1. Вычислить с заданной точностью значения логарифмических функций ln (1+x) и loga (1+x);

2. Построить графики функций ln (1+x) и loga (1+x) при xЄ [x0,x1];

3. Оценить погрешности вычислений;

4. Провести сравнение точности вычислений логарифмических функций с использованием стандартных функций пакетов MathCad или Matlab (при различных значениях x).

Оглавление

1) ,

где f (x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Маклорена (=Макларена) (Тейлора при а=0) определяется выражением

2) ,

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

Логарифмическая функция

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию y = log _ax. Она определена при . Область значений: .

Функция является строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 < a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1; 0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Прямая x = 0 является левой вертикальной асимптотой, поскольку при a > 1 и при 0 < a < 1.

Производная логарифмической функции равна:

,

Натуральные логарифмы

Связь с десятичным логарифмом: .

Как указано выше, для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т.п.

Неопределенный интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

Разложение в ряд Тейлора может быть представлено следующим образом: при справедливо равенство

(1)

В частности,

Формула не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

1. Постановка задачи

Необходимо:

1. Вычислить с заданной точностью значения логарифмических функций ln (1+x) и loga (1+x);

2. Построить графики функций ln (1+x) и loga (1+x) при xЄ [x0,x1];

3. Оценить погрешности вычислений;

4. Провести сравнение точности вычислений логарифмических функций с использованием стандартных функций пакетов MathCad или Matlab (при различных значениях x).

2. Метод решения

о (), . (1)

Формулу (1) называют формулой Маклорена.

Замечание. Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема на интервале ( - l, l). Если эта функция является четной, то ее производная - нечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции - четная функция. Отсюда следует, что для нечетной функции f выполняются условия = 0, k N, а для четной функции f - условия = 0, k N, так как любая непрерывная нечетная функция принимает при x = 0 значение нуль.

Поэтому формулу (1) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде

о (), . (2)

а для нечетной функции - в виде

о (), . (3)

В формуле (2) остаточный член записан в виде о (), а не в виде о (), так как для четной функции f выполняется условие = 0, и поэтому член многочлена Тейлора, который следует за слагаемым , равен нулю. Аналогично рассматривается вопрос о записи остаточного члена формулы (3).

Так как требуется вычислить функцию ln (1+x), то представим её в виде ряда Маклорена (см. формулу (4)):

Применим интегральную формулу

Разложение может быть осуществлено в соответствии с (30.13) приВ этом случае

(4)

при этом для ряда характерна абсолютная расходимость на промежуткеЕсли, получаем, что представляет собой гармонический расходящийся ряд, прирядпредполагает условную сходимость. Для удобства преобразуем его к виду (5):

(5)

3. Блок-схема алгоритма

4. Текст программы