Перевод чисел в двоичную систему

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Перевести десятичное число 3XY + (0, XY)*3 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную СС, а число 3XY в двоичную СС с использованием промежуточной двоично-десятичной СС. Правильность перевода проверить по формуле разложения. В дробной части числа использовать не более 8-ми разрядов

X=1, Y=9

3XY + (0, XY)*3=319+0,19*3=319,57

Задача перевода произвольного числа X, заданного в системе с основанием Q, в систему с основанием Р сводится к вычислению полинома вида

Для перевода любого числа достаточно уметь переводить его целую и дробную части отдельно а затем соединить их.

При делении выделяют целую часть результата и остаток. Остаток записываю в скобках рядом с целой частью.

Применим рекуррентные формулы при Q = 2

319:2=159 (1);

159:2=79 (1);

79:2=39 (1);

39:2=19 (1);

19:2=9 (1);

9:2=4 (1);

4:2=2 (0);

2:2=1 (0).

319₁₀=100111111₂

319₁₀=100 111 111₂=477₈

319₁₀=0001 0011 1111₂=13F₂

Найдем дробную часть для двоичной системы счисления:

0,57 * 2 = 1,14 = 1 + 0,14 b_-1 = 1;

0,14*2 = 0,28 = 0 + 0,28 b_-2 = 0;

0,28* 2 = 0,56 = 0 + 0,56 b_-3 = 0;

0,56* 2 =1,12=1 + 0,12 b_-4 = 1;

0,12* 2 =0,24=0 + 0,24 b_-5 = 0;

0,24* 2 =0,48=0 + 0,48 b_-6 = 0;

0,48* 2 =0,96=0 + 0,96 b_-7 = 0;

0,96* 2 =1,92=1 + 0,92 b_-8 = 1;

0,97₁₀=0,10010001₂.

Аналогично для 8-ричной системы:

0,57* 8 = 4,56 = 4 + 0,56 b_-1 = 4;

0,56* 8 = 4,48 = 4 + 0,48 b_-2 = 4;

0,48* 8 = 3,84 = 3 + 0,84 b_-3 = 3;

0,84* 8 = 6,72=6 + 0,72 b_-4 = 6;

0,72* 8 = 5,76=5 + 0,76 b_-5 = 5;

0,76* 8 = 6,08=6 + 0,08 b_-6 = 6;

0,08* 8 =0,64=0 + 0,64 b_-7 = 0;

0,64* 8 =5,12=5 + 0,12 b_-8 = 5;

0,57₁₀=0,44365605₈.

Аналогично для 16-ричной системы:

0,57* 16 = 9,12 = 9 + 0,12 b_-1 = 9;

0,12* 16 = 1,92=1 + 0,92 b_-2 = 1;

0,92* 16 = 14,72=14 + 0,72 b_-3 = Е;

0,72* 16 = 11,52=11 + 0,52 b_-4 = В;

0,52* 16 = 8,32 = 8 + 0,32 b_-5 = 8;

0,32* 16 = 5,12 = 5 + 0,12 b_-6 = 5;

0,12* 16 = 1,92=1 + 0,92 b_-7 = 1;

0,92* 16 = 14,72=14 + 0,72 b_-8 = Е;

0,97₁₀=0,91EB851Е₁₆.

319,57₁₀=100111111, 10010001₂=477, 44365605₈ =13F, 91EB851Е₁₆

Переведем 319 в в двоичную СС с использованием промежуточной двоично-десятичной СС.

В двоично-десятичной системе вес каждого разряда равен степени 10, как в десятичной системе, а каждая цифра i-го разряда кодируется 4-мя двоичными цифрами:

3=0011; 9=0001;

399₁₀=0011 0001 1001_ДД

0011 0001 1001_ДД:10₂

Разделим это число в двоично-десятичной системе по разрядно, если при делении разряда образуется остаток, то в следующем разряде после деления прибавим 5₁₀=0101₂

первый разряд	второй разряд	третий разряд	остаток
0011	0001	1001
0001 (1)	0101+0000 (1)=0101	0101+0100 (1)=1001	1
0000 (1)	0101+0010 (1)=0111	0101+0100 (1)=1001	1
0000 (0)	0000+0011 (1)=0011	0101+0100 (1)=1001	1
0000 (0)	0001 (1)	0101+0100 (1)=1001	1
0000 (0)	0000 (1)	0101+0100 (1)=1001	1
0000 (0)	0000 (0)	0100 (1)	1
0000 (0)	0000 (0)	0010 (0)	0
0000 (0)	0000 (0)	0001 (0)	0
0000 (0)	0000 (0)	0000 (1)	1

399₁₀=100111111₂.

2. Из числа А = 2*(0, XY) вычесть число В = 3*(0, XY), представляя эти десятичные числа 5-разрядными двоичными, и используя обратные коды, если X + Y - четное число, и дополнительные коды, если X + Y - нечетное число

В том случае, если какое-либо из чисел А или В, или они оба окажутся больше единицы, то для выполнения этого пункта нужно отбросить в этих числах целые части.

Результат вычитания чисел в двоичной СС перевести в десятичную СС и сравнить его с результатом непосредственного вычитания в десятичной СС.

A=0,38; В=0,57;

X+Y=18 - четное число, используем обратные коды

0,38 * 2 = 0,76 = 0 + 0,76 а_-1 = 0;

0,76*2 = 1,52 = 1 + 0,52 а_-2 = 1;

0,52* 2 = 1,04 = 1 + 0,04 а_-3 = 1;

0,04* 2 =0,08=0 + 0,08 а_-4 = 0;

0,08* 2 =0,16=0 + 0,14 а_-5 = 1;

0,57 * 2 = 1,14 = 1 + 0,14 b_-1 = 1;

0,14*2 = 0,28 = 0 + 0,28 b_-2 = 0;

0,28* 2 = 0,56 = 0 + 0,56 b_-3 = 0;

0,56* 2 =1,12=1 + 0,12 b_-4 = 1;

0,12* 2 =0,24=0 + 0,24 b_-5 = 0;

Прямые коды чисел равны:

А=01100

В=10010

Добавим один разряд на знак:

А=001100;

- В=110010;

обратный код - В:

- В=101101;

С=А+(-В)=001100+101101=111001_{2 об} =100110_пр

С₁₀=?0,1875;

А₁₀ - В₁₀=0,38 ? 0,57= ?0,19.

Разница возникла из-за недостаточного кол-ва разрядов для двоичного кода.

3. Из числа А = 3XY + 3*(0, XY) вычесть число В = 5XY + 5*(0, XY), используя форму представления чисел с плавающей запятой. Результат вычитания перевести в десятичную СС и сравнить его с результатом непосредственного вычитания в десятичной СС

А=319,57; В=519,95;

пусть АЦ и ВЦ целая часть чисел А и В, а АД и ВД - дробная.

АЦ = 100111111 = 0001 0011 1111

АД = 10010001

ВЦ = 1000000111 = 0010 0000 0111

ВД = 11110011

А=0001 0011 1111, 1001 0001

В=0010 0000 0111, 1111 0011

ОВ=-В=1010 0000 0111, 1111 0011

ОВ_об=1101 1111 1000, 0000 1100

С=А-В=А+ОВ=0001 0011 1111, 1001 0001+1101 1111 1000, 0000 1100=

=1111 0011 0111, 1001 1101

С_пр=1000 1100 1000, 0110 0010

С₁₀= - (128 + 64 + 8 + 2^-2+ 2^-3+2^-7)=-200,3828125

А₁₀-В₁₀=319,57-519,95=-200,38

Разница в вычислениях в двоичной и в десятичной СС возникает в 3 знаке после запятой, при чем при вычислении в десятичной системе после запятой всего 2 знака.

двоичный десятичный разложение шестнадцатеричный

4. Умножить числа А=2, Х и В=1, Y, используя форму с плавающей запятой и три двоичные цифры в дробной части числа. Выполнить проверку путем перевода результата из двоичной в десятичную СС и сравнения его с результатом непосредственного умножения в десятичной СС

А=2,1; В=1,9;

АЦ=2; АД=0,1; ВЦ=1; ВД=0,9

АЦ₂=10₂;

найдем дробную часть числа

0,1 * 2 = 0,2 = 0 + 0,2 а_-1 = 0;

0,2 * 2 = 0,4 = 0 + 0,4 а_-2 = 0;

0,4 * 2 = 0,8 = 0 + 0,8 а_-3 = 0;

АД=0,000₂;

0,9 * 2 = 1,8 = 1 + 0,8 b_-1 = 1;

0,8 * 2 = 1,6 = 1 + 0,6 b_-2 = 1;

0,6 * 2 = 1,2 = 1 + 0,2 b_-3 = 1;

ВД=0,111₂;

А₂=10,000=10; В₂=1,111; П=А*В;

умножение двоичных чисел аналогично умножению десятичных, но т.к. умножаем только на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения:

так как используем только 3 знака после запятой, то П₂=111,110000=11,11.

П=11,11₂=3,75;

A₁₀ * B₁₀ = 2,1*1,9=3,99;

разница возникла из-за использования недостаточного кол-ва разрядов после запятой в двоичной системе:

0,000=0,0?0,1

0,111=0,875?0,9;

2,0*1,875=3,75;

то есть совпадает с результатом после запятой полученной при перемножении.

5. Большее число из пункта 4 разделить на меньшее, используя в двоичных представлениях этих чисел пять значащих разрядов после запятой. Выполнить проверку путем сравнения результатов деления в двоичной и десятичной СС. Определить погрешность деления в двоичной СС

А=2,1; В=1,9;

АЦ=2; АД=0,1; ВЦ=1; ВД=0,9

АЦ₂=10₂;

найдем дробную часть числа

0,1 * 2 = 0,2 = 0 + 0,2 а_-1 = 0;

0,2 * 2 = 0,4 = 0 + 0,4 а_-2 = 0;

0,4 * 2 = 0,8 = 0 + 0,8 а_-3 = 0;

0,8 * 2 = 1,6 = 1 + 0,6 а_-4 = 1;

0,6 * 2 = 1,2 = 1 + 0,2 а_-5 = 1;

АД=0,00011

0,9 * 2 = 1,8 = 1 + 0,8 b_-1 = 1;

0,8 * 2 = 1,6 = 1 + 0,6 b_-2 = 1;

0,6 * 2 = 1,2 = 1 + 0,2 b_-3 = 1;

0,2 * 2 = 0,4 = 0 + 0,6 b_-4 = 0;

0,4 * 2 = 0,8 = 0 + 0,8 b_-5 = 0;

ВД=0,11100₂;

А₂=10,00011; В₂=1,11100;

_10,00011

0111100

_1110000

111100

_1101000

111100

101100

А₂:В₂=1,00011₂=(1+0,0625+0,03125)₁₀=1, 09375;

А₁₀:В₁₀=2,1:1,9=1,10526;

вычислим погрешность

абсолютная погрешность П_абс=¦1, 09375 ? 1,10526¦= 0,01151;

относительная погрешность П_отн= 0,01151/1,10526 = 0,01041.

Размещено на Allbest.ru