Абсолютна та відносна похибка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Кафедра автоматизованих систем управління

Звіт

до лабораторної роботи № 1

з курсу «Чисельні методи в інформатиці»

на тему «Абсолютна та відносна похибка»

Виконав:

студент групи КН-31

Присяжник І.

Прийняв:

Романчук Я.П.

Львів - 2010

Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка д цього числа задовольняє умову

д ?

де ат - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти

дa =

де аm - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ? 2 практично можна прийняти

дa =

Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто

Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка д, можемо скористатися наближеною формулою

д =

де ? - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ? = д |a|. Маючи ?, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а.

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

|?и| ? |?х1| + |?х2| + ... +|?хп|

Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто

?и = ?х1 +? х2 + ... +? хп

Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.

max =

Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:

и = х1-х2

Тоді, на підставі наслідку з теореми 1

?и = ?х1 +? х2 , дu=, (6)

де А - точне значення різниці х1-х2. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.

3. Похибки добутку.

похибка число арифметичний алгебраїчний

| ?u | = | А - u | ? x2x3 … xn | ?x1| + х1 х3… xn| ?x2| +…+ x1 x2 … хn-1 + ?хп

За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти

?u = x2x3 … xn ?x1+ х1 х3… xn ?x2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ?хп

Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти

Похибки степеня. Нехай

А = (х + ? х)т , и = хт

де т - натуральне число, х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо

|?u| < mxm - 1|?x|, д ? mд1

де д - відносна похибка степеня; д1 - відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти

?u= mxm - 1?x, дu= mдx

Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.

Оцінити абсолютну та відносну похибку при обчисленні величини F за умов:

a) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3;

B) заданих значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3 з похибкою

= N*10-3

де N - номер варіантy

Текст програми:

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>

#include <math.h>

#pragma hdrstop

#include "PohUn.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

float x[3]={0}, dx=0.005;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

float absf(float arg)

{

if(arg<0)arg*=-1;

return arg;

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::LabeledEdit4KeyPress(TObject *Sender, char &Key)

{

if ((Key < '0' || Key > '9') && Key != 8 && Key != ',' && Key != '-') Key= 0;

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

x[0]=StrToFloat(LabeledEdit4->Text);

x[1]=StrToFloat(LabeledEdit6->Text);

x[2]=StrToFloat(LabeledEdit5->Text);

float ab_poh=0, vid_poh=0;

ab_poh+=absf(5*2*x[0]*dx);

ab_poh+=absf(3*2*x[1]*dx);

ab_poh+=absf(2*2*x[2]*dx);

ab_poh+=absf(4*(x[1]+x[2])*dx);

ab_poh+=absf(2*dx);

ab_poh+=absf((-x[2]-x[3])*dx*sin(x[1]*x[2]));

float f = 5*x[0]*x[0]+3*x[1]*x[1]+2*x[2]*x[2]-4*x[1]*x[2]-2*x[0]-cos(x[1]*x[3]);

vid_poh=ab_poh/f*100;

LabeledEdit1->Text=FloatToStrF(f,ffFixed,14,3);

LabeledEdit2->Text=FloatToStrF(ab_poh,ffFixed,14,3);

LabeledEdit3->Text=FloatToStrF(vid_poh,ffFixed,14,3)+'%';

}

//---------------------------------------------------------------------------

Результат виконання програми:

Висновок

На цій лабораторній роботі я вивчив і засвоїв поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.

Размещено на Allbest.ru