Возможности компьютерной математики Waterloo Maple

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возможности компьютерной математики WaterlooMaple



ВВЕДЕНИЕ

Мы все являемся свидетелями того, как компьютеры на глазах изменяют нашу жизнь. Облегчение, которое компьютер и созданные для него программы принесли всем людям, работающим за письменным столом, настолько значительны, что прежние методы работы воспринимаются нынче как кошмарный сон. Вот, наконец, и ещё по одному направлению произошёл прорыв. Речь идёт о собственно математических расчётах.

Само по себе появление компьютеров не упрощало математические расчеты, а лишь позволяло резко повысить скорость их выполнения и сложность решаемых задач. Пользователям ПК, прежде чем начинать такие расчеты, нужно было изучать сами компьютеры, языки программирования и довольно сложные методы вычислений, применять и подстраивать под свои цели программы для решения расчетных задач на языках Бейсик или Паскаль. Поневоле ученому и инженеру, физику, химику и математику приходилось становиться программистом.

Необходимость в этом отпала лишь после появления интегрированных математических программных систем для научно-технических расчетов: Eureka, PC MatLAB, MathCAD, Maple, Mathematica и др. Большое число подобных разработок свидетельствует о значительном интересе к ним во всем мире и бурном развитии компьютерных математических систем.

Широкую известность и заслуженную популярность еще в середине 80-х годов приобрели интегрированные системы для автоматизации математических расчетов класса MathCAD, разработанные фирмой MathSoft (США). По сей день они остаются единственными математическими системами, в которых описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Такой же вид имеют и результаты вычислений. Так что системы MathCAD вполне оправдывают аббревиатуру CAD (ComputerAidedDesign), говорящую о принадлежности к наиболее сложным и продвинутым системам автоматического проектирования -- САПР. Можно сказать, что MathCAD -- своего рода САПР в математике. С момента своего появления системы класса MathCAD имели удобный пользовательский интерфейс - совокупность средств общения с пользователем в виде масштабируемых и перемещаемых окон, клавиш и иных элементов. У этой системы есть и эффективные средства типовой научной графики, они просты в применении и интуитивно понятны. Словом, системы MathCAD ориентированы на массового пользователя - от ученика начальных классов до академика.

MathCAD - математически ориентированные универсальные системы. Помимо собственно вычислений они позволяют с блеском решать задачи, которые с трудом поддаются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С их помощью можно не только качественно подготовить тексты статей, книг, диссертаций, научных отчетов, дипломных и курсовых проектов, они, кроме того, облегчают набор самых сложных математических формул и дают возможность представления результатов, в изысканном графическом виде. Последние версии системы MathCAD дают новые средства для подготовки сложных документов. В них предусмотрено красочное выделение отдельных формул, многовариантный вызов одних документов из других, возможность закрытия "на замок" отдельных частей документов, гипертекстовые и гипермедиа-переходы и т. д. Это позволяет создавать превосходные обучающие программы и целые книги по любым курсам, базирующимся на математическом аппарате. Здесь же реализуется удобное и наглядное объектно-ориентированное программирование сложнейших задач, при котором программа составляется автоматически по заданию пользователя, а само задание формулируется на естественном математическом языке общения с системой.

В своей работе я хотел бы рассмотреть возможности системы MathCAD для решения задач математической статистики. В нашем ВУЗе эти задачи решаются с помощью MS Excel. На мой взгляд, MathCAD дает более наглядное и красивое решение статистических задач и гораздо проще в использовании. Все выше изложенное позволило сформулировать цель курсовой работы: показать, что использование системы компьютерной математики MathCAD для решения задач математической статистики дает наиболее наглядное, простое, красивое (с точки зрения оформления) решение этих задач, по сравнению со всеми другими используемыми для этого средствами (в частности MS Excel в нашем_ВУЗе).

Сформулированная цель потребовало решения следующих задач:

1. Рассмотрение характеристик статистических функций системы MathCAD.

2. Изучение работы системы MathCAD для решения задач математической статистики.

3. Рассмотреть работы некоторых статистических функций системы MathCAD на конкретных примерах.

Поставленные цели были решены при помощи следующих методов исследования:

1. Теоретический (изучение и анализ литературы связанной с решением задач математической статистики средствами компьютерной математики).

2. Эмпирический (решение задач математической статистики средствами системы компьютерной математики MathCAD, наблюдение за решение этих задач в MS Excel).

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, перечисляются задачи и методы исследования. В первой главе описаны статистические функции системы MathCAD. Во второй главе рассмотрены примеры решения задач математической статистики средствами системы MathCAD.



1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПАКЕТА MATHCAD

В данной главе приводится перечень, и дается описание встроенных функций пакета MathCAD. Эти функции выполняют широкий спектр вычислительных заданий, включая статистический анализ, интерполяцию и регрессионный анализ.

Эта глава состоит из следующих разделов:

Статистики совокупностей

Функции, вычисляющие среднее значение, дисперсию и корреляцию выборочных данных.

Распределения вероятностей

Функции плотности вероятности, функции распределения и обратные к ним более чем для дюжины распространённых функций распределения.

Гистограммы

Как вычислить число величин, попадающих в заданные интервалы.

Случайные числа

Генерирование случайных величин, подчиняющихся различным законам распределения.

Функции интерполяции и предсказания

Интерполяция линейным и кубическим сплайном. Интерполяция функций многих переменных.

Функции вычисления регрессии

Функции вычисления линейной регрессии, полиномиальной регрессии и регрессии, использующей комбинации произвольных функций.

Функции сглаживания

Функции сглаживания временных рядов с помощью скользящей медианы, гауссового ядра или адаптивного линейного метода наименьших квадратов.

Статистика совокупностей

MathCAD содержит шесть функций для вычисления статистических оценок случайных совокупностей. В последующих описаниях m и n представляют число рядов и столбцов рассматриваемых массивов. В используемых далее формулах переменная ORIGIN по умолчанию принята равной нулю.

mean(А) Возвращает среднее значение элементов массива А размерности согласно формуле

median(A) Возвращает медиану элементов массива А. Медианой называется величина, выше и ниже которой в вариационном ряду находится равное количество членов. Если А имеет четное число элементов, медиана определяется как среднее арифметическое двух центральных величин.

var(A) Возвращает дисперсию элементов массива А размерности согласно формуле

cvar(A,В) Возвращает ковариацию элементов массивов А и В размерности согласно формуле

stdev(A) Возвращает среднеквадратичное отклонение (квадратный корень из дисперсии) элементов массива А:

corr(A,В) Возвращает скаляр: коэффициент корреляции для двух массивов А и В.

Распределение вероятностей

MathCAD использует несколько функций для работы с распространёнными плотностями вероятности. Эти функции распадаются на три класса:

Плотности распределения вероятности: вероятность того, что случайная величина будет находиться в окрестности определённой точки, пропорциональна плотности распределения вероятности случайной величины в этой точке.

* Функции распределения (вероятности): они дают вероятность, что случайная величина будет принимать значение, меньшее или равное определенной величине. Они получены просто интегрированием (или суммированием, когда это необходимо) соответствующей плотности вероятности по подходящему интервалу значений.

* Обращения функций распределения: они позволяют по заданной вероятности вычислить такое значение, что вероятность того, что случайная величина будет меньше или равна этому значению, будет равна вероятности, заданной в качестве аргумента.

2. Функции распределения

компьютерный математика интерполяция регрессия

Эти функции возвращают вероятность того, что случайная величина меньше или равна определенному значению. Функция распределения вероятности - просто функция плотности вероятности, проинтегрированнаяот до определенного значения. Для целочисленных случайных величин интеграл заменен суммированием по соответствующим индексам.

Функции плотности вероятности, соответствующие каждой из следующих функций распределения, даны в подразделе "Плотности распределения вероятности".

cnorm(x) Возвращает стандартную нормальную функцию распределения. Эквивалент pnorm(x,0,1).

pbeta(х,s1,s2) Возвращает функцию бэта-распределения с параметрами формы s1 и s2. (s1,s2>0)

pbinom(k,n,р) Возвращает функцию биномиального распределения для k успехов в n испытаниях, n есть натуральное число, р есть вероятность успеха, 0?p?1.

pcauchy(x,l,s) Возвращает функцию распределения Коши с параметром масштаба s и параметром расположения l, s >0.

pchisq(x,d) Возвращает функцию распределения хи-квадрат, в котором d>0 равно числу степеней свободы.

рехр(х,r) Возвращает функцию экспоненциального распределения, в котором r>0 является параметром.

pF(x,d1,d2) Возвращает функцию F-распределения, в котором d1,d2>0 являются числами степеней свободы.

pgamma(x,s) Возвращает функцию Гамма-распределения, в котором s>0 является параметром формы.

pgeom(к,р) Возвращает функцию геометрического распределения, р есть вероятность успеха в одиночном испытании. 0<р?1.

plnorm(х,?,?) Возвращает функцию логнормального распределения, в котором ? равно логарифму среднего значения, а ?>0 есть логарифм среднеквадратичного отклонения.

plogis(x,l,s) Возвращает функцию логистического распределения. l есть параметр расположения, s>0 - параметр масштаба.

pnbinom(k,n,р) Возвращает функцию отрицательного биномиального распределения, в котором 0<р?1. n - натуральное.

pnorm(x,?,?) Возвращает функцию нормального распределения со средним ? и среднеквадратичным отклонением ?, ?>0.

ppois(к,?) Возвращает функцию распределения Пуассона. ?>0.

pt(x,d) Возвращает функцию t-распределения Стьюдента. d есть число степеней свободы. d>0.

punif(х,а,b) Возвращает функцию равномерного распределения, b и а есть граничные точки интервала, а<b.

pweibull(x,s) Возвращает функцию распределения Вейбулла. s>0.

Обращения функций распределения

Эти функции принимают вероятность р как аргумент и возвращают значение х такое, что Р(Х?х)=р.

Функции плотности распределения, соответствующие каждому из следующих обратных функций распределения даны в подразделе "Плотности распределения вероятности".

qbeta (p,s1,s2) Обращает бета-распределение с параметрами формы s1 и s2. (0?р?1) (s1,s2>0).

qbinom(р,n,r) Возвращает число успехов в n испытаниях схемы Бернулли при условии, что вероятность успехов не превышает р и r - вероятность успеха на одиночном испытании. 0?r?1 и 0?p?1. n есть натуральное число.

qcauchy(p,l,s) Обращает распределение Коши с параметром масштаба s и параметром расположения l. s>0. 0?р< 1.

qchisq(p,n) Обращает хи-квадрат распределение, в котором d>0 является числом степеней свободы. 0?р< 1.

qexp(p,r) Обращает экспоненциальное распределение, в котором r>0 является параметром. 0?р<

Каждый раз, когда повторно вычисляется выражение, содержащее одну из этих функций, MathCAD генерирует новые случайные числа. Чтобы заставить MathCAD генерировать новые случайные числа, щёлкните мышью на выражении, содержащем функцию, и нажмите [F9].

Каждая из этих функций в действительности создаёт последовательность псевдослучайных чисел, связанную с некоторым задаваемым стартовым значением. Каждое нажатие [F9] заставляет функцию выдать новое значение из этой последовательности. Одно и то же стартовое значение производит одинаковые последовательности чисел. Изменение стартового значения приводит к смене последовательности случайных чисел, выдаваемых функцией.

Чтобы изменить стартовое значение, выберите Генератор случайных чисел... из меню Математика и измените стартовое значение в диалоговом окне. Убедитесь, что введено целое число.

Чтобы перезапустить генератор случайных чисел MathCAD, не изменяя стартового значения, выберите Генератор случайных чисел... из меню Математика и нажмите "ОК", чтобы принять текущее значение. Затем щёлкните мышью на выражении с функцией, генерирующей случайное число, и нажмите [F9].

Так как генератор случайных чисел был сброшен, MathCAD будет производить те же самые случайные числа, которые производились бы после перезапуска MathCAD.

Если нужно несколько раз использовать одну и ту же последовательность случайных чисел, сбросьте генератор случайных чисел между вычислениями, как описано выше.

Чтобы получить новый набор случайных чисел, измените стартовое значение, как описано выше. Это заставит MathCAD генерировать набор случайных чисел, отличный от того, который создаётся после перезапускаMathCAD. Каждый раз при необходимости получить новую последовательность случайных чисел следует переустанавливать стартовое значение, как описано выше.

3. Интерполяция и функции предсказания

Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. В MathCAD: можно или соединять точки данных прямыми линиями (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция).

В отличие от функций регрессии, обсуждаемых в следующем разделе, функции интерполяции определяют кривую, точно проходящую через заданные точки. Из-за этого результат очень чувствителен к ошибкам данных. Если данные зашумлены, следует рассмотреть возможность использования регрессии вместо интерполяции.

Линейное предсказание заключается в использовании существующих значений данных, чтобы предсказать значения за их пределами. В MathCAD есть функция, которая позволяет предсказывать будущие значения данных на основе уже имеющихся данных.

Всякий раз, когда массивы используются в любой из функций, описанных в этом разделе, убедитесь, что каждый элемент массива содержит определённое значение, так как MathCAD присваивает значение 0 любым элементам, которые явно не определены.

4. Линейная интерполяция

При линейной интерполяции Mathcad соединяет существующие точки данных прямыми линиями. Это выполняется функцией linterp, описанной ниже.

linterp(vx,vy,x) Использует векторы данных vx и vy, чтобы возвратить линейно интерполируемое значение у, соответствующее третьему аргументу х. Аргументы vx и vy должны быть векторами одинаковой длины. Вектор vx должен содержать вещественные значения, расположенные в порядке возрастания.

Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, создавая таким образом ломаную. Интерполируемое значение для конкретного х есть ордината у соответствующей точки ломаной.

Для значений х, расположенных перед первой точкой в vx, MathCAD продолжает ломаную прямой линией, проходящей через первые две точки данных. Для значений х, расположенных за последней точкой в vx, MathCAD продолжает ломаную прямой линией, проходящей через последние две точки данных. Для получения наилучших результатов значение х должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx - маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для х вне этого диапазона. Функция linterp предназначена для интерполяции, а не экстраполяции.



5. Кубическая сплайн-интерполяция

Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трёх смежных точек. Кубические полиномы затем состыковываются друг с другом, чтобы образовать одну кривую.

Чтобы провести кубический сплайн через набор точек:

* Создайте векторы vx и vy, содержащие координаты х и у, через которые нужно провести кубический сплайн. Элементы vx должны быть расположены в порядке возрастания. (Хотя мы используем имена vx, vy и vs, нет никаких ограничений на имена этих переменных; можно использовать любые имена.)

* Вычислите вектор vs:=cspline(vx,vy). Вектор vs содержит вторые производные интерполяционной кривой в рассматриваемых точках.

* Чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке, скажем х0, вычислите interp(vs, vx, vy, x0), где vs, vx и vy - векторы, описанные ранее.

Обратите внимание, что можно сделать то же самое, вычисляя: interp(cspline(vx,vy), vx, vy, x0)

На практике, возможно, придётся вычислять inlerp во многих различных точках. Так как обращение к cspline может требовать много времени, и так как возвращаемый ею результат не зависит от рассматриваемой точки, имеет смысл сделать это один раз, сохранить результат и многократно использовать, как описано выше.

Выражение с функцией cspline вычисляет массив вторых производных vs для сплайна, используемого для интерполяции данных из vx и vy.

Как только массив vs найден, функция interp вычисляет интерполируемые значения.

Обратите внимание, что массив vs должен вычисляться только один раз, даже для множественных интерполяций. Так как вычисление vs требует много времени, лучше сохранять промежуточные результаты в виде вектора, чем повторно вычислять их по мере необходимости.

В дополнение к csplineMathCAD поставляется с двумя другими кубическимисплайн-функциями. Три сплайн-функции: cspline(vx,vy), pspline(vx,vy), lspline(vx,vy). Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который мы будем называть vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp, описанной ниже. Аргументы vx и vy должны быть вещественнозначными векторами одинаковой длины. Значения в vx должны быть вещественны и расположены в порядке возрастания.

Эти три функции отличаются только граничными условиями:

* функция lspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точках.

* функция pspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках.

* функция cspline генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках.

interp(vs,vx,vy,x) Возвращает интерполируемое значение у, соответствующее аргументу x. Вектор vsвычисляется на основе векторов данных vx и vy одной из функций lspline, pspline или cspline.

Интерполируемое значение для конкретного х есть ордината у соответствующей точки сплайна. Для значений х, расположенных перед первой точкой в vx, MathCAD продолжает сплайн первой из составляющих его кубических парабол. Для значений х, расположенных за последней точкой в vx, MathCAD продолжает сплайн последней из составляющих его кубических парабол.

Для получения наилучших результатов значение х должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx - маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для х вне этого диапазона. Сплайны предназначены для интерполяции, а не экстраполяции.

6. Интерполяция сплайнами функций нескольких переменных

MathCAD выполняет интерполяцию кубическими сплайнами функции двух переменных тем же самым образом, как и в одномерном случае, обсужденном ранее. MathCAD проводит через сетку узлов поверхность, составленную из кубических полиномов от х и у, таким образом, что первые и вторые частные производные являются непрерывными в каждом узле сетки.

Первый шаг в двумерной сплайн-интерполяции -- точно такой же, как и в одномерном случае: определить узлы, через которые поверхность должна пройти. Однако это потребует больше усилий, потому что теперь нужно определить сетку узлов:

* Создайте матрицу Мху, чьи элементы, Mxyi,0 и Мхуi,1 определяют х и у координаты по диагонали прямоугольной сетки. Эта матрица играет ту же самую роль, что и vx в одномерном случае, описанном ранее. Так как эти узлы описывают диагональ, элементы в каждом столбце Мху должны быть расположены в порядке возрастания (Mxyi,k<Мхуj,k всякий раз, когда i<j).

* Создайте матрицу Mz, чей (ij) - элемент есть координата z соответствующая точке х=Mxyi,0 и y = Mxyi,j. Она играет ту же самую роль, что и vy в одномерном случае, описанном ранее.

* Вычислите вектор vs:=cspline(Mxy,Mz). Вектор vs содержит вторые производные приближающей поверхности в узлах, определенных Мху и Mz.

* Чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке, скажем (х0,у0), вычислите interp где vs, Мху и Mz - массивы, описанные ранее. Результатом является значение интерполирующей функции, соответствующее точке (х0,у0).

Обратите внимание, то же самое можно сделать, вычисляя interp(cspline(Mxy,Mz),Мху,Mz, )

На практике, возможно, придётся вычислять interp во многих различных точках. Так как обращение к cspline может требовать много времени, и так как возвращаемый ею результат не зависит от рассматриваемой точки, имеет смысл сделать это один раз, сохранить результат и многократно использовать, как описано выше.

В дополнение к csplineMathCAD поставляется с двумя другими функциями сплайн-интерполяции. Функции сплайн-интерполяции MathCAD: cspline(Mxy,Mz), lspline(Mxy,Mz), pspline(Mxy,Mz). Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который мы будем называть vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp, описанной ниже. Мху - матрица, чьи элементы Mxyi,0 и Мхуi,iопределяют точки на диагонали сетки. (ij) - элемент матрицы Mz определяет значение интерполирующей функции в (Mxyi,0,Мхуi,j).

Эти три функции отличаются только граничными условиями:

* функция lspline генерирует сплайн, который приближается к плоскости на краях сетки.

* функция pspline генерирует сплайн, который представляет полином второй степени от x и уна краях сетки.

* функция cspline генерирует сплайн, который представляет полином третьей степени от х и уна краях сетки.

interp(vs,Мху,Mz,v) Возвращает интерполируемое значение z, соответствующее точкам x=v0 и у=v1. Вектор vs вычисляется lspline, pspline, или cspline на основе данных из Мху и Mz.

Для получения наилучших результатов не используйте функцию interp для значений x и у, удалённых от узлов сетки.

Сплайны предназначены для интерполяции, а не экстраполяции, поэтому маловероятно, что значения, вычисленные для таких х и у, будут полезны.

7. Линейное предсказание

Функции интерполяции, описанные в этом разделе до сих пор, позволяют по заданным значениям некоторой функции в ряде точек оценить её значения в промежуточных точках. Иногда необходимо оценить значения функции в точках, находящихся вне области расположения сетки, на которой заданы значения функции. В MathCAD есть функция pre-dict, которая позволяет это сделать. Эта функция использует линейный алгоритм предсказания, который является полезным, когда экстраполируемая функция является гладкой и осциллирующей, хотя не обязательно периодической. Линейное предсказание можно рассматривать как разновидность экстраполяции, но его нельзя путать с линейной или полиномиальной экстраполяцией.

predict(v,m,n) Возвращает n предсказанных значений, основанных на n последовательных значениях вектора данных v. Элементы в v должны представлять собой значения, взятые через равные интервалы.

Функция predict использует последние n исходных значений данных, чтобы вычислить коэффициенты предсказания. Как только это сделано, она использует последние n точек, чтобы предсказать координаты (m+1)-ой точки, фактически создавая скользящее окно шириной в m точек.



8. Функции регрессии

MathCAD включает ряд функций для вычисления регрессии. Обычно эти функции создают кривую или поверхность определенного типа, которая в некотором смысле минимизирует ошибку между собой и имеющимися данными. Функции отличаются, прежде всего, типом кривой или поверхности, которую они используют, чтобы аппроксимировать данные.

В отличие от функций интерполяции, обсужденных в предыдущем разделе, эти функции не требуют, чтобы аппроксимирующая кривая или поверхность проходила через точки данных. Функции регрессии, рассмотренные в этом разделе, следовательно, гораздо менее чувствительны к ошибкам данных, чем функции интерполяции. В отличие от функций сглаживания, рассматриваемых в следующем разделе, конечный результат регрессии - функция, с помощью которой можно оценить значения в промежутках между заданными точками.

Всякий раз, когда массивы используются в любой из функций, описанных в этом разделе, убедитесь, что каждый элемент в массиве содержит определённое значение, поскольку MathCAD присваивает 0 любым элементам, которые явно не определены.

9. Функции сглаживания

Сглаживание предполагает использование набора значений у (и возможно х) и возвращение нового набора значений у, который является более гладким, чем исходный набор. В отличие от регрессии и интерполяции, обсужденных ранее, сглаживание приводит к новому набору значений у, а не к функции, которая может оценивать значения между заданными точками данных. Таким образом, если вас интересуют значения у между заданными значениями у, необходимо использовать интерполяцию или регрессию.

Всякий раз, когда в любой из функций, описанных в этом разделе, используются векторы, убедитесь, что каждый элемент в векторе определён. Так как каждый элемент в векторе должен иметь значение, MathCAD присваивает значение 0 любым элементам, которые явно не определены.

Функция medsmooth - наиболее устойчивая из трех, так как в меньшей степени подвержена влиянию зашумленных данных. Эта функция использует сглаживание с помощью скользящей медианы, вычисляет остатки, сглаживает остатки тем же самым образом и суммирует эти два сглаженных вектора вместе. Более подробно:

* Вычисление medsnrooth(vy,mf) начинается со сглаживания скользящей медианой исходного вектора vy. Сглаженный вектор мы будем называтьvy'. Его i-ый элемент дается выражением:

* Затем вычисляются остатки: vr=vy-vy'.

* Вектор остатков, vr, сглаживается с использованием процедуры, описанной на шаге 1. Это дает сглаженный вектор остатков vr'.

* Функция medsmooth возвращает сумму из этих двух сглаженных векторов: medsmooth(vy,n)=vy'+vr'.

Обратите внимание, что medsmooth будет оставлять первые и последние (n-1)/2 точки неизменяемыми. На практике длина окна сглаживанияп должна быть мала по сравнению с длиной набора данных.

Функция ksmooth использует гауссово ядро, чтобы вычислить локально взвешенные средние значения исходного вектора vy. Это сглаживание наиболее полезно, когда данные взяты в точках, отделяемых друг от друга интервалами приблизительно равной ширины. Если длина интервалов существенно изменяется, следует использовать адаптивное сглаживание подобное supsmooth. Его величина обычно устанавливается в несколько раз больше величины интервала между точками данных на оси х и определяется тем, насколько большое окно желательно использовать при сглаживании.

Функция supsmooth использует симметричную линейную процедуру сглаживания методом наименьших квадратов по правилу k-ближайших соседей, чтобы выполнить локальную линейную аппроксимацию исходных данных. В отличие от ksmooth, который использует фиксированную ширину полосы сглаживания для всех исходных данных, supsmooth адаптивно выбирает различную ширину полосы сглаживания для различных частей данных.

medsmooth(vy,n) Возвращает m-мерный вектор, созданный сглаживанием vy с помощью скользящей медианы. vy есть m-мерный вектор вещественных чисел. n - ширина окна, по которому происходит сглаживание, n должно быть нечетным числом, меньшим, чем число элементов в vy.

ksmooth(vx,vy,b) Возвращает n-мерный вектор, созданный сглаживанием при помощи гауссова ядра данных из vy, vy и vx - n-мерные векторы вещественных чисел. Параметр b управляет окном сглаживания и должен быть установлен в несколько раз больше величины интервала между точками х.

supsmooth(vx,vy) Возвращает n-мерный вектор, созданный локальным использованием симметричной линейной процедуры сглаживания методом наименьших квадратов по правилу k-ближайших соседей, в которой к выбирается адаптивно, vy и vx - n-мерные векторы вещественных чисел. Элементы vx должны быть расположены в порядке возрастания.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная курсовая работа позволила мне более близко познакомиться с пакетом системы компьютерной математики MathCAD. Мной были рассмотрены способы решения задач математической статистики с использованием данной программы.

Задачи исследования были максимально реализованы т.к. в курсовой работе были описаны все статистические функции, используемые в системе MathCAD, и рассмотрена работа некоторых из них на конкретных примерах.

Курсовая работа дает наглядное представление о сформулированной цели исследования: использование системы компьютерной математики MathCAD для решения задач математической статистики дает наиболее наглядное, простое, красивое (с точки зрения оформления) решение этих задач, по сравнению со всеми другими используемыми для этого средствами.

Все это позволяет утверждать целесообразность обучения студентов нашего ВУЗа решению задач математической статистики с использование системы компьютерной математики MathCAD (в настоящее время для этого используется MSExcel).



СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бидасюк Ю.М. MathsoftMathCAD 11. Самоучитель. - СПб: Диалектика, 2004. - 224 с.

2. Бутенков С.А. Методические указания к использованию системы MathCad в практических занятиях по курсу высшей математики. - Таганрог : ТРТУ, 1995. - 450 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 1972. - 368 с.

4. Кудрявцев В.М. MathCAD 8. - М.: ДМК, 2000. - 320 с.

5. Методические указания к лабораторным работам по математической статистике с применением ЭВМ./ И.П. Фирсов, О.С. Семерий. - Таганрог: ТРТУ, 2001. - 66 с

Размещено на Allbest.ru