Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Техническое задание
• Введение
• 1. Решение задачи
• 2. Описание используемых методов
• 2.1 Метод Рунге-Кутта
• 2.2 Метод Эйлера модифицированный
• 3. Решение задачи в MathCad
• 4. Алгоритм решения задачи
• Заключение
• Приложение
• Техническое задание
• Решить дифференциальное уравнение
• c начальным условием y₀ = 2 и общим решением
• на отрезке х₀ = 1 до х_k = 1.4 с шагом h = 0.05 методом Рунге - Кутта и Эйлера модифицированным.
• дифференциальный уравнение решение

Введение

Информатика - это области человеческой деятельности, связанная с процессами преобразования информации с помощью компьютеров и их взаимодействием со средой применения.

21 век - век информационных технологий, в котором основная роль отводится науке. На данном этапе важнейшее значение приобретают проблемы, связанные с производством, преобразованием, передачей и потреблением информации.

Курсовой проект является важнейшей составляющей курса и первой объемной самостоятельной инженерно-расчетной работой студента.

Целью данной курсовой работы является закрепление знаний по дисциплине “Информатика”, которые были получены в течение всего учебного года.

В своей работе я поставила перед собой задачу: изучить основы программирования. Для этого необходимо было решить уравнение двумя разными методами: методом Рунге-Кутта и методом Эйлера модифицированного, а также построить график и блок-схему, и проверить правильность решения в среде MathCad.

1. Решение задачи

В курсовой работе необходимо двумя методами (Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный) решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [1,1.4] с шагом h=0.05 и начальным условием Y(X₀)=Y₀⁽¹⁾, Y₀=2,

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

Где: Y⁽¹⁾ , Y⁽²⁾ - решения, полученные различными численными методами, Y^(T) - точное решение дифференциального уравнения.

Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Пред вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычислить значение коэффициента С, используемого в общем решении.

Входные данные: x₀, x_k, y₀, h.

Выходные данные: массив значений y в каждой точке узла.

2. Описание используемых методов

Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все значения y_i на заданном отрезке.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем виде

Решением этого уравнения является интегральная кривая y = y(x), удовлетворяющая начальному условию y(x₀ ) = y_{0 .}

В геометрической интерпретации решением данного дифференциального уравнения является семейство интегральных кривых, описываемых y = y(x) и показанных на рис.1 штриховыми линиями и одной сплошной кривой, проходящей через точку H(x_{0 ,} y₀ ) и являющейся решением уравнения при начальном условии y(x₀ ) = y_{0 .}

Необходимо отметить, что для существования хотя бы одного решения функция f(x,y) должна быть непрерывна в некоторой области около точки H(x_{0 ,} y₀ ).

Рис. 1

Пусть интегральная кривая проходит через точку М(x_{1 ,} y₁ ). Угловой коэффициент касательной в точке М равен

Таким образом, дифференциальное уравнение 1-го порядка определяет направления касательных в точках интегральной кривой решения. Решения дифференциального уравнения основаны на различных способах кусочно-линейной аппроксимации интегральной кривой решения. При этом аппроксимирующая ломаная должна выходить из начальной точки (x_{0 ,} y₀ ) и состоять из отрезков, совпадающих с направлениями касательных на соответствующих участках интегральной кривой. Если отрезки ломаной формируются по значениям касательных в начальных или конечных точках кривой, то способ решения относят к методу Эйлера. Различные способы усреднения отрезков ломаной относят к методу Рунге-Кутта.

2.1 Метод Рунге-Кутта