Системы счисления
Представление информации в компьютере. Позиционные системы счисления. Двоичная арифметика, правила выполнения арифметических действий. Перевод чисел из одной системы в другую. Шестнадцатеричная система счисления. Операция вычитания двоичных чисел.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.01.2013 |
| Размер файла | 47,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Представление информации в ЭВМ
К основным типам данных (информации), с которыми оперирует ЭВМ можно отнести:
· Числа.
· Символы.
· Логические значения.
· Массивы (чисел, символьных строк, списочные).
· Графика.
· Звук.
· Видео.
Вне зависимости от типа данных ЭВМ имеет дело исключительно с их двоичным представлением или кодированием. Т.е. в ЭВМ любые данные преобразуются в кодовые последовательности двоичных цифр.
Различные виды информации имеют свои правила кодирования. Коды отдельных значений, относящиеся к различным видам информации, могут совпадать. Поэтому расшифровка кодированных данных осуществляется по контексту при выполнении команд программы.
В ЭВМ используются три вида чисел: двоичные числа с фиксированной запятой (точкой), с плавающей запятой и двоично-кодированные (восьмеричные, шестнадцатеричные, двоично-десятичные) числа.
Во всех современных компьютерах важную роль играет представление данных группами по 8 бит называемых байтами. Байт содержит одну из 2=256 комбинаций двоичных символов.
Байт
По существу, байт стал стандартной базовой единицей, из которой образуются все остальные единицы машинных данных. В зависимости от того, как интерпретируется содержимое байта, оно может быть: числом, кодированным представлением символа внешнего алфавита, частью команды или более сложной единицей данных. Другими словами интерпретацию байта определяет программист в зависимости от контекста своей программы.
В подавляющем большинстве компьютеров (ЭВМ), принята нумерация битов в байте справа налево.
Единица данных, состоящая из 16 бит или двух байт, называется словом.
Слово
Слово может содержать любую из 2=65536 комбинаций. По аналогии с нумерацией бит, байты в слове также нумеруются справа налево, начиная с нуля: байт 0 называется младшим, а байт 1-старшим байтом.
Следующая единица данных состоит из 4-х байтов и называется двойным словом.
Двойное слово
Число возможных комбинаций в двойном слове составляет 2=1048576.
Следующая из рассматриваемых единица данных состоит из 64 бит или 8 байт и называется квадро (длинное слово).
Квадро-слово
Еще одной единицей представления данных, применяемой в современных ЭВМ, является октослово.
Откослово
Октослово состоит из 16 байт.
Основная или базовая единица данных, с которой оперирует процессор (микропроцессор), называется машинным словом. Практически во всех современных процессорах длина машинного слова кратна байту. Длина слова является важнейшей характеристикой процессора и в соответствии с ней процессоры подразделяются на 8-, 16-, 32-, 64-, 128-битные.
2. Позиционные системы счисления
Под системой счисления понимают способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Существуют различные системы счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметических операций.
В ЭВМ используются только позиционные системы счисления с различными основаниями. Позиционные системы счисления характеризуются тем, что одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающих число.
Пример
— десятичная система счисления - позиционная.
— римская система счисления - непозиционная.
Количество S различных цифр, употребляющихся в позиционной системе счисления, называется ее основанием. В общем случае, любое число в позиционной системе счисления можно представить в виде полинома от основания S.
В качестве коэффициента могут стоять любые из S цифр, используемых в системе счисления. Однако для краткости число принято изображать в виде последовательности цифр.
Позиции цифры, отсчитанные от запятой (точки), отделяющей целую часть от дробной, называются разрядами. В позиционной системе счисления вес каждого разряда больше соседнего в число раз, равное основанию системы S.
В настоящее время в ЭВМ применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. В дальнейшем систему счисления, в которой записано число, будем обозначать подстрочным индексом, заключенным в круглые скобки. Например: 1101(2), 369(10), BF(16) и т.д.
3. Системы счисления
|
10-чная |
2-ичная |
8-ичная |
16-ичная |
|
|
0 |
00000 |
0 |
0 |
|
|
1 |
00001 |
1 |
1 |
|
|
2 |
00010 |
2 |
2 |
|
|
3 |
00011 |
3 |
3 |
|
|
4 |
00100 |
4 |
4 |
|
|
5 |
00101 |
5 |
5 |
|
|
6 |
00110 |
6 |
6 |
|
|
7 |
00111 |
7 |
7 |
|
|
8 |
01000 |
10 |
8 |
|
|
9 |
01001 |
11 |
9 |
|
|
10 |
01010 |
12 |
A |
|
|
11 |
01011 |
13 |
B |
|
|
12 |
01100 |
14 |
C |
|
|
13 |
01101 |
15 |
D |
|
|
14 |
01110 |
16 |
E |
|
|
15 |
01111 |
17 |
F |
Двоичная система счисления
В двоичной системе счисления основание S = 2, т.е. используются всего два символа: 0 и 1. Двоичная система счисления проще десятичной. Однако двоичное изображение числа требует большего (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза) числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее применение двоичной системы создает большие удобства для проектирования ЭВМ, так как для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния. Также достоинством двоичной системы счисления является простота двоичной арифметики.
В общем виде двоичное число выглядит следующим образом:
, где .
Вес каждого разряда в двоичной системе счисления кратен 2 или 1/2.
Пример
Двоичное число - 101101(2).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Как и в десятичной, в двоичной системе счисления для отделения целой части от дробной используется точка. Значение веса разрядов справа от точки равно основанию двоичной системы (2), возведенному в отрицательную степень. Такие веса - это дроби вида: 1/2, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25 или 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Их можно выразить через десятичные дроби: 2-1 = 0.5, 2-2 = 0.25, 2-3 = 0.125, 2-4 = 0,0625.
В общем случае двоичное число имеет целую и дробную части, например 1101101.10111.
Каждая позиция, занятая двоичной цифрой, называется битом. Бит является наименьшей единицей информации в ЭВМ. Наименьшим значащим битом (МЗР) называют самый младший двоичный разряд, а самым старшим двоичным разрядом - наибольший значащий бит (СЗР). В двоичном числе эти биты имеют соответственно наименьший и наибольший вес. Обычно двоичное число записывают так, что старший значащий бит является крайним слева.
Восьмеричная система счисления
В восьмеричной системе счисления употребляются всего восемь цифр, т.е. эта система счисления имеет основание S = 8. В общем виде восьмеричное число выглядит следующим образом:
,
где .
Восьмеричная система счисления не нужна ЭВМ в отличие от двоичной системы. Она удобна как компактная форма записи чисел и используется программистами (например, в текстах программ для более краткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов). В восьмеричной системе счисления вес каждого разряда кратен восьми или одной восьмой, поэтому восьмиразрядное двоичное число позволяет выразить десятичные величины в пределах 0-255, а восьмеричное охватывает диапазон 0-99999999 (для двоичной это составляет 27 разрядов).
4. Шестнадцатеричная система счисления
Эта система счисления имеет основание S = 16. В общем виде шестнадцатеричное число выглядит следующим образом:
,
где .
Шестнадцатеричная система счисления позволяет еще короче записывать многоразрядные двоичные числа и, кроме того, сокращать запись 4-разрядного двоичного числа, т.е. полубайта, поскольку 16=24. Шестнадцатеричная система также применяется в текстах программ для более краткой и удобной записи двоичных чисел.
4. Двоичная арифметика
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами определяются арифметическими действиями над одноразрядными двоичными числами.
|
сложение |
вычитание |
умножение |
|
|
0+0=0 |
0-0=0 |
0?0=0 |
|
|
0+1=1 |
1-0=1 |
1?0=0 |
|
|
1+0=1 |
1-1=0 |
0?1=0 |
|
|
1+1=10 |
10-1=1 |
1?1=1 |
Правила выполнения арифметических действий во всех позиционных системах счисления аналогичны.
Сложение
Как и в десятичной системе счисления, сложение двоичных чисел начинается с правых (младших) разрядов. Если результат сложения цифр МЗР обоих слагаемых не помещается в этом же разряде результата, то происходит перенос. Цифра, переносимая в соседний разряд слева, добавляется к его содержимому. Такая операция выполняется над всеми разрядами слагаемых от МЗР до СЗР.
Пример
Сложим 2 числа в десятичном и двоичном представлении (формат - 1 байт).
|
Перенос (единицы) |
11 |
1111111 |
|
|
Слагаемое 1 |
099(10) |
01100011(2) |
|
|
Слагаемое 2 |
095(10) |
01011111(2) |
|
|
Сумма |
194(10) |
11000010(2) |
Операция получается громоздкая со многими переносами, но удобная для ЭВМ.
Вычитание
Операция вычитания двоичных чисел аналогична операции в десятичной системе счисления. Операция вычитания начинается, как и сложение, с МЗР. Если содержимое разряда уменьшаемого меньше содержимого одноименного разряда вычитаемого, то происходит заем 1 из соседнего старшего разряда. Операция повторяется над всеми разрядами операндов от МЗР до СЗР.
Пример
(формат - 1 байт).
двоичный позиционный арифметический шестнадцатеричный
|
Заем (единица) |
1 |
01100000 |
|
|
Уменьшаемое |
109(10) |
01101101(2) |
|
|
Вычитаемое |
049(10) |
00110001(2) |
|
|
Разность |
060(10) |
00111100(2) |
Второй вариант операции вычитания - когда уменьшаемое меньше вычитаемого - приведен в разделе представления двоичных чисел в дополнительном коде.
Умножение
Как и в десятичной системе счисления, операция перемножения двоичных многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. Частичные произведения формируются в результате умножения множимого на каждый разряд множителя, начиная с МЗР. Каждое частичное произведение смещено относительно предыдущего на один разряд. Умножение двоичных чисел идет путем сдвига и сложения. Таким образом, количество частичных произведений определяется количеством единиц в множителе, а их сдвиг - положением единиц. Положение точки в дробном числе определяется так же, как и при умножении десятичных чисел.
Пример
Деление
Деление - операция, обратная умножению, поэтому при делении двоичных чисел, так же как и в десятичной системе счисления, операция вычитания повторяется до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше вычитаемого. Число этих повторений показывает, сколько раз вычитаемое укладывается в уменьшаемом.
Пример
Вычислить 1100.011(2)/10.01(2)
Таким образом, процедура деления не так проста для машинной реализации, как операция умножения, поскольку постоянно приходится выяснять, сколько раз делитель укладывается в определенном числе.
5. Перевод чисел из одной системы в другую
Перевод из 2-ой системы в 8-ую
Двоичная запись числа (dndn-1…d1d0)2 разбивается справа - налево на триады (каждая по три разряда). Если в самой левой триаде меньше трех цифр - слева добавляются нули.
(dndn-1…d1d0) => (0 dndn-1) (dn-2dn-3dn-4) … (d2d1d0).
Трехразрядное двоичное число каждой триады заменяется на число, равное ему в 8-ой системе.
Пример
11 101 1112 = 3578
Перевод из 8-ой системы в 2-ую
Каждая цифра 8-ого числа заменяется на триаду цифр двоичного числа, соответствующего значению этой цифры. Если старшие разряды полученного числа равны 0, то они отбрасываются.
Пример
3258 > 3 2 5 > 11 010 101 > 110101012
Перевод из 2-ой системы в 16-ую
Двоичная запись числа (dndn-1…d1d0)2 разбивается справа - налево на тетрады (каждая по четыре разряда). Если в самой левой тетраде меньше четырех цифр - слева добавляются нули.
(dndn-1…d1d0) => (00 dndn-1) (dn-2dn-3dn-4dn-5) … (d3d2d1d0).
Четырехразрядное двоичное число каждой тетрады заменяется на число, равное ему в 16-ой системе.
Пример
100 1101 01112 = 4B716
4 В 7
Перевод из 16-ой системы в 2-ую
Каждая цифра 16-ого числа заменяется на тетраду цифр двоичного числа, соответствующего значению этой цифры. Если старшие разряды полученного числа равны 0, то они отбрасываются.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Примеры правила перевода чисел с одной системы в другую, правила и особенности выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления. Перевод числа с десятичной системы в двоичную систему счисления. Умножение целых чисел в двоичной системе.
контрольная работа [37,3 K], добавлен 13.02.2009Система счисления как способ записи (изображения) чисел. История появления и развития различных систем счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная. Основные принципы и правила алгоритма перевода из одной системы счисления в другую.
курсовая работа [343,1 K], добавлен 11.11.2014Понятие и классификация систем счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Перевод правильных и неправильных дробей. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ. Навыки обращения с двоичными числами. Точность представления чисел в ЭВМ.
реферат [62,0 K], добавлен 13.01.2011История систем счисления, позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичное кодирование в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Запись цифр в римской нумерации. Славянская нумерация, сохранившаяся в богослужебных книгах.
презентация [516,8 K], добавлен 23.10.2015Определение понятия и видов систем счисления - символического метода записи чисел, представления чисел с помощью письменных знаков. Двоичные, смешанные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции.
курсовая работа [232,6 K], добавлен 16.01.2012Обработка информации и вычислений в вычислительной машине. Непозиционные и позиционные системы счисления. Примеры перевода десятичного целого и дробного числа в двоичную систему счисления. Десятично-шестнадцатеричное и обратное преобразование чисел.
контрольная работа [41,2 K], добавлен 21.08.2010Преимущества позиционных систем счисления: наглядность представления чисел и простота выполнения вычислений. Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами в прямом, обратном и дополнительном кодах. Перевод в другие системы счисления.
курсовая работа [59,9 K], добавлен 31.05.2009Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления и перевод из одной в другую. Форматы хранения чисел с плавающей точкой. Позиционная система счисления. Подпрограмма вывода служебных слов и полученных данных. Альтернативные варианты решения.
курсовая работа [920,9 K], добавлен 13.07.2014Порождение целых чисел в позиционных системах счисления. Почему мы пользуемся десятичной системой, а компьютеры - двоичной (восьмеричной и шестнадцатеричной)? Перевод чисел из одной системы в другую. Математические действия в различных системах счисления.
конспект произведения [971,1 K], добавлен 31.05.2009Общее представление о системах счисления. Перевод чисел в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Разбивка чисел на тройки и четверки цифр. Разряды символов числа. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.
практическая работа [15,5 K], добавлен 19.04.2011
