Реализация логических функций в электронных устройствах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основы логики

По основам логики написаны большие книги. Данная страничка содержит сжато-концентрированное описание базовых начал логики необходимое для осмысленного рассмотрения основ компьютерных технологий, основ программирования и основ компьютерной микросхематики. В случае затруднений в понимании материала необходимо обратиться к источникам с более объемным и подробным рассмотрением данной темы.

Логика - наука о формах и способах рассуждений.

Зачем необходимо знать ее основы?

Зная законы физики, вы прекрасно представляете, что с метровой высоты прыгать можно, а с десятиметровой опасно. Зная логические законы, вы сможете, совершенно однозначно, определять: произойдет то или иное событие при наличии определенных условий или нет, а не действовать наугад. Когда мы бросаем камень, он летит, подчиняясь законам физики, когда мы солим пищу, соль растворяется, подчиняясь законам химии, когда мы рассуждаем или просто общаемся, не замечая этого, мы подчиняем свои рассуждения законам логики. Когда мы говорим, это правда, а это ложь, или, если получится, это и это, то будет то, или это никогда не произойдет без этого - мы выстраиваем суждения по законам логики. Формальная логика отделяет содержание процесса мышления от его общих принципов. Это означает, например, если вы обещаете прибыть на встречу, то для логики важно прибудете или нет, а на каком виде транспорта и в какой одежде для нее не имеет значения. Или, когда вы говорите: я выпью кофе, если он будет крепким, сладким и горячим, для логики не имеет значения, кто, как, когда и каким способом будет готовить условия для логичного завершения действия. Логика изучает структуру процесса мышления. Мышление это сложный процесс, но и его можно разложить на некоторое количество форм (то, при помощи чего мы выражаем свои мысли), которые объединяются по общим признакам.

Итак, мышление может быть выражено следующими формами. 1. Понятие 2. Суждение (высказывание). 3. Умозаключение 4. Доказательство. Понятие - форма мышления, отражающая существенные формы предмета или явления. (Яркий свет, круглый камень, холодная погода). Высказывание это форма мышления, выраженная при помощи понятий, когда что-то утверждается или отрицается. - Половины бака бензина недостаточно, чтобы доехать до места. - Монета упала изображением номинала (решкой) вверх. - Спортсмен преодолел планку на высоте 2.20. - Из-за обрыва провода не воспроизводится звук в наушниках MP3 плейера. - Я еду с требуемой скоростью при виде знака по ее ограничению. Высказывание существует в двух формах - ИСТИНА и ЛОЖЬ Суждение истинно, если оно правильно отражает свойства или отношения реальных вещей. Суждение ложно, если оно искажает объективные отношения. Фундаментальное понятие логики - она не рассматривает обоснование истинности. В естественном языке высказывание - повествовательное предложение. Высказывания используют формальные языки - математика, физика, химия. Электронные устройства, в том числе и компьютерные тоже могут обмениваться высказываниями (сообщениями), которые, тоже могут подчиняться законам логики. Высказывание считается простым, если никакая из его частей не является высказыванием.

Логические функции. Основная задача - логики рассмотрение сложных логических выражений. Простые высказывания соединяются в сложные при помощи логических связок (функций). Логическая функция это формальное правило преобразования или объединения высказываний, пришедшее в логику из обычной жизни. Основные логические функции: Инверсия - НЕ Функция преобразующая исходное высказывание в обратное. - Приятель будет звонить мне в 17.00. (А он не позвонил) - Кран сможет поднять груз на эту высоту. (А он не смог) - Прошел дождь - полив не требуется Дизъюнкция - ИЛИ логическое сложение. - Ты должен помыть посуду или убраться в комнате, тогда пойдешь гулять. (Необходимо выполнить или то, или то, в этом случае результатом будет истина и вы пойдете гулять) Конъюнкция - И логическое умножение. - Вы должны владеть иностранным языком и иметь высшее образование, только тогда вас возьмут на работу. (Наличие одного из условий не обеспечивает вашего приема на работу. Только в случае если и первое и второе выполняется тогда результатом станет истина - прием на работу) Импликация - следование. (Импликация не имеет простой жизненной интерпретации). Для себя ее можно определить по следующему правилу. Трагедия в том, что хотел, но не получилось. В результате: Хотел и получилось - это истина. Не хотел, а получилось, тоже истина. Не хотел и не получилось истина потому, что мне нет до этого никакого дела. Эквиваленция - равенство. Здесь все просто - результат - истина если исходные высказывания эквивалентны: оба истины или ложны. Договоримся обозначать простые высказывания заглавными буквами английского алфавита. И сведем обозначения логических связок в таблицу

логика рассуждение конъюнкция импликация

Таблица обозначений логических связок - функций

Результирующее высказывание, полученное из простых путем их объединения при помощи логической функции может быть, как истинным так и ложным. Для каждой из функций объединение происходит по определенным правилам. Необходимо рассматривать все случаи исходных высказываний. Правила объединения исходных высказываний принято сводить в таблицы. Такие таблицы называются таблицами истинности. Принято ложь определять как 0, а истину, как 1. Таблицы истинности для логических функций.

Конъюнкция. И &

Дизъюнкция. ИЛИ V

Инверсия. НЕ

Импликация. ->

Эквиваленция. <-->

Построение (запись) логических выражений.

Каждое сложное (составное) высказывание можно выразить в виде формулы - логического выражения.

В выражение входят:

- логические переменные, которые обозначают высказывания - знаки логических операций, которые обозначают логические функции.

Для составления выражений на языке алгебры логики нужно выделить простые высказывания и логические связки между ними.

Рассмотрим пример логического выражения.

(X * Y = 5 или X * Y = 4 ) И (X * Y ? 5 или X * Y ? 4)

Подставим в выражение значения x=2, y=2

(2 * 2 = 5 или 2 * 2 = 4) И (2 * 2 ? 5 или 2 * 2 ? 4)

Выделяем простые высказывания и связки

( A или B ) И (¬A или ¬B )

Запишем выражение логической функции

F = ( A V B ) & (¬A V ¬B )

Подставим в функцию формальные значения высказываний.

F = ( 0 V 1) & (1 V 0) = 1 & 1 = 1

Для данных условий результирующим значением функции является истина.

Для выяснения поведений функций в любых ситуациях строят для них таблицы истинности.

Количество проверяемых комбинаций равно 2ⁿ

- где n - количество логических переменных.

Рассмотрим следующую функцию:

F = ( A V B ) & (¬A V ¬B )

Хотя логика работает с формальными логическими выражениями, всегда подразумевается, что эти выражения запись жизненной ситуации, математической задачи, режимов работы электронных или компьютерных устройств и так далее.

Рассмотрим несколько примеров построения логических выражений. Пример 1. Постановка условия: Если придет Вася или Коля и мама разрешит, то пойду гулять. Обозначим :

Запишем логическую функцию

F = ( A V B ) & C

Составим таблицу истинности

Создание таблицы истинности позволяет рассмотреть все возможные ситуации и получить для каждого случая результирующее значение логического выражения.

Пример 2

Постановка условия: Выбрать из массива нечетные положительные числа Четное число A Нечетное число ¬A Положительное число B

F = ¬A Л B

Таблица истинности

Пример 3

Постановка условия: Имеем массив из N целых положительных чисел. Подсчитайте количество четных и нечетных. Если X - четное A Если X - нечетное ¬A Логическая функция F = A V ¬A

И что же мы имеем? A V ¬A = 1 Дизъюнкция высказывания с инверсией всегда истинна. И вправду, какими же еще могут быть целые положительные числа?

Решение логических задач.