Численное интегрирование методом Гаусса

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в разы при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

,

где - узлы метода Гаусса по точкам, а параметров , , подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен .

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

,

где - приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по точкам.

3. Описание методов вычислительной математики, которые будут использованы при решении поставленной задачи

Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в заменен подынтегральной функции апроксимирующей функцией, для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях.

Аппроксимация, или приближение - математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

Также в задачах такого рода активно используются интерполяционные методы нахождения значений функции.

Интерполямция - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

На практике чаще всего применяют интерполяцию полиномами. Это связано прежде всего с тем, что полиномы легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество полиномов плотно в пространстве непрерывных функций.

3.1. Разработка алгоритма решения задачи и описание его особенностей

Пусть функция задана на стандартном интервале . Задача состоит в том, чтобы подобрать точки и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула

(1.1)

была точной для всех полиномов наивысшей возможной степени.

Ввиду того, что имеется параметров и , а полином степени определяется коэффициентами, эта наивысшая степень в общем случае .

Запишем полином в виде и подставим в (1.1). Получим

,

.

Приравнивая выражения при одинаковых коэффициентах получим

, ,

, .

Итак, и находят из системы уравнений

,

,

, (1.2)

…….

.

Система (1.2) нелинейная, и ее решение найти довольно трудно. Рассмотрим еще один прием нахожденияи . Свойства полиномов Лежандра

,

таковы:

1) , ;

2) ;

3) полином Лежандра имеет различных и действительных корней, расположенных на интервале .

Составим по узлам интегрирования многочлен -й степени

.

Функция при есть многочлен степени не выше . Значит для этой функции формула Гаусса справедлива:

, (4.3)

так как .

Разложим в ряд по ортогональным многочленам Лежандра:

,

,

,

т.е. все коэффициенты при . Значит с точностью до численного множителя совпадает с . Таким образом, узлами формулы Гаусса являются нули многочлена Лежандра степени .

Зная , из линейной теперь системы первых (4.2) легко найти коэффициенты . Определитель этой системы есть определитель Вандермонда.

Формулу , в которой - нули полинома Лежандра , а определяют из (3.3), называют квадратурной формулой Гаусса.

Таким образом, алгоритм решения нашей задачи будет таким:

Ввод данных - пределы интегрирования, количество узлов, точность и подынтегральная функция

Подпрограмма вычисления интеграла с заданной точностью, которая использует подпрограмму вычисления функции десятиточечным методом

3.2 Разработка программы по схеме алгоритма

В основной программе необходимо предусмотреть ввод необходимых данных и реализацию контрольно примера, а также удобное управление элементами программы и команду выхода.

Подпрограммы реализованы в виде функций. Существует главная функция, которая вызывается из основной программы и которая выполняет основные действия (подсчет значения интеграла и вывод на экран результата, вывод графика на экран), вызывая другие подпрограммы.

Главная функция вызывает функцию подсчета интеграла с заданной точностью вычислений, которая в свою очередь на каждом шаге вызывает функцию подсчета значения функции.

3.3 Разработка инструкции пользования программой