Методы исследования управляющей деятельности объектов и процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОЙ СХЕМЫ ОСВОЕНИЯ ЛЕСОСЕКИ

2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОНКРЕТНОГО ПРОЦЕССА ИЛИ ОБЪЕКТА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ПУТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

3. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СИМПЛЕКС?МЕТОДОМ

5. РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ КОНКРЕТНЫМ ЦЕХОМ ПРЕДПРИЯТИЯ

6. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ и РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ПОСТАВОК ЛЕСОМАТЕРИАЛОВ В ПЛОТАХ С ПЛОТОСТОЯНОК ПОСТАВЩИКА НА РЕЙДЫ ЛЕСОЗАВОДОВ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

математический симплекс неравенство линейный

В настоящее время на передовых предприятиях механизация и автоматизация производственных процессов достигли высокого уровня. Дальнейшее эффективное развитие этих производств, особенно в условиях конкурентной борьбы, возможно при широком внедрении методов оптимизации. Методы оптимизации определяют порядок поиска оптимальных решений и иногда структуру технических средств, преимущественно ЭВМ, используемых для достижения этой цели. Эти методы получили развитие в последние сорок лет. В результате сложилась совокупность новых подходов и способов решения задач и планирования, проектирования и управления производственной деятельностью предприятия.

Методы исследования управляющей деятельности объектов и процессов изучает курс «Исследование операций». Предмет исследования операций включает методы построения математических моделей исследуемых процессов и разработку критериев качества их протекания, используемых при поиске оптимальных решений. Это в большей степени синтетическая наука, включающая математический, экономический, инженерно-технический и другие аспекты.

Цель исследования операций - количественное обоснование оптимальных решений.

Под операцией понимается совокупность действий, направленных на достижение поставленных целей. Цель операции - достижение заранее запланированного результата.

Показателем эффективности операции служит критерий оптимальности или ,иначе говоря, критерий качества ее протекания.

Выбор варианта, при котором критерий оптимальности достигает, в зависимости от поставленной цели, максимума или минимума, является оптимальным решением. Поиск оптимального решения обычно достигается путем математического моделирования операций и решения с привлечение математических методов и вычислительной техники.

Наряду с исследованием операций параллельно развиваются дисциплины «Системотехника» и «Теория оптимального управления».

Системотехника отличается от исследования операций широтой решаемых задач. Она рассматривает вопросы управления целыми отраслями, вопросы снабжения, обороны, гидрологические и экологические проблемы и т. д.

В «Теории оптимального управления» решаются те же задачи, что и в курсе «Исследование операций», но круг объектов значительно уже. Например, работа отдельных объектов (сплоточная машина, сортировочные устройства и т.д.), систем управления объектом (флотом, автомобильным транспортом и т.д.) и производственные процессы на уровне цехов и реже на уровне всего предприятия в целом.

1. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОЙ СХЕМЫ РАЗРАБОТКИ ЛЕСОСЕКИ

Таблица1 Задание

N	Трактор	Х, м	Y, м	QР, м3	QМ, м3	C1, руб	C2, руб	CЗ, руб	CР, руб	CМ, руб	NТ, чел	T, мин	T1, с	T2, с	S	Р
1	ЛТ-154	1500	500	2,5	190	5	0,4	35	3.9	8	2	420	1.64	1840	6	4

Разработка оптимальной схемы разработки лесосеки производится в два этапа.

1 Проверка целесообразности строительства дороги на лесосеке определяется условиями, при которых затраты, связанные со строительством, и затраты на трелевку к лесопогрузочным пунктам внутри контура лесосеки меньше или равны затратам на трелевку к лесопогрузочным пунктам, расположенным у существующей дороги, то есть:

(1)

где С₁,С₂ - стоимость строительства 1м уса, волока, руб.

L_y - протяженность уса или волока на лесосеке, м.

С_т - себестоимость содержания трелевочного трактора за смену (С_м) с заработной платой рабочих (С_р), обслуживающих его, руб.

Р₁, Р₂ - производительность трактора на трелевке леса к лесопогрузочному пункту в внутри контура лесосеки и к лесопогрузочному пункту у лесовозной дороги, м³/см.

С_а - удельная себестоимость вывозки единицы объема древесины на единицу длины пути, руб.

Q_л - запас леса на лесосеке, м³.

Сменная производительность трактора Р₁ и Р₂ выражаем:

 (2)

(3)

где Т - продолжительность рабочей смены, мин.

- коэффициент использования времени за смену.

Q_р - средняя рейсовая нагрузка на машину, м³.

L_ср - среднее расстояние трелевки внутри контура лесосеки, м.

V_ср - средняя скорость движения трактора, м/с.

Т₂ - время набора и отцепки пачки хлыстов, с.

Величины Т, , Q_р, L_ср, V_ср и Т₂ в обоих случаях можно считать одинаковыми. С учетом этого, подставим значения Р₁ и Р₂ в неравенство (1) и преобразовав его, получим

(4)

Принимая С_т = С_м + С_р, = 0,85, V_{ср =} 1 / Т₁ и 60·С_а·Т··Q_р·V_ср = (0,1…0,2)С_т, получаем

где Т₁ - среднее время пробега 1м пути, с.

В тоже время действительный объем леса на лесосеке размером 1500 · 500 м, при запасе на 1 га 190 м³ равен

Q = 10^-4 · 1500·500 · 190 = 14250 м³.

Так как Q > Q_л (14250 м³ > 7012.2 м³ ), то строительство уса на лесосеке целесообразно.

За оптимальный или наиболее выгодный вариант схемы разработки лесосеки принимается такая схема, при которой сумма удельных денежных затрат на строительство усов, волоков, лесопогрузочных пунктов и затрат на трелевку была бы минимальной, то есть

(5)

где L_y, L_B - протяженность усов и волоков на лесосеке, м.

N - число лесопогрузочных площадок.

Р_см - сменная производительность трелевочного трактора, м³.

С₃ - стоимость строительства одного лесопогрузочного пункта.

Протяженность усов на лесосеке зависит от схемы прокладки уса S (рисунок 1), их числа М и числа лесопогрузочных пунктов на одном из них К.

Рисунок 1-Схема расположения усов на лесосеке

Максимальная ширина лесосеки, отводимый в рубку, как правило, не превышает 2000 м, поэтому число усов, входящих на лесосеку, можно принять не более четырех, а число лесопогрузочных пунктов на одном усу К может быть любым, но не более К_мах.

 (6)

где Х_мах - максимальная длина (ширина) лесосеки, м.

В_min- минимальная длина делянки, примыкающей к одному лесопогрузочному пункту.

Можно принимать равной длине самого пункта, м.

Принимаю: М = 1, К = 1.

Протяженность усов и волоков определяется по формуле:

(7)

где К_З - коэффициент удлинения волоков, принимаю К_З = 1,1

Число лесопогрузочных площадок определяется

N = 2K · M; (8)

N = 2· 1· 1 = 2 шт.

Размеры делянки можно определить по формулам

(9)

(10)

,

Схема расположения волоков на делянке показано на рисунке 2

Рисунок 2-Схема разработки делянки.

Протяженность магистральных волоков:

(11)

Длину волоков на лесосеке определим по следующей зависимости:

L_в = · N · K₃ (12)

L_в = 1581,14· 2 · 1,1=3478,51м

В зависимости от схемы расположения волоков на делянке среднее расстояние трелевки определяется по формуле

L_ср = (K₁ ·B + K₂ ·A) ·K₃ (12)

где К₁, К₂ - коэффициенты, зависящие от схемы расположения волоков.

L_ср = (300+ 100)·1,1 = 440м.

С учетом L_ср сменная производительность трактора Р_см определяется по формуле

(13)

Согласно компьютерной распечатке выбираем наиболее оптимальный вариант. Расчеты приведены ниже.

Протяженность усов на лесосеке зависит от схемы прокладки уса S (рисунок 3), их числа М и числа лесопогрузочных пунктов на одном из них К.

Схема расположения усов на лесосеке - Рисунок 3

Принимаю: М = 2, К = 1.

Рассчитаем протяженность усов и волоков

Рассчитаем число лесопогрузочных площадок

N = 2· 1· 2 = 4 шт.

Рассчитаем размеры делянки

,

Схема расположения волоков на делянке показано на рисунке 4

Схема разработки делянки - Рисунок 4.

Протяженность магистральных волоков

Общая протяженность волоков на лесосеке определяется

L_В =375·4·1,1 = 1650 м

В зависимости от схемы расположения волоков на делянке среднее расстояние трелевки определяется по формуле

L_ср = (0,25·500+ 0,5·375)·1,1 = 343,75 м

С учетом L_ср сменная производительность трактора Р_см определяется по формуле

После этого необходимо рассчитать общую площадь лесопогрузочных пунктов на лесосеке.

Для определения общей площади лесопогрузочных пунктов на лесосеке S_ЛП рассчитаем площадь, занимаемую сортиментами S_С, и площадь, необходимую для подъезда трелевочного трактора к штабелю S_TT.

Удельный объем лесоматериалов, складируемых на 1 м² площади, определим по следующей зависимости,м³/м²

V₁ = h?k,

где h - высота штабеля сортиментов, м;

\

k - коэффициент полнодревесности штабеля сортиментов (табл. 6).

V_1сосна = 2,5?0,65 = 1,625,

V_1ель = 2,5?0,68 = 1,7,

Площадь для складирования запаса лесоматериалов на лесосеке при временном отсутствии вывозки определим по формуле, м²

Длина штабеля сортиментов,м

где l_c - длина сортиментов, м.

Определим площадь, необходимую для подъезда трелёвочного трактора к штабелю, м²

S_TT = L_ш?b_TT ,

где b_TT - ширина колеи трелёвочного трактора, м.

b_TT = 3,7.

S_{TT сосна} = 2659,56.

S_{TT ель} = 2542,27.

Площадь лесопогрузочных пунктов на лесосеке определим по следующей зависимости, м²

S_ЛП = S_C + S_TT .

S_{ЛП сосна} = 4384,62 + 2659,56 = 7044,18

S_{ЛП ель} = 4191,175+ 2542,27 = 6733,44

S_{ЛП общ} =7044,18 + 6733,44 = 13777,6

Далее определим величину площади лесопогрузочных пунктов относительно площади лесосеки, %

Данное значение величины площади лесопогрузочных пунктов соответствует требованиям при организации лесосечных работ.

2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОНКРЕТНОГО ПРОЦЕССА ИЛИ ОБЪЕКТА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ПУТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Построение математической модели задачи оптимизации рассмотрим на конкретном процессе - определение держащей силы запашного якоря.

На лесосплаве наиболее широко применяются якоря классического типа (сплавные, однорогие, двурогие, якоря Матросова) с фиксированной или поворотной лапой.

На величину держащей силы якорей F основное влияние оказывают три параметра:

- длина веретена L;

- длина лапы или стойки h;

- угол атаки лапы ;

Рисунок 6-Схема запашного якоря обычного типа

При исследовании запашного якоря используем план полного трехфакторного эксперимента. Входными параметрами являются L; h; ; выходным - держащая сила F. Входные параметры задаются интервалами варьирования. Нижний уровень этих факторов обозначаем -1, верхний +1.

Для запашного якоря вводим обозначения; Х₁, Х₂, Х₃ - параметры якоря, соответствующие , h, L,.

Все коэффициенты подсчитываем по результатам опытов. Расчетная матрица для определения коэффициентов приведена в таблице2.

Каждый опыт повторяется несколько раз и значения выходного параметра это средние арифметические значения держащей силы якоря в каждом опыте: F₁, F₂, F₃,…F₈.

Таблица 2- Расчетная матрица для определения коэффициентов.

N опыта	Факторы	Fi	Fср
	Х1	Х2	Х3	F1	F2	F3	F4	F5
1	-	-	-	180	200	220	200	200	200	800
2	+	-	-	220	210	210	230	220	218	280
3	-	+	-	260	280	260	250	270	264	520
4	+	+	-	220	230	230	230	230	228	80
5	-	-	+	160	180	160	180	170	170	400
6	+	-	+	180	190	180	190	180	184	120
7	-	+	+	230	220	210	210	220	218	280
8	+	+	+	240	210	230	240	230	230	600

Статистическую обработку результатов законченного эксперимента начинаем с оценке дисперсии воспроизводимости опытов, затем проверяем значимость коэффициентов уравнения регрессии и его адекватность.

Проверка воспроизводимости опытов.

При трехфакторном эксперименте выполняем восемь опытов. В свою очередь каждый опыт включает серию из n экспериментов.

Для каждого опыта по результатам серии экспериментов подсчитываем значение построчной дисперсии:

 (14)

где F, F_j - держащая сила в каждом конкретном эксперименте серии и ее среднее арифметическое значение в серии.

Для 1-го опыта

(200-180)+(200-200)+(200-220)+(200-200) +(200-200)=800

Аналогично подсчитываем значение построчной дисперсии для оставшихся опытов.

После этого для всех опытов определяем сумму квадратов ошибок:

(15)

В результате дисперсия S², характеризующая ошибку эксперимента, определяем по формуле:

(16)

Для оценки воспроизводимости вычисляем экспериментальное значение числа Кохрена G_э и сравниваем с табличным G_т:

(17)

где - наибольшее значение построчной дисперсии.

G_т = 0,3919;

Так как условие выполняется, то можно принять гипотезу об однородности дисперсий опытов. Точность опыта достаточна.

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Математическая модель (уравнение регрессии) ,получаемая при реализации плана полного трехфакторного эксперимента ,имеет следующий вид:

y = b₀+b₁·x₁+b₂·x₂+b₃·x₃+b_1,2·x₁·x₂+b_1,3·x₁·x₃+b_2,3·x₂·x₃+b_1,2,3·x₁·x₂·x₃, (18)

где y - выходной фактор;

b₀, b₁, b₂, b₃ - коэффициенты при линейных членах;

x₁, x₂, x₃- входные факторы;

b_1,2, b_1,3, b_2,3- коэффициенты ,характеризующие взаимодействие 1-го порядка; b_1,2,3- коэффициент ,характеризующий взаимодействие 3-го порядка.

В общем случае уравнение регрессии имеет восемь коэффициентов b_i. В каждом случае значимость этих коэффициентов разная. Оценка значимости позволяет выяснить незначимые коэффициенты регрессии, то есть те, которые в уравнении регрессии можно приравнять к нулю.

; b₂ = b₃ =

b_1,2 = b_1,3 = b_2,3 = b_1,2,3 =

Оценка значимости проводится с помощью t - критерия Стьюдента.

Для каждого коэффициента регрессии вычисляем отношение:

(19)

где -абсолютное значение исследуемого коэффициента регрессии.

S_b - среднеквадратичное отклонение.

(20)

Полученное значение t_расч сравниваем с табличным t_табл=2,0418.

Коэффициенты регрессии для которых выполняется условие t_расч t_табл, являются незначимыми и исключаются из уравнения регрессии.

Т.к t_расч1, t_расч2,3 являются незначимыми, то их исключаем из уравнения регрессии. Отсюда получается уравнение:

y = b₀ + b₂·x₂ + b₃·x₃ + b_1,2·x₁·x₂ + b_1,3·x₁·x₃ + b_1,2,3·x₁·x₂·x₃,

Проверка адекватности уравнения регрессии

Результаты этой проверки позволяют сделать вывод ,пригодно ли полученое уравнение регрессии для описания описания конструкции запашного якоря. Физический смысл метода адекватности заключается в проверке гипотизы об однородности дисперсии адекватности S и дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента , S. Проверку на адекватность выполняют с помощью критерия Фишера :

F_ф=, (2.16)

где - значения держащей силы якоря в каждом из восьми опытов, замеренные и подсчитанные по уравнению регрессии.

Например для первого опыта ( см. таблицу)

= b₀ + b₂·x₂ + b₃·x₃ + b_1,2·x₁·x₂ + b_1,3·x₁·x₃ + b_1,2,3·x₁·x₂·x₃

= 214+ 21·x₂ - 13,5·x₃ - 7·x₁·x₂ + 5,5·x₁·x₃ + 6,5·x₁·x₂·x₃

= 198,5; = 214,5; = 267,5; = 229,5; = 173,5; =185,5;

= 216,5; = 226,5;

где L- число коэффициентов в уравнениях регрессии за вычетом незначимых;

S² -дисперсия, характеризующая ошибку эксперемента ;

Вычисленное число Фишера при доверительной вероятности 0,95 сравниваем с табличным ,так как расчетное значение не превосходит табличное

F_ф,расч.= 1,51 < 3,3 = F_ф,табл.,то уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента.

Вывод: Наибольшее влияние оказывает высота стойки. При увеличении угла атаки лапы и высоты стойки держащая сила якоря увеличивается.

Уравнение регрессии в натуральном масштабе:

;

;

;

; ; .

;

факторы уравнения заменяем: х₁ заменяем на б; х₂ на h; и х₃ на L.

3. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Математическая модель любой задачи линейного программирования в окончательном варианте формулируется в виде системы m линейных неравенств с n переменными, которая может быть или неопределенной (иметь бесконечное множество решений) или несовместной ( не иметь ни одного решения). Несовместные системы в задачах оптимизации не рассматриваются.

Решение задач оптимизации следует начинать с выяснения области определения системы.

1. Дано уравнение:

1) 5

2. Дано неравенство:

2)

3. Имеем математическую модель задачи в виде системы из четырех уравнений:

Вначале рассмотрим уравнение (1) и изобразим его на плоскости (смотри рисунок 7). Допустимым решением уравнения (1) является точка начала координат.

Рисунок 7 - Уравнение 5

Множеством допустимых решений неравенства (2) является выпуклое, незамкнутое множество АВС с одной угловой точкой и 1-м базисным решением А(0;3/8) (смотри рисунок 8)

Рисунок 8 - Неравенство

Множеством допустимых решений математической модели в виде системы из четырёх уравнений (3) является отрезок AB. Все точки этого отрезка удовлетворяют одновременно всем неравенствам ,(смотри рисунок 9).

Рисунок 9-Координаты точек А(0;0); В(2;0)

Решение задач планирования выпуска продукции.

Таблица 3- Исходные данные:

Ресурсы:	Вид продукции	Располагаемые ресурсы
	П1	П2
Трудовые	9	13	65
Материальные	11	12	74
Финансовые	8	11	81
Границы:
Верхняя	9	8	-
Нижняя	1	-	-
Прибыль	5	2	-

Перед предприятием поставлена задача определить максимальную прибыль

F₁ = 5Х₁ + 2Х₂ max

Математическая модель задачи принимает вид системы неравенств:

1) 9Х₁ + 13Х₂ 65; 4) Х₁ 9

2) 11Х₁ + 12Х₂ 74; 5) Х₂ 8

3) 8Х₁ + 11Х₂ 81; 6) Х₁ 1

Определим графически множество решений каждого неравенства этой системы.

1) Х₁ = 0 Х₂ 5; 3) Х₁ = 0 Х₂ 81/11;

Х₂ = 0 Х₁ 65/9; Х₂ = 0 Х₁ 81/8;

2) Х₁ = 0 Х₂ 37/6; 4) Х₁ 9;

Х₂ = 0 Х₁ 74/11; 5) Х₂ 8

6) Х₁ 1

Область определения системы представляет собой многоугольник АBCD с четырьмя угловыми точками, соответствующими пяти базисным решениям А(1;0) ; В(1;4,3); С(5,2;1,4) ; D(6,72;0) (смотри рисунок 10).

При решении рассматриваемой задачи могут быть поставлены разные цели и, следовательно, получены разные варианты решения.

1. Целевая функция вида: F₁ = 5Х₁ + 2Х₂ max

Решением задачи является самая удаленная точка, это точка D.

Решение: Х₁ =6,72; Х₂ = 0;

Тогда F₁ = 6,72?5 + 0?2 = 33,6.

По неравенствам приведенных выше подсчитываем расход ресурсов.

9·6,72+ 13·0 = 60,48; 11·6,72 + 12·0= 73,92; 8·6,72 + 11·0 = 53,76;

2. Целевая функция вида: F₂ = Х₁ max

Максимуму функции соответствует наиболее удаленная точка D с координатами Х₁ = 6,72; Х₂ = 0;

3. Целевая функция вида: F₃ = Х₂ max

Соответствующая прямая, расположенная в начале ординат, будет совпадать с осью Х₂. Решением задачи является наиболее удаленная точка B с координатами Х₁ = 1; Х₂ = 4,3

4. Целевая функция вида: F₄= Х₁ + Х₂ max

Решением задачи является наиболее удаленная точка B с координатами Х₁ = 1 и Х₂ = 4,3;

5. Целевая функция вида: F₅= 9Х₁ + 13Х₂ min

Решением задачи является наиболее удаленная точка A с координатами Х₁ = 1 и Х₂ = 0;

Результаты оптимальных решений для каждого из представленных вариантов приведены в таблице 4

Таблица 4 - Результаты расчётов

Целевая функция	Угловая точка	Число продуктов	Значение целевой функции	Прибыль	Расход
		Х1	Х2			Трудовые	Материальные	Финансовые
F1	D	6,72	0	33,6	33,6	60,48	73,92	53,76
F2	D	6,72	0	6,72	33,6	60,48	73,92	53,76
F3	B	1	4,3	4,3	13,6	64,9	62,6	55,3
F4	B	1	4,3	5,3	13,6	64,9	62,6	55,3
F5	А	1	0	9	5	9	11	8

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СИМПЛЕКС?МЕТОДОМ

В отличии от геометрического симплекс - метод универсален. Этим методом можно решить любую задачу линейного программирования.

Суть метода в том, что любой задаче линейного программирования соответствует область определения с конечным числом угловых точек и, следовательно, базисных решений. Одно из базисных решений является оптимальным. По симплекс - методу базисные решения в определенной последовательности анализируются до выхода на оптимальный вариант.

Решим симплекс - методом простейшую задачу оптимального плана выпуска продукции.

Задание:

Таблица 5- Исходные данные:

Номер варианта	Виды ресурсов	Виды продукции	Запасы ресурсов
		А1	А2	А3	А4
21	1	5	0	6	2	1500
	2	4	2	2	1	1900
	3	3	0	2	4	700
Прибыль		3	2	2	1

Цель задачи - определить оптимальный план выпуска продукции

( Х₁, Х₂, Х₃, Х₄ ), при котором прибыль максимальна.

Математическая модель задачи принимает вид:

5Х₁ + 6Х₃ + 2Х₄ ? 1500;

4Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃+ Х₄ ? 1900;

3Х₁ + 2Х₃ + 4Х₄ ? 700;

Целевая функция: П = 3Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃ + Х₄ max

Для решения задачи систему неравенств превратим в систему линейных уравнений, для чего введем новые переменные Х₅, Х₆, Х₇.

5Х₁ + 6Х₃ + 2Х₄ + Х₅ ? 1500;

4Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃+ Х₄ + Х₆ ? 1900;

3Х₁ + 2Х₃ + 4Х₄ + Х₇ ? 700;

Так как система состоит из трех уравнений с семью неизвестными, то число основных переменных равно трем, а не основных - четырем.

Нулевой шаг: на этом этапе необходимо найти любое базисное решение. Принимаем за основные переменные Х₅, Х₆, Х₇, а не основные Х₁, Х_2, Х_3, Х₄ приравниваем к нулю.

Х₅ =1500-5Х₁ -6Х₃ - 2Х₄;

Х₆ =1900 - 4Х₁ - 2Х₂ -2 Х₃- Х₄;

Х₇ =700 - 3Х₁ - 2Х₃ - 4Х_4;

П = 3Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃ + Х₄;

Получили базисное решение (Х₁ = 0, Х₂ = 0_, Х₃ =0 _, Х₄ = 0, Х₅ = 1500, Х₆ = 1900_, Х₇ = 700). Решение является допустимым, так как все переменные положительны поэтому проверяем его на оптимальность. Решение не оптимально, так как в выражении целевой функции есть коэффициенты с положительными знаками.: П = 0, предприятие ничего не выпускает, поэтому прибыль равна нулю.

При переходе к следующему базисному решению одну из не основных переменных, с наибольшим положительным коэффициентом, переводим в основные переменные, а одну из основных (ту которая первая обращается в нуль, при вводе новой основной переменной) в не основные.

Первый шаг:

Х₅ = 0 если Х₁ = 475;

Х₆ = 0 если Х₁ = 300;

Х₇ = 0 если Х₁ = 233,33;

Следовательно Х₁ переводим в основные переменные, а Х₇ в не основные.

Х₁ = 700/3 - 2·Х₃/3 - 4·Х₄/3 - Х₇/3

Х₅ = 1000/3 - 8·Х₃/3 + 14·Х₄/4 + 5·Х₇/3

Х₆ = 2900/3 - 2·Х₂ + 2·Х₃/3 + 13·Х₄/3 + 4·Х₇/3

П = 700 + 2·Х₂ - 3·Х₄ - Х₇

Получили базисное решение (Х₁ = 700/3; Х₂ = 0; Х₃ =0 ; Х₄ = 0; Х₅ = 1000/3; Х₆ = 2900/3; Х₇ = 0). Прибыль П = 700 Решение является допустимым, так как все переменные положительны поэтому проверяем его на оптимальность. Решение не оптимально, так как в выражении целевой функции есть коэффициенты с положительными знаками

Второй шаг: На этом шаге в основные переводим Х₂, так как эта переменная имеет наибольший положительный коэффициент.

Х₆ = 0 если Х₂ =483,33;

В не основные переводим Х₆.

Х₂ = 1450/3 + Х₃/3 + 13Х₄/6 - Х₆/2 + 2·Х₇/3

Х₅ = 1000/3 - 8Х₃/3 + 14·Х₄/3 + 5Х₇/3

Х₁ = 700/3 - 2·Х₃/3 - 4·Х₄/3 - Х₇/3

П = 5000/3 + 2Х₃/3 + 4Х₄/3 - Х₆+ Х₇/3

Получили базисное решение (Х₁ = 700/3; Х₂ = 1450/3; Х₃ =0 ; Х₄ = 0; Х₅ = 1000/3; Х₆ = 0; Х₇ = 0). Прибыль П = 5000.

Решение является допустимым, так как все переменные положительны поэтому проверяем его на оптимальность. Решение не оптимально, так как в выражении целевой функции есть коэффициенты с положительными знаками

Третий шаг: На этом шаге в основные переводим Х₄, так как эта переменная имеет наибольший положительный коэффициент.

Х₂ = 0 если Х₄ = -223,08;

Х₅ = 0 если Х₄ = -71,43;

Х₁ = 0 если Х₄ = 175;

Следовательно Х₄ переводим в основные переменные, а Х₁ в не основные.

Х₂ = 1725/2 - 13Х₁/8 - 3Х₃/4 - Х₆/2 + Х₇/8

Х₄ = 175 - 3Х₁/4 - Х₃/2 - Х₇/4

Х₅ = 1150 - 7·Х₁/2 - 5·Х₃ + Х₇/2

П = 1900 - Х₁ - Х₆

Получили базисное решение (Х₁ = 0; Х₂ = 1725/2; Х₃ =0 ; Х₄ = 175; Х₅ = 1150; Х₆ = 0; Х₇ = 0). Прибыль П = 1900. Полученное решение является оптимальным, так как все переменные в целевой функции - отрицательны.

Таким образом, в принятой системе ограничений для получения максимальной прибыли П = 1900 руб. необходимо изготовить 863 единиц продукции 2 типа. Продукцию 1 и 3 типа выпускать не выгодно. На складе остается 1500 единиц ресурсов первого вида и 700 единиц ресурсов третьего вида

5. РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ КОНКРЕТНЫМ ЦЕХОМ ПРЕДПРИЯТИЯ

Имеется предприятие - мебельная фабрика, с определённым запасом материалов на складе, и перечень продукции. Необходимо определить выпуск, какой продукции наиболее выгоден для данного предприятия.

По заданным размерам определяем потребность единицы продукции в пиломатериалах. По результатам строим матрицу.

a = 600 мм.

b = 900 мм.

c = 600 мм.

d = 400 мм.

б₁ = 25 мм.

e = 140 мм.

б₂ = 40 мм.

H = 800 мм.

a = 500 мм.

b = 1400 мм.

d = 360 мм.

Н=800 мм.

с=560 мм.

е=530 мм.

б₁ = 25 мм.

б₂=20 мм.

б₃=30 мм.

б₄=20 мм.

f=100 мм.

a = 1100 мм.

b = 700 мм.

d = 200 мм.

б₁ = 25 мм.

б₃ = 30 мм.

б₄ = 30 мм.

H = 800 мм.



a = 2300 мм.

b = 660 мм.

d = 200 мм.

б = 35 мм.

d = 120 мм.

k = 25 мм.

Таблица 6 -Виды пиломатериалов

Типы сырья	Виды продукции	Запасы ресурсов
	тумбочка	Стол кухонный	Дверь	Стол письменный
Д.40-2		1,68			500
Д25-3		4,5		5,88	400
Д30,1	7,7+5,72				600
Д25.1	15,4				500
Д35,3			5,44		200
Д30,2				2,4	1200
Д20,2				5,16	1200
Д20,3				5,3	200
ДВП	0,66		3,036		250
Б40		3,1			700
Б35			6,18		800
Б30	0,8				900
Прибыль	1100	1000	700	1500

Математическая модель задачи принимает вид

Целевая функция

Преобразуем систему...

После преобразования получим:

Получили базисное решение: (0; 0; 0; 0; 250; 900; 600; 500; 400; 700; 500; 800;200;1200;1200;200).

П = 0.

Вывод: предприятие ничего не выпускает, поэтому прибыль равна нулю.

Второй шаг:

Переводим в основные Х₄, так как он имеет наибольший положительный коэффициент в целевой функции, тогда:

Х₉ =0, если Х₄ = 68,027;

Х₁₄ = 0, если Х₄ = 500;

Х₁₅ = 0, если Х₄ = 232,558;

Х₁₆ = 0, если Х₄ = 37,736;

Х₉ = 178,112 - 4,5Х₂ +1,109Х₁₆

Х₁₄ = 1109,434+ 0,453Х₁₆

Х₁₅ = 1005,282 + 0,974Х₁₆

F = 56604 + 1100Х₁ + 1000Х₂ + 700Х₃ -283,019Х₁₆max;

Получили базисное решение: (0; 0; 0; 37,736; 250; 900; 600; 500; 178,122; 700; 500; 800;200;1109,434;1005,282; 0). F =56604р. Полученное решение является допустимым, но не оптимальным, так как в целевой функции есть коэффициенты с положительным знаком.

Третий шаг:

Переводим в основные Х₁ ,так как он имеет наибольший положительный коэффициент в целевой функции, тогда :

Х₅ =0, если Х₁ = 378,788;

Х₆ = 0, если Х₁ = 1125;

Х₇ = 0, если Х₁ = 44,709;

Х₈ = 0, если Х₁ = 32,468;

В не основные переводим Х₈. Выразим Х₁ из уравнения Х₈ , подставим его значение в другие уравнения, где есть значение Х₁. После преобразований получим :

Х₅ = 228,571 -0,0429Х₈-3,036 Х₃;

Х₆ = 874,026 -0,0519Х₈;

Х₇ = 164,286-0,871Х₈ ;

F = 92318,8+1000Х₂ + 700Х₃ -71,429Х₈ - 283,019Х₁₆max;

Получили базисное решение: (32,468; 0; 0; 37,736; 228,571; 874,026; 164,286; 0; 178,122; 700; 500; 800;200;1109,434;1005,282; 0). F= 92318,8р. Полученное решение является допустимым, но не оптимальным, так как в целевой функции есть коэффициенты с положительным знаком.

Четвертый шаг:

Переводим в основные Х₂ ,так как он имеет наибольший положительный коэффициент в целевой функции, тогда :

Х₉ =0, если Х₂ = 88,889;

Х₁₀ = 0, если Х₂ = 225,806;

Х₁₁ = 0, если Х₂ = 297,619;

В не основные переводим Х₉ Выразим Х₂ из уравнения Х₉ , подставим его значение в другие уравнения, где есть значение Х₂. После преобразований получим :

Х₁₀ = 424,444 + 4,051Х₄ +0,689Х₉;

Х₁₁ = 350,667 + 1,286Х₄ + 0,373Х₉;

F = 131898 -71,429Х₈ -222,222 Х₉ + 700Х₃ - 36,472Х₁₆max;

Получили базисное решение: (32,468; 88,889; 0; 37,736; 228,571; 874,026; 164,286; 0; 0; 424,444; 350,667; 800;200;1109,434;1005,282; 0). F =131898. Полученное решение является допустимым, но не оптимальным, так как в целевой функции есть коэффициенты с положительным знаком.

Пятый шаг:

Переводим в основные Х₃ ,так как он имеет наибольший положительный коэффициент в целевой функции, тогда :

Х₅ =0, если Х₃ = 75,287;

Х₁₂ = 0, если Х₃ = 129,4498;

Х₁₃ = 0, если Х₃ = 36,765;

В не основные переводим Х₁₃ Выразим Х₃ из уравнения Х₁₃ , подставим его значение в другие уравнения, где есть значение Х₃. После преобразований получим :

Х₁₂ = 424,444 + 4,051Х₄ +0,689Х₉;

Х₅ = 116,953 -0,0429Х₈+0,558 Х₃;

F = 157634 -71,429Х₈ -222,222 Х₉ - 128,675Х₁₃ - 36,472Х₁₆max;

Получили базисное решение: (32,468; 88,889; 36,765; 37,736; 228,571; 874,026; 164,286; 0; 0; 424,444; 350,667; 424,44;200;1109,434;1005,282; 0). F =157634. Полученное решение является оптимальным, так как все переменные в целевой функции - отрицательны.

Таким образом, в принятой системе ограничений для получения максимальной прибыли F = 157634 руб. необходимо изготовить 33 тумбочек,89 кухонных столов, 37дверей, 38 письменных столов.

6. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ и РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ПОСТАВОК ЛЕСОМАТЕРИАЛОВ В ПЛОТАХ С ПЛОТОСТОЯНОК ПОСТАВЩИКА НА РЕЙДЫ ЛЕСОЗАВОДОВ

Метод потенциалов применяется преимущественно для решения транспортных задач и основан на последовательном анализе различных сочетаний связей поставщиков и потребителей с целью выхода на оптимальный вариант.

Реализацию метода рассматриваем на примере организации поставки древесины флотом лесосплавного предприятия семи лесозаводам с четырех лесостоянок. Схема расположения на рейде лесостоянок, обозначенных прямоугольниками, и лесозаводов, обозначенных кружками, приведены на рисунке 8.



Рисунок 12 ? Схема расположения поставщиков и потребителей: ? - плотостоянки;_ - лесозаводы

Запасы древесины на лесостоянках и потребности заводов в древесине приведены в таблицах 7 и 8.

Таблица 7- Запасы древесины на лесостоянках

Номер лесостоянки.	1	2	3	4
Запас древесины, м3	32000	16000	17000	21000

Суммарный объем поставки составляет - 86000 м³.

Таблица 8- Потребности заводов в древесине.

Номер лесозавода	1	2	3	4	5	6	7
Потребность в древесине, м3	17000	16000	15000	18000	14000	17000	9000

Суммарный объем потребности в древесине составляет - 106000 м³.

Расстояние от каждой лесостоянке до каждого лесозавода определяем по схеме рейда.

Удельная себестоимость в рублях на 1 км 1 м³ древесины составляет 10 руб. / км.

Расстояния и себестоимости транспортировки древесины приведены в табл. 9

Таблица 9- Расстояния и себестоимости транспортировки древесины.

№ маршрута	№ плотостоянки	№ лесозавода	L, км	Себестоимость, руб
1	1	1	8,6	86
2	1	2	12,1	121
3	1	3	6,7	67
4	1	4	12,8	128
5	1	5	16,3	163
6	1	6	8,3	83
7	1	7	16,8	168
8	2	1	5,8	58
9	2	2	9,5	95
10	2	3	4,2	42
11	2	4	10,8	108
12	2	5	13,0	130
13	2	6	5,8	58
14	2	7	14,2	142
15	3	1	12,9	129
16	3	2	12,2	122
17	3	3	8,0	80
18	3	4	3,7	37
19	3	5	8,3	83
20	3	6	6,2	62
21	3	7	7,1	71
22	4	1	11,3	113
23	4	2	14,9	149
24	4	3	5,3	53
25	4	4	9,4	94
26	4	5	14,1	141
27	4	6	4,5	45
28	4	7	12,9	129

Метод потенциалов применим только к закрытым транспортным задачам, т.е. когда объем древесины на лесостоянках равен потребности лесозаводов. Для обеспечения этого требования считаем, что на рейде имеется еще одна лесостоянка №5 с фиктивным объемом равным разнице между потребностью лесозаводов и поставкой лесостоянок. Эта разница равна 6 тыс.м³.

При решении задачи необходимо определить, с каких лесостоянок, на какие лесозаводы и в каких объемах необходимо поставлять древесину, для того чтобы были обеспечены минимальные суммарные затраты на перевозку.

В начале решения задачи составляем матрицу таблицу 10.

В правый верхний угол каждой клетки записываем значение себестоимости, а внизу заносим значение объема поставки, распределенное по так называемому правилу северо-западного угла.

После составления матрицы определяем потенциалы лесостоянок а_i и b_i , для чего принимаем потенциал первой лесостоянки а_i равным нулю и записываем его в правый верхний угол матрицы. Потенциалы остальных лесостоянок и лесозаводов определяем через базисные клетки по зависимости:

a_i = C_i,j - b_j;

b_j = C_i,j - a_i;

Затем в левые верхние углы небазисных клеток вносим их потенциалы, определенные по зависимости:

П_i,j = a_i + b_j;

Решение задачи является оптимальным в том случае, если во всех клетках выполняется условие:

П_i,j C_i,j

Если условие не выполняется, то на базе клетки с наибольшей разностью потенциалов строится цикл перераспределения объемов поставок.

Таблица 10 -Матрица для решения задачи

№ лесостоянки	Номер лесозавода	Ресурсы m3	ai
	1	2	3	4	5	6	7
1		86		121	68	67	134	128	181	163	85	83	85	168	32	0
	17	15
2	60	58		95		42		108	155	130	59	58	59	142	16	-26
		1	15	0
3	-11	129	24	122	-29	80		37	84	83	-12	62	-12	71	17	-97
				17
4	46	113	84	149	28	53		94		141		45	45	129	21	-40
				1	14	6
5	1	0	36	0	-17	0	49	0	96	0	11	0		0	20	-85
							9
Потребность	17	16	15	18	14	17	9
bj	86	121	68	134	181	85	85

П=17·86+15·121+1·95+15·42+0·108+17·37+1·94+14·141+6·45+9·0=6969;

Таблица 11- Матрица для решения задачи

№ лесостоянки	Номер лесозавода	Ресурсы m3	ai
	1	2	3	4	5	6	7
1		86		121	68	67	134	128	181	163	85	83	181	168	32	0
	17	15
2	60	58		95		42		108	155	130	59	58	155	142	16	-26
		1	15	0
3	-11	129	24	122	-29	80		37	84	83	-12	62	84	71	17	-97
				17
4	46	113	84	149	28	53		94		141		45	14	129	21	-40
				1	3	17
5	-95	0	-60	0	-113	0	-47	0		0	-96	0		0	20	-181
					11		9
Потребность	17	16	15	18	14	17	9
bj	86	121	68	134	181	85	181

П=5913;

Таблица 12- Матрица для решения задачи

№ лесостоянки	Номер лесозавода	Ресурсы m3	ai
	1	2	3	4	5	6	7
1		86		121	68	67	109	128	156	163	60	83	156	168	32	0
	17	15
2	60	58		95		42	83	108		130	34	58	130	142	16	-26
		1	15		0
3	14	129	49	122	-4	80		37	84	83	-12	62	84	71	17	-72
				17
4	71	113	106	149	53	53		94		141		45	141	129	21	-15
				1	3	17
5	-70	0	-35	0	-88	0	-47	0		0	-96	0		0	20	-156
					11		9
Потребность	17	16	15	18	14	17	9
bj	86	121	68	109	156	60	156

П=5913

Таблица 13- Матрица для решения задачи

№ лесостоянки	Номер лесозавода	Ресурсы m3	ai
	1	2	3	4	5	6	7
1		86		121	68	67	128	128	156	163	79	83	162	168	32	0
	17	15
2	60	58		95		42	102	108		130	53	58	136	142	16	-26
		1	15		0
3	-5	129	30	122	-23	80		37	65	83	-12	62		71	17	-91
				17			3
4	52	113	87	149	34	53		94	122	141		45	128	129	21	-34
				4		17
5	-70	0	-35	0	-88	0	-28	0		0	-77	0		0	20	-156
					14		6
Потребность	17	16	15	18	14	17	9
bj	86	121	68	128	156	79	162

П=5985;

Таблица 14- Матрица для решения задачи

№ лесостоянки	Номер лесозавода	Ресурсы m3	ai
	1	2	3	4	5	6	7
1		86		121	70	67	124	128	158	163	75	83	158	168	32	0
	16	16
2		58	93	95		42	96	108		130	47	58	130	142	16	-28
	1		15		0
3	-1	129	34	122	-17	80		37	71	83	-12	62		71	17	-87
				14			3
4	52	113	91	149	40	53		94	128	141		45	128	129	21	-30
				4		17
5	-72	0	-37	0	-88	0	-34	0		0	-53	0		0	20	-158
					14		6
Потребность	17	16	15	18	14	17	9
bj	86	121	70	124	158	75	158

П=5872;

Таблица 15- Матрица для решения задачи

№ лесостоянки	Номер лесозавода	Ресурсы m3	ai
	1	2	3	4	5	6	7
1		86		121		67	124	128	158	163	75	83	158	168	32	0
	1	16	15
2		58	93	95	39	42	96	108		130	47	58	130	142	16	-28
	16				0
3	-1	129	34	122	-20	80		37	71	83	-12	62		71	17	-87
				14			3
4	56	113	91	149	37	53		94	128	141		45	128	129	21	-30
				4		17
5	-72	0	-37	0	-97	0	-34	0		0	-83	0		0	20	-158
					14		6
Потребность	17	16	15	18	14	17	9
bj	86	121	67	124	158	75	158

П=5827;

Как видно из последнего плана во всех клетках выполняется условие: П_i,j C_i,j

Данный план оптимален.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Митрофанов А.А., Камусин А.А. Моделирование и оптимизация процессов лесопромышленных производств: Учебное пособие. - Архангельск: Изд-во Арханг. гос. техн. ун-та, 2003. - 118 с.

2 Митрофанов А.А. Якоря на лесосплаве: Методические указания к лабораторным работам. - Архангельск: РИО АЛТИ, 1988. - 25 с.

3 Ширшов С.И Моделирование процессов лесозаготовок на ЭВМ: Методические указания к выполнению лабораторных работ. - Архангельск: РИО АЛТИ, 1989.-29с.

Размещено на Allbest.ru