Особенности компьютерного проецирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Инженерно-экономический институт

РАБОТА ПО УЧЕБНОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ

Особенности компьютерного проецирования

Выполнила: группа 5Скб-11

Проверила: Дорофеюк Е.В.

Отметка: 4

Череповец 2009

Глава 1. Способы проецирования

1.1 Общие понятия метода проецирования

Операция проецирования является основой построения любого изображения.

Метод проекций заключается в проецировании каждой точки геометрического объекта на плоскость.

Рассмотрим точку А - геометрический объект. Зададим некоторую плоскость - плоскость проекций и точку S, не принадлежащую - центру проекций (рис. 1.1). Спроецируем точку А на плоскость , проведем через точки S и А проецирующую прямую SA. Точка А пересечения Рис. 1.1.

проецирующей прямой SA с плоскостью есть проекция точки А. Плоскость и центр S - аппарат проецирования. В зависимости от выбора аппарата проецирования различают центральное и параллельное проецирование.

1.2 Центральное проецирование

Аппаратом центрального проецирования является плоскость проекции и центр проецирования точка S, причем S не принадлежит . Сущность способа в том, что все проецирующие лучи исходят из центра S.

Рассмотрим ряд произвольных точек и определим их центральные проекции (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Центральное проецирование.

Для этого из центра S через точки проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью проекций. A и B - проекции точек А и В на плоскость проекций .

Если для некоторой точки К проецирующий луч оказался параллелен плоскости проекций , то проекция К находится в несобственной точке, т.е. К удалена в бесконечность.

1.3 Параллельное проецирование

Аппаратом параллельного проецирования является плоскость проекций и заданное направление проецирования s. Центр проецирования S удален в бесконечность. Сущность способа в том, что все проецирующие лучи параллельны друг другу. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования.

Определим параллельные проекции точек A и B (рис. 1.3а).

Для этого через точки параллельно направлению проецирования проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью и найдем проекции точек A и B.

Обратим внимание, что каждой точке пространства соответствует проекция на плоскости. Однако каждой проекции на плоскости соответствует бесконечное множество точек пространства, т.е. проекция точки на плоскость не определяет ее положение в пространстве.

Рис. 1.3а. Параллельное проецирование.

Для однозначного определения точки в пространстве необходимо иметь два направления проецирования s1 и s2 (рис. 1.3б). Тогда две проекции на плоскость A1 и А2 однозначно определяют ее положение в пространстве.

Рис. 1.3б. Параллельное проецирование.

1.4 Основные свойства параллельного проецирования

При проецировании между геометрическим объектом и его проекцией существует геометрическая взаимосвязь. Некоторые свойства оригинала сохраняются и на пропорции. Такие неизменные свойства называются инвариантными (независимыми).

Перечислим их без доказательства.

1. проекция точки есть точка.

2. Проекция прямой есть прямая (в общем случае).

3. Не изменяется взаимная принадлежность геометрических объектов и их проекций.

4. Проекции отрезков взаимно параллельных прямых параллельны.

5. Проекции точки пересечения линии есть точки пересечения проекций этих линий.

6. При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а другая ей не принадлежит.

Глава 2. Точка

2.1 Ортогональная система двух плоскостей проекций. Эпюр Монжа

Ортогональное или прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного (косоугольного) проецирования. Направление проецирующих лучей в ортогональном проецировании перпендикулярно плоскости проекций.

Метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости носит название метода Монжа. Гаспар Монж (1746 - 1818 г.) - француз, основоположник начертательной геометрии.

Зададим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций 1 2 (рис. 2.1) 1 - горизонтальная плоскость проекций, 2 - фронтальная плоскость проекций. Линия пересечения плоскостей называется осью проекций и обозначается х12.

Рис. 2.1. Система 2х плоскостей проекций.

Четыре двухгранных угла, на которые плоскости делят пространство, называются четвертями.

Спроецируем точку А, произвольно выбранную в первой четверти, в данной системе плоскостей проекций. Направление лучей проецирования s1 перпендикулярно 1 и s2 перпендикулярно 2. А1 - горизонтальная проекция точки А, А2 - фронтальная проекция точки А. Проецирующие лучи АА1 и АА2 образуют плоскость, которая пересекает плоскость проекций по прямым АхА1 и АхА2. Эти прямые перпендикулярны оси x12 и называются линиями проекционной связи.

Повернем плоскость 1 вокруг оси x12 до совмещения с 2 на 90 в направлении, указанном на чертеже (рис. 2.1). Получим одну плоскость - плоскость чертежа или эпюр (фр. - чертеж) (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Эпюр точки.

Эпюром точки называется чертеж, на котором изображены две проекции точки, расположенные в проекционной связи.

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Если из проекции А1 и А2 восстановить перпендикуляры к плоскостям проекций, то точка А определится однозначно. Точка А в пространстве определена тремя координатами x, y, z, которые можно измерять на эпюре.

2.2 Ортогональная система трех плоскостей проекций

В практике для изображения геометрических объектов, решения некоторых задач возникает необходимость использовать третью плоскость проекций 3, перпендикулярную 1 и 2. 3 - профильная плоскость проекций. А3 - профильная проекция точки А.

Система трех плоскостей проекций делит пространство на 8 октантов, которые условно обозначают согласно рис. 2.3.

Рис. 2.3. Система 3х плоскостей проекций.

В первом октанте все координаты положительные.

Чтобы перейти к чертежу на плоскости, совместим все три плоскости в одну плоскость 2 по направлениям, указанным на чертеже. Плоскость 1 вращаем вокруг оси x12 на 90, плоскость 3 - вокруг оси z23 на 90 против часовой стрелки. При этом ось y раздваивается.

Получается комплексный чертеж точки (рис. 2.4).

На комплексном чертеже все проекции точки А1, А2, А3 находятся в проекционной связи. Каждая проекция точки определяется двумя координатами:

А1 - x, y1

А2 - x, z

A3 - y3, z

Рис. 2.4. Комплексный чертеж.

В данном примере x = 30, y = 25, z = 35. Третья профильная проекция точки может быть определена по линиям связи от проекций А1 и А2. Проекции А2 и А3 расположены на одной горизонтальной линии связи, которая определяется координатой z (отрезок OAz), а от горизонтальной проекции А1 проводим линию связи перпендикулярно оси y1, отрезок OAy (координата y) переносим против часовой стрелки на горизонтальную ось y3 и восставляем перпендикуляр (линию связи) до пересечения с горизонтальной линией связи от А2. Координата у от А1 переносится на горизонтальную ось у3 всегда против часовой стрелки, т.к. плоскость 3 при совмещении с 2 разворачивается против часовой стрелки.

Профильную проекцию А3 можно определить, откладывая координаты на соответствующих осях проекций с учетом знака.

Знаки координат зависят от того, в каком октанте расположена точка.

Координаты	Октанты
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	+	+	+	-	-	-	-
y	+	-	-	+	+	-	-	+
z	+	+	-	-	+	+	-	-

2.3 Точки разных углов пространства. Точки частного положения

Если точка не принадлежит ни одной плоскости проекций, она занимает общее положение.

Если точка расположена в плоскости проекций или на оси проекций, она занимает частное положение.

Рассмотрим ряд точек общего положения (рис. 2.5, 2.6).

Точка В (x = 30, y = 25, z = -35) - IV октант. Проекция В1 расположена ниже оси x на положительном направлении оси у. Траектория В2 расположена тоже ниже оси х на отрицательном направлении оси z. В3 определяется по линиям связи от В1 и В2 или по координатам y = 25, z = -35.

Точка С (x = -30, y = 40, z = 30) - V октант. Проекция С1 расположена справа от оси z на отрицательном направлении оси x и ниже оси х на положительном направлении оси у. Проекция В2 расположена выше оси х на положительном направлении оси

Рис. 2.5. Точки в 4 и 5 октанте.



Рис. 2.6. Комплексный чертеж точек в 4 и 5 октантах.

z. С3 определяется по линиям связи от С1 и С2 или по координатам y = 40, z = 30.

Рассмотрим точки частного положения, расположенные на плоскостях и осях проекций.

Если координата х = 0, то точка принадлежит плоскости 3.

Если координата у = 0, то точка принадлежит плоскости 2.

Если координата z = 0, то точка принадлежит плоскости 1.

Рассмотрим ряд точек частного положения (рис. 2.7, 2.8).

Рис. 2.7. Точки частного положения.

Точка D (x = 0, y = 30, z = 20) принадлежит плоскости 3 и совпадает с профильной проекцией D3, проекции D1 и D2 расположены соответственно на осях у и z.

Точка Е (x = 30, y = 0, z = 35) принадлежит плоскости 2 и совпадает с фронтальной проекцией Е2, проекции Е1 и Е3 расположены соответственно на осях x и z.

Точка К (x = 40, y = 25, z = 0) принадлежит плоскости 1 и совпадает с горизонтальной проекцией К1, проекции К2 и К3 расположены соответственно на осях x и у.

Точка L (x = 0, y = 5, z = 40) расположена на оси z.

проецирование ортогональный координата графический

Рис. 2.8. Комплексный чертеж точек частного положения.

Глава 3. Прямые линии

3.1 Проекции прямой линии

Прямая линия в пространстве может быть задана двумя точками. Поэтому эпюр прямой определяется эпюром принадлежащих ей точек.

Рассмотрим проекции прямой, заданной отрезком AB (рис. 3.1, 3.2).

Рис. 3.1. Прямая общего положения.

А1В1 - горизонтальная проекция прямой;.

А2В2 - фронтальная проекция прямой;.

А3В3 - профильная проекция прямой.

Две проекции прямой вполне определяют ее положение в пространстве. По рис. 3.1 каждая из проекций прямой определяет плоскость, перпендикулярную плоскости проекции (например, А1В1АВ, А2В2АВ), которые пересекаются по линии являющейся прямой АВ.



Рис. 3.2. Комплексный чертеж прямой общего положения.

Прямая, определяемая отрезком АВ, непараллельная ни одной из плоскостей проекций и является прямой общего положения. Проекции такой прямой расположены к осям проекций произвольно.

3.2 Проекции прямых линий частного положения

Прямые частного положения параллельны или перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

Прямые параллельные одной плоскости проекций называются прямыми уровня.

Прямые перпендикулярные какой-либо плоскости проекций, т.е. параллельны двум другим, называются проецирующими прямыми.

Рассмотрим прямые уровня.

1. Прямые параллельные плоскости 1 называются горизонталями (рис. 3.3).



Рис. 3.3. Горизонталь.

Все точки горизонтали одинаково удалены от плоскости 1, т.е. zA = zB = const. На эпюре A2B2 || x12 - фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х, A3B3 || y12 - профильная проекция горизонтали параллельна оси у.

На плоскость 1 горизонталь проецируется без искажения, т.е. горизонтальная проекция горизонтали A1B1 является натуральной величиной. Углы наклона горизонтали к плоскостям 2 и 3 проецируются без искажения ( и ).

2. Прямые параллельные плоскости 2 называются фронталями (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Фронталь.

Все точки фронтали одинаково удалены от плоскости 2, т.е. уA = уB = const. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси х12 (A1B1 || x12), профильная параллельна оси z (A3B3 || z23). На плоскость 2 фронталь проецируется без искажения, т.е. фронтальная проекция фронтали A2B2 является натуральной величиной, углы наклона фронтали к плоскостям 1 и 3 проецируются без искажения ( и ).

3. Прямые параллельные плоскости 3 называются профильными (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Профильная прямая.

Все точки профильной прямой одинаково удалены от плоскости 3, т.е. хA = хB = const. Горизонтальная и фронтальная проекции профильной прямой перпендикулярны оси х12 (или параллельны соответственно осям у и z).

На плоскость 3 профильная проекция проецируется без искажения, т.е. профильная проекция профильной прямой A3B3 является натуральной величиной. Углы наклона прямой AB к плоскостям 1 и 2 проецируются без искажения ( и ).

Таким образом, прямые линии уровня проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которая прямая параллельна.

Рассмотрим проецирующие прямые (рис. 3.6 - 3.8).



Рис. 3.6. Горизонтально проецирующая прямая.

Рис. 3.7. Фронтально проецирующая прямая.

Рис. 3.8. Профильно проецирующая прямая.

Для проецирующих прямых характерно, что проекция прямой на ту плоскость, которой прямая перпендикулярна, обращается в точку. Две другие проекции проецирующих прямых перпендикулярны осям. Проецирующие прямые называются горизонтально проецирующая ( 1), рис. 3.6; фронтально проецирующая ( 2), рис. 3.7; профильно проецирующая ( 3).

3.3 Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций (способ прямоугольного треугольника)

Прямая линия общего положения составляет с плоскостями проекций произвольные углы. Отрезок прямой общего положения проецируется на плоскости проекций с искажениями. Рассмотрим задачу на определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.

В пространстве отрезок АВ прямой общего положения отнесенный к двум плоскостям проекций представляет собой гипотезу двух прямоугольных треугольников АВС и АВD (рис. 3.9а). Одним катетом треугольников является одна из проекций отрезка, другим разность недостающих координат. Угол между гипотенузой (отрезком АВ) и катетом (проекцией) есть угол наклона прямой к соответствующей плоскости проекций. В треугольнике АВС катет АС = А1В1, катет ВС = zAB, - угол наклона отрезка АВ к плоскости 1. zAB = (zA - zB) - разность координат точек А и В до плоскости 1.

В треугольнике АВD катет BD = А2В2, катет AD = yAB, - угол наклона отрезка АВ к плоскости 2. yAB = (yA - yB) - разность координат точек А и В до плоскости 2. На эпюре (рис. 3.9б) легко построить треугольники равные рассмотренным.

Рис. 3.9а. Отрезок в пространстве.



Рис3.9б. Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.

Например, к проекции А1В1, как к катету прямоугольного треугольника, достраиваем от любой из точек (в нашем случае В1), второй катет, равный разности недостающих координат точек отрезка В1В0 = zAB. Разность координат z точек А и В измеряется на фронтальной проекции. Гипотенуза А1В0 прямоугольного треугольника А1В1В0 является натуральной величиной отрезка АВ, а угол между проекцией и гипотенузой - это угол наклона отрезка прямой к плоскости 1.

Аналогичные построения выполним на фронтальной проекции для определения угла наклона к плоскости 2.

3.4 Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой. Рассмотрим прямую а общего положения и построим ее следы (рис. 3.10).

Горизонтальный след прямой - это точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций 1. Горизонтальный след обозначается М (М1, М2, М3).

Фронтальный след прямой - это точка ее пересечения с фронтальной плоскостью проекций 2. Фронтальный след обозначается N (N1, N2, N3).

Профильный след прямой - это точка ее пересечения с профильной плоскостью проекций 3. Профильный след обозначается Р (Р1, Р2, Р3).

Следы прямой - это точки частного положения, принадлежащие какой-либо плоскости проекций. Одна из координат = 0.

Рис 3.10. Следы прямой.

Из этого следуют правила построения следов:

1. Для построения проекций горизонтального следа необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью х (определяется проекция М2) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси х до пересечения с горизонтальной проекцией прямой (определяется проекция М1 М).

2. Для построения проекций фронтального следа необходимо продолжить ее горизонтальную проекцию до пересечения с осью х (определяется точка N1) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси х до пересечения с фронтальной проекцией прямой (определяется точка N2 N).

3. Для построения проекций профильного следа необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью z (определяется точка Р2) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси z до пересечения с профильной проекцией прямой (определяется точка P3 P). Горизонтальная проекция Р1 определяется пересечением горизонтальной проекции прямой с осью у.

3.5 Взаимное расположение прямых

Две прямых в пространстве могут занимать различное положение друг относительно друга: пересекаться, быть параллельны и скрещиваться.

1. Пересекающиеся прямые (рис. 3.11) имеют общую точку, проекции которой К1 и К2 расположены на одной линии связи.

2. Параллельные прямые пересекаются в несобственной точке. На эпюре одноименные проекции параллельных прямых параллельны, т.е. если a b, то a1 b1, a2 b2, a3 b3 (рис. 3.12).

Для прямых общего положения их параллельность определяется двумя проекциями. Особый случай представляют собой прямые параллельные одной из плоскостей проекций. Например, горизонтальные и фронтальные проекции профильных прямых всегда параллельны. Для оценки взаимного положения следует построить их проекции на 3. В данном примере прямые АВ и CD параллельны.



Рис 3.11. Пересекающиеся прямые.

Рис. 3.12. Параллельные прямые.

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки, а точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи (рис. 3.13).

Исключение составляет случай, когда одна из скрещивающихся прямых профильная, и для оценки взаимного положения требуется построение проекции на плоскость 3. В данном примере BE и AC скрещиваются. Точки пересечения проекций скрещивающихся прямых лежащие на одной линии связи называются конкурирующими. По конкурирующим точкам определяется видимость элементов прямых на соответствующих плоскостях проекций.



Рис. 3.13. Скрещивающиеся прямые.

Видимость точек 1 и 2 на горизонтальной плоскости проекций определяется по фронтальной проекции, какая из точек по линии связи расположена выше (указано стрелкой). В данном случае точка 1, принадлежащая прямой а видима на 1.

Видимость точек 3 и 4 на фронтальной плоскости проекций определяется по горизонтальной проекции, какая из точек по линии связи расположена ближе к наблюдателю (указано стрелкой). В данном случае точка 3, принадлежащая прямой b видима.

Размещено на http://www.allbest.ru/