Программное моделирование случайных объектов

Размещено на http://www.allbest.ru

План

Введение

1. Постановка задачи

2. Разработка метода получения последовательностей случайных событий программным путем на основе системы matlab

3. Разработка комбинационной схемы

4. Расчет вероятностей срабатывания комбинационной схемы

5. Разработка имитационного алгоритма срабатывания комбинационной схемы

Заключение

Библиографический список

Введение

моделирование случайная комбинационная схема

Целью курсового проектирования является закрепление навыков моделирования случайных событий на ЭВМ, а так же оценки их основных характеристик. В процессе выполнения курсового проекта необходимо усовершенствовать технику программирования на языке пакета математических расчётов MATLAB, а так же изучить правила оформления программной документации.

Курсовое проектирование включает следующие этапы:

- изучение математического метода решения задачи;

- разработка метода получения последовательностей случайных событий программным путем;

- разработка алгоритма нахождения числовых характеристик случайных величин;

- разработка комбинационной схемы;

- расчет вероятностей срабатывания комбинационной схемы;

- разработка имитационного алгоритма срабатывания комбинационной схемы;

- разработка тестового примера;

- написание текста программы;

- отладка программы;

- проведение вычислительного эксперимента;

- оформление технической документации на программу.

1. Постановка задачи

В процессе выполнения курсового проекта необходимо усовершенствовать технику программирования на языке пакета математических расчётов MATLAB, а так же изучить правила оформления программной документации.

Варианты задания на курсовой проект:

Интервалы равномерного распределения для получения последовательностей случайных событий (вариант 11):

Интервалы случайных чисел (вариант 3):

Карта Карно (вариант 23):

Распределение и его параметры для вычисления оценок числовых характеристик случайных величин (вариант 3):

2 Разработка метода получения последовательностей случайных событий программным путем на основе системы Matlab

В данной задаче случайное событие состоит в том, попало ли случайное число в заданный промежуток или нет. Для этого используется генератор случайных чисел - функция rand пакета MATLAB. С помощью этой функции мы получаем матрицу, заполненную случайными числами.

Далее создаются пять векторов, соответствующие пяти событиям попадания в пять интервалов, которые заполняются 0, в случае, если событие не произошло, и 1, если произошло.

Затем происходит усреднение значений векторов с помощью функции fregp. Эта функция в качестве аргументов получает 0-1 вектор и N количество испытаний. Затем суммирует все элементы вектора до N и делит на N сумму. После чего функция вызывается с аргументов N + 1 и так, пока не дойдет до 1000 элемента. В результате, с увеличением числа опытов, частота начинает стремиться к определенному числу - вероятности событий, что свидетельствует о стохастической устойчивости событий.

Аналитический расчет вероятностей случайных событий.

Расчеты проводятся по формуле Pk = (akmax- akmin) * 1.

P1 = (0.95 - 0.45) * 1 = 0.5

P2 = (0.95 - 0.45) * 1 = 0.5

P3 = (0.95 - 0.45) * 1 = 0.5

P4 = (0.80 - 0.75) * 1 = 0.05

P5 = (0.99 - 0.09) * 1 = 0.9

Экспериментальный расчет вероятностей событий (графики).

С помощью написанного алгоритма были получены следующие результаты:

Для интервала а1

Для интервала а2

Для интервала а3

Для интервала а4

Для интервала а5

Аналитический расчет совпал с экспериментом, что свидетельствует о правильности написания алгоритма. С увеличением числа испытаний частота событий все больше стремится к вероятности (к определенному числу), что подтверждает наличие стохастической устойчивости у событий.

3. Разработка комбинационной схемы

Исходными данными для расчетов являются карта Карно и границы для выполнения событий A, B и C (am=0.4, aM=0.9, bm=0.2, bM=0.6, cm=0.5, cM=0.8).

В результате получаем следующую комбинационную схему:

4. Расчет вероятностей срабатывания комбинационной схемы

Результаты теоретических расчетов:

Расчет безусловных вероятностей

Независимые события Зависимые события

P(A)=P(X)=0.5 P(A1)=P(X1)=0.5

P(B)=P(Y)=0.4 P(B1)=P(Y1)=0.4

P(C)=P(Z)=0.3 P(C1)=P(Z1)=0.3

Расчет условных вероятностей

Независимые события Зависимые события

P(A/B)=P(X/Y)=P(X)=0.5 P(A1/B1)=P(X1/Y1)= (0.-0.)/0. =

P(A/C)=P(X/Z)=P(X)=0.5 P(A1/C1)=P(X1/Z1)= (0.-0.)/0. =

P(B/A)=P(Y/X)=P(Y)=0.4 P(B1/A1)=P(Y1/X1)=(0.-0.)/0.=

P(B/C)=P(Y/Z)=P(Y)=0.4 P(B1/C1)=P(Y1/Z1)= (0.-0.)/0.=

P(C/A)=P(Z/X)=P(Z)=0.3 P(C1/A1)=P(Z1/X1)= (0.-0.)/0.=

P(C/B)=P(Z/Y)=P(Z)=0.3 P(C1/B1)=P(Z1/Y1)= (0.-0.)/0. =

Вероятность горения лампочки:

1. Для независимых событий X, Y, Z.

Применяя формулы сложения и умножения вероятностей

Введем замену - = a, = b. Тогда:

Применяя формулу полной вероятности

1 Допустим, кнопка Х нажата. Тогда формула примет следующий вид:

X=1, =0;

2 Допустим, кнопка Х не нажата. Тогда:

Х=0, =1;

Тогда формула полной вероятности примет следующий вид:

2. Для зависимых событий X1, Y1, Z1

5. Разработка имитационного алгоритма срабатывания комбинационной схемы

Создадим матрицу 4х1000, заполненную случайными числами. Нажатие на соответствующую кнопку значит попадание случайной величины в заданный интервал. Первые три строки матрицы служат для независимых событий A, B, C. Создадим три 0-1 вектора, соответствующие событиям A, B, C. Если событие выполнилось, то в соответствующий элемент соответствующего вектора помещается 1, в ином случае - 0. Затем создается еще три вектора для зависимых событий A1, B1, C1, которые заполняются по тому же принципу, однако проверка на выполнение события происходит в соответствии с четвертой строки матрицы. Затем создается еще один вектор, который служит для события горения лампочки. Если выполняется условие , то в соответствующий элемент вектора записывается 1, в ином случае - 0. Та же операция проделывается и с зависимыми векторами.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы по дисциплине «Теория вероятностей, вероятностные процессы и математическая статистика» были закреплены навыки моделирования случайных событий на ЭВМ. В математической среде Matlab были разработаны алгоритмы моделирования сложных случайных событий, изучены числовые характеристики случайных величин, а так же проведено исследование свойства стохастической устойчивости. Все теоретические результаты были сверены с полученными данными в среде Matlab.

Библиографический список

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.:ФМ, 1958.- 464 с.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: ФМ, 1961. - 406 с.

MATLAB. Руководство пользователя. - Севастополь, СГТУ, 2000. - 77 с.

Потемкин В.Г. MATLAB 5 для студентов/ В.Г. Потёмкин. - М.: ДИЛОГ-МИФИ, 1998.- 314 с.

1. Размещено на www.allbest.ru