Компьютерная система "Mathematica"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Универсальные математические пакеты предоставляют новые широкие возможности для совершенствования образования на всех, без исключения, его этапах от целенаправленного обучения и образования до комплексной подготовки обучаемого к профессиональной деятельности и самореализации. Велика роль пакетов прикладных программ в образовании, в том числе, при изучении математики. Облегчая решение сложных задач, они снимают психологический барьер в изучении математики и делают этот процесс интересным и более простым. При грамотном применении их в учебном процессе пакеты обеспечивают повышение уровня фундаментальности математического образования. Математические программы дают возможность реализовать стандартными средствами важнейшие с дидактической точки зрения принципы "От простого к сложному" и "Максимальная наглядность и удобство работы". Эти принципы развивают и формируют у учащихся навыки самостоятельной познавательной деятельности, необходимые при дальнейшем обучении в вузе. Использование математических программ дает возможность учащимся применять для решения текущей образовательной задачи различные способы, схематическое описание которых можно дать следующим образом:

1 - стандартное решение задачи (использование программы в качестве своеобразного «сверхмощного калькулятора» для выполнения расчетов по алгоритмам, предложенным преподавателем);

2 - углублённое решение задачи (стандартное решение задачи, сопровождающееся самостоятельным анализом и разработкой алгоритма решения задачи);

3 - углубленное изучение сущности исследуемых закономерностей (углубленное решение задачи, сопровождающееся "виртуальными экспериментами").

Реализация принципа "Наглядность и удобство" в определённой мере также обеспечивается стандартными возможностями, предоставляемыми большинством математических пакетов. При этом следует заметить, что общим недостатком этих пакетов является ограниченная возможность визуализации процесса решения.

При выборе того или иного программного средства для использования его в своей работе преподаватель неизбежно встаёт перед необходимостью предпочтения того или иного из них. Особое место среди систем компьютерной математики занимает “Mathematica”- признанный мировой лидер в области программного обеспечения математических исследований за совершенство технологии.

Пакет задуман и выполнен с целью максимального упрощения для пользователя компьютерной реализации математических алгоритмов и методов. Это упрощение достигается тем, что приемы программирования не являются чем-то специфическим и внешним по отношению к традиционным методам решения математических задач, а совершенно однородны с обычным математическим творчеством. Огромное преимущество системы Mathematica состоит в том, что множество ее операторов и способы записи алгоритмов просты и естественны. Как правило, здесь не надо особенным образом заранее объявлять тип переменных, не надо специально распределять память для хранения той или иной информации, научиться работать в системе Mathematica довольно просто. Во многих видах вычислений система Mathematica является мировым рекордсменом по скорости вычислений и объему обрабатываемой информации.

Система Mathematica имеет одной из своих главных целей именно обучение (студентов, школьников и др.) Целью разработчиков программы Mathematica было создание универсальной математической системы, которая представляет собой базу данных по всем существующим математическим понятиям, методам, доказательствам, решениям и алгоритмам, максимально упрощает компьютерную реализацию математических алгоритмов и методов, которая умеет для каждой конкретной задачи выбрать оптимальный метод решения, аналитический или численный и функционирует на любой вычислительной платформе. Таким образом, появляется возможность решать различные математические задачи, обращаясь к одной и той же системе. При этом отпадает необходимость в поиске и освоении новых программ. Если в будущем большинство специалистов, исходя из универсальности Mathematica, будут в основном применять именно эту систему, а высшие учебные заведения и школы - преподавать математику на ее основе, то очень скоро появится универсальный язык современной математики и программирования, что будет способствовать взаимопониманию специалистов.

Система успешно применяется в физике, химии, экономике, социологии, биологии, искусствоведении и других областях, вследствие чего приходит осознание того, что хотя математика имеет свой предмет исследования, наибольшую ценность она представляет в приложении к другим наукам. Сотни тысяч профессионалов и студентов регулярно используют Mathematica. В настоящее время сферы использования Mathematica условно можно разделить на следующие категории:

Разработка и конструирование 32 % Физические дисциплины 21 % Математические дисциплины 16 % Вычислительная техника 13 % Бизнес/общественные науки 6 % Практические науки 5 % Образование 7 %

Использование компьютерной системы Mathematica обеспечивает целостную подготовку специалистов всевозможных уровней, умеющих использовать достижения математики и вычислительной техники, а в области образования - владеющих современными информационными технологиями. Mathematica удовлетворяет всем техническим и эстетическим требованиям, предъявляемым к программному средству педагогического назначения, создаваемые на ее основе новые педагогические технологии обеспечивают развитие творческой активности обучаемых и вводят методические инновации в процесс учебной деятельности. В результате приобретенных в процессе обучения математических знаний у учащегося появляется то, что обычно называют математической культурой.

Mathematica открывает обучающимся доступ к нетрадиционным источникам информации, повышает эффективность самостоятельной работы, предоставляет новые возможности для творчества, приобретения и закрепления различных профессиональных навыков, позволяют реализовать новые формы и методы обучения с применением средств компьютерного моделирования явлений и процессов.

Mathematica ориентирована на развитие интеллектуального потенциала обучаемого, на формирование умений самостоятельно приобретать знания. Таким образом, компьютерная система “Mathematica» является инструментом познания, она даёт возможность визуализации сложных объектов, их конструирования и моделирования, исследования их свойств и отношений; способствует развитию творческих способностей, нестандартного мышления, навыков исследовательской деятельности обучаемого.

Mathematica ориентирована на пользователя, не являющегося профессионалом в области программирования, а имеющего только начальную подготовку по основам информатики и вычислительной техники. Это позволяет пользоваться системой самым различным категориям пользователей и распределять решение математических задач любой сложности по оптимальным для этого компьютерным платформам. Пользователь может вводить в употребление новые функции, конструируя их на базе имеющихся функций системы. Более того, можно создавать свои пакеты, подобно уже имеющимся в стандартных дополнениях. Это позволяет готовить высококачественные и наглядные уроки не только по любым разделам математики, но и по многим дисциплинам, базирующимся на применении математического аппарата.

Для работы с Mathematica необходимы общие навыки для работы с компьютером - использование мыши и т.п. - вот и всё, что нужно, чтобы использовать Mathematica как интерактивный калькулятор. Если цели более серьёзны, как, например, решение систем линейных уравнений, то требуется изучить только вид основных команд. Если же задачи ещё более сложные - например, теория графов, - то необходимо будет разобраться с теми аспектами системы, которые другие пользователи могут безбоязненно опустить. Пользовательский интерфейс и язык Mathematica был тщательно сконструирован так, чтобы позволить легко и быстро в нём разобраться, вне зависимости от уровня математических знаний.

Использование системы “Mathematica” в процессе обучения должно быть целесообразным, и, во всяком случае, не должно являться самоцелью. Применение системы полезно там, где оно наилучшим образом реализует функции педагогического воздействия, в том числе, по сравнению с другими средствами обучения (учебниками, техническими средствами обучения, и т.д.). Вся мощь системы Mathematica может быть эффективно использована только тогда, когда обучающемуся привиты навыки «ручных» символьных преобразований: алгебраических, тригонометрических, векторных и других. Если учащиеся понимают алгоритмы «ручных» вычислений, владеют навыками классических методов математических преобразований и вычислений, и когда скорость и точность выполнения громоздких вычислений начинают серьёзно влиять на понимание процессов решения задач более высокого уровня сложности, тогда Mathematica просто неоценима. И главное - использование системы Mathematica окажет более интенсивное влияние на развитие творческого мышления учащихся.

Система Mathematica позволяет осуществлять широкий спектр символьных преобразований, включающих операции математического анализа, такие как дифференцирование, интегрирование, разложение в ряды, решение дифференциальных уравнений и другие. Для визуализации математических объектов система Mathematica имеет развитую дву- и трехмерную графику. Возможности применения различных численных методов, комбинирования символьных, графических и численных вычислений превращают эту систему в чрезвычайно мощный и удобный инструмент математических исследований.

Сегодня Mathematica используется в различных областях науки - математике, физике, биологии, социологии, экономике и других.

В технике Mathematica стала стандартным инструментом для развития и совершенствования производства, и уже сейчас немало новой современной продукции по всему миру в той или иной мере выпущено благодаря использованию Mathematica, конструированию дизайна в ней.

В коммерческой области Mathematica играет большую роль в развитии финансового моделирования, а также используется в генеральном планировании и анализе.

Математические пакеты - инструмент учебной деятельности. Использование инструментальных программ упрощает подготовку отчетов по лабораторным работам, помогает преодолеть технические математические трудности при обработке результатов эксперимента, помогает представить результаты измерений и вычислений в наглядной графической форме.

Курс алгебры и начал математического анализа является важной составляющей содержания школьного математического образования, в котором в настоящее время происходят существенные изменения, а именно: появление новых образовательных стандартов, новой содержательной линии, переход к профильному обучению, информатизация образования и др.

В содержание курса алгебры и начал математического анализа включены важные на современном этапе развития математического образования разделы «Числовые и буквенные выражения», «Тригонометрия», «Функции», «Начала математического анализа», «Уравнения и неравенства», «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей».

Внедрение этой компьютерной системы в процесс обучения алгебре и началам математического анализа позволит значительно уменьшить время решения задач с громоздкими вычислениями и преобразованиями или проверить решение этих задач. Специфика функционирования СКМ «Mathematica» позволяет предположить, что ее использование позволит повысить эффективность обучения школьников алгебре и началам математического анализа на профильном уровне. Более того, применение компьютерных систем в перспективе может способствовать постепенному переходу к решению нестандартных задач творческого характера и приближению школьной математики к вузовской, а вузовской - к современной. Однако обоснование этих утверждений требует детального педагогического исследования.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что использование методической системы обучения школьников математике на основе пакета СКМ Mathematica, способствует развитию познавательной активности учащихся, становлению критического и аналитического мышления, развитию креативности и интеграции математических знаний.

Основной целью работы является разработка методики применения, обучения и внедрения СКМ Mathematica при изучении математики и физики в школе.

Задачи исследования:

изучить методы работы с СКМ Mathematica.

разработка теоретического материала, направленного на активизацию познавательных навыков учащихся;

разработка практических и лабораторных заданий для освоения материала по теме.

В главе «Общая характеристика программы Mathematica» приведены исторические сведения, определения, физические характеристики. Структура первой главы отражает рекомендации по методике обучения работе с программой Mathematica. В этой главе имеются модульная структура, как по теоретической, так и по практической составляющей. Эту главу можно использовать при разработке учебного материала к урокам.

Преподаватель, опираясь на предлагаемую методику обучения, может достаточно просто модифицировать ее с учетом своих возможностей и реализовать ее на практике.

Методика применения СКМ ориентирована на индивидуализацию обучения и интенсификацию учебного процесса.

Общая характеристика программы “Mathematica”

Программа состоит из двух частей - ядра, которое, собственно, и производит вычисления, выполняя заданные команды, и интерфейсного процессора, который определяет внешнее оформление и характер взаимодействия с пользователем и системой. Основной рабочий документ программы - тетрадь, в которой пользователь записывает все выкладки. Вид рабочей тетради на экране монитора зависит от интерфейсного процессора, реализация которого для разных платформ несколько отличается. В пакет Mathematica встроено подробное описание (Help). Чтобы в него попасть, нажмите F1 или войдите через меню Help/Documentation Center.

После запуска программы на экране появляется несколько независимых окон. Вдоль верхней части экрана расположено меню. Слева - рабочее окно. Можно открыть много рабочих окон, выполнив в меню команду File/New/Notebook(.nb) . Как видно из названия команды, рабочее окно называется Notebook.

Если в рабочее окно ввести произвольный символ, то этот символ отобразится в окне, а справа появится вертикальная скобка, ограничивающая текущее рабочее поле. При дальнейшем вводе новые символы будут также отображаться в рабочем поле. Если произойдет переход на следующую строку, правая скобка расширится. Эта скобка указывает на независимую область, в которой можно расположить команды языка Mathematica и одновременно их выполнить. Область, ограниченная скобкой, называется клеткой (Cell). Если стать на последней строке клетки и нажать на стрелочку вниз, или же стать на первой строке клетки и нажать на стрелочку вверх, то курсор превратится в горизонтальную линию, расположенную рядом с клеткой. Если опять ввести символ, то появится новая клетка, в которую также можно вводить текст. Кроме того, переходить от клетки к клетки, а также позиционировать курсор между клетками можно с помощью мышки.



Рис. 1

Пользовательский интерфейс программы Mathematica сначала кажется несколько примитивным: инструментальная панель - это просто строка меню, а отдельное окно документа выглядит как бы подвешенным. Кроме того, на инструментальной панели отсутствуют кнопки для выполнения часто повторяемых операций, которые были в предыдущей версии.

Однако впечатление примитивности интерфейса сразу же исчезает, когда выясняется, что можно подключать настраиваемые кнопочные палитры, которых в программе имеется больше десятка. С их помощью можно выполнять различные функции, а часть кнопок соответствует специальным символам. Всего в программе более 700 математических, языковых и других символов. При нажатии на кнопки с символом последний переносится в рабочий документ на указанное курсором место. Другие кнопки палитры соответствуют наименованиям ряда функций программы, которые при выборе вводятся в командную строку. При нажатии кнопки алгебраических преобразований предварительно выделенное алгебраическое выражение трансформируется в соответствии с названием выбранной команды, например упрощается командой simplify.

Программа позволяет применять различные стили для оформления документа на экране и вывода его на печать, причем в новой версии стилей может быть значительно больше, чем в предыдущей. Для их изменения предусмотрена специальная палитра.

Программа дает возможность отображать математические символы с достаточно высоким полиграфическим качеством в тексте на экране, в командах, а также при выводе на печать . Увеличено количество опций. Возможно создание гипертекстовых связей.

Рабочую тетрадь можно сохранять в HTML-формате, а также в формате полиграфического языка LaTex и некоторых других.

Усовершенствована и расширена система подсказок, имеется интерактивный доступ к полному тексту электронной версии документации, которая состоит из инструкции пользователя, справочника по стандартным дополнениям, учебника для начинающих и демонстрационных файлов.

Меню окна справки очень хорошо продумано, что позволяет получить информацию различными путями. Можно получить справку по интересующей теме или функции, а также просмотреть текст всех документов, содержащих введенное ключевое слово.

Умение проводить аналитические расчеты - одно из главных достоинств этой программы, автоматизирующей математические расчеты. Mathematica умеет преобразовывать и упрощать алгебраические выражения, дифференцировать и вычислять определенные и неопределенные интегралы, вычислять конечные и бесконечные суммы и произведения, решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы, а также разлагать функции в ряды и находить пределы. Кроме того, Mathematica имеет стандартные дополнения для аналитических расчетов, которые будут рассмотрены ниже.

Расширен спектр математических выражений, для которых аналитически находятся неопределенные и определенные интегралы. Появилась также возможность задавать область изменения параметров в подынтегральных выражениях, что позволяет интегрировать многие выражения, которые в общем случае не имеют первообразной. Значительно возросло число различных (конечных и бесконечных) сумм и произведений, вычисляемых аналитически, а также аналитически решаемых обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных .

Из числа других улучшений можно выделить повышение скорости решения задач линейной алгебры.

Для тех задач, которые невозможно решить аналитически, Mathematica предлагает большое количество эффективных алгоритмов для проведения численных расчетов. Она позволяет находить конечные и бесконечные суммы и произведения, вычислять интегралы, решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы, задачи оптимизации (линейного программирования, нахождения экстремумов функций), а также задачи математической статистики.

Добавлены многократное численное интегрирование, а также численное дифференцирование. Оптимизированы алгоритмы нахождения экстремумов. Осуществлен независимый от конкретной компьютерной платформы механизм ввода и вывода числовых данных без потери точности.

Разумеется, пользователь программы может вводить и свои функции как для применения в течение одного сеанса работы так и для постоянного использования.

Mathematica позволяет строить двух и трехмерные графики различных типов: в виде точек и линии на плоскости, поверхностей, а также контурные, градиентные (dencity plot), параметрические. Имеется большое количество опций оформления и настройки, например изменение подсветки, цвета, размеров и точки наблюдения . Mathematica выполняет построение графика в три этапа. На первом создается множество графических примитивов, на втором они преобразуются в независимое от вычислительной платформы описание на языке PostScript, а на третьем это описание переводится в графический формат для той системы, на которой установлена Mathematiса. Если первые два этапа осуществляет ядро программы, то последний - интерфейсный процессор. Mathematica позволяет также строить серии картинок, которые могут быть воспроизведены как анимация.

Программа содержит функции, позволяющие создавать и воспроизводить различные звуки, а также воспринимает и может анализировать некоторые типы стандартных звуковых файлов.

Входной язык Mathematica содержит большое количество конструкций, позволяющих для каждой конкретной задачи выбрать оптимальный метод программирования. Помимо обычного процедурного программирования с применением условных переходов и операторов цикла, имеется еще несколько методов:

* основанный на операциях со списками, этот метод использует особенности универсального объекта программы - списка выражений, с которыми можно производить математические операции, как с алгебраическими выражениями, при этом заданные операции выполняются всеми элементами списка,

* основанный на операциях над строками (string-based),

* функционального программирования (functional programming), позволяющий создавать сложные функции и последовательности вложенных функций;

* на базе правил преобразования выражений (rule-based);

* объектно-ориентированный (object-oriented) .

В каждой конкретной программе пользователь может одновременно применять несколько методов или даже все перечисленные.

Mathematica 3.0 содержит 11 стандартных дополнений, включающих подпрограммы (пакеты), значительно расширяющие функциональные возможности в таких областях, как алгебра, аналитические и численные расчеты, графика, дискретная математика, теория чисел и статистика. Стандартные дополнения могут загружаться по мере надобности. Для загрузки пакета используется соответствующее название, включающее имя дополнения и имя пакета из данного дополнения.

Решение примеров с помощью программы Mathematica

На примерах применения нескольких функций Mathematica покажем, каким доступным и удобным для пользователя является этот программный продукт.

Пример 1. Выполним пробное упражнение: вычислить сумму 59+73.

Напечатаем с помощью клавиатуры 59+73, затем нажмем Shift+Enter(или Insert); загрузится ядро, и на экране появится ответ 132.Одновременно строка ввода и вывода будут помечены, и все это будет выглядеть так:

In[1]:=59+73 (In- обозначает ввод)

Out[1]=132(Out- вывод)

[1]-номер нашего обращения к системе.

Нумерация вводов и выводов позволяет удобно использовать полученные результаты в дальнейших расчётах.

Пример2. Найти значение

In[2]:=N[Sqrt[17]]

Out[2]=4.12311

Sqrt- употребляемое в Mathematica обозначение квадратного корня. N сообщает программе Mathematica, что нам нужен числовой результат; по умолчанию Mathematica даёт его с шестью значащими цифрами.

In[3]:=N[Sqrt[17],16]

Out[3]=4.123105625617661

Отличие программы Mathematica от обычного калькулятора в том, что она может дать ответ с любым количеством десятичных знаков. Здесь вычислен с 16 десятичными знаками.

Пример 3. Вычислить произведение 47*629.

In[4]:=47 629

Out[4]=29563

Вместо умножения Mathematica использует пробел или *.

Пример 4. Вычислить

In[4]:=571^3

Out[4]=186169411

Знак возведения в степень в программе Mathematica -это ^.

Пример 5. Разложить на простые множители число 333718.

In[5]:=FactorInteger[333718]

Out[5]={{2,1},{7,1},{11,2},{197,1}}

В каждой из пар, стоящих в фигурных скобках, на первом месте указан простой множитель, а на втором - показатель степени, в которой этот множитель входит в разложение. В данном примере ответ в обычной записи будет выглядеть так:

2*7**197

Пример 6. Решить уравнение -5-10x+8=0

In[6]:=Solve[x^3-5x^2-10x+8==0,x]

Out[6]={{x->-2},{x->(7-}, {x->(7+}}

Solve- оператор, служащий для решения алгебраических уравнений и систем уравнений. В выводной строке даётся список корней уравнения.

Пример 7. Найти интеграл

In[7]:=x^2/(x-1)^5

В строке In[8] записан вид подынтегрального выражения, принятый в Mathematica.

In[8]:=Integrate[%,x]

Эта команда обозначает: проинтегрировать предыдущую функцию (%-означает «предыдущее выражение»)

Out[10]=

В выводной строке содержится выражение неопределенного интеграла; постоянная интегрирования не ставится, но подразумевается.

Способность иметь дело с символьными формулами, а не только с числовыми выражениями, является одной из наиболее сильных черт программы Mathematica. Появляется возможность использовать эту программу при занятиях математикой, дифференциальным и интегральным исчислением.

Mathematica делает многие алгебраические преобразования: раскрывает скобки в алгебраических выражениях, разлагает на множители, упрощает выражения, решает рациональные уравнения или системы уравнений. Она также может получать алгебраические результаты для многих видов матричных операций.

Графические функции

Графика, как важнейшее средство визуализации вычислений, всегда была козырной картой системы Mathematica и во многом способствовала ее высокой репутации как мирового лидера среди систем компьютерной математики. Обширные графические возможности достигаются при небольшом числе встроенных функций графики за счет их модификации с помощью опций и директив. Благодаря этому Mathematica позволяет строить практически любые виды графиков. Для просмотра и изменения опций графика можно (выделив ячейку с графиком) воспользоваться описанным ранее инспектором опций, в котором есть соответствующий раздел. Однако в этом уроке мы инспектором опций пользоваться не будем - все необходимые опции будут вводиться в соответствующие функции так, как это принято делать при программировании задач графики.

Рис. 2 - Контурный график поверхности sin(x у) с закраской областей между линиями равного уровня оттенками серого цвета

Следующий пример (рис. 2) иллюстрирует эффективность применения опции ContourShading. Если задать ее значение равным False, то заполнение пространства между линиями будет отсутствовать. Таким образом, в данном случае строятся только линии равного уровня.

Рис. 3 - Контурный график, представленный только линиями равного уровня

Иногда график оказывается более наглядным, если убрать построение контурных линий, но оставить закраску областей между линиями. Такой вариант графика более предпочтителен, если нужно наблюдать качественную картину. Для построения такого графика надо использовать опцию ContourLine->False

Рис. 4 - Контурный график без пиний равного уровня

В данном случае используется вариант монохромной окраски областей между линиями (PostScript). Он может оказаться предпочтителен, например, если предполагается печать графика монохромным принтером.

Функция двух переменных z = f(x, у) образует в пространстве некоторую трехмерную поверхность или фигуру. Для их построения приходится использовать координатную систему с тремя осями координат: х, у и z. Поскольку экран дисплея плоский, то на самом деле объемность фигур лишь имитируется - используется хорошо известный способ наглядного представления трехмерных фигур с помощью аксонометрической проекции. Вместо построения всех точек фигуры обычно строится ее каркасная модель, содержащая линии разреза фигуры по взаимно перпендикулярным плоскостям. В результате фигура представляется в виде совокупности множества криволинейных четырехугольников. Для придания фигуре большей естественности используются алгоритм удаления невидимых линий каркаса и функциональная закраска четырехугольников с целью имитации бокового освещения фигуры.

Для построения графиков трехмерных поверхностей используется основная графическая функция Plot 3D:

Plot3D[f, {x, xmin, xmax), {у, ymin, ymax}] - строит трехмерный график функции f переменных х и у;

Plot3D[{f, s}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] - строит трехмерный график, в котором высоту поверхности определяет параметр f, а затенение - параметр s.

На рис. 5 показан пример построения поверхности, описываемой функцией двух переменных cos(x у) при х и у, меняющихся от -3 до 3. Поверхность строится в виде каркаса с прямоугольными ячейками с использованием функциональной окраски. Все опции заданы по умолчанию.

Рис. 5 - Пример построения поверхности cos(xy) функцией Plot3D с опциями по умолчанию

В связи с повсеместным распространением компьютеров и появлением систем компьютерной математики, в частности Mathematica, можно и нужно существенно изменить характер и уровень преподавания школьных курсов физики и математики. В соответствии с целью и задачами получены следующие результаты:

Mathematica делает изучение физики и математики более легким, поскольку избавляет учащегося от массы рутинной вычислительной работы.

Mathematica делает изучение физики и математики более интересным, поскольку позволяет рассмотреть множество интересных и ранее недоступных вопросов на очень высоком и часто профессиональном уровне.

Mathematica интуитивно понятен, легко осваивается на практике и не требует для изучения и применения чтения толстых книг, ведения конспектов и заучивания сложных правил.

Mathematica соответствует психологии школьника в том смысле, что решение интересующей проблемы можно получить в течение короткого периода времени, а не тренировать у компьютера усидчивость.

Использование в преподавании Mathematica позволяет:

значительно увеличить объём упражнений и индивидуальных заданий, необходимых для приобретения глубоких и устойчивых знаний, умений и навыков;

экономить учебное время, как для преподавателя, так и для студента.

существенно повышает эффективность самостоятельной работы.

В процессе выполнения работы я усвоила лишь некоторые возможности программы Mathematica, но даже небольшой объем материала позволил мне убедиться в колоссальных возможностях данной программы, которая позволяет выполнять сложные расчеты, решать уравнения из всех областей математики и физики, строить дву- и трехмерные изображения графиков (также создавать изображения трёхмерных графических объектов, просто задавая их списками графических примитивов).

Система интерактивна, она гибка и универсальна, поэтому может быть использована всеми желающими, как школьниками, так и преподавателями и другими специалистами практикующими математические методы в своей работе.

В данной работе показаны основные возможности использовании системы Mathematica в процессе изучения математики школьного курса и СПО.

Мною разработано:

краткое описание теоретических и практических сведений для изучения системы Mathematica

практические задания « Примеры заданий к элективному курсу по СКМ Mathematica» для 10 класса.

разработана лабораторная работа для учащихся 10 класса «Построение и преобразования графиков».

разработаны решения примеров по разделам высшей математики для студентов 2 курса ССУЗов.

Настоящая разработка может служить одновременно руководством, учебным пособием и справочником по Mathematica.

Преподаватель, опираясь на предлагаемую методику обучения, может достаточно просто модифицировать ее с учетом своих возможностей и реализовать собственный маршрут изучения предлагаемых тем.

На основании выше изложенного считаем, что основная цель работы достигнута. И хотя ограничения на объём не позволил изложить материал более подробно (полный охват указанных разделов высшей математики привёл бы к значительному увеличению объёма работы), тем не менее, надеюсь, что работа представляет в целом достаточно полное пособие для успешной работы преподавателя высшей математики в современном вузе.

Приложение 1

Примеры заданий к элективному курсу по СКМ «Mathematica» для 10 класса

а) Задания по теме «Работа с выражениями»

1)Вычислитe 2-10 с точностью 20 знаков после запятой.

2) Упростите выражение .

3) Разложите на множители выражение

x6-18x5+135x4-540x3+ 1215x2-1458x+729.

4) Найдите остаток от деления многочлена P1(x) на x-1.

б) Задания по теме «Создание графических изображений» Постройте графики следующих функций, используя различные параметры, задающие цвет и тип линий, добавьте подписи к рисункам и сохраните их в формате GIF:

а) б)

в) Задания по теме «Решение систем уравнений и неравенств»

1) Решите системы уравнений:

11а)		1б)	1б)

2) Решите неравенства:

2а)	;	2б)	.

3) Найдите приближенно наименьший положительный корень уравнения

1/x2=5 cos x.

4) Найдите с точностью 12 знаков после запятой все корни уравнения

(1 - x)/(x4 + 1) = sin x, принадлежащие отрезку [-1,4].

г) Задания по теме «Пределы и ряды»

Вычислите пределы: а) ; б) .

Найдите односторонний предел .

Исследуйте функции на непрерывность: а) ; б) .

д) Задание по теме «Дифференцирование и интегрирование»

1) Найдите производные следующих функций: а) 31-2cos x; б) (sin x)cos x.

2) Найдите первообразную функции sin(2x).

3) Вычислите определенный интеграл от функции x2 по отрезку [0; 1].

е) Задания по теме «Операции с матрицами»

1) Найдите произведение матриц A и B, где , .

2) Транспонируйте матрицу B и найдите ее определитель.

3) Решите систему уравнений матричным способом:

Итоговая контрольная работа по элективному курсу «Mathematica».

1) Вычислите первую производную функции tg2(x4 - 2).

2) Найдите предел при x -> 0 функции (3x - sin x)/tg 2x.

3) Найдите одну из первообразных функции cos2 x.

4) Вычислите произведение матриц A.B и B.A, где

5) Найдите определители матриц C и D.

6) Для матрицы D найдите обратную, после чего проверьте, что в результате их произведения получается единичная матрица.

7) Решите следующую систему уравнений матричным способом

Приложение 2

Лабораторная работа №1 (3 часа). Построение и преобразование графиков

мathematica программа интерфейс график

Цель: научится строить графики функций в пространстве и на плоскости, заданных неявно, в параметрической форме, в полярных координатах.

Ход работы:

Задание 1. Построение графиков функций на плоскости

Задание 2. Построение графиков функций в пространстве

Задание 3. Построение графиков функций, заданных неявно

Задание 4. Построение кривых, заданных в полярных координатах

Задание 5. Построение кривых, заданных параметрически

Задание 1. Построение графиков функций на плоскости

Для построения графиков функций y=f(x) используется функция Plot. Она задается в следующих формах:

Plot[f,{}] - строит график функции y=f(x) при х изменяющемся в интервале от до ;

Plot[{},{}] - строит графики ряда функций

Например, построим график функции при х изменяющимся от -10 до 10.



Рис. 6

a) Построить графики следующих функций (интервал изменения х выбрать самостоятельно):

y = tg x + ctg x; y = 2 cos 3x; y = .

b) Построить графики в одной координатной плоскости. Сделать вывод об их относительном расположении.

, ,

y = sin 2x, y = -3 sin 2x, y = sin x + cos x.

c) По графику функции определить, является ли она четной или нечетной:.

Задание 2. Построение графиков функций в пространстве

Для построения графиков функций z=f(x;у) используется функция Plot3D. Она задается в следующих формах:

Plot3D[f,{},{}] - строит график функции z=f(x;у) при х, изменяющемся в интервале от до ;

Например, построим график функции при х, изменяющемся от -10 до 10, и у, изменяющемся от -10 до 10.



Рис. 7

Построить график функций:

Задание 3. Построение графиков функций, заданных неявно

Для построения неявных функций f(x,y)=0 необходимо подгрузить пакет ImplicitPlot стандартного дополнения. Для этого введите следующую команду и нажмите клавиши Shift+Enter:

<<Graphics`ImplicitPlot`

После подгрузки появится горизонтальная черта. Затем вводим нужную команду. Построим, например, график функции петлевой параболы .

Рис. 8

Постройте графики функций, заданных неявно:

а) полукубическую параболу ;

b) астроиду ;

с) декартов лист .

Чтобы построить на одном чертеже несколько графиков функций, заданных неявно, используем функцию ImplicitPlot[{},{}], где - функции, заданные неявно.

Задание 4. Построение кривых, заданных в полярных координатах.

Для этого подгрузим пакет Graphics:

<<Graphics`Graphics`

Используем функцию PolarPlot[,{}]

Построим кардиоиду .

Рис. 9

а) Постройте следующие кривые, заданные в полярных координатах:

трехлепестковую розу

Для построения некоторых кривых, заданных в полярных координатах, используем PolarPlot для нескольких функций:

PolarPlot[{},{}], где - функции, заданные в полярных координатах.

b) Постройте кривые, заданные в полярных координатах, как совокупность двух функций: строфоиду

Задание 5. Построение кривых, заданных параметрически.

Для построения графиков функций на плоскости, заданных параметрически используется ParametricPlot[{},{}].

Функция ParametricPlot3D[{},{}] изображает поверхность в трехмерном пространстве, заданную параметрически , , .

Приложение 3

Разработки решения примеров по разделам высшей математики для студентов 2 курса ССУЗ

Линейная алгебра.

1.Определители. Вычисление определителей.

1.1. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка разложением по 1-ой строке.

Введем матрицу .

По формуле вычисления определителя разложением по строке вычислим определитель матрицы , воспользовавшись функцией Minors.

Функция вычисляет определитель минора матрицы размера , получающегося вычеркиванием из - ой строки и -ого столбца.

Очистим переменную .

Вычислить определители матриц 2-го и 3-го порядков.

Вычислим определители матриц 2-го и 3-го порядков в общем виде.



Матрицы. Действия с матрицами.

Вычислить матрицу , где и .

Введем матрицы и :

В программе Mathematica есть несколько способов ввести матрицу. Первый способ: щелкните по выберите пункт и введите число строк и столбцов. Второй способ: непосредственно ввести с клавиатуры. Матрицу введем первым способом, а матрицу - вторым:

Вычислим матрицу .

Команда выдает результат в матричной форме, точка между матрицами означает матричное умножение, если эту точку убрать, Mathematica будет пытаться произвести поэлементное умножение.

Хорошим тоном считается очищать значения переменных, которые не нужны для дальнейших вычислений.

Умножение матрицы на единичную, скалярную и матрицы и .

Введем матрицу .

Введем матрицы единичную и скалярную с помощью встроенной функции IdentityMatrix.

Функция определяет единичную матрицу размера .

Умножение матрицы на единичную матрицу:



Умножение матрицы на число на скалярную матрицу дает один и тот же результат.

Таким образом, умножением матрицы на скалярную матрицу можно реализовать операцию умножения матрицы на число.

Перестановка строк и столбцов матрицы осуществляется умножением на матрицы специального вида. Покажем это на примере матрицы .

Определим матрицы и :

Перестановка двух строк матрицы .



Перестановка двух столбцов матрицы .

Очистим значения и .

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Решить систему линейных уравнений .

Перепишем систему в матричном виде . Введем матрицу и вектор .

Проверим, что матрица невырождена.

Из курса линейной алгебры известно, что решение ищется в виде .



В программе Mathematica есть встроенная функция для решения матричных уравнений LinearSolve.

Очистим перменные и .

Найти по формулам Крамера решение системы линейных уравнений.

Введем матрицу и вектор правой части .

Вычислим определитель матрицы .

Определитель отличен от нуля, следовательно система имеет единственное решение.

Вычислим по формулам Крамера это решение. Сформируем матрицы Крамера.

Заменим i-ый столбец матрицы di столбцом b.

Посмотрим, например, на получившуюся матрицу .

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Введем матрицу системы a и матрицу правой части b.

Загрузим пакет .

Символ, используемый в названии пакета, - это обратный апостроф, а не просто апостроф.

Сформируем расширенную матрицу системы с помощью функции AppendRows.

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду с помощью функции RowReduce.

Последний столбец получившейся матрицы - решение системы, выделим это решение, использовав функцию TakeColumns.

Математический анализ.

Пример 1. Сходящаяся последовательность .

Задана последовательность . Доказать, что . Для этого необходимо найти номер , начиная с которого выполняется неравенство .

Доказать, что

Введем последовательность

Докажем по определению, что предел этой последовательности при равен . Найдем такой номер , начиная с которого разность между членами последовательности и 1 по модулю меньше . То есть .

Следовательно, при неравенство выполняется.

Нарисуем график с помощью функции Plot.



Можно непосредственно проверить с помощью встроенной функции Limit, что предел последовательности равен .

Пример 2. Бесконечно большая последовательность.

Задана последовательность . Доказать, что . Для этого необходимо найти номер N(M), начиная с которого выполняется неравенство .

Доказать, что

Введем последовательность

Найдем такой номер , что для всех выполняется



Следовательно, при неравенство выполняется.

Нарисуем график с помощью функции Plot.

Можно непосредственно проверить с помощью встроенной функции Limit, что предел последовательности равен .

Пример 3. Вычисление производных

Вычислить по определению производную функции

Введем функцию



Вычислим производную этой функции по определению в точке

Производная функции в точке существует и равна ,

Вычислим производную этой функции в произвольной точке

Вычислим производную при . Так как не определена в этой точке, вычислим предел

Пример 4. Построение секущей графика функции

Построить секущую графика функции через точки (0, -1) и (1, 0).

Введем функцию

апишем уравнение секущей

Нарисуем графики функции и секущей

Пример 5. Построение касательной и нормали к графику функции

Построим касательную и нормаль к графику функции в точке (1, 0). Покажем, что касательная является предельным положением секущей.

Построить касательную и нормаль к графику функции в точке

Введем функцию



Запишем уравнение касательной в точке

Построим график функции и касательной

Чтобы проиллюстрировать определение, что касательная является предельным положением секущей, построим на одном графике касательную и секущие с условием, что вторая точка, через которую проходит секущая, приближается к точке касания.

Запишем уравнение секущей, проходящей через точки и

Построим график секущих, для равных и ,



Запишем уравнение нормали в точке

Нарисуем график функции, касательной и нормали

Размещено на Allbest.ru