Основные возможности Maple

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Назначение и место систем Maple

Система компьютерной математики класса Maple были созданы корпорацией Waterloo Maple, Inc. (Канада) как система компьютерной алгебры с расширенными возможностями в области символьных (аналитических) вычислений.

Заслуженной популярностью системы Maple пользуются в образовании многих стран мира. Свыше 300 самых крупных университетов мира (включая наш МГУ им. Ломоносова) взяли эту систему на вооружение и используют ее в научных и учебных расчетах. Число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило миллион.

Maple - типичная интегрированная программная система. Она объединяет в себе:

· мощный язык программирования

· редактор для подготовки и редактирования документов и программ

· мощная справочная система со многими тысячами примеров

· есть библиотеки встроенных и дополнительных функций

· есть пакеты функций сторонних производителей и поддержка некоторых других языков программирования и программ.

На сегодняшний день вышел Maple 11. Этот математический пакет обладает высокой устойчивостью к ошибкам, хорошей точностью получения результатов. Не случайно ядро системы Maple используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами Mathcad и MATLAB.

2. Maple в интернет

Поддержка Maple осуществляется Интернет-сайтом этой компании - www.maplesoft.com.

С этого же сайта можно выйти и на ряд других Интернет-страниц с описанием программных продуктов корпорации Maple, данных о самой корпорации, математической и технической поддержке различных версий системы - в том числе и студенческой версии, которая на сегодняшний день стоит $139.

Также на сайте можно найти и раздел, где указаны ссылки на наиболее хорошие книги, посвященные этому математическому пакету. Для студентов и преподавателей университетов, к примеру, можно найти ряд интересных и содержательных учебных курсов.

Maple позволяет сохранять файл в нескольких форматах, экспортировать графики функции в графические форматы.

3. Понятие о функциях и операторах

Важным понятием системы Maple является понятие функции. Функция возвращает результат некоторого преобразования исходных данных - параметров функции по определенному правилу. Maple имеет множество встроенных функций, включенных в его ядро и в пакеты.

Функция в выражениях задается вводом ее имени и списка параметров функции (одного или нескольких), заключенных в круглые скобки: например, sqrt(2) задает функцию вычисления квадратного корня с параметром 2 (численной константой). Основным признаком функции является возврат значения в ответ на обращение к ней по имени с указанием списка параметров этой функции.

Обратите внимание на особую роль десятичной точки - здесь она служит указанием к выполнению вычисления значения sin (1.0). А вот синус целочисленного аргумента 1 не вычисляется - считается, что вычисленное значение менее ценно, чем точное значение sin(1).

Помимо функций, в математических системах для записи математических выражений используются специальные знаки - операторы. К примеру, вычисление корня квадратного часто записывается с помощью его специального знака - v. Какие еще бывают операторы: операторы сложения - «+», вычитания - «-», умножения - «*», деления - «/» и другие. Пожалуй, самым распространенным оператором является оператор присваивания:=. Он используется для задания переменным конкретных значений, например:

Другой распространенный оператор - оператор равенства = используется для задания равенств и логических условий (например, a=b).

либо указания областей изменения переменных (например, x=-15..15)

Также оператор равенства используется для определения значений параметров в функциях и командах (например, color=green для задания зеленого цвета у линий графиков).

Операторы сами по себе результат не возвращают. Но они позволяют конструировать математические выражения.

Я уже упоминал важность точки для получения численного значения какого-либо вычисления. Пример с sin(1) и sqrt(2). Но получить целочисленное значение можно, воспользовавшись функцией evalf ().

Обратите внимания, что появился новый оператор -%, который применятся для исполнения предшествующего действия.

Результат точных целочисленных операций Maple стремится представить в виде рационального числа - отношения двух целых чисел:

Для вывода на экран используется оператор «точка с запятой», а для блокирования вывода оператор «двоеточие»

Некоторые операторы могут записываться в виде инвертных функций, которые выводят записываемое выражение, но без их исполнения. Такие функции обычно записываются с большой буквы.

Этот пример как раз и иллюстрирует применение функции интегрирования - обычной int и инвертной Int.

В первом случае Maple вычисляет интеграл предельно точно и дает ответ в виде рационального числа. Во втором примере просто выводит запись интеграла в математической нотации. В третьем случае функция evalf вычисляет этот интеграл и возвращает результат уже в форме числа с плавающей точкой.

Символьные вычисления

Maple открывает обширные возможности выполнения символьных (аналитических) вычислений. Начнем с простого примера - требуется найти сопротивление трех параллельно включенных резисторов R₁, R₂ и R₃ произвольной величины. Из курса электротехники известно, что можно задать следующее равенство, определяющее суммарное сопротивление R₀

Дальше, воспользовавшись функцией для решения уравнений solve, можно найти значение R₀ в общем аналитическом виде:

Операции над матрицами

Вычисление производных функций f(x)

Для ее реализации Maple 7 имеет следующие основные функции:

diff (a., xl, х2,…. xn) diff (a, [xl, х2,…. хn])

Diff (a, xl, x2,…. xn) Diff (a, [xl, x2,…. хn])

Здесь а - дифференцируемое алгебраическое выражение, властности функция f (xl. x2,…. хn) ряда переменных, по которым производится дифференцирование. Функция Diff является инертной формой вычисляемой функции diff и может использоваться для естественного воспроизведения производных в документах. Первая из этих функций (в вычисляемой и в инертной форме) вычисляет частные производные для выражения а по переменным xl, х2,….хn. В простейшем случае diff (f(x), x) вычисляет первую производную функции f(x) по переменной х. При n, большем 1, вычисления производных выполняются рекурсивно, например diff (f (х), х, у) эквивалентно diff (diff (f(x), х), у).

Оператор $ можно использовать для вычисления производных высокого порядка. Для этого после имени соответствующей переменной ставится этот оператор и указывается порядок производной. Например, выражение diff (f(x), x$4) вычисляет производную 4-го порядка и эквивалентно записи diff (f (х), х, х, х.х). A diff (g (x, y), x$2, y$3) эквивалентно diff (g(x, y), x, x.y, y, y);

Вычисление неопределенных интегралов

компьютерный математика вычисление maple

Вычисление неопределенного интеграла обычно заключается в нахождении первообразной функции. Это одна из широко распространенных операций математического анализа.

Для вычисления неопределенных и определенных интегралов Maple предоставляет следующие функции:

int (f, x); int (f, x=a..b); int (f.x=a..b, continuous):

Int (f, x); Int (f, x=a..b): Int (f, x=a..b, continuous):

Здесь f - подынтегральная функция, х - переменная, по которой выполняются вычисления, а и b - нижний и верхний пределы интегрирования

Решение одиночных нелинейных уравнений

Часто бывает удобно представлять уравнение и его решение в виде отдельных объектов, отождествленных с определенной переменной:

Решение тригонометрических уравнений

Решение неравенств

Неравенства в математике встречаются почти столь же часто, как и равенства. Они вводятся знаками отношений, например: > (больше), < (меньше) и т.д. Решение неравенств существенно расширяет возможности функции solve. При этом неравенства задаются так же, как и равенства. Приведенные на рис. 8.15 примеры поясняют технику решения неравенств.

Из приведенных примеров очевидна форма решений - представлены критические значения аргумента, вплоть до не включаемых значений области действия неравенства (они указываются словом Open). Всегда разумным является построение графика выражения, которое задает неравенство, - это позволяет наглядно убедиться в правильности решения.

Решение в численном виде - функция fsolve

Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в форме вещественных чисел удобно использовать функцию fsolve

fsolve (eqns, vars);

Решение дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения лежат в основе математического моделирования различных, в том числе физических, систем и устройств. Это анализ поведения различных систем во времени (анализ динамики) - полет тела, брошенного под углом к горизонту; вычисление различных полей (тяготения, электрических зарядов).

На следующем слайде представлен раздел справки Maple с классификацией дифференциальных уравнений. В ней представлено:

· 20 дифференциальных уравнений первого порядка;

· 25 дифференциальных уравнений второго порядка;

· 6 типов дифференциальных уравнений высшего порядка

· а также основные функции решения дифференциальных уравнений.

Maple позволяет решать одиночные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений как аналитически, так и в численном виде.

Для решения системы простых дифференциальных уравнений (задача Коши) используется функция dsolve в разных формах записи:

dsolve(ODE);

dsolve (ODE, переменная);

dsolve({ODE, нач_услович}, переменная);

Примеры решения дифференциальных уравнений

Начнем рассмотрение практических примеров с решения простых одинарных обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ) первого порядка в символьном виде.

Запишем дифференциальное уравнение радиоактивного распада атомов:

В математическом пакете эта запись имеет вид:

Используя функцию dsolve, получим его общее аналитическое решение:

В решении присутствует произвольная постоянная _С1. Но ее можно заменить на постоянную N(0)=N₀, означающую начальное число атомов в момент времени t=0.

Далее можно ввести начальные условия. Например, в начальный момент времени у нас было 100 атомов, а постоянная распада равна 3:

Размещено на Allbest.ru