Моделирование затухающего маятника Капицы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Маятником Капицы называется система, состоящая из грузика, прикрепленного к легкой нерастяжимой спице, которая крепится к вибрирующему подвесу. Маятник носит имя академика и нобелевского лауреата П.Л. Капицы, построившего в 1951 г. теорию для описания такой системы. При неподвижной точке подвеса, модель описывает обычный математический маятник, для которого имеются два положения равновесия: в нижней точке и в верхней точке. При этом равновесие математического маятника в верхней точке является неустойчивым, и любое сколь угодно малое возмущение приводит к потере равновесия. Удивительной особенностью маятника Капицы является то, что вопреки интуиции перевернутое (вертикальное) положение маятника может быть устойчивым в случае быстрых вибраций подвеса. Хотя такое наблюдение было сделано еще в 1908 г. А. Стефенсоном, в течение длительного времени не имелось математического объяснения причин такой устойчивости.

П.Л. Капица экспериментально исследовал такой маятник, а так же построил теорию динамической стабилизации, разделяя движение на «быстрые» и «медленные» переменные и введя эффективный потенциал. Работа П.Л. Капицы, опубликованная в 1951 году, открыла новое направление в физике - вибрационную механику. Метод П.Л. Капицы используется для описания колебательных процессов в атомной физике, физике плазмы, кибернетической физике. Эффективный потенциал, описывающий «медленную составляющую движения», описывается в томе «механика» курса теоретической физики Л.Д. Ландау. Маятник Капицы интересен еще и тем, что в такой простой системе можно наблюдать параметрические резонансы, когда нижнее положение равновесия не является больше устойчивым и амплитуда малых отклонений маятника нарастает со временем. Также, при большой амплитуде вынуждающих колебаний в системе могут реализовываться хаотические режимы, когда в сечении Пуанкаре наблюдаются странные аттракторы.

Обозначения

Схема маятника Капицы

Направим ось y вертикально вверх, а ось x горизонтально, так чтобы плоское движение маятника происходило в плоскости (x - y). Введем обозначения:

· н - частота вынуждающих вертикальных гармонических колебаний подвеса,

· a - амплитуда вынуждающих колебаний,

· - собственная частота колебаний математического маятника,

· g - ускорение свободного падения,

· l - длина легкого стержня,

· m - масса грузика.

Если угол между стержнем и осью y обозначить как , то зависимость координат грузика от времени запишется следующими формулами:

Энергия маятника

Потенциальная энергия маятника в поле тяжести задается положением грузика по вертикали как



В кинетической энергии помимо обычного слагаемого, описывающего движение математического маятника, имеются дополнительные составляющие, вызванные вибрацией подвеса:

Полная энергия дается суммой кинетической и потенциальной энергий E = E_KIN + E_POT, а лагранжиан системы их разностью L = E_KIN ? E_POT.

Для математического маятника полная энергия является сохраняющейся величиной, поэтому кинетическая энергия E_KIN и потенциальная энергия E_POT на графике их зависимости от времени t симметричны относительно горизонтальной прямой. Из теоремы вириала следует, что средняя кинетическая и потенциальная энергии в гармоническом осцилляторе равны. Поэтому горизонтальная прямая, относительно которой имеется симметрия E_KIN и E_POT, соответствует половине полной энергии.

Характерные зависимости потенциальной и кинетической энергий от времени для математического маятникаЕсли подвес колеблется, то полная энергия больше не сохраняется. Кинетическая энергия является более чувствительной к вынуждающим колебаниям, чем потенциальная. Потенциальная энергия E_POT = mgy ограничена как сверху, так и снизу ? mg (l + a) <E_POT<mg (l + a), в то время как кинетическая энергия ограничена только снизу . При больших значениях частоты н, кинетическая энергия может быть много больше потенциальной.

Характерные зависимости потенциальной и кинетической энергий от времени для маятника Капицы.

Уравнение движения

Движение маятника удовлетворяет уравнениям Эйлера - Лагранжа. Зависимость фазы маятника от времени определяет положение грузикаОшибка! Недопустимый объект гиперссылки.:

Дифференциальное уравнение, описывающие эволюцию фазы маятника

нелинейно из-за имеющегося в нем множителя . Наличие нелинейного слагаемого может приводить к хаотическому поведению и появлению странных аттракторов.

Интересные факты

· Как отмечал П.Л. Капица, маятниковые часы на вибрирующем основании всегда спешат.

· В коридоре института физических проблем стояла работающая модель маятника Капицы, и любой желающий мог воочию убедиться, как при ее включении маятник поднимался и оставался в вертикальном положении.

· Метод эффективного потенциала был разработан П.Л. Капицей во время работы над высокочастотным генератором «ниготроном», названным так по месту исследования у себя на даче на Николиной Горе. Для того чтобы не было проблем с «секретностью» при публикации метода, П.Л. Капица придумывает простую физическую модель, к которой был бы применим этот метод. Таким образом, появляются статьипро маятник с вибрирующим подвесом.

· П.Л. Капица предлагал решить задачу в измененном варианте поступающим к нему в аспирантуру. Требовалась отыскать условие устойчивости акробата на доске, положенной на цилиндр, лежащий на боку. Ожидаемый ответ был, что если акробат начинал быстро переступать ногами, то его положение становилось устойчивым.

· При ходьбе устойчивость тела увеличивается в несколько раз по сравнению с устойчивостью при стоянии. Этот биомеханический феномен до настоящего времени не изучен. Существует гипотеза, которая объясняет устойчивость тела при ходьбе колебательными движениями центра голеностопного сустава. Тело человека представляется с позиции перевернутого маятника с центром в области голеностопных суставов, который приобретает устойчивость в вертикальном положении, если его центр совершает колебание вверх-вниз с достаточно высокой частотой (маятник Капицы).

Теоретическая часть

Векторная графика - способ представления объектов и изображений в компьютерной графике, основанный на использовании геометрических примитивов, таких как точки, линии, сплайны и многоугольники. Для создания изображения векторного формата, отображаемого на растровом устройстве, используются преобразователи, программные или аппаратные (встроенные в видеокарту). Подавляющее большинство современных компьютерных видеодисплеев, в силу принципов используемых для построения изображения, предназначены для отображения информации в растровом формате. Кроме этого, существует узкий класс устройств, ориентированных исключительно на отображение векторных данных. К ним относятся мониторы с векторной развёрткой, графопостроители, а также некоторые типы лазерных проекторов. Термин «векторная графика» используется в основном в контексте двухмерной компьютерной графики.

Способ хранения изображения

Рассмотрим, к примеру, такой графический примитив, как окружность радиуса r. Для её построения необходимо и достаточно следующих исходных данных:

координаты центра окружности;

значение радиуса r;

цвет заполнения (если окружность не прозрачная);

цвет и толщина контура (в случае наличия контура).

Преимущества векторного способа описания графики над растровой графикой

Размер, занимаемой описательной частью, не зависит от реальной величины объекта, что позволяет, используя минимальное количество информации, описать сколько угодно большой объект файлом минимального размера. В связи с тем, что информация об объекте хранится в описательной форме, можно бесконечно увеличить графический примитив, например, дугу окружности, и она останется гладкой. С другой стороны, если кривая представлена в виде ломаной линии, увеличение покажет, что она на самом деле не кривая. Параметры объектов хранятся и могут быть легко изменены. Также это означает что перемещение, масштабирование, вращение, заполнение и т.д. не ухудшает качества рисунка. Более того, обычно указывают размеры в аппаратно-независимых единицах (англ. device-independentunit), которые ведут к наилучшей возможной растеризации на растровых устройствах. При увеличении или уменьшении объектов толщина линий может быть задана постоянной величиной, независимо от реального контура.

Недостатки векторной графики.

Не каждый объект может быть легко изображен в векторном виде - для подобного оригинальному изображению может потребоваться очень большое количество объектов и их сложности, что негативно влияет на количество памяти, занимаемой изображением, и на время для его отображения (отрисовки). Перевод векторной графики в растр достаточно прост. Но обратного пути, как правило, нет - трассировка растра, при том что требует значительных вычислительных мощностей и времени, не всегда обеспечивает высокое качества векторного рисунка.

Примитивные объекты

1. Линии и ломаные линии.

2. Многоугольники.

3. Окружности и эллипсы.

4. Кривые Безье.

5. Безигоны.

Текст (в компьютерных шрифтах, таких как TrueType, каждая буква создаётся из кривых Безье).Этот список неполон. Есть разные типы кривых (Catmull-Rom сплайны, NURBS и т.д.), которые используются в различных приложениях. Также возможно рассматривать растровое изображение как примитивный объект, ведущий себя как прямоугольник.

Векторные операции

Векторные графические редакторы, типично, позволяют вращать, перемещать, отражать, растягивать, скашивать, выполнять основные аффинные преобразования над объектами, изменять z-order и комбинировать примитивы в более сложные объекты. Более изощрённые преобразования включают булевы операции на замкнутых фигурах: объединение, дополнение, пересечение и т.д. Векторная графика идеальна для простых или составных рисунков, которые должны быть аппаратно-независимыми или не нуждаются в фотореализме. К примеру, PostScript и PDF используют модель векторной графики.

Растровое изображение - изображение, представляющее собой сетку пикселей или цветных точек (обычно прямоугольную) на компьютерном мониторе, бумаге и других отображающих устройствах и материалах (растр).

Важными характеристиками изображения являются: количество пикселей - разрешение. Может указываться отдельно количество пикселей по ширине и высоте (1024*768, 640*480,…) или же, редко, общее количество пикселей (часто измеряется в мегапикселях); количество используемых цветов или глубина цвета (эти характеристики имеют следующую зависимость: N = 2k, где N - количество цветов, а k - глубина цвета); цветовое пространство (цветовая модель) RGB, CMYK, XYZ, YCbCr и др. Растровую графику редактируют с помощью растровых графических редакторов. Создается растровая графика фотоаппаратами, сканерами, непосредственно в растровом редакторе, также путем экспорта из векторного редактора или в виде скриншотов.

Достоинства

Растровая графика позволяет создать (воспроизвести) практически любой рисунок, вне зависимости от сложности, в отличие, например, от векторной, где невозможно точно передать эффект перехода от одного цвета к другому без потерь в размере файла. Распространённость - растровая графика используется сейчас практически везде: от маленьких значков до плакатов. Высокая скорость обработки сложных изображений, если не нужно масштабирование. Растровое представление изображения естественно для большинства устройств ввода-вывода графической информации, таких как мониторы (за исключением векторных), матричные и струйные принтеры, цифровые фотоаппараты, сканеры.

Недостатки

1. Большой размер файлов с простыми изображениями.

2. Невозможность идеального масштабирования.

3. Невозможность вывода на печать на плоттер.

Из-за этих недостатков для хранения простых рисунков рекомендуют вместо даже сжатой растровой графики использовать векторную графику.

Форматы

Растровые изображения обычно хранятся в сжатом виде. В зависимости от типа сжатия может быть возможно или невозможно восстановить изображение в точности таким, каким оно было до сжатия (сжатие без потерь или сжатие с потерями соответственно). Так же в графическом файле может храниться дополнительная информация: об авторе файла, фотокамере и её настройках, количестве точек на дюйм при печати и др.

Сжатие без потерь

Использует алгоритмы сжатия, основанные на уменьшении избыточности информации.

1. BMP или WindowsBitmap - обычно используется без сжатия, хотя возможно использование алгоритма RLE.

2. GIF (GraphicsInterchangeFormat) - устаревающий формат, поддерживающий не более 256 цветов одновременно. Всё ещё популярен из?за поддержки анимации, которая отсутствует в чистом PNG, хотя ПО начинает поддерживать APNG.

3. PCX устаревший формат, позволявший хорошо сжимать простые рисованые изображения (при сжатии группы подряд идущих пикселов одинакового цвета заменяются на запись о количестве таких пикселов и их цвете).

4. PNG (Portable Network Graphics)

Сжатие с потерями

Основано на отбрасывании части информации (как правило наименее воспринимаемой глазом).

1. JPEG очень широко используемый формат изображений. Сжатие основано на усреднении цвета соседних пикселей (информация о яркости при этом не усредняется) и отбрасывании высокочастотных составляющих в пространственном спектре фрагмента изображения. При детальном рассмотрении сильно сжатого изображения заметно размытие резких границ и характерный муар вблизи них.

Дополнительно

1. TIFF поддерживает большой диапазон изменения глубины цвета, разные цветовые пространства, разные настройки сжатия (как с потерями, так и без) и др.

2. RAW хранит информацию, непосредственно получаемую с матрицы цифрового фотоаппарата или аналогичного устройства без применения к ней каких-либо преобразований, а также хранит настройки фотокамеры. Позволяет избежать потери информации при применении к изображению различных преобразований (потеря информации происходит в результате округления и выхода цвета пиксела за пределы допустимых значений). Используется при съёмке в сложных условиях (недостаточная освещённость, невозможность выставить баланс белого и т.п.) для последующей обработки на компьютере (обычно в ручном режиме). Практически все полупрофессиональные и профессиональные цифровые фотоаппараты позволяют сохранять RAW изображения. Формат файла зависит от модели фотоаппарата, единого стандарта не существует.

Программа

Programmayatnick;

usesCrt, graph;

constdlin=7;

c=30;

varDriver, i, f, mode:integer; x, y, d, y1:real;

begin

Driver:=Detect;

mode:=0;

initgraph (driver, mode, 'c:\tp7\bin');

setcolor(6);

setbkcolor(7);

line (250,1,300,1);

setcolor(0);

line (275,1,275, dlin*12);

circle (275, dlin*12,6);

x:=275;

D:=c div 70;

F:=100;

{программа выполнит движение вправо}

For i:=1 to c do begin

setfillstyle (1,0);

setcolor(6);

y:=sqrt (sqr(dlin*12) - (sqr (x-275)));

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

floodfill (trunc(x)+2, trunc(y)+2,6);

delay(200);

setcolor(7);

setfillstyle (1,7);

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

floodfill (trunc(x)+2, trunc(y)+2,7);

x:=x+d; d:=d-d/f; setfillstyle (1,2); bar (600,400,605, trunc (675-x));

end;

y1:=y;

{программа выполнит движение влево}

while not keypressed do begin

For i:=1 to c do begin

setcolor(15);

y:=sqrt (sqr(dlin*12) - (sqr (x-275)));

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

delay(200);

setcolor(0);

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

x:=x-d; d:=d+d/f; setfillstyle (1,7); bar (605, trunc(y1), 600, trunc (675-x))

end;

{программа выполнит движение вправо}

F:=f-5;

For i:=1 to c do begin

setcolor(15);

y:=sqrt (sqr(dlin*12) - (sqr (x-275)));

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

delay(200);

setcolor(0);

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

x:=x-d; d:=d-d/f; setfillstyle (1,2);

{отображение шкалы колебаний маятника}

bar (600,400,605, trunc (x+125));

end;

y1:=y;

{программа выполнит движение влево}

F:=f+5;

For i:=1 to c do begin

setcolor(15);

y:=sqrt (sqr(dlin*12) - (sqr (x-275)));

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

delay(200);

setcolor(0);

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

x:=x+d; d:=d+d/f; setfillstyle (1,7);

{отображение шкалы колебаний маятника}

bar (605, trunc(y1), 600, trunc (x+125));

end;

{программа выполнит движение вправо}

F:=f-5;

For i:=1 to c do begin

setcolor(15);

y:=sqrt (sqr(dlin*12) - (sqr (x-275)));

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

delay(200);

setcolor(0);

line (275,1, trunc(x), trunc(y));

circle (trunc(x), trunc(y), 5);

x:=x+d; d:=d-d/f; setfillstyle (1,2);

{отображение шкалы колебаний маятника}

bar (600,400,605, trunc (675-x));

end;

{программа установит положение маятника в центре}

F:=f+5;

end;

ReadKey;

closegraph;

end.

Результаты

В результате проделанной работы я создал программу, которая выводит на монитор колеблющийся маятник, колебания которого со временем затухают.

Выводы по работе

В этой программе я получил реалистичный затухающий маятник. В программу вводим: значения длинны нитиdlin, угол отклонения от центраC.

Список использованной литературы

векторный растровый графика изображение

1. Сайт: www. Wikipedia.org

2. Шпак Ю.А. TurboPascal 7.0 на примерах. Издательство «Юниор», 2003, 498 с.

3. Потопахин В.В. TurboPascal: решение сложных задач. Издательство «БХВ-Петербург», 2006, 208 с.

Размещено на Allbest.ru