Размещено на http://www.allbest.ru/

Практическая работа №1. Системы счисления

1.1 Информация и языки

Информация -- сведения, знания, содержащиеся в сообщении. Информация хранится, передается, обрабатывается в символьной (знаковой) форме. Одна и та же информация может быть представлена в разной форме, с помощью различных знаковых систем.

Язык -- это определенная знаковая система представления информации.

Существуют естественные (разговорные) языки и формальные языки. Примеры формальных языков: язык музыки (нотная грамота), язык математики (цифры и математические знаки) и др. В некоторых случаях разговорную речь может заменять язык мимики и жестов, язык специальных знаков (например, дорожные знаки).

1.2 Кодирование информации

Кодирование информации -- процесс формирования определенного представления информации. В более узком смысле под термином «кодирование» часто понимают переход от одной формы представления информации к другой, более удобной для хранения, передачи или обработки. Обратное преобразование называется декодированием.

Способ кодирования зависит от цели, ради которой оно осуществляется: сокращение записи, засекречивание (шифровка) информации, удобство обработки и т.п.

Чаще всего кодированию подвергаются тексты на естественных языках (русском, английском и пр.). Существуют три основных способа кодирования текста:

1) графический -- с помощью специальных рисунков или значков;

2) числовой -- с помощью чисел;

3) символьный -- с помощью символов того же алфавита, что и исходный текст.

Полный набор символов, используемый для кодирования текста, называется алфавитом или азбукой.

1.3 Измерение информации. Содержательный подход

Количество информации, заключенное в сообщении, определяется объемом знаний, который несет это сообщение получающему его человеку. Сообщение содержит информацию для человека, если заключенные в нем сведения являются для этого человека новыми и понятными и, следовательно, пополняют его знания.

При содержательном подходе возможна качественная оценка информации: полезная, безразличная, важная, вредная...

Одну и ту же информацию разные люди могут оценить по разному. Единица измерения количества информации называется бит. Сообщение, уменьшающее неопределенность знаний человека в два раза, несет для него 1 бит информации. Пусть в некотором сообщении содержатся сведения о том, что произошло одно из N равновероятных событий (равновероятность обозначает, что ни одно событие не имеет преимуществ перед другими).

Тогда количество информации, заключенное в этом сообщении, -- х бит и число N связаны формулой:

2^х = N.

Данная формула является показательным уравнением относительно неизвестной х. Из математики известно, что решение такого уравнения имеет вид:

х = log₂N

-- логарифм от N по основанию 2. Если N равно целой степени двойки (2, 4, 8, 16 и т.д.), то такое уравнение можно решить «в уме». В противном случае количество информации становится нецелой величиной, и для решения задачи придется воспользоваться таблицей логарифмов.

Пример 1. При бросании монеты сообщение о результате жребия (например, выпал орел) несет 1 бит информации, поскольку количество возможных вариантов результата равно 2 (орел или решка). Оба эти варианта равновероятны.

Ответ может быть получен из решения уравнения: 2^х = 2, откуда, очевидно, следует:

х = 1 бит.

Вывод: в любом случае сообщение об одном событии из двух равновероятных, несет 1 бит информации.

Пример 2. В барабане для розыгрыша лотереи находится 32 шара. Сколько информации содержит сообщение о первом выпавшем номере (например, выпал номер 15)?

Поскольку выпадение любого из 32 шаров равновероятно, то количество информации об одном выпавшем номере находится из уравнения;

2^х = 32.

Но 32 = З⁵. Следовательно, х = 5 бит. Очевидно, ответ не зависит от того, какой именно выпал номер.

Пример 3. При игре в кости используется кубик с шестью гранями. Сколько бит информации получает игрок при каждом бросании кубика?

Выпадение каждой грани кубика равновероятно. Поэтому количество информации от одного результата бросания находится из уравнения:

2^x =6.

Решение этого уравнения:

х = log₂6.

Вычислив значение логарифма получаем:

х = 2,585 бит.

1.4 Измерение информации. Алфавитный подход

Алфавитный подход к измерению информации позволяет определить количество информации, заключенной в тексте. Алфавитный подход является объективным, т.е. он не зависит от субъекта (человека), воспринимающего текст.

Множество символов, используемых при записи текста, называется алфавитом. Полное количество символов в алфавите называется мощностью (размером) алфавита. Если допустить, что все символы алфавита встречаются в тексте с одинаковой частотой (равновероятно), то количество информации, которое несет каждый символ, вычисляется по формуле:

i = log₂N,

где N -- мощность алфавита. Следовательно, в 2-х символьном алфавите каждый символ «весит» 1 бит (log₂2 = 1); в 4-х символьном алфавите каждый символ несет 2 бита информации (log₂4 = 2); в 8-ми символьном -- 3 бита (log₂8 = 3) и т.д.

Один символ из алфавита мощностью 256 (2⁸) несет в тексте 8 бит информации. Такое количество информации называется байт. Алфавит из 256 символов используется для представления текстов в компьютере 1 байт = 8 бит.

Если весь текст состоит из К символов, то при алфавитном подходе размер содержащейся в нем информации равен:

I = К * i,

где i -- информационный вес одного символа в используемом алфавите.

Для измерения информации используются и более крупные единицы:

1 Кбайт (килобайт) = 2¹⁰ байт = 1024 байта

1 Мбайт (мегабайт) = 2¹⁰ Кбайт = 1024 Кбайта

1 Гбайт (гигабайт.) = 2¹⁰ Мбайт = 1024 Мбайта

Пример 4. Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц; на каждой странице -- 40 строк, в каждой строке -- 60 символов. Каков объем информации в книге?

Решение. Мощность компьютерного алфавита равна 256. Один символ несет 1 байт информации. Значит, страница содержит 40*60 = 2400 байт информации. Объем всей информации в книге (в разных единицах):

2400 * 150 = 360 000 байт.

360000/1024 = 351,5625 Кбайт.

351,5625/1024 = 0,34332275 Мбайт.

1.5 Представление числовой информации

1.5.1 Системы счисления

Система счисления -- это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I V Х L С D М

1 5 10 50 100 500 1000

Пример 1. Число ССХХХII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа -- большая, то их значения вычитаются.

Пример 2

VI =5+1=6, а IV=5-1=4.

Пример 3

МСМХСVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) +5+1+1+1= 1998.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая -- три десятка, третья -- три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание	Название	Алфавит
n=2	двоичная	01
n=3	троичная	012
n=8	восьмеричная	01234567
n=16	шестнадцатеричная	01234567В9АВСDЕF

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например: 101101₂, 3671_{8 ,} 3B8F _16,

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., q-1. Запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутой формой записи числа называется запись в виде:

A_q=±(a _n-1 q ^n-1+ a _n-2 q ^n-2+…+ a₀ q⁰+ a -₁q ^-1 + a_-2 q^-2 + …+ а_-m q^-m).

Здесь А_q -- само число, q -- основание системы счисления, а_i -- цифры данной системы счисления, n -- число разрядов целой части числа, m -- число разрядов дробной части числа.

Пример 4. Получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.

32478₁₀ = 3*10000 + 2*1000 + 4*100 + 7*10 + 8 = 3*10⁴ + 2*10³ + 4*10² + 7*10¹ + 8*10⁰,

26,387₁₀ = 2*10¹ + 6*10⁰ + 3*10^-1 + 8*10^-2 + 7*10^-3.

Пример 5. Получить развернутую форму чисел 112₃, 101101₂, 15FC₁₆, 101,11₂

112₃ =1*3² + 1*3¹ + 2*3⁰,

101101₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰,

15FC₁₆= 1*16³ + 5*16² + F*16¹ + C*16⁰,

101,11₂= 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2 -¹ + 12^-2.

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

Пример 6. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему. система счисление информация позиционный

112₃ =1*3² + 1*3¹ + 2*3⁰ = 9+3+2 = 14₁₀.

101101₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ =32+8+4+1 = 45₁₀,

15FC₁₆= 1*16³ + 5*16² + 15*16¹ + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628₁₀.

101,11₂= 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2 -¹ + 12^-2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75₁₀.

1.5.2 Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Перевод целых чисел.

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить число в новой системе счисления, записывая его начиная с последнего остатка.

Пример 1. Перевести число 37₁₀ в двоичную систему. Для обозначения цифр в записи числа используем символику: a₅a₄a₃a₂a₁a₀

Отсюда:

37₁₀ - 100101₂

Пример 2. Перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы:



Отсюда следует:

315₁₀=473 ₈= 13B_16.

Перевод дробных чисел

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 3. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.

Отсюда:

0,1875₁₀= 0,0011₂= 0,14₈ =0,3₁₆.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример 4. Перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления. Из рассмотренных выше примеров следует:

315,1875₁₀=473,14₈₌ 13В,3₁₆

1.5.3 Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2ⁿ)

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ (4, 8, 16 и т.д.), нужно:

1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней левой группе окажется меньше п разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

Для того чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, нужно:

1) данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней правой группе окажется меньше п разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления q=2ⁿ.

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, нужно:

1) данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;

2) если в последних правой и левой группах окажется меньше п разрядов, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления q=2ⁿ.

Для того чтобы произвольное число записанное в системе счисления с основанием q =2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n- разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Применительно к компьютерной информации часто используются системы с основанием 8 (восьмеричная) и 16 (шестнадцатеричная).

Пример 5. Перевести число 15FC₁₆ в двоичную систему. Для решения задачи воспользуемся приведенной ниже двоично-шестнадцатеричной таблицей.

Двоично-шестнадцатеричная таблица

16	2
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

В одном столбце таблицы помещены шестнадцатеричные цифры, напротив, в соседнем столбце -- равные им двоичные числа. Причем все двоичные числа записаны в четырехзначном виде (там, где знаков меньше четырех, слева добавлены нули).

А теперь проделаем следующее: каждую цифру в шестнадцатеричном числе 15FC заменим на соответствующую ей в таблице четверку двоичных знаков. Иначе говоря, перекодируем число 15FC по таблице в двоичную форму. Получается:

0001 0101 1111 1100.

Если отбросить нули слева (в любой системе счисления они не влияют на значение целого числа), то получим искомое двоичное число. Таким образом;

15FC₁₆ = 1010111111100₂

В справедливости этого равенства можно убедиться, производя тот же перевод через десятичную систему.

Пример 6. Перевести двоичное число 110111101011101111 в шестнадцатеричную систему.

Решение.

Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Если в крайней левой группе окажется меньше четырех цифр, то дополним ее нулями.

0011 0111 1010 1110 1111.

А теперь, глядя на двоично-шестнадцатеричную таблицу, заменим каждую двоичную группу на соответствующую шестнадцатеричную цифру.

3 7 А Е F

Следовательно:

110111101011101111₂= 37АЕF₁₆

Пример 7. Перевести смешанное число 1011101,10111₂ в шестнадцатеричную систему.

Решение.

Перевод дробных чисел производится аналогично. Группы по четыре двоичных знака выделяются от запятой как влево, так и вправо. Поэтому:

1011101,10111₂ => 0101 1101, 1011 1000 => 5D,B8₁₆

Связь между двоичной и восьмеричной системами устанавливается аналогично. В этом случае используется двоично-восьмеричная таблица, приведенная ниже. Каждой восьмеричной цифре соответствует тройка двоичных цифр.

Двоично-восьмеричная таблица

8	2
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Пример 8. Перевести смешанное число 1011101,10111₂ восьмеричную систему.

Решение.

Группы по три двоичных знака выделяются от запятой как влево так и вправо. Затем производится перекодировка по таблице:

1011101,10111₂ => 001 011 101, 101 110 => 135,56_8.

1.5.4 Арифметика в позиционных системах счисления

Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел. Пользуясь этими таблицами, можно выполнять арифметические операции с многозначными числами.

Пример 9

Рассуждаем так: два плюс три равно 10 (по таблице); 0 пишем, 1 -- в уме. Четыре плюс два равно 11 (по таблице), да еще один, -- 12. 2 пишем, 1 -- в уме. Три да один равно 4 (по таблице). Получаем в результате 420.

Пример 10

Рассуждаем так: трижды три 14 (по таблице); 4 пишем, 1 -- в уме. Один на три дает 3, да плюс один, -- пишем 4. Дважды три по таблице 11; 1 -- пишем. 1 -- переносим влево. Окончательный результат -- 1144.

Размещено на Allbest.ru