Дискретные системы управления при наличии случайных внешних воздействий

Размещено на http://www.allbest.ru/

7

ГОУ ВПО «Московский государственный открытый университет»

Чебоксарский политехнический институт (филиал)

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине Математические основы дискретных систем

на тему Дискретные системы управления при наличии случайных внешних воздействий

Выполнила:

Мурашкина Г.В.

Проверил:

Андреев В.В.

Чебоксары 2010

Содержание

Ведение

1. Свойства стационарных, случайных процессов

2. Пример линейной импульсной системы

3. Дискретные алгоритмы управления и дискретная коррекция

4. Спектральные характеристики стационарных, случайных процессов

5. Пример

6. Физический смысл понятия спектральной плотности мощности стационарного, случайного процесса

Список используемой литературы

Ведение

Расчет систем управления, ориентированный на минимизацию отклонения управляемой величины, вызванного случайными входными воздействиями (задающим воздействием и возмущениями), в среднем за достаточно длительный отрезок времени, выполняется методами теории случайных процессов. Примером могут послужить возможные графики рис.1 изменения выходного сигнала на конечном отрезке времени t, графики отличаются друг от друга, причем установить конкретный характер изменения можно только по истечении очередного отрезка времени наблюдения. Сделать же прогноз этого изменения на будущее можно в лучшем случае лишь в вероятностном смысле.

рис.1

Конкретный вид случайного процесса, который он принимает при каждом наблюдении, называют реализацией процесса. Случайный процесс, рассматривается только в некоторый фиксированный момент времени t = t₁, представляет собой случайную величину, которая получила название сечения случайного процесса.

Основными вероятностными характеристиками случайных процессов являются:

Математическое ожидание m(t) (среднее значение) - детерминированная функция времени, значение которой в каждый момент времени равно математическому ожиданию (среднему значению) соответствующего сечения. Математическое ожидание определяет в каждый момент времени уровень, вокруг которого изменяется случайный процесс.

Дисперсия s²?t????детерминированная функция времени, значение которой в каждый момент времени равно дисперсии соответствующего сечения случайного процесса. Положительное значение корня квадратного из дисперсии называют среднеквадратичным отклонением?s(t??случайного процесса; в каждый момент времени оно определяет средний уровень изменений случайного процесса относительно его математического ожидания.

Корреляционная функция r? t??t????детерминированная функция двух переменных (времени t и сдвига во времени t), значение которой для каждой пары переменных t и?t равно корреляционному моменту двух сечений случайного процесса - при t и t +?t. Корреляционная функция определяется вероятностную взаимосвязь указанных двух сечений случайного процесса.

Указанные характеристики практически могут быть получены только экспериментально по выборке из достаточно большого числа независимых реализаций случайного процесса; получаемые таким образом приближенные данные о вероятностных характеристиках называют оценками этих характеристик. Погрешность оценок обусловлена, прежде всего, ограниченным объемом выборки (числа обрабатываемых реализаций) правильно выбранная оценка стремится к оцениваемой характеристики по вероятности (т.е. большое значение случайной погрешности становится все менее вероятным).

Оценки математического ожидания и дисперсии находят из выборке объема n находят по формулам:

(1.1, 1.2)

а корреляционной функции по формуле

(1.3)

где х_k = x(t) - m(t) - реализация центрированного случайного процесса X(t) = X(t) - m(t), т.е. процесса, значения которого отсчитывается от его математического ожидания.

При t = 0 значение корреляционной функции совпадает с дисперсией процесса r(t, 0) = d²(t?.

Среди случайных процессов важный для практики класс составляют так называемые случайные стационарные процессы, т.е. процессы, вероятностные свойства которых не меняются во времени. Если случайный процесс стационарен, его математическое ожидание и дисперсия не меняется во времени: m_x(t) = m_x = const; d²_x(t) = d²_x = const, а корреляционная функция r(t) не зависит от t и, является функцией лишь одного переменного t



рис.2

Характерный график корреляционной функции стационарного процесса показан на рис.2. Корреляционная функция характеризует взаимосвязь сечений процесса, она обычно представляет собой убывающую (монотонно или с колебаниями) функцию t, причем, чем с большей частотой происходят случайные флюктуации случайного процесса, тем быстрее убывает корреляционная функция.

Убывание корреляционной функции при увеличении [t] свидетельствует о том, что с увеличением расстояния между сечениями взаимосвязь между ними уменьшается при превышении этим интервалом некоторого предельного значения t_кор, такого, что при [t] > t_кор корреляционная функция мало отличается от нуля рис.2 сечение случайного процесса становится практически независимыми. Чем меньше интервал коррелированности t_кор, тем с большей средней частотой происходят флюктуации, тем меньшим оказывается интервал, в котором сечения случайного процесса остаются зависимыми друг от друга.

1. Свойства стационарных, случайных процессов

управление математический спектральный

Стационарные случайные процессы обладают свойствами эргодичности, это означает, что оценка среднего значения и корреляционной функции такого процесса по экспериментальным данным может проводится усреднением не по ансамблю реализации (формулы 1.1 - 1.3), а по времени какой-нибудь одной реализации: оценка математического ожидания случайного процесса может осуществляться по формуле

, (1.4)

(где Т - длина реализации), а оценка корреляционной функции

. (1.5)

При t = 0 последняя формула дает оценку дисперсии.

Проведя замену переменных , получим

, (1.6)

т.е. корреляционная функция стационарного процесса является четной функцией t:

r_xx(t) = r_xx(?t?.

Для того чтобы можно было охарактеризовать вероятностную взаимосвязь сечений двух случайных процессов, необходимо ввести взаимную корреляционную функцию этих процессов; если эта корреляционная функция зависит лишь от сдвига t, то процессы называют стационарно связанными. Оценка взаимной корреляционной функции эргодичных процессов X(t) и Y(t) может проводиться усреднением по времени:

. (1.7)

Если в этой формуле заменить переменную интегрирования , можно получить

,

т.е. взаимная корреляционная функция обладает следующим свойством: r_xу(?t) = r_уx(t?.

Анализ систем, находящихся под воздействием случайных сигналов, обычно сводится к определению указанных вероятностных характеристик выходного сигнала по вероятностным характеристикам входного. Начнем с определения математического ожидания выхода стационарной динамической линейной системы, когда на её вход подается случайный стационарный сигнал X(t).

Поскольку связь между входом и выходом такой системы во временной области определяется интегралом наложения подстановка его в формулу для оценки математического ожидания выхода дает следующий результат:

, (1.8)

после смены порядка интегрирования

, (1.9)

где - установившееся значение переходной характеристики системы; - оценка математического ожидания входного воздействия. При оценки математических ожиданий сходятся по вероятностным к истинным значениям, что позволяет записать:

(2.1)

Например, математическое ожидание сигнала на выходе инерционного звена, переходная характеристика которого определяется k*m_x (где k - коэффициент передачи звена), а на выходе реального дифференцирующего звена, переходная характеристика которого определяется равно нулю.

Подобным образом может быть получено выражение для корреляционной функции выхода линейной динамической системы.

 , (2.2)

после подстановки сюда интеграла наложения получим

(2.3)

после смены порядка интегрирования

(2.4)

заметим, что

тогда получим

. (2.3)

При t = 0 получим формулу для определения дисперсии выходной величины системы:

 . (2.4)

Для определения дисперсии выходной величины недостаточно знать дисперсию входного воздействия - необходима информация о более полной характеристике - корреляционной функции входного воздействия. Взаимная корреляционная функция входной и выходной величины системы может быть получена подстановкой в формулу (1.7) интеграла наложения:

,

после смены порядка интегрирования примет вид

. (2.5)

Перейдем от оценок к корреляционным функциям, получим:

. (2.6)

Таким образом, взаимная корреляционная функция входной и выходной величин линейной динамической системы вязана с корреляционной функцией входа обычным интегралом свертки.

Рассмотрим случай, когда на выходной сигнал системы наложена случайная помеха f(t) (рис.3),



рис.3

не зависимая от входного воздействия X(t); применяя те же приемы, которые были использованы при выводе формул (2.1 - 2.6) и имея виду, что для независимых процессов X(t) и f(t) их взаимная корреляционная функция равна нулю

, (2.7)

получаем

(2.8)

где m_v, r_{f f}(t) - математическое ожидание и корреляционная функция помехи f(t) соответственно.

Обратим внимание, что в формуле для взаимной корреляционной функции отсутствует какое-либо упоминание о помехе - эта формула оказалась аналогичной формуле для взаимной корреляционной функции входа и выхода системы при отсутствии помехи (формула 2.6). Этим замечательным свойством взаимной корреляционной функции входа и выхода систем, находящихся под воздействием неконтролируемых, случайных независимых помех, широко используется для решения целого ряда практических задач. Одой из наиболее распространенных задач такого типа является задача экспериментальной оценки импульсной переходной характеристики системы, w(t) по данным наблюдения за изменениями входа и выхода системы, подверженной действию независимых случайных помех в процессе её нормального функционирования. Оценив по реакциям x(t) и y(t) корреляционную функцию входа и взаимную корреляционную функцию входа и выхода , можно рассматривая (формулу 2.6) как интегральное уравнение, найти из него оценку w(t).

2. Пример линейной импульсной системы

Линейной импульсной системой называется такая система автоматического управления, которая кроме звеньев, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, содержит импульсный элемент, преобразующий непрерывный входное воздействие в последовательность импульсов.

Импульсный элемент может представлять собой самостоятельное функциональное устройство или являться составной частью цифро-аналоговых преобразователей, входящих в систему управления с цифровыми управляющими машинами (ЦВМ). Непосредственно в целях управления ЦВМ используются для формирования программ управления и цифровой реализации алгоритмов управления или корректирующих средств.

Как правило, целесообразно вводить ЦВМ в систему управления в тех случаях, когда для решения указанных задач требуется сложная обработка информации или выполнение таких операций, которые не могут быть осуществлены с требуемой точностью при помощи аналоговых средств (умножение, деление, преобразования координат и т.п.). Это относится, например, к нелинейным алгоритмам управления, алгоритмам самонастройки и другим.

Вместе с тем в ряде случаев вполне оправданной оказывается цифровая реализация линейных корректирующих средств, которые обычно выполняются с использованием R-, C-, L- элементов. Это связано с тем, что характеристики таких элементов изменяются с течением времени и под влиянием внешних факторов, а их надежность сравнительно невысока.

Помимо непосредственного участия в управлении объектом ЦВМ может выполнять такие операции, как контроль состояния элементов и устройств системы, самоконтроль и др.

рис.4

Один из примеров функциональной схемы цифровой системы автоматического управления (рис.4). Управляемая величина Y измеряется соответственно датчиком Д. Так как ЦВМ оперирует не с аналоговыми величинами, а с числовыми (цифровыми) кодами, в систему вводится преобразователь аналоговой величины в цифровой код АЦП. Для связи ЦВМ с аналоговыми исполнительными устройствами ИУ используются преобразователи цифрового кода в аналоговые величины ЦАП. Задающие воздействия (х) формируются самой ЦВМ в виде программы управления или вводятся в неё извне. Кроме исполнительных устройств в систему могут входить и другие аналоговые устройства, например, усилители.

ЦВМ представляет собой устройство дискретного действия. Это связано с тем, что решение задач управления осуществляется в ней путем выполнения арифметических операций. Поэтому в отличие от непрерывных систем реализация в (ЦВМ) алгоритма управления происходит не мгновенно, а за конечный промежуток времени t. Если информация поступает на вход ЦВМ в момент времени t = t₁, то результат вычислений может быть получен лишь при t = t₁+ t. Величина t зависит от сложности алгоритма и быстродействия ЦВМ. К ней добавится время преобразования, затрачиваемое на преобразование в ЦАП и АЦП.

В процессе преобразования непрерывного сигнала в дискретный импульсный элемент выполняет две операции: квантование по времени и импульсную модуляцию. Таким образом, результаты реализации алгоритма управления ЦВМ может выдавать лишь дискретно, т.е. t_i = iТ, i = 0,1,2…, причем Т >t.

Структурную схему цифровой системы можно представить так.

рис.5

Процесс преобразования аналоговой величины х(t) и y(t) в цифровой код х или y, осуществляемый АЦП, можно представить состоящим из трех операций: квантования по времени, квантования по уровню и кодирования.

Квантование по времени возникает из-за того, что информация вводится в АЦП по командам, поступающим в ЦВМ, лишь в моменты времени t_i = iТ. На рис.5 эту операцию выполняют ключи.

В процессе квантования по уровню весь диапазон изменения непрерывной величины, например y(t), разбивается на ?₁ равных частей (квантов). Величина

(2.9),

по существу определяет разрешающую способность АЦП. В результате величина ан выходе АЦП может принимать только определенные фиксированные значения, отличающиеся друг от друга на величину d_?. На рис. это отражено наличием звена с многоступенчатой релейной характеристикой.

В процессе кодирования каждому из m₁ интервалов присваивается определенный двоичный код. Чтобы такое присвоение было однозначным, должно выполнятся условие

(2.10),

где a₁ - число двоичных разрядов (без учета знакового ряда). Тогда разрешающая способность

(2.11).

В преобразователях АЦП число разрядов обычно велико (a₁>10). При a₁ = 10 число ступеней нелинейной характеристики m₁ =1023. Если, например, АЦП преобразует напряжение в код, а напряжение изменяется в пределах 10 В, то разрешающая способность такого преобразователя согласно формуле (2.11) d_?= 0,02 В. Это означает, что нелинейностью АЦП можно пренебречь, заменив нелинейную характеристику линейной. Коэффициент передачи АЦП для линеаризованной характеристики

ЦАП преобразует код u, поступающий с выхода ЦВМ, в аналоговый сигнал u, обычно представляющий напряжение или ток. В процессе преобразования каждому значению кода u ставится в соответствие определенное фиксированное (эталонное) значение непрерывного сигнала u, что означает наличие квантования по уровню и отражено на рис.5 в виде многоступенчатой релейной характеристики. Число отличных от нуля разрешенных уровней

,

где a₂ - число разрядов ЦАП.

В моменты времени t_i = iТ значения полученного непрерывного сигнала u(iT) фиксируются и удерживаются на одном уровне в течение периода дискретности Т (или части его), что соответствует наличию в ЦАП формирующего устройства.

Число разрядов серийно выпускаемых преобразователей кода в напряжение a₂ >10. Поэтому, как и у АЦП, нелинейностью статической характеристики ЦАП можно пренебречь. Коэффициент передачи для линеаризованной характеристики k₂ = d₂, где d₂ - единица младшего разряда для выходной величины u. ЦВМ формирует требуемый алгоритм управления или осуществляет дискретную коррекцию в виде вычислительной процедуры, задаваемой линейным разностным уравнением

 (3.1)

где переменные u и x представляются в виде цифровых кодов.

Это по существу представляет собой рекуррентную формулу, позволяющую вычислять текущее значение управляющего воздействия u(i) в зависимости от текущего значения ошибки x(i), а также предшествующих значений ошибки и управляющего воздействия:

Из данной формулы видно, что в программу вычислений входят операции сложения и умножения на постоянные коэффициенты, а также операции запоминания результатов вычисления и значения ошибки на предшествующих шагах. Применим к левым и правым частям уравнения z - преобразование при нулевых начальных условиях получим передаточную функцию, которая называется передаточной функцией ЦВМ.

, (3.2)

С учетом всех сделанных выше допущений структурную схему цифровой системы можно представить так.



рис.6

Коэффициенты передачи АЦП и ЦАП, а также запаздывания t отнесены к непрерывной части системы. Погрешности, возникающие в результате замены многоступенчатых релейных характеристик линейными при необходимости могут быть учтены в виде шумов.

Передаточная функция разомкнутой цифровой системы будет W(z) = D(z) * W₀(z). (3.3)

3. Дискретные алгоритмы управления и дискретная коррекция

В цифровых системах алгоритмы управления и корректирующие средства реализуются программным путем в виде вычислительной процедуры, организованной в соответствии с разностным уравнением. Разностное уравнение может быть физически реализовано, если для вычисления значения управляющего воздействия в момент времени t_i = iТ, т.е. u(i), будущие значения ошибки, т.е. х(i + 1), х(i + 2), … Это условие выполняется, если s < k. Если, например s = k + 1, то в правой части уравнения появится слагаемое p₀x(i + 1). Применительно к передаточной функции ЦВМ условие физической реализуемости выполняется, если степень полинома ее числителя не превышает степени полинома знаменателя.

В цифровой системе могут быть использованы непрерывные алгоритмы управления или непрерывные корректирующие устройства. Тогда передаточная функция ЦВМ D(z) = 1. При этом цифровая система превращается в импульсную. В импульсной системе преобразования непрерывного сигнала в последовательность импульсов осуществляется сравнительно простым устройством - амплитудно-импульсным модулятором, а все остальные элементы и устройства являются аналоговыми. В цифровой системе D(z) = 1 сохраняется весь комплекс сложных устройств (ЦВМ, АЦП, ЦАП), а на ЦВМ возлагается задача вычисления ошибки, и формирования задающего воздействия в соответствии с программой управления. Поэтому построение цифровой системы при D(z) = 1 не является рациональным.

При осуществлении дискретной коррекции желаемая передаточная функция D(z) может быть определена следующим образом. Пусть известна передаточная функция исходной не скорректированной системы.

, (3.4)

В процессе решения задачи синтеза определяется желаемая передаточная функция разомкнутой системы

, (3.5)

Тогда искомая передаточная функция дискретного корректирующего устройства (передаточная функция ЦВМ).

. (3.6)

4. Спектральные характеристики стационарных, случайных процессов

Вычисления корреляционных функций r_yy(t) и r_xy(t) довольно громоздки даже в относительно простых случаях. Упрощение расчетов может быть достигнуто переходом в комплексную область. Учитывая, что корреляционная функция представляет собой двустороннюю функцию t (т.е. при t?< 0) и обычно удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах (при ), для такого перехода целесообразно использовать преобразование Фурье. Для этого умножим левую и правую части

данного уравнения на е^-st??где s = jw??и проинтегрируем полученное выражение в бесконечных пределах:

(3.7)

Подынтегральное выражение последнего интеграла умножим и разделим на :

(3.8)

Обозначив и получим:

. (3.9)

Рассмотрим каждый интеграл в этой формуле.

Интеграл в левой части, а также третий интеграл в правой части при s = jw определяют Фурье-изображения соответствующих корреляционных функций. Обозначим эти изображения

при s = jw. (3.10)

Второй интеграл в правой части при s = jw есть комплексная частотная характеристика системы:

,

а первый интеграл - та же характеристика после замены в ней s на -s. Тогда можно переписать следующим образом:

при s = jw. (3.11)

после замены формула будет иметь следующий вид

(3.12)

применяя обратное преобразование Фурье к G(w), определяем корреляционную функцию выходной величины системы r_yy(t):

(3.13)

Фурье-изображение корреляционной функции стационарного случайного процесса (формула 3.10) получило название спектральной плотности мощности этого процесса. Хотя спектральная плотность мощности случайного процесса есть двустороннее изображение корреляционной функции, для её вычисления могут быть использованы таблицы одностороннего преобразования Лапласа.

Двусторонняя функция r(t) может быть представлена в виде суммы двух функций:

левосторонней

правосторонней

(3.14)

Соответственно и двустороннее преобразование Фурье (формула 3.10) может быть записана следующим образом:

.

Заменим в первом интеграле знак t на противоположный, а также поменяем пределы интегрирования:

.

Функция - зеркальное отражение относительно оси ординат функции , т.е. функция является правосторонней; обозначим односторонне изображение функции , а односторонне изображение , придем к следующей записи формулы:

. (3.15)

Представление изображения G(s) в виде суммы называют расщеплением G(s).

5. Пример

На вход инерционного звена первого порядка с передаточной функцией действует стационарный случайный сигнал с корреляционной функцией при a = 2 мин^-1, график приведен на рис.7 (кривая 1).



рис.7

Вычислим СКО процесса на выходе звена.

Правая часть корреляционной функции входного воздействия определяется формулой , откуда следует, её изображение можно записать в виде

.

Соответственно спектральная плотность этого воздействия:

,

Кривая, рассчитанная по этой формуле, показана на рис.8



рис.8

Определим спектральную плотность мощности на выходе (по формуле 3.11)

.

Разложим это выражение на простые дроби:

.

Вычислим коэффициенты

;

.

Полученное выражение имеет вид (3.15) следовательно, изображение правой части корреляционной функции выхода определяется формулой

,

а соответствующий оригинал имеет вид

.

Таким образом корреляционная функция сигнала на выходе:

,

а дисперсия выходной величины

.

Графически полученная корреляционная функция показана на рис.7 (кривая 2).

Ограничим результат расчетов дисперсией выходной величины так как , интеграл (3.13) приобретает следующий вид:

.

Таким образом, дисперсия случайного процесса равна с точностью до постоянного множителя площади под графиком спектральной плотности мощности этого процесса.

Использование преобразования Фурье позволяет также существенно упростить определение взаимной корреляционной функции случайных процессов на входе в линейную динамическую систему и выходе из неё. Применив к формуле (2.6) это преобразование получим:

.

при s = jw.

Фурье-изображение взаимной корреляционной функции двух случайных процессов получило название взаимной спектральной плотности мощности двух случайных процессов. Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией частоты.

Если сменить знак при t в последней формуле то

,

при учете свойств, взаимной корреляционной функции эту формулу можно зависать так

,

.

6. Физический смысл понятия спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса

Если детерминированные функции времени при спектральном разложении представляются суммой детерминированных элементарных гармонических функций, то спектральное разложение стационарных случайных функций времени представляет эти функции суммой элементарных случайных гармонических функций. Каждая реализация этой случайной функции представляет собой обычную гармонику

x(t) = Asin(wt + j), отдельные реализации отличаются друг от друга за счет случайного различия значений амплитуды А и начальной фазы j, которая представляет собой случайную величину, с равной вероятностью принимающая значение в пределах -p--<--j--<--p.

Корреляционная функция случайной гармоники с частотой w представляет собой косинусоиду той же частоты, причем амплитуда корреляционной функции равна дисперсии случайной гармоники.

В силу вещественности G(w) (формулу 3.13) можно переписать так:

 ,

т.е. в разложении корреляционных функций присутствует лишь косинусоидальные составляющие, тогда это разложение определяет дисперсии случайных гармоник, на которые может быть разложен случайный процесс.

Амплитуда каждой гармоники разложения корреляционной функции r_xx(t) некоторого случайного процесса x(t) равна дисперсии соответствующей случайной гармоники разложения самого этого процесса x(t). Это значит, что площадь под графиком спектральной плотности Фурье-изображения G_хх(w) корреляционной функции r_xx(t) в пределах интервала w₁<?w<--w₂--равна (с точностью до множителя ) сумме дисперсии случайных гармоник разложения случайного процесса x(t) в указанном интервале частот. Поскольку дисперсия случайной гармоники определяется математическим ожиданием квадрата её амплитуды, а в электротехнике с квадратом амплитуды синусоидального электрического тока обычно связывают его мощность, то за спектральной плотностью корреляционной функции закрепилось название спектральной плотности мощности стационарного процесса.

Список используемой литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П.; Теория систем автоматического управления: - Санкт - Петербург, 2003

2. Ротач В.Я., Теория автоматического управления: - М, 2004

Размещено на Allbest.ru