Системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Тольяттинский государственный университет

Кафедра «Автоматизация технологических процессов и производств»

«Системы счисления»

Выполнила: студентка гр. АУб-201

Иванова Ю.А.

Тольятти 2010

Системы счисления

Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы можно разделить на три части:

- позиционные системы счисления;

- смешанные системы счисления;

- непозиционные системы счисления.

Позиционные системы счислений мы рассмотрим более подробно ниже. Расскажем вкратце о смешанных и непозиционных системах счислениях.

Денежные знаки -- это пример смешанной системы счисления. Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: 1 коп., 5 коп., 10 коп., 50 коп., 1 руб., 2 руб., 5 руб., 10 руб., 50 руб., 100 руб., 500 руб., 1000 руб. и 5000 руб. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, нам нужно использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Предположим, что мы покупаем пылесос, который стоит 6379 руб. Чтобы расплатиться, нам потребуется шесть купюр по тысяче рублей, три купюры по сто рублей, одна пятидесятирублёвая купюра, две десятки, одна пятирублёвая монета и две монеты по два рубля. Если мы запишем количество купюр или монет начиная с 1000 руб. и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями пропущенные номиналы, то мы получим число, представленное в смешанной системе счисления; в нашем случае -- 603121200000.

В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в представлении чисел. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе цифры числа можно перемешивать, при этом сумма не изменяется. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система.

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления -- это те системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе. Например, число 01 обозначает единицу, 10 -- десять.

Представление чисел с помощью арабских цифр -- самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры: 0 и 1.

Программисты для вычислений также пользуются ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Количество цифр используемых в системе счисления называется «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе основание равно двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно восьми и шестнадцати. То есть в P-ичной системе счисления количество цифр равно P и используются цифры от 0 до р-1.

В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом:

(a_na_{n ? 1}...a₀)_f,

где a₀,a₁,...,a_n -- цифры, а f -- основание системы счисления. Если используется десятичная система, то f -- можно опустить.

Примеры чисел:

- 11001₂ -- число в двоичной системе счисления, a₀=1, a₁=0, a₂=0, a₃=1, a₄=1;

- 31₈ -- число в восьмеричной системе счисления, a₀=1, a₁=3;

- 25₁₀ -- число в десятичной системе счисления, a₀=5, a₁=2.

Двоичная система счисления

В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в электронике (кремнии, транзисторах, микросхемах), так как для неё требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1).

Двоичная система счисления может быть не позиционной и позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1. В железе это может быть реализовано присутствием какого-либо физического явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет и т. п.

Степени двойки

Таблица №1

Степень	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Значение	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768	65536

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим количеством цифр. Например, чтобы представить в двоичном виде число 1234 потребуется больше 10 двоичных цифр (10011010010). Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок.

В программистских кругах шестнадцатеричные числа принято предварять значком 0x (например, 0x4D2), такое написание пошло от языка программирования C, либо значком $ (например, $4D2), такая нотация произошла от языка программирования Pascal. Иногда в литературе используют буквы «h» и «b» для обозначения соответственно шестнадцатеричных и двоичных чисел (например, FFh или 1011b).

система счисление арифметический

Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции

Преобразование чисел

Используем формулу

a_nfⁿ +... + a₁f¹ + a₀f⁰,

где a₀,a₁,...,a_n -- цифры, а f -- основание системы счисления, и посмотрим чему равны числа из примеров:

- ;

- .

Перевод целых чисел

Пусть A - это некоторое число, которое нужно представить в системе по основанию f. Число A можно представить в виде (a_na_{n ? 1}...a₀)_f. Поделим это число на f, получим:

и остаток от деления a₀. Почему a₀? Все члены суммы делятся на f без остатка, а последний член a₀ в результате деления даёт 0 и a₀ в остатке, так как максимальное значение цифры всегда на единичку меньше основания системы. Итак, получили самую правую цифру a₀ как остаток от деления и число (a_na_{n ? 1}...a₁)_f как результат деления числа A на f. Если так продолжать делить, то получим все цифры a₁,a₂...a_n.

Возьмём для примера число 25 и получим представление этого числа в двоичной системе счисления:

1. 11 : 2 = 5, остаток 1;

2. 5 : 2 = 2, остаток 1;

3. 2 : 2 = 1, остаток 0;

Что и следовало ожидать, получили: 1011₂.

Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

Десятичная система счисления:

- 25 / 10 = 2, остаток 5;

- 2 / 10 = 0, остаток 2.

Результат: 25₁₀.

Чтобы ещё лучше понять перевод в различные системы счислений, посмотрим, какие трансформации происходят внутри числа 4567₁₀.

Представим это число в виде:

.

Посмотрим, что получится при последовательном делении на 10:

1. делим на 10, получаем и 7 в остатке;

2. делим ещё раз на 10, получаем и 6 в остатке;

3. и ещё раз делим на 10, получаем 4 и 5 в остатке;

4. делим в последний раз на 10, получаем 0 и 4 в остатке.

Перевод дробных чисел

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основе новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3. полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4. составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример: Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную и шестнадцатеричную системы.

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей. Отсюда: 0.1875₁₀=0.0011₂=0.3₁₆

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

При переводе в шестнадцатеричную систему счисления двоичное число разбиваем на группы по 4 цифры справа налево начиная с младшего разряда.

Затем каждую четверку цифр заменяем соответственно цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Дробную часть разбиваем от запятой вправо на группы по 4 цифры.

Обратный переход - от шестнадцатеричной системы счисления к двоичной - осуществляется заменой каждой в шестнадцатеричной цифры ее двоичным эквивалентом (четырьмя двоичными цифрами).

Таблиц перевода:

Двоичная - шестнадцатеричная

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Пример:

Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления.

1)

2)

Перевод смешанных чисел

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример: Перевести десятичное число 315,1875 в шестнадцатеричную системы счисления. Из рассмотренных выше примеров следует: 315.1875₁₀=13B.3₁₆.

Основные арифметические операции

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

Сложение в двоичной системе

Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.



Шестнадцатеричная: F₁₆+6₁₆

Ответ: 15+6 = 21₁₀ = 10101₂ = 15₁₆.

Проверка: Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21,

15₁₆ = 1*16¹ + 5*16⁰ = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F₁₆+7₁₆+3₁₆

Ответ: 5+7+3 = 25₁₀ = 11001₂ = 19₁₆.

Проверка: 11001₂ = 2⁴ + 2³ + 2⁰ = 16+8+1=25,

19₁₆ = 1*16¹ + 9*16⁰ = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 11001001,01₂ =2⁷ +2⁶ +2³ +2⁰ +2^-2 =201,25 C9,4₁₆ = 12*16¹ + 9*16⁰ + 4*16^-1 = 201,25

Вычитание

Пример 1. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆



Пример 2. Вычтем единицу из чисел 100₂ и 100₁₆.

Пример 3. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Десятичная: Двоичная:

Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду: 10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2-¹ = 141,5;

8D,8₁₆ = 8*16¹ + D*16⁰ + 8*16-¹ = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример1. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 30₁₀ = 11110₂.

Проверка. Преобразуем полученное произведение к десятичному виду:

11110₂ =2⁴ +2³ +2² +2¹ =30.

Пример 2. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115*51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂.

Проверка. Преобразуем полученное произведение к десятичному виду:

1011011101001₂ =2¹² +2¹⁰ +2⁹ +2⁷ +2⁶ +2⁵ +2³ +2⁰ =5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 1. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂.

Пример 2. Разделим число 5865 на число 115.

Ответ: 5865 : 115 = 51₁₀ = 110011₂.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51.

Пример 3. Разделим число 35 на число 14.

Ответ: 35 : 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5.

Мои примеры

Числа , перевести в двоичную и в шестнадцатеричную системы.



Шестнадцатеричная:

Обратно: из двоичной и шестнадцатеричной систем перевести в десятичную.

Числа , перевести в двоичную и шестнадцатеричную системы.

Шестнадцатеричная:

Размещено на Allbest.ru