Арифметические операции над действительными числами с фиксированной точкой

Начнем с математического выражения для деления:

Пусть имеется два числа

a = n1 * 2q1 и b = n2 * 2q2.

Тогда:

a / b = n1 * 2q1 / (n2 * 2q2) = n1 / n2 * 2(q1-q2)

Сомножитель 2(q1-q2) означает, что при выполнении деления экспонента автоматически уменьшается. Если не принять меры, часть значащих разрядов отбрасывается автоматически.

Способ коррекции очевиден -- необходимо заранее увеличить разрядность делителя настолько, чтобы в результате деления получить желаемое количество значащих бит:

a / b = n1 * 2q1 * 2q3 / (n2 * 2q2) = n1 / n2 * 2(q1-q2+q3).

Таким образом, экспонента частного увеличена на q3 разряда.

Фрагмент кода на С:

int32_t a = 0x8000L; // q15: a = 0.5

int32_t b = 0x100000L; // q20: b = 0.5

int32_t c = 0; // q25

int64_t d; // Временная переменная с увеличенным числом разрядов.

d = (int64_t)a << 30; // q45: d = 0x200000000000; (0.5 in q45)

c = (int32_t)(d / (int64_t)b); // q25: c = 0x2000000; (1 in q25)

Очевидно, что при превышении числом разрядности 32 бита, проблему уже не решить так просто. Тем не менее, для простых инженерных расчетов 32-битных чисел обычно более, чем достаточно.

Есть один простой способ значительно сократить потерю точности при делении -- предварительное нормирование делимого. Нормирование -- фактически максимальный сдвиг мантиссы влево, при котором не происходит отбрасывания значащих битов.

Заключение

умножение точность разрядность значение фильтрация

О плюсах и минусах использования фиксированной точки

Наиболее распространенными являются два варианта обозначения числа с фиксированной точкой:

1. QM -- где M -- число разрядов после запятой. Использована в статье

2. QN.M -- где N -- число разрядов до запятой без учета знакового бита, а M -- после.

Минус первой нотации очевиден: при работе с переменной приходится обращаться к объявлению переменной (вспоминать ее разрядность) и производить в уме некоторые вычисления, чтобы понять, как привести экспоненту к желаемой. Больше того, если вспомнить округление (int32_t)d в примере с умножением, можно отметить, что при комментариях в данной нотации сложно понять, приведет ли сдвиг или отбрасывание значащих битов к ошибке.

При использовании комментариев во второй нотации можно просто записывать точность вычислений, что исключает необходимость вспоминать, как объявлена переменная.

Столь подробное описание даже для базовых операций способно отпугнуть инженеров и программистов от использования фиксированной точки в вычислениях, особенно, если уже выработана привычка к плавающей запятой без слежения за результатом. Тем не менее, в использовании фиксированной точки есть свои плюсы, некоторые из которых неочевидны.

Для того, чтобы окончательно определиться, надо ли оно вам, можно использовать следующую сводку по вычислениям с фиксированной точкой.

Плюсы:

· Необходимость думать.

· Предсказуемость результата. При правильном подходе к кодированию результат вычислений будет одинаков на любой платформе (процессор + компилятор) с точностью до разряда. Для данного явления существует специальный термин «битэкзактность» (от англ., bit-exactness). Правильно закодированный алгоритм всегда битэкзактен и, следовательно, может исследоваться на нецелевой платформе. Особенно это полезно, когда отладка на целевой платформе затруднена или невозможна и можно снять только входные данные.

· Полный контроль за поведением кода. Фиксированная точка исключает появление «неожиданностей», связанных с особенностями реализации плавающей запятой на используемой платформе.

· Автоматическая «фильтрация» пренебрежимо малых значений. В плавающей запятой ошибки вычислений могут накапливаться, в фиксированной точке этого не происходит (за счет отбрасывания малых значений) или процесс накопления ошибок можно контролировать алгоритмически.

· Алгоритмически контролируемый диапазон значений переменных. Плавающая запятая дает больше свободы в вычислениях, но результат может выходить за пределы допустимых, что приводит к необходимости его контролировать отдельно. В фиксированной точке эта проблема решается автоматически на этапе разработки и отладки алгоритма.

· Переносимость алгоритмов. Данный плюс изрядно коррелирует с первым, но стоит отметить, что целочисленные вычисления гораздо лучше поддержаны множеством не-х86 процессоров, чем вычисления с плавающей запятой. Так что, разработав один раз алгоритм в фиксированной точке, портировать его на различные «слабые» платформы становится гораздо проще. Иногда целочисленные вычисления вообще единственное, что доступно на целевой платформе.

· Возможность контролировать сложность вычислений путем понижения точности при разработке алгоритма.

· Иногда это интересно.

Минусы:

· Необходимость думать.

· Пониженный (в простейшем случае) диапазон значений переменных по сравнению с плавающей запятой.

· Необходимость алгоритмически контролировать диапазон значений переменных. Значительная часть времени при разработке уходит на правильное масштабирование и выбор диапазонов.

· Необходимость следить за разрядностью на каждом этапе вычислений.

· Необходимость писать собственный фреймворк базовых функций (тригонометрических, логарифмических и т.п.) или модифицировать существующий.

· Необходимость погружаться в прикладную область при разработке алгоритма.

· Необходимость повышать культуру написания и поддержки кода -- без использования собственных наработок в фиксированной точке не обойтись. В плавающей точке чаще всего можно, не задумываясь, переписать математику «в лоб», с использованием готовых функций.

Размещено на Allbest.ru