис. 8. Фазовые характеристики инерционных звеньев

Так как

L_точ( ₀)=L_приб( ₀)+L( ₀),

то реальная характеристика в точке ₀ расположена ниже асимптотической на 3дБ. На практике погрешность в 3дБ считается небольшой и не учитывается.

Частотные характеристики типовых звеньев

Переходя от передаточной функции звена к частотной передаточной функции (по Фурье, ) с помощью операций над комплексными числами, можно найти различные частотные характеристики типовых звеньев.

В частности, в случае инерционного звена имеем:

; ; ;

; .

Выражения для и представляют собой уравнение амплитудно-фазовой характеристики в параметрической форме в функции действительного параметра . Изменяя от , построим АФХ. Если из параметрических уравнений исключить , то получим уравнение АФХ в явном виде. Для этого разделим второе уравнение на первое и найдем . Подставим это значение в первое уравнение

.

Приводя к общему знаменателю, преобразуем уравнение к виду

.

Дополним до полного квадрата, прибавив слева и справа .

Тогда получим

. (36)

Это уравнение окружности радиуса с центром в точке , как показано на рис. 11. При построении АФХ по (36) не ясно, какой частоте соответствуют точки АФХ. Поэтому следует обратиться к уравнениям в параметрической форме.

Рис. 9. АФХ инертного звена

Значения и в зависимости от , найденные по параметрическим уравнениям, приведены в табл. 2. Очевидно, что является четной функцией, а - нечетной, т.е. ; . частотный амплитудный фазовый логарифмический

Следовательно, как и в общем случае, АФХ для является зеркальным отражением АФХ для относительно действительной оси. В случае изменения от 0 точка пробегает по верхней ветви, характеристики, а в случае изменения от - по нижней ветви характеристики.

Таблица 2

Точки АФХ инерционного звена, полученные по параметрическим уравнениям

	0	…		…
		…		…	0
	0	…		…	0



Логарифмические характеристики инерционного звена рассмотрены в п.

В случае интегрирующего звена имеем

; ; , ; ; .

Рис. 10. АФХ интегрирующего звена

Так как , то АФХ совпадает с осью ординат (мнимой осью), как показано на рис.2.4.12. В случае изменения от 0 точка пробегает по оси от . В случае изменения от точка пробегает по оси от 0.

Для фиксированной частоты имеем , .

В случае инерционного звена при непрерывном изменении от имели плавное изменение АФХ без разрывов, как изображено на рис.2.4.11. В случае интегрирующего звена при переходе через 0 АФХ разрывается. При имеем , а при имеем . Возникает неопределенность, где на бесконечности замыкаются ветви АФХ, соответствующие и - слева или справа на рис.2.4.12.

Для раскрытия неопределенности рассмотрим звено с передаточной функцией

, (37)

т.е. инерционное звено с коэффициентом усиления и постоянной времени . АФХ этого инерционного звена изображена на рис 11. Если , то инерционное звено (37) превращается в интегрирующее с передаточной функцией . Очевидно, что в случае радиус окружности стремится к бесконечности, т.е. АФХ “прижимается” к мнимой оси . При этом замыкание ветвей АФХ для и происходит на бесконечности справа (по дуге бесконечно большого радиуса).

Таким образом, если нулевой полюс (корень характеристического уравнения) интегрирующего звена сдвинуть влево (из нулевого превратить чуть-чуть в отрицательный), то интегрирующее звено превратится в инерционное, а АФХ при замкнется на бесконечности справа.

Логарифмические характеристики интегрирующего звена

; .

Так как по оси частоты на логарифмических характеристиках откладывается , то первое уравнение представляет собой прямую линию с наклоном . Если , то . Если , то ЛАХ при пересекает ось частот. Фазовый сдвиг на всех частотах одинаковый и равен на всех положительных частотах.

Логарифмические характеристики колебательного звена рассмотрены в п. 2.4.3.

Как было установлено ранее, для обратных характеристик ; . Соответственно . Следовательно, обратные логарифмические характеристики являются зеркальным отображением прямых относительно оси частот.

В частности, в случае дифференцирующего звена с единичным коэффициентом усиления ЛАХ является прямой с наклоном , проходящей через ось частот при . Передаточные функции и логарифмические характеристики прямых и обратных звеньев с единичным коэффициентом усиления приведены в табл.2.4.6.

Таблица 3

Логарифмические характеристики звеньев

№ п/п	Название звена		ЛАХ, ЛФХ
1	Идеальное интегрирующее
2	Инерционное
3	Колебательное
4	Идеальное дифференцирующее
5	Форсирующее
6	Обратное колебательному

Из табл. 3 следует:

1. Наклон и соответственно сдвиг по фазе на низких частотах могут дать только интегрирующие или дифференцирующие звенья. Если, например, в передаточной функции имеется r интегрирующих звеньев, то наклон ЛАХ на низких частотах равен , а сдвиг по фазе соответственно .

2. n корням знаменателя (полюсам передаточной функции), т.е. степени знаменателя n, соответствует наклон ЛАХ на верхних частотах, равный , и в случае минимально фазовой системы - соответственно сдвиг по фазе на высоких частотах, равных .

3. корням числителя (нулям передаточной функции) на высоких частотах аналогично соответствуют наклон ЛАХ, равный , и сдвиг по фазе .

4. В случае передаточной функции минимально-фазовой системы с n полюсами и n₁ нулями наклон ЛАХ на высоких частотах равен , а сдвиг по фазе равен градусов.

Построение логарифмических характеристик систем и восстановление передаточной функции по ЛАХ

Если звенья системы соединены последовательно, то и для модуля и аргумента комплексного коэффициента усиления разомкнутой системы соответственно имеем:

; . (38)

Очевидно, (39)

Следовательно, для построения ЛАХ и ЛФХ нужно просуммировать соответствующие характеристики отдельных звеньев.

Пример 1. Построить ЛАХ и ЛФХ по передаточной функции

,

где ; с; с. Соответственно сопрягающие частоты равны ; ;.

Передаточную функцию представим в виде произведения передаточных функций интегрирующего звена ; инерционных звеньев и форсирующего . Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики отдельных звеньев, а также результирующие ЛАХ и ЛФХ системы построены на рис. 11 и 12.

Рис. 11. ЛАХ системы Рис. 12. ЛФХ системы



На рис. 11 жирными линиями показаны асимптотические ЛАХ звеньев. Характеристики двух инерционных звеньев с передаточными функциями и на графиках сливаются, но их необходимо учитывать дважды. Это касается также и ЛФХ этих звеньев. Для построения результирующей ЛАХ к ЛАХ интегрирующего звена последовательно добавлялись характеристики остальных звеньев при перемещении вдоль оси частот слева направо по мере встречи сопрягающих частот. После очередной частоты сопряжения наклон ЛАХ изменялся на . Приращение наклона соответствовало звену, которому принадлежала сопрягающая частота.

Анализируя результаты примера и характеристики типовых звеньев (табл. 3), можно сделать вывод, что ЛАХ разомкнутой системы можно построить сразу, минуя промежуточные построения ЛАХ звеньев и суммирование их, по правилу:

1. Найти сопрягающие частоты и отложить их на оси частот. Ось ординат провести для удобства левее самой низкой сопрягающей частоты.

2. При щ = 1 отложить 20 lgk и через эту точку провести прямую с наклоном -20 дБ/дек, если в системе имеется интегрирующих звеньев, или с наклоном +20 дБ/дек, если в системе имеется дифференцирующих звеньев (при = 0 низкочастотная асимптота ЛАХ параллельна оси абсцисс).

3. При прохождении слева направо каждой из частот сопряжения характеристика испытывает приращение наклона -20 дБ/дек (для инерционного звена), -40 дБ/дек (для колебательного звена), +20 дБ/дек (для форсирующего звена), +40 дБ/дек (для звена, обратного колебательному). Если сопрягающие частоты нескольких звеньев одинаковы, то приращение наклона ЛАХ равно суммарному приращению от всех звеньев. Если имеется хотя бы одна частота сопряжения, меньшая единицы, то точка 20lgk при щ = 1 не будет лежать на результирующей ЛАХ.

4. Ввести поправку к асимптотической ЛАХ при наличии колебательных или обратных им звеньев.

Для контроля правильности построения ЛАХ и ЛФХ полезно помнить, что наклон ЛАХ в области высоких частот (щ > ?) равен 20 (m-n) дБ/дек, где m - порядок числителя, n - порядок знаменателя передаточной функции системы. Кроме того,

; , (30)

где знак минус берётся при наличии интегрирующих, а плюс - дифференцирующих звеньев. Из анализа методики построения ЛАХ по передаточной функции вытекает возможность обратного перехода, т. е. восстановления передаточной функции минимально-фазовой системы по ЛАХ.

При восстановлении передаточной функции минимально-фазовой системы по ЛАХ записываем дробь, в числителе которой ставим общий коэффициент усиления и далее делаем начинку дроби. По величине наклона низкочастотного участка определяем количество интегрирующих или дифференцирующих звеньев (формально отрицательному наклону соответствуют интегрирующие звенья и, соответственно, множитель в знаменателе, положительному наклону - множитель в числителе, - кратность наклона 20-ти децибелам). В случае нулевого наклона интегрирующие или дифференцирующие звенья отсутствуют. Далее при движении слева направо по мере встречи частот сопряжения анализируем приращение (изменение) наклона. Если приращение составляет +20 Дб/дек, то в числитель записываем для форсирующего звена вида , если приращение составляет -20 Дб/дек, то в знаменатель записываем для инерционного звена вида . В случае приращения наклона +40 Дб/дек в числитель записываем два форсирующих звена , в случае приращения наклона -20 Дб/дек в знаменатель записываем для двух инерционных звена вида . Если на ЛАХ показана поправка на коэффициент затухания , то вместо двух форсирующих или инерционных звеньев записываем обратное колебательному или колебательное звено (множитель в числителе или в знаменателе). Если кратность наклона 3 и более, то записываем соответствующее количество звеньев с одинаковыми частотами сопряжения. Для определения коэффициента усиления находим точку пересечения продолжения низкочастотного участок ЛАХ с вертикальной прямой с абсциссой и по ординате этой точки определяем .

В случае минимально-фазовой системы в двучленах и трехчленах, упомянутых выше, берем знаки “+”. Если бы имелись не минимально-фазовые звенья, то нужно было бы взять знак “-“. При этом ЛАХ осталась бы прежней, а ЛФХ была бы другой. Поэтому в случае минимально-фазовой системы восстановление однозначно и нет необходимости контролировать АФХ.

Пример 2. Восстановить передаточную функцию минимально-фазовой системы по ЛАХ рис. 13.

Рис.13. ЛАХ минимально-фазовой системы



В соответствие с приведенными соображениями передаточная функция минимально-фазовой системы будет равна

Из рис.2.4.15 имеем дБ и с, . Обратим внимание, что > 1, ЛАХ на всех частотах расположена ниже оси частот.

Размещено на Allbest.ru