Математичний опис композиції двовимірних перетворень масштабування, повороту, переносу та симетрії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

1. Базові перетворення, розрахунки та графічні представлення на їх основі

1.1 Перетворення масштабування

1.2 Перетворення повороту

1.3 Перетворення переносу

1.4 Перетворення симетрії

2. Композиція базових перетворень

2.1 Розробка матриці складного перетворення

2.2 Чисельні розрахунки

Висновки

Список використаної літератури

Додаток А

Додаток Б

Вступ

Метою даної розрахунково-графічної роботи є застосування композиції двовимірних графічних перетворень масштабування, повороту, переносу та симетрії до об'єкту «трикутник» на основі матричного уявлення базових графічних перетворень.

1. Базові перетворення, розрахунки та графічні представлення на їх основі

Постановка задачі: згідно з індивідуальним завданням необхідно знайти композицію базових графічних перетворень масштабування, повороту, переносу та симетрії та виконати отриману композицію над об'єктом «трикутник», однією з характерних точок якого є точка C(0,7). Інші три точки мають трикутника мають наступні координати: А(6,2), та В(6,7). Матриця масштабування: M(3,1). Градус повороту - R = (90є). Рівняння переносу: T=[x=10 ; y=10]. Рівняння симетрії: S(x=0).

Одержане перетворення проілюструвати в графічному вигляді.

Представлення в однорідних координатах: усі базові графічні перетворення над об'єктами проводяться в однорідних координатах. Координати точки на площині мають вигляд:

де представлення точки у Декартових координатах;

представлення точки в однорідних координатах,

де - нормуючий множник ().

Згідно з цим точки трикутника в однорідних координатах матимуть наступний вигляд: А(6,2,1) В(6,7,1) C (0,7,1)

1.1 Перетворення масштабування

Перетворення масштабування - це перетворення, в результаті якого об'єкт в загальному випадку змінює свої розміри та положення на площині. Математично перетворення виконується шляхом множення координат початкового об'єкта на деякі числа, які називаються масштабними коефіцієнтами та позначуються M_x та М_у. Матриця масштабування в загальному випадку має наступний вигляд:

· При масштабування називається однорідним.

· При , то об'єкт збільшується в розмірах та віддаляється від т. (0,0).

При - зменшується та наближується до початку координат.

Відповідно до індивідуальних початкових даних поставленої задачі матриця масштабування буде такою:

;

Знайдемо результат застосування до трикутника перетворення масштабування:

Отримуємо,,, (Рис.1)

1.2 Перетворення повороту

Перетворення повороту - це перетворення в результаті якого об'єкт повертається на заданий кут відносно початку координат.

Матриця повороту в загальному випадку має наступний вигляд:

Тут - кут, на який потрібно повернути точку (x, y).

Перетворення повороту має властивість аддитивності.

Відповідно до індивідуальних початкових даних поставленої задачі матриця повороту буде такою:

()

знайдемо результат застосування до трикутника перетворення повороту:

Отримуємо,,,,(Рис.1)

1.3 Перетворення переносу

Перетворення переносу - це перетворення в результаті якого об'єкт переноситься за заданим рівнянням відносно початку координат.

Матриця переносу в загальному випадку має наступний вигляд:

Тут t_x і t_y - значення по осям x і y, задані функцією.

Тепер розглянемо базове перетворення переносу.

Відповідно до індивідуальних початкових даних поставленої задачі матриця переносу буде такою:

;

Знайдемо результат застосування до трикутника перетворення переносу:

Отримуємо,,, (Рис.1)

1.4 Перетворення симетрії

Базовим перетворенням симетрії є перетворення симетрії відносно осі, що проходить через початок координат.

Матриця симетрії в загальному випадку має наступний вигляд:

;

Знайдемо результат застосування до трикутника перетворення симетрії:

Отримуємо,,,,(Рис.1)

2. Композиція базових перетворень

2.1 Розробка матриці складного перетворення

трикутник перетворення матриця масштабування

Композиція перетворень - це послідовність слідуючих одне за одним перетворень.

Остаточна матриця результуючої композиції, що має бути застосована до кожної точки трикутника, має наступний вигляд:

==

Враховуючи індивідуальні початкові дані, матриця перетворення симетрії буде наступною:

2.2 Чисельні розрахунки

Знайдемо результат застосування до трикутника та перевіримо, чи співпадають розрахунки:

Отримуємо,,,,(Рис.2)

Висновки

При виконанні РГР було закріплено знання з предмету інженерної та комп'ютерної графіки, а саме було застосовано на практиці навички з математичного опису та використання композиції базових графічних перетворень масштабування, повороту, переносу та симетрії до об'єкту «трикутник» на основі матричного уявлення базових графічних перетворень.

Список використаної літератури

1. Сибіряков В.В. Методичні вказівки до лабораторних робіт з курсу „Основи автоматизованого проектування складних об'єктів і систем” Для студентів фахів 7.080402 та 8.080402. / Сибіряков В.В., Міронов В.С.; Одеса: Наука і техніка, 2008

2. Потемкин А. Инженерная графика. - М.: Лори, 2000. - 492 с.

3. Уваров А.С. AutoCAD2000 для конструкторов. -М:. ДМК, 2000.-304 с.

Додаток А

Рис. 1. Графічне представлення перетворення на основі композиції матриць масштабування, повороту, переносу та симетрії

Додаток Б

Рис. 2. Графічне представлення перетворення на основі матриці результуючої композиції

Размещено на Allbest.ru