Аппроксимация функции, отображающей зависимость коэффициента расхода воздуха "Q" в косозубом шестеренном пневмодвигателе от числа оборотов "n" в безразмерных величинах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: Аппроксимация функции, отображающей зависимость коэффициента расхода воздуха “Q” в косозубом шестеренном пневмодвигателе от числа оборотов “n” в безразмерных величинах

Оглавление

1. Задание к курсовой работе

1.1 Таблица и график эмпирических данных

2. Пояснения структуры курсовой работы

3. Построение графика эмпирических данных и вычисление коэффициента корреляции

3.1 Построение графика эмпирических данных

3.2 Вычисление коэффициента корреляции

4. Нахождение теоретических зависимостей для эмпирически заданных значений

4.1 Аппроксимация эмпирических данных линейной зависимостью

4.2 Аппроксимация эмпирических данных степенной зависимостью

5. Вычисление коэффициента детерминированности

6. Построение линии тренда

7. Описание программы на языке QBASIC

8. Текст программы на языке QBASIC

8.1 Результаты работы программы

8.2 Обозначения использованные в программе и алгоритме

9. Блок схема для программы, выполненной на языке QBASIC

10. Анализ результатов и выводы

11. Список используемой литературы

1. Задание к курсовой работе.

Построить в EXCEL график таблично заданной функции

.

Вычислить в EXCEL (либо на языке программирования) коэффициент корреляции для случая линейной зависимости между параметрами “” и “”.

В зависимости от вида графика и величины коэффициента корреляции выбрать несколько классов функций:

Либо линейную и степенную функции:

Либо квадратичную и экспоненциальную функции:

Для выбранного класса функций построить в EXCEL графики линий тренда, с выводом уравнений и коэффициентов детерминированности.

Составить алгоритм вычислений эмпирических функций по методу наименьших квадратов в виде блок- схемы.

Написать программу для вычисления коэффициентов эмпирических формул по методу наименьших квадратов на языке программирования высокого уровня, выбрав и описав предварительно метод решения систем линейных уравнений. Вычислить для каждой эмпирической формулы коэффициент детерминированности.

Отладить программу и провести вычисления с выводом результатов в файл. Распечатать результаты вычислений в виде таблиц, снабдив их необходимыми пояснениями.

Вычислить в EXCEL коэффициенты выбранных эмпирических функций, решив системы линейных уравнений матричным методом. Построить отдельные графики теоретических, наложить на них линию фактических данных. Вычислить коэффициент детерминированности.

Распечатать результаты вычислений в EXCEL в виде таблиц, снабдив их необходимыми пояснениями.

Сравнить все три результата вычислений (в EXCEL, на языке программирования и полученные при построении линии тренда), сделать выводы. Определить, какая из полученных эмпирических формул наилучшим образом аппроксимирует функцию

.

1.1 Таблица и график эмпирических данных

Вариант 21.
Зависимость расхода воздуха "Q" в косозубом шестеренном пневмо-двигателе от числа оборотов вала "N" в безразмерных величинах.
N i	Q i	N i	Q i	N i	Q i	N i	Q i	N i	Q i
0,03	0,19	0,39	0,59	0,79	0,89	1,13	1,09	1,43	1,23
0,09	0,28	0,48	0,66	0,87	0,94	1,19	1,12	1,49	1,26
0,15	0,35	0,56	0,72	0,94	0,98	1,25	1,15	1,55	1,29
0,22	0,43	0,64	0,78	1,01	1,02	1,31	1,18	1,61	1,32
0,31	0,52	0,72	0,84	1,07	1,06	1,37	1,21	1,66	1,34

2. Пояснения структуры курсовой работы

В параграфе 3.1: Построен график таблично заданной функции Q = f(N).

В параграфе 3.2: Вычислен коэффициент корреляции для случая линейной зависимости между параметрами “Q” и”n”.

В параграфе 4.1: Аппроксимация линейной зависимостью эмпирических данных.

В параграфе 4.2: Аппроксимация эмпирических данных степенной зависимостью.

В параграфе 5: После аппроксимации фактических данных линейной и степенной зависимостями считаем коэффициенты детерминированности, для каждой из них, чтобы выяснить, какая же из найденных наилучшим образом аппроксимирует заданные эмпирические значения.

В параграфе 6: Построены графики линии тренда для линейной и степенной зависимостей.

3. Построение графика эмпирических данных и вычисление коэффициента корреляции

3.1 Построение графика эмпирических данных

По заданной таблице зависимости расхода воздуха “Q” в косозубом шестеренном пневмодвигателе от числа оборотов вала “N” строим в EXCEL график зависимости

.

Рис.1. График зависимости расхода воздуха “Q” от числа оборотов вала “N”.

3.2 Вычисление коэффициента корреляции

С помощью табличного процессора EXCEL найдем коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:



Где:

- средне арифметические значения по N и Q соответственно (или и ).

Для этого находим:

Вычисления с помощью табличного процессора Excel:

Таблица 1:

	-0,86	-0,71	0,61	0,74	0,50
	-0,80	-0,62	0,49	0,64	0,38
	-0,74	-0,55	0,41	0,55	0,30
	-0,67	-0,47	0,31	0,45	0,22
	-0,58	-0,38	0,22	0,34	0,14
	-0,50	-0,31	0,15	0,25	0,09
	-0,41	-0,24	0,10	0,17	0,06
	-0,33	-0,18	0,06	0,11	0,03
	-0,25	-0,12	0,03	0,06	0,01
	-0,17	-0,06	0,01	0,03	0,00
	-0,10	-0,01	0,00	0,01	0,00
	-0,02	0,04	0,00	0,00	0,00
	0,05	0,08	0,00	0,00	0,01
	0,12	0,12	0,01	0,01	0,01
	0,18	0,16	0,03	0,03	0,03
	0,24	0,19	0,05	0,06	0,04
	0,30	0,22	0,07	0,09	0,05
	0,36	0,25	0,09	0,13	0,06
	0,42	0,28	0,12	0,18	0,08
	0,48	0,31	0,15	0,23	0,10
	0,54	0,33	0,18	0,29	0,11
	0,60	0,36	0,22	0,36	0,13
	0,66	0,39	0,26	0,44	0,15
	0,72	0,42	0,30	0,52	0,18
	0,77	0,44	0,34	0,59	0,20
Сумма			4,21	6,27	2,89

			Коэффициент корреляции
0,89	0,90		x	0,988

Из найденного коэффициента корреляции и графика таблично заданных эмпирических данных мы видим, что заданные эмпирические данные достаточно хорошо аппроксимируются линейной зависимостью, величина коэффициента корреляции приближенно равна 1, что показывает тесную линейную связь между расходом воздуха “Q” и числом оборотов “N”.

4. Нахождение теоретических зависимостей для эмпирически заданных значений

4.1 Аппроксимация эмпирических данных линейной зависимостью

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами а1, а2 считаются те, для которых сумма квадратов отклонения теоретической функции от заданных эмпирических значений будет минимальной.

Находим коэффициенты а1(пересечение графика с осью ОУ) и а2(значение наклона), (т.к. любую прямую можно задать ее наклоном и У-пересечением) решая систему линейных уравнений, к которой нас приводит метод наименьших квадратов:

Для этого находим:

и n (число значений и ) и составляем матрицу A и вектор B. Для нахождения коэффициентов пользуемся формулой:

X=A-1*B.

Вектор X состоит из двух чисел, которые являются искомыми а1 и а2.

Вычисления с помощью табличного процессора Excel:

Таблица 2:

	0,03	0,19	0,001	0,006	0,32
	0,09	0,28	0,008	0,025	0,36
	0,15	0,35	0,023	0,053	0,40
	0,22	0,43	0,048	0,095	0,45
	0,31	0,52	0,096	0,161	0,51
	0,39	0,59	0,152	0,230	0,56
	0,48	0,66	0,230	0,317	0,62
	0,56	0,72	0,314	0,403	0,68
	0,64	0,78	0,410	0,499	0,73
	0,72	0,84	0,518	0,605	0,78
	0,79	0,89	0,624	0,703	0,83
	0,87	0,94	0,757	0,818	0,88
	0,94	0,98	0,884	0,921	0,93
	1,01	1,02	1,020	1,030	0,98
	1,07	1,06	1,145	1,134	1,02
	1,13	1,09	1,277	1,232	1,06
	1,19	1,12	1,416	1,333	1,10
	1,25	1,15	1,563	1,438	1,14
	1,31	1,18	1,716	1,546	1,18
	1,37	1,21	1,877	1,658	1,22
	1,43	1,23	2,045	1,759	1,26
	1,49	1,26	2,220	1,877	1,30
	1,55	1,29	2,403	2,000	1,34
	1,61	1,32	2,592	2,125	1,38
	1,66	1,34	2,756	2,224	1,41
Сумма	22,26	22,44	26,093	24,191	22,44
Матрица {A}		Вектор {B}
25	22,26		22,44
22,26	26,093		24,19
	Вектор {X}
а1	0,300
а2	0,671

Подставив, полученные коэффициенты в уравнение (1) получим:

и построим график с наложением эмпирических данных:

Рис.2. Графики линейной зависимости.

Где: -фактические данные

- теоретическая зависимость

4.2. Аппроксимация эмпирических данных степенной зависимостью.

Для нахождения коэффициентов а1 и а2 степенную зависимость надо линеаризовать. Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (3), в результате чего получится соотношение:

Обозначим , соответственно через z, b, tполучим:

,

что позволит использовать линейные формулы, которые использовались в решении многочлена первой степени. С заменой на Zi и на Ti олучим коэффициенты a2 и b. Коэффициент a1 находим по формуле:

a1 = exp(b).

Для нахождения коэффициентов a2 и b используем систему линейных уравнений:

Для этого находим:

и N (число значений и ) и составляем матрицу А и вектор B. Для нахождения коэффициентов пользуемся формулой:

X=A-1*B

Вектор X состоит из двух чисел, которые являются искомыми b и а2. Причем, а1=еb.

Вычисления с помощью табличного процессора Excel:

Таблица 3

	-3,51	-1,66	12,30	5,82	0,16
	-2,41	-1,27	5,80	3,07	0,29
	-1,90	-1,05	3,60	1,99	0,38
	-1,51	-0,84	2,29	1,28	0,46
	-1,17	-0,65	1,37	0,77	0,55
	-0,94	-0,53	0,89	0,50	0,62
	-0,73	-0,42	0,54	0,30	0,69
	-0,58	-0,33	0,34	0,19	0,75
	-0,45	-0,25	0,20	0,11	0,80
	-0,33	-0,17	0,11	0,06	0,85
	-0,24	-0,12	0,06	0,03	0,89
	-0,14	-0,06	0,02	0,01	0,94
	-0,06	-0,02	0,00	0,00	0,97
	0,01	0,02	0,00	0,00	1,01
	0,07	0,06	0,00	0,00	1,04
	0,12	0,09	0,01	0,01	1,07
	0,17	0,11	0,03	0,02	1,10
	0,22	0,14	0,05	0,03	1,13
	0,27	0,17	0,07	0,04	1,16
	0,31	0,19	0,10	0,06	1,19
	0,36	0,21	0,13	0,07	1,21
	0,40	0,23	0,16	0,09	1,24
	0,44	0,25	0,19	0,11	1,26
	0,48	0,28	0,23	0,13	1,29
	0,51	0,29	0,26	0,15	1,31
Cумма	-10,60	-5,34	28,74	14,85	22,35
Матрица {A*}	Вектор {B*}
25	-10,60	-5,34
-10,60	28,74	14,85
	Вектор {X}
b	0,01	a1* = eb
a2*	0,519	1,007

Подставив, полученные коэффициенты в уравнение (3) получим:

Q = 1.0067 * N0.5192

и построим график с наложением фактических данных:

Рис.3. Графики степенной зависимости.

Где:

- фактические данные

- теоретическая зависимость

5. Вычисление коэффициента детерминированности.

Cумма квадратов отклонений теоритических значений функции от эмпирических данных Sост вычисляется по формуле:

Эта величина характеризует отклонение теоретических результатов от экспериментальных данных.

Введем понятие регрессионной суммы квадратов:

Эта величина характеризует разброс теоретических данных относительно среднего значения.

Коэффициент детерминированности R2 определяется по формуле:

Где:

Вычисления с помощью табличного процессора Excel:

Таблица 4:

0,0204	0,33	0,0003	0,54
0,0122	0,29	0,0001	0,37
0,0000	0,25	0,0000	0,27
0,0006	0,20	0,0005	0,19
0,0003	0,15	0,0012	0,12
0,0000	0,11	0,0006	0,08
0,0008	0,08	0,0000	0,04
0,0017	0,05	0,0001	0,02
0,0008	0,03	0,0001	0,01
0,0001	0,01	0,0003	0,00
0,0003	0,00	0,0000	0,00
0,0000	0,00	0,0000	0,00
0,0000	0,00	0,0003	0,01
0,0002	0,01	0,0008	0,01
0,0025	0,01	0,0000	0,02
0,0013	0,03	0,0005	0,03
0,0000	0,04	0,0001	0,04
0,0034	0,06	0,0001	0,05
0,0009	0,08	0,0004	0,07
0,0036	0,10	0,0000	0,08
0,0000	0,13	0,0012	0,10
0,0007	0,16	0,0000	0,12
0,0051	0,20	0,0024	0,13
0,0004	0,23	0,0000	0,15
0,0106	0,27	0,0006	0,17
Sост	Sрег	S*ост	S*рег
0,0731	2,83	0,0214	2,65
Sполн.	S*полн.
2,90	2,67
Коэффициенты детерминированности
*линейной	*степенной
0,978	0,996

По значениям коэффициентов детерминированности можно судить о том, что заданные эмпирические данные хорошо аппроксимируются как линейной, так и степенной зависимостью. Причем степенная зависимость отображает экспериментальные данные немного лучше, чем линейная.

6. Построение линии тренда.

N i	Q i	N i	Q i	N i	Q i	N i	Q i	N i	Q i
0,03	0,19	0,39	0,59	0,79	0,89	1,13	1,09	1,43	1,23
0,09	0,28	0,48	0,66	0,87	0,94	1,19	1,12	1,49	1,26
0,15	0,35	0,56	0,72	0,94	0,98	1,25	1,15	1,55	1,29
0,22	0,43	0,64	0,78	1,01	1,02	1,31	1,18	1,61	1,32
0,31	0,52	0,72	0,84	1,07	1,06	1,37	1,21	1,66	1,34

Рис.4. График линии тренда линейной зависимости.

Где:

Qi - эмпирические данные

Линейный (Qi) - линия тренда



Рис.5. График линии тренда степенной зависимости.

Где:

Qi - эмпирические данные

Степенной (Qi) - линия тренда

7. Описание программы на языке QBASIC

Эту же задачу решим с помощью языка программирования QBASIC. Для решения системы линейных уравнений используем систему (1), но ее решаем другим способом, то есть выражаем одно уравнение через другое. Для составления программы пишется блок-схема. В результате получим уравнения (1) и (2).

система 1

уравнение 1

уравнение 2

8. Текст программы на языке QBASIC

OPEN "ВЫВОДЫ .bas" FOR OUTPUT AS #2

'ВВОД ДАННЫХ

CLS : n = 25

DIM N(n), Q(n), T(n), QT1(n), QT2(n), Z(n)

DATA 0.03, 0.09, 0.15, 0.22, 0.31

DATA 0.39, 0.48, 0.56, 0.64, 0.72

DATA 0.79, 0.87, 0.94, 1.01, 1.07

DATA 1.13, 1.19, 1.25, 1.31, 1.37

DATA 1.43, 1.49, 1.55, 1.61, 1.66

DATA 0.19, 0.28, 0.35, 0.43, 0.52

DATA 0.59, 0.66, 0.72, 0.78, 0.84

DATA 0.89, 0.94, 0.98, 1.02, 1.06

DATA 1.09, 1.12, 1.15, 1.18, 1.21

DATA 1.23, 1.26, 1.29, 1.32, 1.34

'ПРИСВОЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРЕМЕННЫМ

FOR I = 1 TO n: READ N(I): NEXT I

FOR I = 1 TO n: READ Q(I)

'ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ

SN1 = SN1 + N(I): SN2 = SN2 + N(I) ^ 2

SQ1 = SQ1 + Q(I): SN1Q1 = SN1Q1 + N(I) * Q(I)

T(I) = LOG(N(I)): Z(I) = LOG(Q(I))

ST1 = ST1 + T(I): ST2 = ST2 + T(I) ^ 2

SZ1 = SZ1 + Z(I): ST1Z1 = ST1Z1 + T(I) * Z(I)

NEXT I

'АППРОКСИМАЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

A1 = (SQ1 - SN1Q1 * SN1 / SN2) / (n - SN1 ^ 2 / SN2)

A2 = (SQ1 - A1 * n) / SN1

'АППРОКСИМАЦИЯ СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ

B = (SZ1 - ST1Z1 * ST1 / ST2) / (n - ST1 ^ 2 / ST2)

A11 = EXP(B)

A22 = (SZ1 - A11 * n) / ST1

'ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

NC = SN1 / n: QC = SQ1 / n

FOR I = 1 TO n

S1 = S1 + (N(I) - NC) * (Q(I) - QC)

S2 = S2 + (N(I) - NC) ^ 2: S3 = S3 + (Q(I) - QC) ^ 2

QT1(I) = A1 + A2 * N(I)

QT2(I) = A11 * N(I) ^ A22

NEXT I

R = S1 / (SQR(S2) * SQR(S3))

'ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ

FOR I = 1 TO n

M1 = M1 + (QT1(I) - Q(I)) ^ 2

M2 = M2 + (QT2(I) - Q(I)) ^ 2

V1 = V1 + (QT1(I) - QC) ^ 2

V2 = V2 + (QT2(I) - QC) ^ 2

NEXT I

'ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ

F1 = M1 + V1

F2 = M2 + V2

R1 = 1 - (M1 / F1)

R2 = 1 - (M2 / F2)

'ВЫВОД ДАННЫХ

PRINT #2, "ОТВЕТЫ "

PRINT #2,

PRINT #2, "КОЭФИЦИЕНТ КОРРИЛЯЦИИ"

PRINT #2, "R="; R

PRINT #2,

PRINT #2, "КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ"

PRINT #2, "A1="; A1; " A2="; A2

PRINT #2,

PRINT #2, "КОЭФФИЦИЕНТЫ CTЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ"

PRINT #2, "A11="; A11; " A22="; A22

PRINT #2,

PRINT #2, "КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ И "

PRINT #2, "СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТЕЙ СООТВЕТСТВЕННО"

PRINT #2,

PRINT #2, "R1="; R1; "R2="; R2

PRINT #2

PRINT #2, ”Составил студент группы ГМ-99-1 Алышев М.А.

8.1 Результаты работы программы

ОТВЕТЫ

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

R= .988714

КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

A1= .3000169 A2= .67114

КОЭФФИЦИЕНТЫ CTЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ

A11= 1.006743 A22= 0.51921

КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ И СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТЕЙ СООТВЕТСТВЕННО

R1= .9775556 R2= .99568867

Составил студент группы ГМ-99-1 Алышев М.А.

8.2 Обозначения, использованные в программе и алгоритме

NC, QC - среднеарифметические значения по N и Q соответственно.

QT1 - теоретические значения функции (1).

QT2 - теоретические значения функции (3).

A1, A2 - коэффициенты линейной зависимости (1) .

A11, A22 - коэффициенты степенной зависимости (3).

R - коэффициент детерминированности.

M1 - сумма квадратов отклонений QT1 от эмпирических данных.

M2 - сумма квадратов отклонений QT2 от эмпирических данных.

V1 - разброс теоретических данных QT1 относительно среднего значения.

V2 - разброс теоретических данных QT2 относительно среднего значения.

F1, F2- полные суммы квадратов.

R1 - коэффициент детерминированности для QT1.

R2 - коэффициент детерминированности для QT2.

9. Блок - схема для программы, выполненной на языке QBASIC.



10. Вывод

зависимость коэффициент расход воздух оборот

Я нашел зависимость расхода воздуха “Q” в косозубом шестеренном пневмодвигателе от числа оборотов “n” тремя способами (в EXCEL , на языке программирования высокого уровня Qbasic и полученные при построении линии тренда) которые совпали между собой.

В связи с тем, что коэффициент корреляции r близок к одному, то можно сделать вывод, что уравнение прямой хорошо отображает зависимость экспериментальных данных Q и n.

Сравнивая значения коэффициентов детерминированности, видно, что уравнение линейной зависимости (т.к. оно близки к одному) наилучшим образом показывает взаимосвязь между M и n, а степенная зависимость отображает экспериментальные данные несколько хуже.

11. Список используемой литературы.

“Лекции по информатике” СПГГИ (ТУ), 1999г.,

В.Б. Комягин. Программирование в Excel-5 и Excel-7 на языке Visual Basic. М., Радио и связь. 1996.

Информатика. Практикум по технологии работы на компьютере / Под ред. проф. Н.В. Макаровой. М., Финансы и статистика. 1997.

Информатика: Учебник / Под ред. проф. Н.В. Макаровой. М., Финансы и статистика 1997.

Н. Николь, Р. Альбрехт. Excel 5.0 Электронные таблицы. М., Изд. "ЭКОМ", 1996.

С.Л. Иванов. Повышение ресурса трансмиссий горных машин на основе оценки энергонагруженности их элементов. С-Пб, РИЦ СПГГИ, 1999

Размещено на Allbest.ru