Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа хищник-жертва.

Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид -- хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д.

Заданы следующие начальные показатели:

Прирост жертв 0,04;

Вероятность хищнику съесть жертву 0,03;

Коэффициент размножение хищников при съедении жертвы 0,02;

Вероятность смерти жертвы 0,01;

Количество хищников 150;

Количество жертв 300;

Период времени 3 года.

Рис. 1. Начальные показатели

Очевидно, что характер изменения состояния () определяется значениями параметров. Изменяя параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы во времени.

алгоритм программа популяция хищник животное

Рис. 2. График

В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида.

(2)

Эта система уравнений и называется моделью Лотки-Вольтерра. Числовые коэффициенты называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния ( определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.

Затухающие колебания соответствуют ситуации, при которой хищник ощутимо воздействует на популяцию жертв, достигнувшую только очень высокой плотности (близкой к предельной), а колебания возрастающей амплитуды возникают тогда, когда хищник способен быстро увеличивать свою численность даже при невысокой плотности жертв и таким образом быстро ее уничтожить.

Простейшие уравнения модели хищник-жертва обладают рядом существенных недостатков. Так, в них предполагается неограниченность пищевых ресурсов для жертвы и неограниченный рост хищника, что противоречит экспериментальным данным. Кроме того, ни одна из фазовых кривых не выделена с точки зрения устойчивости. При наличии даже небольших возмущающих воздействий траектория системы будет все дальше уходить от положения равновесия, амплитуда колебаний расти, и система достаточно быстро разрушится.

Несмотря на недостатки модели, представления о принципиально колебательном характере динамики системы хищник-жертва получили широкое распространение в экологии. Взаимодействиями хищник-жертва объясняли такие явления, как колебания численности хищных и мирных животных в промысловых зонах, колебания в популяциях рыб, насекомых и так далее. На самом деле колебания численности могут быть обусловлены и другими причинами.

Предположим, что в системе хищник-жертва происходит искусственное уничтожение особей обоих видов, и рассмотрим вопрос о том, каким образом уничтожение особей влияет на средние значения их численности, если осуществляется пропорционально этой численности с коэффициентами пропорциональности соответственно для жертвы и хищника.

Первые модели В. Вольтерра, естественно, не могли отражать все стороны взаимодействия в системе хищник-жертва, поскольку они были в значительной мере упрощены относительно реальных условий. Например, если численность хищника равна нулю, то из уравнений следует, что численность жертвы неограниченно возрастает, что не соответствует действительности. Однако ценность этих моделей состоит именно в том, что они были основой, на которой быстрыми темпами начала развиваться математическая экология.

Появилось большое число исследований различных модификаций системы хищник-жертва, где были построены более общие модели, учитывающие в той или иной степени реальную ситуацию в природе.

Таким образом, если , то средняя численность популяций жертвы возрастает, а хищника -- убывает.

Рассмотрим случай, когда коэффициент истребления жертвы больше коэффициента ее естественного прироста. В этом случае при любых , и, следовательно, решение уравнения ограничено сверху экспоненциально убывающей функцией , то есть при .

Начиная с некоторого момента времени t, решение уравнения также начинает убывать и при стремится к нулю. Таким образом, в случае оба вида исчезают.

Принцип работы программы

Таким образом, в реферате рассмотрено влияние хищников на число популяции животных, которое является причиной периодических колебаний численности популяций каждого из взаимодействующих видов. Однако хищники являются одним из важнейших факторов, определяющих динамику популяций.

При рассмотрении роли образа жизни хищников и жертв установлено, что общественный образ жизни оказывает стабилизирующее действие на систему хищник-жертва.

Проанализированные модели позволяют прогнозировать динамику численности системы хищник-жертва, что имеет неоспоримое практическое значение.

В итоге, следует еще раз акцентировать внимание на том, что бессмысленно рассматривать динамику численности жертв изолированно от динамики численности хищников, так как эти процессы взаимосвязаны и взаимозависимы.

Список использованной литературы