Качество подготовки специалистов в вузах и особенно эффективность использования научно-педагогического потенциала зависят в определенной степени от уровня организации учебного процесса.

Одна из основных составляющих этого процесса - расписание занятий - регламентирует трудовой ритм, влияет на творческую отдачу преподавателей, поэтому его можно рассматривать как фактор оптимизации использования ограниченных трудовых ресурсов - преподавательского состава. Технологию же разработки расписания следует воспринимать не только как трудоемкий технический процесс, объект механизации и автоматизации с использованием ЭВМ, но и как акцию оптимального управления [10, 11]. Таким образом, это - проблема разработки оптимальных расписаний занятий в вузах с очевидным экономическим эффектом. Поскольку интересы участников учебного процесса многообразны, задача составления расписания - многокритериальная.

Актуальность этой задачи и сложность объекта, для которого сроится математическая модель, обуславливает необходимость серьезного математического исследования объекта для увеличения функциональных возможностей алгоритмов составления расписаний без значительного усложнения модели.

Целью данной работы является создание такой математической модели расписания в вузе, которая позволяла бы эффективно (в заданные сроки и с заданной степенью оптимальности) решать задачу автоматического составления расписания и обладала бы гибкостью (незначительных изменений в случае изменений входной информации) для адаптации системы в рамках конкретной практической задачи.

Для реализации указанной цели необходимо решение следующих задач:

- анализ существующего программного обеспечения по составлению расписания занятий и их развитие;

- выявление требований, которые предъявляются к программного обеспечения как к специализированному продукту, ориентированному на работу в компьютерной сети;

- разработка математической модели и практическая реализация системы автоматического составления расписания;

- анализ полученных результатов.

Задачу составления расписания не стоит рассматривать только как некую программу, реализующую функцию механического распределения занятий в начале семестра, на которой ее (программы) использование и заканчивается. Экономический эффект от более эффективного использования трудовых ресурсов может быть достигнут только в результате кропотливой работы по управлению этими трудовыми ресурсами [5]. Расписание здесь является лишь инструментом такого управления, и для наиболее полного его использования необходимо, чтобы программа сочетала в себе не только средства для составления оптимального расписания, но и средства для поддержания его оптимальности в случае изменения некоторых входных данных, которые на момент составления расписания считались постоянными. Кроме этого оптимальное управление такой сложной системой невозможно без накопления некоей статистической информации о процессах, происходящих в системе[14]. Потому сама задача составления оптимального расписания является лишь частью сложной системы управления учебным процессом.

1. Описание технологической области

Целью данной работы было создание такой математической модели расписания в вузе (161 ВОЕННОЙ ШКОЛЕ ТЕХНИКОВ), которая позволяла бы эффективно (в заданные сроки и с заданной степенью оптимальности) решать задачу автоматического составления расписания и обладала бы гибкостью (незначительных изменений в случае изменений входной информации) для адаптации системы в рамках конкретной практической задачи. Для некоторого упрощения задачи на начальном этапе проектирования были сделаны некоторые допущения:

- расписание составляется с учетом распорядка дня и календарного планирования части;

- все пары кроме плановых мероприятий, проводятся в одном корпусе, а вождения на автодроме, то есть все перерывы между парами одинаковые;

- все коэффициенты модели и искомые переменные целочисленны;

Поставленная задача должна решаться одним из универсальных (не зависящих от целочисленных значений коэффициентов) методов целочисленного линейного программирования.

2. Разработка математической модели и практическая реализация системы автоматического составления расписания

Построим математическую модель расписания в вузе в терминах линейного программирования [ 4 ]. Введем обозначения и определим переменные и ограничения [ 13 ].

2.1.1 Обозначения

ГРУППЫ

В вузе имеется N учебных групп, объединенных в R потоков; r - номер потока, r = 1, ..., R, kr - номер учебной группы в потоке r, kr = 1, …, Gr.

Разбиение на групп на потоки осуществляется исходя из принципов:

1. Использование двумя группами одного и того же аудиторного фонда для своих лекций автоматически предполагает помещение их в 1 поток (предполагается, что все лекции учебных групп проходят вместе).

2. Группа(или ее часть), как единица учебного процесса в вузе, может входить в разные потоки, но только по одному разу в каждый из них.

3. Количество потоков не лимитируется.

ЗАНЯТИЯ

Занятия проводятся в рабочие дни в полуторочасовые интервалы, которые будем называть парами.

Обозначим:

t - номер рабочего дня недели,

t Є Tkr,

где

Tkr - множество номеров рабочих дней для группы kr;

j - номер пары, j = 1 ,…, J;

J - общее количество пар.

С каждой учебной группой kr потока r в течение недели, согласно учебному плану, проводится Wkr занятий, из которых Sr лекционных и Qkr семинарских (лабораторных или практических). Обозначим:

sr - номер дисциплины в списке лекционных занятий для потока r, sr = 1 ,…,Sr;

qkr - номер дисциплины в списке практических занятий для группы kr, qkr = 1 ,…, Qkr.

Предполагается, что лекции проводятся у всех групп потока одновременно и в одной аудитории. Тогда, если по какой-то дисциплине в течение недели проводится более одного занятия, эта дисциплина упоминается в списке лекций или практических занятий столько раз, сколько их предусматривается учебным планом для каждого потока или группы.

ПРЕПОДАВАТЕЛИ

Пусть p - номер (имя) преподавателя, p = 1 ,…, P. Введем в рассмотрение булевы значения и :

=

Учебная нагрузка преподавателей планируется до составления расписания занятий, вследствие чего на данном этапе величины и можно считать заданными. Для каждого преподавателя p, p = 1 ,…,P, задана также его аудиторная нагрузка - Np часов в неделю.

АУДИТОРНЫЙ ФОНД

Занятия каждого потока могут проводиться только в определенных аудиториях (например, практические занятия по информатике могут проводится только в дисплейных классах). Пусть:

{A1r} - множество аудиторий для лекций на потоке r;

{A2r} - множество аудиторий для практических занятий на потоке r;

A1r - число элементов множества {A1r};

A2r - число элементов множества {A2r};

A1r + A2r - число аудиторий объединения множеств {A1r}?{A2r}.

Аудиторный фонд определяется до начала составления расписания, поэтому множества можно считать заданными.

2.1.2 Переменные

Задача составления расписания заключается в определении для каждой лекции (на потоке) и практического занятия (в группе) дня недели и пары в этот день с учетом выполнения конструируемых ниже ограничений и минимизации некоторой целевой функции.

Введем следующие искомые булевы переменные:

=

=

В случае составления расписания для групп вечерней формы обучения J=2. Обобщение модели на все формы обучения см. [1], стр. 669.

2.1.3 Ограничения

Для каждой группы kr должны выполняться все виды аудиторной работы в течение недели:

В любой день t на каждой паре j для каждой группы kr может проводиться не более одного занятия:

Каждые лекция sr и практическое занятие qkr соответственно для всех потоков r и всех групп kr могут проводиться не более одного раза в любой день t:

Если переменные и увязывают все виды занятий с временем их проведения, то произведения и связывают время проведения с именем преподавателя.

В каждый день t и в каждой паре j преподаватель p может вести не более одного занятия по одной дисциплине на одном потоке или в одной группе:

Каждый преподаватель p в течение недели должен провести аудиторные занятия:

Наконец, в каждый день на каждой паре число лекций и практических занятий не должно превышать имеющийся в вузе аудиторный фонд:

Кроме того, для всех совокупностей пересекающихся множеств {A1r} и {A2r} должны выполняться условия:

Представленными соотношениями исчерпываются безусловные ограничения, с которыми всегда считаются при составлении расписания. Могут, однако быть и специфические условия, прежде всего проведение отдельных видов работы по “верхней” или по “нижней” неделе (т.е. один академический час в неделю). Не исключены и другие специальные условия, но для упрощения модели они не рассматривались.

2.1.4 Целевая функция

Поставленная в предыдущем пункте задача максимизации линейной целевой функции при заданной системе ограничений является задачей линейного целочисленного булева программирования, поскольку все коэффициенты ограничений целочисленные в силу дискретности исходных данных задачи; кроме этого искомые переменные математической модели могут принимать только два значения [ 16 ]. На данный момент времени существует несколько возможных методов решения такого рода задач.

В [4] - [8] описаны методы упорядоченной индексации и модифицированных пометок, основанные на лагранжевой декомпозиции исходной модели на ряд однострочных задач, решаемых соответственно методами упорядочивающей индексации или модифицированных пометок. К сожалению количество операций каждого из методов не допускает полиномиальной оценки; кроме того, размерность таблицы наборов (промежуточных значений) методов резко возрастает при увеличении размерности решаемой задачи, что недопустимо в нашем случае. Возможно, изменение алгоритма декомпозиции под конкретную математическую модель позволит уменьшить размерность таблиц, но пока такого алгоритма не существует.

В связи с этим в качестве методов решения были выбраны описанные в [9] модификации симплекс-метода для случая задачи целочисленного линейного программирования. В общем случае количество операций симплекс-метода не допускает полиномиальной оценки (был даже показан класс задач, для которых количество операций составляет O(en)), но для случая нашей задачи среднее число операций допускает полиномиальную оценку: O(n3m1/(n-1)) (n - количество переменных; m - количество ограничений).

2.2.1 Полностью целочисленный алгоритм

Этот алгоритм назван полностью целочисленным, потому что если исходная таблица состоит из целочисленных элементов, то все таблицы, получающиеся в процессе работы алгоритма, содержат только целочисленные элементы. Подобно двойственному симплекс-методу, алгоритм начинает работать с двойственно допустимой таблицы. Если ai0 (i = 1 ,…, n+m; ai0 - коэффициенты целевой функции) - неотрицательные целые, то задача решена. Если для какой-нибудь строки ai0<0, то составляется новое уравнение и записывается внизу таблицы. После этого используется двойственный симплекс-метод. Все элементы дополнительной строки должны быть целыми числами, а ведущий элемент равен -1. Введенная таким образом ведущая строка сохранит таблицу целочисленной.

Пусть задана задача целочисленного линейного программирования:

максимизировать

при условиях

Условия (12) могут быть записаны как

Предположим, что для t=0 (т.е. для исходной таблицы) все aij - целые и столбцы (j = 1 ,…, n) - лексикографически положительны. Тогда все столбцы на протяжении вычислений остаются лексикографически положительными.

Прежде чем изложить способ получения дополнительного ограничения из производящей строки, введем новое представление чисел. Пусть [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x. Для любого числа y (положительного или отрицательного) и положительного можно записать:

где (ry - неотрицательный остаток от деления нацело y на ). В частности, . Поэтому если , то и r = 1. Если , то и r = 0.

Вводимое дополнительное неравенство должно выполняться при любом целом решении задачи (12). Рассмотрим некоторое уравнение в t - таблице (опуская индекс строки) с a0<0:

где x - соответствующая компонента вектора , а - текущие небазисные переменные. Можно выразить x, a0 и aj, используя введенное выше представление (14):

Подставив выражения (16) и (17) в (15) и переставив члены, получим:

Поскольку , и на переменные x и наложено требование неотрицательности, левая часть уравнения (18) всегда неотрицательна. Рассмотрим выражение в правой части, заключенное в фигурные скобки. Коэффициенты в этом выражении представляют собой целые числа, а переменные подчинены требованию целочисленности. Поэтому все выражение в скобках должно быть целым. Обозначим его через s, т.е.:

.

Целочисленная слабая переменная s является неотрицательной. Действительно, если бы s было отрицательным, т.е. принимало бы значения -1, -2, …, то умножение на сделало бы всю правую часть уравнения (18) отрицательной, в то время как левая часть неотрицательна.

Рассмотрим два случая и . Для и . Подставляя в уравнение (19) выражение для x из (15), получим:

Полученное уравнение есть не что иное как отсечение Гомори. Для имеем и уравнение (19) приобретает вид:

Уравнение (21) должно выполняться для любого целочисленного решения задачи (12). Заметим, что если a0<0, то в уравнении (21). Потому уравнение (21) может использоваться в качестве ведущей строки в симплекс-методе. В частности, всегда можно выбрать достаточно большим, так чтобы ведущий элемент в строке (21) стал равным -1, что позволит сохранить целочисленность таблицы. Выбор соответствующего будет влиять на скорость сходимости алгоритма. Прежде всего опишем сам алгоритм. В качестве начального необходимо взять двойственно допустимое решение, которое можно получить добавлением ограничения xn+m+1=M - x1 - - … - xn 0, где M - достаточно большая константа, и проведением одной итерации с добавленной строкой и с лексикографически минимальным столбцом, взятыми в качестве ведущих. Алгоритм состоит из следующих шагов:

Шаг 0. Начать с двойственно допустимой матрицы A0 в уравнении (13), элементы которой - целые числа (матрица A0 может содержать и нецелые элементы, об этом см. [2], стр. 306).

Шаг 1. Среди строк с ai0<0 (i=1, …, n+m) выбрать строку с наименьшим значением i; эта строка станет производящей. (Если ai00 (i=1, …, n+m), то задача решена.)

Шаг 2. Выбрать (правило выбора будет описано дальше) и написать внизу таблицы дополнительную строку

Эта строка выбирается в качестве ведущей.

Шаг 3. Провести шаг двойственного симплекс-метода, вычеркнуть дополнительную строку и вернуться к шагу 1.

Доказательство конечности алгоритма [9, стр. 303-304].

Правило выбора формулируется следующим образом.

Шаг 0. Пусть строка с номером v является производящей.

Шаг 1. Пусть - лексикографически минимальный столбец среди столбцов с avj<0.

Шаг 2. Для каждого avj<0 пусть - наибольшее целое, такое, что (лексикографически меньше).

Шаг 3. Пусть , а (строка v - производящая). Тогда

.

Шаг 4. Положить для avj<0.

Правило выбора , описанное выше, позволяет сделать ведущий элемент равным -1, при этом сохраняется двойственная допустимость таблицы и в то же время нулевой столбец будет максимально лексикографически уменьшаться.

Подробнее об алгоритме можно прочитать в [9, стр. 300].

2.2.2 Прямой алгоритм целочисленного программирования

Термин “прямой”, примененный к алгоритму целочисленного программирования, обозначает метод, который приводит к оптимальному решению посредством получения последовательно “улучшаемых” решений. Каждой из этих решений допустимо в том смысле, что оно удовлетворяет как линейным ограничениям, так и условию целочисленности. Одним из вероятных достоинств алгоритма является возможность прервать вычисления, до того как получено оптимальное решение, и использовать наилучшее из полученных решений как приближенное. Кроме того, можно использовать прямой алгоритм в соединении с двойственными алгоритмами, чтобы получать различные составные алгоритмы, которые могут переходить от фазы, дающей двойственно допустимые решения, к фазе, дающей прямо допустимые решения.

Естественным прецедентом для прямого алгоритма является полностью целочисленный алгоритм Гомори, поскольку в процессе этого алгоритма получается последовательность двойственно допустимых целочисленных решений. Следует напомнить, что полностью целочисленный алгоритм Гомори представляет собой модификацию двойственного симплекс-метода. Основное отличие этого алгоритма состоит в том, что в качестве ведущей строки используется отсечение Гомори с ведущим элементом, равным -1. Это отсечение получается из производящей строки, которая определяется как одна из возможных ведущих строк в двойственном симплекс-методе. Использование такого отсечения в качестве ведущей строки сохранит после итерации двойственную допустимость и целочисленность таблицы.

Оказывается, можно аналогично модифицировать симплекс-метод таким образом, чтобы получить алгоритм, который сохраняет прямую допустимость и целочисленность таблиц. Для описания вычислительной процедуры рассмотрим следующую задачу целочисленного программирования:

максимизировать

при условиях

,

(целые) (k=1,…,n),

где a0j, aij и ai0 - целые числа и ai00.

Предположим, что столбец выбран в качестве ведущего и строка v - ведущая строка в итерации симплекс-метода, т.е. для всех строк I, в которых ais>0. Прежде чем провести процедуру исключения Гаусса в симплекс-методе, добавим к таблице отсечение Гомори, полученное из строки v:

где J - множество индексов небазисных переменных в (22), sk - новая (базисная) слабая переменная и - неопределенная (временно) положительная константа.

Заметим, что если положить = avs, отсечение (23) будет обладать двумя важными свойствами. Во-первых,

Это означает, что прямая допустимость таблицы сохраниться, если использовать отсечение (23) в качестве ведущей строки. Во-вторых, , т.е. ведущий элемент равен 1 (если отсечение используется как ведущая строка). Легко удостовериться (путем исследования формул изменения базисных переменных), что преобразование симплексной таблицы с единичным ведущим элементом сохраняет целочисленность элементов симплексной таблицы.

Эти идеи послужили основанием прямого алгоритма в целочисленном программировании:

Шаг 0. Начать со столбцовой таблицы, в которой ai00 (i1) и все элементы a0j, aij и ai0 - целые.

Шаг 1. Проверить выполнение условий a0j0 (j1); если они выполнены, то конец, текущее базисное решение оптимально; если нет - перейти к шагу 2.

Шаг 2. Выбрать ведущий столбец s с a0s< 0. Выбрать строку v по правилу проверки отношения ai0/ais среди строк с ais> 0. Эта строка служит производящей для отсечения Гомори.

Шаг 3. Получить отсечение Гомори из производящей строки и дописать ее внизу таблицы, т.е. добавить к ограничениям задачи уравнение (23), где .

Шаг 4. Произвести преобразование таблицы, используя отсечение (23) как ведущую строку. Слабая переменная sk в (23) станет небазисной. Вернуться к шагу 1.

Доказательство конечности алгоритма [9, стр. 346-353].

Поскольку выбор производящей строки является задачей нетривиальной, по-видимому, должно существовать несколько строк, которые могут служить в качестве производящих. В предварительных рассуждениях в качестве производящей строки использовалась ведущая строка симплекс-метода. Эта строка всегда дает отсечение, которое является ведущей строкой с ведущим элементом, равным единице. По-видимому, в таблице существуют и другие строки, из которых могут быть получены отсечения с такими же свойствами. Допустим, что отсечение получается по формуле:

Строка v может стать производящей тогда и только тогда, когда

где определяется из условия

Определим множество V(s) как совокупность строк, удовлетворяющих условию (25).

Следующие два правила представляют собой примеры допустимых правил выбора производящей строки:

Правило 1.

1. Составить последовательный конечный список индексов строк таким образом, чтобы индекс каждой строки вошел в него по меньшей мере один раз. Перейти к 2.

2. Если список пуст или не содержит ни одного индекса из V(s), вернуться к 1.; в противном случае найти в списке первый индекс vV(s). Выбрать строку v как производящую. Вывести из списка индекс v и все предшествующие ему индексы. Перейти к 3.

3. Последовательно выбирать строку v, взятую в 2., как производящую, до тех пор, пока vV(s). Как только vV(s), вернуться к 2.

Правило 2.

1. Пусть Vt(s) - множество V(s), соответствующее t-й таблице. Если Vt(s) содержит более одного элемента: Vt(s) = {v1, v2, …, vk+2}, то в качестве производящей выбрать такую строку , что в последовательности множеств V1(s1), V2(s2), …, Vt(s) строка появилась раньше (не позднее) остальных и затем сохранялась вплоть до Vt(s); перейти к 2.

2. Последовательно выбирать строку v, взятую в 1., до тех пор, пока . Как только , вернуться к 1.

Подробнее об алгоритме можно прочитать в [2], стр. 344.

2.2.3 Техника получения начального допустимого базиса

Решение каждым из приведенных выше методов может производиться только в том случае, если задача линейного программирования является или прямо, или двойственно допустимой. Такая допустимость означает наличие начального допустимого базиса в исходной задаче. Если задача допустима и прямо, и двойственно, то полученное решение - оптимально. В большинстве случаев после постановки задачи оказывается, что она не допустима ни прямо, ни двойственно. Поэтому приведем алгоритм получения начального допустимого базиса.

Пусть задача линейного программирования записана в канонической форме:

минимизировать

при условиях

Все bi можно сделать неотрицательными, умножив, если надо, соответствующее уравнение на -1. Тогда можно добавить в каждое уравнение искусственную переменную (искусственные переменные должны быть неотрицательными) таким образом, чтобы из искусственных переменных образовать начальный базис:

Искусственные переменные можно получить из слабых переменных, используемых для превращения неравенств в уравнения. Действительно, если исходные ограничения задачи линейного программирования заданы в виде неравенств:

то, добавив слабую переменную в каждое неравенство, получим:

Если bi0, то si можно использовать в качестве начальных базисных переменных.

Различие между искусственными переменными и слабыми переменными si состоит в следующем. В оптимальном решении задачи все искусственные переменные должны быть равными нулю, поскольку в исходной задаче таких переменных нет. С другой стороны, вполне возможно, что в оптимальном решении слабые переменные будут иметь положительные значения. Для того, чтобы искусственные переменные стали равными нулю, можно представить целевую функцию следующим образом:

где Mi - достаточно большие положительные числа. Идея метода соответствует тому, что искусственным переменным придаются заведомо большие цены. Такой способ приводит к нулевым значениям искусственных переменных в оптимальном решении.

Существует и другой способ получения начального допустимого базиса. В этом способе, как и в первом, в качестве начальных базисных переменных используются искусственные переменные. Рассматривается новая целевая функция , представляющая собой сумму искусственных переменных. Требуется минимизировать , используя z - уравнение как одно из ограничений. Если исходная система уравнений имеет допустимое решение, то все искусственные переменные должны стать равными нулю. Следовательно, минимальное значение должно стать равным нулю. Если , то исходная система уравнений не имеет допустимых решений. Если , то можно опустить целевую функцию и использовать оптимальный базис -формы в качестве начального допустимого базиса для минимизации z. В литературе такой способ называется двухфазовым симплекс-методом. На первой фазе метода находится допустимый базис путем минимизации , на второй - минимизируется z и получается оптимальный базис.

Рассмотри в качестве примера следующую задачу линейного программирования:

минимизировать

при условиях

где все bi неотрицательны.

Если ввести искусственные переменные и новую целевую функцию , то получим задачу:

минимизировать

,

при условиях

-z

Если вычесть все уравнения, содержащие bi, из -формы, получим:

-z

Система (26) является диагональной относительно Первая фаза симплекс-метода состоит в минимизации при условиях (26). На знак z ограничений не накладывается. В процессе вычислений, как только искусственная переменная становится небазисной и ее коэффициент в -форме положителен, сама переменная и соответствующий ей вектор-столбец из дальнейших вычислений исключаются.

2.3 Особенности практической реализации системы

Составление ограничений (1) - (7) математической модели задачи составления расписания является достаточно тривиальной задачей, решаемой с помощью несложных SQL - запросов и не требующей предварительного анализа входной информации. Поэтому подробнее лишь остановимся на ограничениях вида (8).

Заметим, что в математической модели системы читаемый предмет “привязывается” не к определенной аудитории проведения, а к некоторому множеству аудиторий. Расстановка конкретных номеров аудиторий производится уже после решения поставленной задачи. Ограничения вида (8) имеют смысл только тогда, когда множества аудиторий пересекаются. В математической модели системы предлагается учитывать все уникальные пересекающиеся пары в виде ограничений. Количество этих пересечений может быть велико, что может привести к большому числу дополнительных ограничений, отрицательно влияющих на скорость работы алгоритмов оптимизации. Однако можно существенно уменьшить количество дополнительных ограничений.

Рассмотрим случай линейного расположения пересекающихся множеств (см. рис. 2.).

Рис.2. Линейно пересекающиеся множества

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В случае такого расположения множеств аудиторий для проведения занятий общее число ограничений вида (8) будет n-1, где n - количество множеств. Описанное выше расположение пересекающихся множеств может быть названо линейным, так как при этом n пересекающихся множеств расположены как бы в линию. Можно рассмотреть случай, когда множества пересекают друг друга произвольным образом (см . рис. 3.).

Рис.3. Произвольно пересекающиеся множества

Число ограничений вида (8) в этом случае можно уменьшить, проведя формирование этих ограничений по аналогии со случаем линейного расположения множеств. Для этого необходимо предположить, что, например, множества B и D, пересекающиеся с A, являются одним множеством, определить область пересечения такого множества с множеством A, после чего провести те же самые действия с получившейся областью пересечения [9].

2.4 Результаты работы программы