Компьютерное моделирование динамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Цель и назначение дипломной работы

Раздел 1 Общие положения о компьютерном моделировании

1.1 Методологические основы моделирования

1.1.1 Ключевые понятия предметной области

1.1.2 Классификация моделей, способы моделирования

1.2 Цели и задачи компьютерного моделирования

1.3 Теоретические аспекты математических основ моделирования

Раздел 2 Динамические системы

2.1 Общие сведения о динамических системах

2.1.1 Математическое моделирование динамических систем

2.1.2 Численные методы решения систем дифференциальных уравнений

2.2 Динамические системы типа хищник-жертва, обзор литературных источников по данной проблеме

Раздел 3.Компьютерное моделирование динамических систем

3.1 Общие сведения о компьютерном моделировании

3.2 Описание программного пакета WinSet

3.2.1 Окно программы WInSet

3.2.2 Приемы работы с графическими построениями для отображений и систем ОДУ

3.2.3 Сценарий работы

3.3 Описание программного пакета Mathlab

3.3.1 Типы данных Mathlab

3.3.2 Построение системы хищник-жертва

Заключение

Библиография

Приложение 1. Охрана труда

1 Анализ опасных и вредных производственных факторов

2 Разработка мероприятий по обеспечению безопасных и комфортных условий труда

Приложение 2. Построение сетевой модели выполнения дипломной работы, ее расчет и оптимизация

Введение

Современный период развития цивилизованного общества характеризует процесс информатизации, то есть переход от индустриального к информационному обществу. Информатизация общества - это глобальный социальный процесс, особенность которого состоит в том, что доминирующим видом деятельности в сфере общественного производства является сбор, накопление, продуцирование, обработка, хранение, передача и использование информации. В свою очередь, использование информации подразумевает ее грамотный анализ.

Одним из приоритетных направлений анализа информации является математическая теория абстрактных систем, исследующая основные свойства математических моделей реальных систем с помощью простых математических структур.

Данная дисциплина имеет достаточно длинную историю. Первоначально она появилась в учебных планах подготовки инженеров-электриков - «автоматика и телемеханика» в 70-е годы XX-го века и носила название «Математические основы кибернетики (МОК)». К концу 70-х годов название дисциплины претерпевает первое изменение, в результате чего она стала называться «Теоретическими основами кибернетики (ТОК)». В версии МОК, и в версии ТОК дисциплина, в основном, решала задачи математического обеспечения модельных представлений процессов управления и информационных процессов в канальных средах. В конце 80-х годов XX-го века название дисциплины претерпевает очередное изменение, в результате чего она начинает называться «Математическими основами исследования процессов управления (МОИПУ)». Из программы дисциплины МОИПУ изымаются положения, связанные с информационными процессами в канальных средах, которые переносятся в программу новой дисциплины «Прикладная теория информации (ПТИ)».

Последняя модификация названия дисциплины, в результате которой оно получило действующую в настоящий момент версию «Математические основы теории систем (МОТС)», произошла в начале 90-х годов XX-го века. С середины 90-х годов дисциплина МОТС вошла также в структуру учебного плана по разделу естественнонаучных дисциплин образовательного стандарта [9].

Компьютерное моделирование является одним из наиболее мощных средств исследования, в частности, сложных динамических систем. Как и любое компьютерное моделирование, оно дает возможность проводить вычислительные эксперименты с еще только проектируемыми системами и изучать системы, натурные эксперименты с которыми, из-за соображений безопасности или дороговизны, не целесообразны. В тоже время, благодаря своей близости по форме к физическому моделированию, это метод исследования доступен более широкому кругу пользователей.

В настоящее время, когда компьютерная промышленность, предлагает разнообразнейшие средства моделирования, любой квалифицированный инженер, технолог или менеджер должен уметь уже не просто моделировать сложные объекты, а моделировать их с помощью современных технологий, реализованных в форме графических сред или пакетов визуального моделирования.

Таким образом, мы можем сделать вывод об актуальности рассматриваемой проблемы. Этим обуславливается выбор темы для данной дипломной работы.

Объектом исследования являются динамические системы типа хищник-жертва.

Предметом исследования данной дипломной работы является компьютерное моделирование динамических систем.

Цель и назначение дипломной работы

Цель дипломной работы заключается в рассмотрении особенностей построения динамических систем с использованием программных пакетов WInSeT и Mathlab.

Поставленная цель подразумевает решение следующих задач:

изучить и проанализировать литературные источники по теме дипломной работы;

изучить сущность и структуру математического моделирования;

проанализировать особенности математического моделирования с использованием компьютеров;

произвести компьютерное моделирование динамических систем типа хищник-жертва.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы и приемы: методы числительного и логического анализа; теоретический обзор и анализ литературных источников о методах численного интегрирования дифференциальных уравнений, математических моделей теории борьбы за существование; интерпретационные методы (компьютерное моделирование, вычислительный эксперимент).

Практическая значимость данной дипломной работы заключается в возможности использования полученных экспериментальных данных в рамках базового курса «математические основы теории систем» для студентов технических специальностей с целью проведения лабораторного практикума.

Цели и задачи дипломной работы определили ее структуру. Дипломная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, двух приложений и списка литературы.

Во введении обосновывается выбор темы, устанавливается ее актуальность, формулируются цели, задачи и методы исследования и определяется практическая значимость дипломной работы.

В первом разделе раскрывается сущность понятия модели, приводится классификация моделей и способов моделирования, так же определяются цели моделирования.

Во втором разделе дается общее введение в тему «динамические системы», рассматриваются динамические системы типа хищник-жертва, а так же проводится обзор литературных источников по данной проблеме.

В третьем разделе обобщаются принципы построения компьютерных моделей динамических систем типа хищник-жертва, приводятся рекомендации по построени. данных моделей средствами программных пакетов WInSeT и Mathlab, производится построение моделей различной степени сложности, а так же делается вывод об эффективности и целесообразности использования обоих программных пакетов для моделирования динамических систем.

В заключении подводятся итоги проделанной работы, даются рекомендации и намечаются перспективы дальнейшей работы по совершенствованию динамических систем.

Общий объём дипломной работы составляет 103 страницы, библиографический список включает 18 источников. Работа содержит 29 рисунков, 2 схемы и 1 диаграмму.

Раздел 1. Общие положения о компьютерном моделировании

1.1 Методологические основы моделирования

Научное исследование есть процесс познания определенной предметной области, объекта или явления с определенной целью.

Процесс исследования осуществляется субъектом и заключается в наблюдении свойств объектов и выполнении действий с целью выявления и оценки важных с точки зрения субъекта-исследователя закономерных отношений между показателями данных свойств.

Моделирование является одним из наиболее эффективных методов исследования. Оно заключается в построении и изучении специальных объектов (моделей), свойства которых подобны наиболее важным, с точки зрения исследователя, свойствам исследуемых объектов (оригиналов). В широком смысле моделирование представляет собой научную дисциплину, в которой изучаются методы построения и использования моделей для познания реального мира.

В данном разделе рассмотрим основные положения науки о моделировании объектов и приведем определения наиболее существенных понятий.

1.1.1 Ключевые понятия предметной области

Предметная область - это мысленно ограниченная область реальной действительности или область идеальных представлений, подлежащая описанию (моделированию) и исследованию. Предметная область состоит из объектов, различаемых по каким-либо признакам (свойствам) и находящихся в определенных отношениях между собой, или взаимодействующих каким-либо образом.

В нашем представлении объект - это все что мы различаем как нечто целое, реально существующее, или возникающее в нашем сознании и обладающее свойствами, значения которых позволяют нам однозначно распознавать это нечто. Объект, на котором сосредоточивается внимание субъекта с целью исследования, называется объектом исследования.

Объекты воспринимаются и различаются субъектами лишь постольку, поскольку они обладают характерными свойствами или способностями.

Свойством называется характерная особенность объекта, которая может быть замечена и оценена субъектом, например, вес, цвет, длина, плотность и тому подобное. Для оценки исследуемого свойства объекта субъект устанавливает определенную меру называемую показателем свойства. Для каждого показателя определяется множество значений (уровней, или градаций меры свойства), которые присваиваются ему в результате оценивания свойства. Следовательно, свойство объекта является реальностью, а показатель - субъективной мерой этой реальности, если, конечно, речь идет о реальных объектах.

Показатели всеобщих свойств материальных объектов, таких как пространство и время называются основными показателями. Подавляющее большинство показателей других свойств выражаются через показатели этих основных свойств. Поэтому единицы измерения основных показателей служат основой для построения стандартной системы единиц измерения физических величин и называются основными единицами измерения.

Выражение показателя некоторого свойства через основные единицы измерения, принятые в определенной стандартной системе единиц (мер), называется размерностью данного показателя.

С точки зрения субъекта свойства делятся на внутренние (собственные) свойства объектов, показатели этих свойств называются параметрами, и внешние, представляющие собой свойства среды, связанные некоторыми отношениями с параметрами данного объекта. Показатели свойств внешней среды, влияющих на параметры исследуемого объекта, называются факторами.

Свойства объектов выявляются только при их взаимодействии, или при сопоставлении объектов друг с другом. Сопоставление (комбинация) значений показателей, наблюдаемых свойств определенных объектов называется отношением. Говорят, что отношение истинно, если оно подтверждается практическим экспериментом, или логическим выводом. Отношение считается ложным, если оно опровергается практической проверкой, или логическим выводом. Иначе отношение считается неопределенным. Понятия "истинно", "ложно", "неопределенно" являются логическими значениями любого отношения, результатами субъективной его оценки.

Отношение называется функциональным (функцией F), если оно представляет собой однозначное отображение множества X значений показателя некоторого свойства в множество Y значений показателя того же, или иного свойства. Формально это записывают как F:= X * Y, или как F(X)=Y, или F * X * Y, где “* ” декартово произведение множеств.

Взаимодействие объектов определяется по результатам изменения значений показателей наблюдаемых свойств этих объектов. Поэтому каждому действию, или взаимодействию, мы присваиваем определенный результат. Это может быть значение, или определенная комбинация значений, показателей свойств взаимодействующих объектов. Действия над значениями показателей свойств объектов, выполняемые по определенным правилам и приводящие к предполагаемому результату, называются операцией или процедурой.

Значения показателей свойств объектов обозначаются символами из некоторого заранее определенного множества А, называемого алфавитом.

Множество объектов, взаимосвязанных между собой определенными отношениями, и выполняющих определенную общую для них целевую функцию или имеющих общее предназначение, называется системой.

Система понятий и логических отношений между ними, отражающая какую-нибудь сторону реальной действительности, называется знаниями.

Основным элементом любого знания является понятие, представленное на определенном языке. Понятие в процессе приобретения знаний и в процессе мышления субъекта имеет три значения:

семантическое, отражающее значения свойств объектов;

синтаксическое, связывающее понятия в выражения, предложения и тексты, имеющие определенный семантический смысл и поэтому представляющие знания о предметной области на определенном языке;

символическое, представляющее понятия, как слова и формальные выражения, составленное из символов алфавита используемого языка.

Выражения, предложения и фразы со своими значениями образуются при помощи грамматики языка, используемого субъектом для представления знаний.

Грамматика представляет собой систему правил, определяющих логические отношения между понятиями с учетом их семантических, синтаксических и символических значений.

Система, состоящая из алфавита А, строго определенных множеств отношений (G), операций (Q) и предназначенная для символического описания объектов и систем определенного класса, называется формальной системой. Такие системы используются в качестве языков математического моделирования.

Значения показателей свойств меняются с течением времени. В результате этого происходит смена состояний объектов. Акт смены состояний объекта, отнесенный к определенному промежутку времени, называется событием, а последовательность взаимосвязанных событий, происходящих на некотором интервале времени, называется процессом.

1.1.2 Классификация моделей, способы моделирования

Моделью объекта называется любой другой объект, отдельные свойства которого полностью или частично совпадают со свойствами исходного.

Следует понимать, что исчерпывающе полной модель быть не может. Она всегда ограничена и должна лишь соответствовать целям моделирования, отражая ровно столько свойств исходного объекта и в такой полноте, сколько необходимо для конкретного исследования.

Математическая модель - это образ исследуемого объекта, создаваемый в с помощью определенных формальных (математических) систем с целью изучения (оценки) определенных свойств данного объекта.

Компьютерная модель - это программная реализация математической модели, дополненная служебными программами (Например, графическими). Данная модель имеет две составляющие - программную и аппаратную. Программная составляющая так же является абстрактной знаковой моделью.

Компьютерная модель проявляет свойства физической модели, когда она, а точнее ее абстрактные составляющие - программы - интерпретируются физическим устройством, компьютером. В работе совокупность компьютера и моделирующей программы называется «электронным эквивалентом изучаемого объекта». Компьютерная модель, как физическое устройство может входить в состав испытательных стендов и виртуальных лабораторий. Этот вид моделей, сочетающих в себе абстрактные и физические черты, обладает рядом полезных свойств. Главное из них - простота создания и модификации модели. Заново пишется и изменяется только программа, в то время как аппаратура компьютера остается неизменной. Кроме того, следует отметить практически неограниченную функциональную сложность модели и высокую точность получаемых результатов. Именно поэтому в настоящее время под моделированием почти всегда понимается компьютерное моделирование.

Существуют разнообразные классификации моделей, опирающиеся на различные основания: по области знания, по области или цели исследования, по основанию отображения свойств и другие. На сегодняшний момент классификации различных авторов по одному и тому же основанию могут отличаться. Часто они отличаются друг от друга только используемой терминологией.

Модели можно условно разделить на две группы: материальные и идеальные. Моделирование, таким образом, подразделяется на предметное и абстрактное. Основными разновидностями предметного моделирования являются физическое и аналоговое моделирование.

Физическим принято называть такое моделирование, при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенная или уменьшенная копия. Эта копия создается на основе теории подобия, что и позволяет утверждать. Что в модели сохранились требуемые свойства. В физических моделях помимо геометрических пропорций может быть сохранен материал или цветовая гамма исходного объекта, а также любые другие свойства, необходимые для конкретного исследования.

Аналоговое моделирование основано на замене исходного объекта объектом другой физической природы, обладающим аналогичным поведением.

И физическое, и аналоговое моделирование в качестве основного способа исследования предполагают проведение натурального эксперимента с моделью, но этот эксперимент оказывается в каком-то смысле более привлекательным, чем эксперимент с исходным объектом.

На идеи моделирования базируется любой метод научного исследования, как теоретический, так и экспериментальный. Наиболее общим делением всех видов моделей будет деление по методу научного исследования (по закону функционирования). Экспериментальный метод познания использует материальное моделирование (оно же - предметное, натурное, физическое). Материальные модели функционируют по законам объективной природы. Теоретический метод познания использует мысленное моделирование (оно же - идеальное, как противоположность материального, оно же - логическое), так как модели, полученные таким методом, функционируют по законам логики в сознании человека). Мысленное моделирование так же называется информационным моделированием. Информационная модель противопоставляется материальной и определяется как «совокупность информации, характеризующей свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром». Но существует и другое понимание термина «информационная модель». Изменение ранее сложившегося значения термина может привести к терминологической путанице.

Рассмотрим ранее появившиеся определения. В словаре, основанном на многих авторитетных источниках, информационная модель определяется как «формализованное описание информационных структур и операций над ними» и отождествляется с «моделью данных», а также более узко - как «параметрическое представление процесса циркуляции информации, подлежащей автоматизированной обработке в системе управления». Требование формализации уже подразумевает более узкое понимание, чем идеальная модель. Аналогичное высказывание сделали А.В. Могилев и Е.К. Хеннер [4,5] . Учитывая сказанное, на первый взгляд уместнее было бы именовать модели, используемые при теоретическом методе познания, мысленными (отталкиваясь от определения модели) или логическим (по имени науки, изучающей формы и законы мышления). Однако в последнее время употребление понятия «информационная модель» в значении мысленной модели становится уже привычным. Старое значение этого понятия целиком переносится на понятие «модель данных», которое его, по сути, сдублировало. Таким образом, будем считать, что все модели по закону функционирования делятся на материальные и информационные

Информационная (идеальная) модель - это в широком смысле любой образ объекта, мысленный или условный [6]. Мысленное моделирование сводится к информационным процессам. Форма существования информации определяется двумя факторами: способом кодирования (алфавитом и комбинаторикой) и материальным носителем. Алфавит кодирования отчасти определяет степень изученности моделируемого объекта. Из этого следует, что при классификации мысленных моделей важно различать их именно по способу представления (схема 1).

Схема 1

Интуитивное моделирование - это мысленное представление об объекте. Алфавитом кодирования информации для интуитивных моделей является система понятий, а носителем - нервная система человека, мозг.

Понятие интуитивного моделирования используется, при невозможности дать описание используемой модели, хотя предпринимаются попытки описать некое событие с использованием этой модели. Жизненный опыт каждого человека - его интуитивная модель окружающего мира; музыкальная тема в мозгу композитора - интуитивная модель музыкального произведения.

Образное моделирование - это выражение свойств оригинала с помощью наглядных чувственных образов, описанных естественным языком или изображенных рисунком. Носитель информации может находиться и вне человека. Примеры: художественные полотна, фотографии, кинофильмы, устные рассказы, многие физические модели: модель атома, предложенная Резерфордом и Бором, другие шарики молекул в кинетической теории газов. Поскольку при научном моделировании понятия чаще всего кодируются словами и рисунками, то этот вид моделирования еще называют иконическим или вербальным. Представляется возможным считать вербальное и иконическое моделирование разновидностями образного моделирования по способу кодирования (по способу представления).

Образно-знаковое моделирование использует знаковые образы какого-либо вида: схему, граф, чертеж, график, план, карту и т.п. Примеры: школьная карта, план квартиры, столбчатая диаграмма соотношения голосов избирателей, семантическая сеть понятий, родословное дерево, блок-схема алгоритма, классификационная схема. Глобус можно рассматривать как совокупность двух моделей в одном реальном объекте: материальную подобную модель земного шара как физического тела и информационную образно-знаковую модель расположения чего-либо на его поверхности.

Знаковое (символическое) моделирование использует условные знаки, специальные символы, буквы, цифры и предусматривает совокупность законов оперирования с выбранными знаками. Примеры: общая схема описания системы языка или какой-либо его подсистемы, физические или химические формулы, математические выражения и уравнения, теория музыки, нотная запись и т.д. Из этого видно, что образно-знаковое моделирование является промежуточным между образным и знаковым в различной степени для каждой конкретной модели имеет черты и того и другого.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование. Абстрагируясь от физической природы объектов, математика изучает идеальные объекты. Далее остановимся подробнее на математическом моделировании и его важнейшей разновидности - компьютерном моделировании.

1.2 Цели и задачи компьютерного моделирования

Модель создается, главным образом, ради исследований, которые на реальном объекте проводить либо невозможно, либо неудобно, либо экономически невыгодно. Выделим несколько основных целей создания моделей, затем остановимся подробнее на типах исследования. Итак, цели компьютерного моделирования:

модель как средство осмысления помогает выявить взаимозависимости переменных, характер их изменения во времени, найти существующие закономерности. При составлении модели становится более понятной структура исследуемого объекта, становятся очевидными важные причинно - следственные связи. В процессе моделирования постепенно происходит разделение свойств исходного объекта на существенные и второстепенные с точки зрения поставленных к модели требований. В работе с исходным объектом необходимо выделить только те черты, которые имеют непосредственное отношение к стороне функционирования, представляющей интерес для исследования;

модель как средство прогнозирования позволяет научиться предсказывать поведение объекта и управлять им, испытывая различные варианты управления на модели. Эксперементировать с реальным объектом бывает неудобно и даже опасно. Эксперимент может оказаться невозможным в силу следующих причин: большой продолжительности эксперимента, риска повреждения, либо уничтожения объекта, отсутствия объекта, когда он находится на стадии проектировки;

построенные модели могут использоваться для нахождения оптимальных соотношений параметров, а также для исследования особых (критических) режимов работы реального объекта;

также модель может в некоторых случаях заменять исходный объект при обучении, например, использоваться в качестве тренажера для подготовки пользователей к последующей работе в реальных условиях, или выступать в качестве исследуемого объекта в виртуальной лаборатории. Модели, реализованные в виде исполняемых модулей, применяются и как имитаторы объектов управления при стендовых испытаниях систем управления, и, на ранних стадиях проектирования, заменяют сами будущие аппаратно реализуемые системы управления.

Процесс исследования заканчивается, когда исследователь находит совокупность значений параметров объекта, удовлетворяющую заданному критерию с заданной достоверностью. Проведение таких исследований называется вычислительным экспериментом.

Его можно представить как последовательность следующих основных шагов:

Выделение существенных для данного исследования свойств исходного объекта и построение математической модели.

Проектирование и отладка компьютерной модели.

Оценка адекватности построенной компьютерной модели. Как правило, оценка адекватности приводит к пересмотру требований к модели и возврату на этап 1 - модель строится заново с учетом внесенных изменений.

Исследование модели.

Анализ полученных результатов. Подведение итогов моделирования не исключает возможных дополнительных изменений в случае, когда запланированных экспериментов оказалось недостаточно для завершения работ.

Построение математической модели, как правило, выполняется вручную. Приведем пример построения:

Пусть некоторый объект Q обладает некоторым интересующим нас свойством C0. Для получения математической модели, описывающей данное свойство необходимо:

Определить показатель данного свойства (т.е. определить меру свойства в некоторой системе измерения).

Установить перечень свойств С1,...,Сm,, с которыми свойство С0 связано некоторыми отношениями (это могут быть внутренние свойства объекта и свойства внешней среды, влияющие на объект).

Описать в избранной форматной системе свойства внешней среды, как внешние факторы х1,...,хn, влияющие на искомый показатель Y, внутренние свойства объекта, как параметры z1,...,zr, а неучтенные свойства отнести к группе неучитываемых факторов (w1,...,ws).

Выяснить, если это возможно, закономерные отношения между Y и всеми учитываемыми факторами и параметрами, и составить математическое описание (модель).

В обобщенном виде схема такого описания (моделирования) показана на рис. 1.

Рис. 1. Моделирование образа используемого объекта

Как показано на этом рисунке реальный объект характеризуется следующим функциональным отношением между показателями его свойств:

Y=f(x1,...,xn,z1,...,zr,w1,...,ws). (1.1)

Однако в модели отображаются только те факторы и параметры оригинального объекта, которые имеют существенное значение для решения исследуемой проблемы. Кроме того, измерения существенных факторов и параметров практически всегда содержат ошибки, вызываемые неточностью измерительных приборов и незнанием некоторых факторов. В силу этого математическая модель является только приближенным описанием свойств изучаемого объекта. А математическую модель можно определить еще и как абстракцию изучаемой реальной сущности.

Модели обычно отличаются от оригиналов по природе своих внутренних параметров. Подобие заключается в адекватности реакции Y модели и оригинала на изменение внешних факторов x1,...xn. Поэтому в общем случае математическая модель представляет собой функцию

Y' = f(x'1,...,x'n,p1,...,pm), (1.2)

где p1,...,pm внутренние параметры модели, адекватные параметрам оригинала.

В зависимости от применяемых методов математического описания изучаемых объектов (процессов) математические модели бывают аналитические, имитационные, логические, графические, автоматные и т.д.

Главным вопросом математического моделирования является вопрос о том, как точно составленная математическая модель отражает отношения между учитываемыми факторами, параметрами и показателем Y оцениваемого свойства реального объекта, т.е. на сколько точно уравнение (1.2) соответствует уравнению (1.1).

Иногда уравнение (1.2) может быть получено сразу в явном виде, например, в виде системы дифференциальных уравнений, или в виде иных явных математических соотношений.

В более сложных случаях вид уравнения (1.2) неизвестен и задача исследователя состоит, прежде всего, в том, чтобы найти это уравнение. При этом к числу варьируемых параметров х'1,...,х'n, относят все учитываемые внешние факторы и параметры исследуемого объекта, а к числу искомых параметров относят внутренние параметры модели p1,...,pm, связывающие факторы х'1,...,х'n, с показателем Y' наиболее правдоподобным отношением. Решением этой проблемы занимается теория эксперимента. Суть этой теории состоит в том, чтобы, основываясь на выборочных измерениях значений параметров х'1,...,х'n, и показателя Y', найти параметры p1,...,pm, при которых функция (1.2) наиболее точно отражает реальную закономерность (1.1).

Кроме уравнений и формул в математических моделях часто участвуют зависимости, полученные экспериментально и задаваемые в виде таблиц. В этом случае дополнительно приходится изучать влияние приведенных зависимостей на свойства искомого решения. На данном этапе целесообразно стремиться к тому, чтобы, учитывая все существенные факторы, модель, тем не менее, была как можно проще.

Далее необходимо построить компьютерную модель. В настоящее время существует множество систем или пакетов моделирования, автоматизирующих процесс перевода математической модели в моделирующую программу (жирной стрелкой на рис.2). В системе моделирования математическая модель записывается на некотором формальном входном языке моделирования и затем автоматически, при помощью соответствующего транслятора, переводится на машинный язык.

Часто в качестве промежуточного используется какой-либо универсальный язык программирования ( Fortran, C, Java, Pascal). В этом случае трансляция производится в два этапа: 1) описания на языке моделирования транслируется в промежуточный текст на языке программирования; 2) компиляция полученного текста компилятором используемого языка программирования.



Рис.2 Построение компьютерной модели

В моделирующую программу помимо сгенерированного кода, необходимого для реализации конкретной модели, включают уже готовые модули поддержки периода исполнения, предоставляемые системой моделирования (библиотеки, графические функции). Система моделирования должна также автоматически переводить входные данные модели, записанные в форме, удобной для анализа человеком, в машинную форму представления и аналогичную операцию производить над входными данными в машинной форме; то есть интерпретировать входные и выходные данные.

Оценка адекватности компьютерной модели предполагает в качестве обязательного этапа проведение специальных численных экспериментов, результаты которых заранее известны. Для проверки правильности модели могут использоваться известные экспериментальные зависимости, существующие оценки решения, а также вручную найденные частные решения модельных уравнений.

В результате проведения этих экспериментов выявляются ошибки и неточности математической модели. Неточность в демонстрируемом поведении может означать, что неучтен какой-либо существенный фактор. После внесения исправлений придется повторить все эксперименты с моделью заново. Современные системы моделирования позволяют совершать эти многократно повторяющиеся действия гораздо быстрее.

Воспроизведение поведения моделируемой системы на интервале модельного времени [0,Т] при фиксированных значениях параметров модели называются элементарным опытом или выполнением модели. Результатом выполнения модели является нахождение значений всех переменных модели в конечный момент времени Т и построение таблиц значений переменных на указанном интервале для промежуточных значений времени.

Конечный момент может быть косвенно привязан к какому-то конкретному событию. Естественно, что в большинстве случаев для достижения искомого результата одного опыта или однократного выполнения модели недостаточно. Выполнение модели так же используется для решения задач параметрической оптимизации.

Отдельной задачей является нахождение особых значений коэффициентов уравнений модели, качественно меняющих характер ее поведения. Такие исследования обычно проводят для установления, какой режим является для модели аварийным и может привести к краху.

Успех исследования во многом зависит от возможности автоматизировать вычислительный эксперимент. Современные пакеты моделирования организуют его, опираясь на концепцию виртуального стенда. Вычислительный эксперимент можно трактовать как работу на виртуальном испытательном стенде, где размещаются блоки моделируемой системы, а также виртуальная измерительная аппаратура.

Из описания процесса вычислительного эксперимента следует, что моделирование - процесс циклический, в котором одни и те же операции повторяются многократно. Эта цикличность обусловлена двумя обстоятельствами: технологическими, связанными с ошибками, допущенными на каждом из этапов моделирования; и идеологическими, связанными с уточнением модели, либо отказом от нее для перехода к другой модели. Дополнительные циклы также могут появиться, если потребуется расширение области применения модели, или изменение ее исходных данных.

1.3 Теоретические аспекты математических основ моделирования

Выше уже упоминалось о том, что математическая модель является не самоцелью, а только средством для решения определенной проблемы. В связи с этим необходимость создания математической модели вытекает из выбираемой исследователем методологии решения проблемы. Для решения сложных проблем обычно применяют так называемый системный поход, в котором моделирование является основным методом исследования. В целом системный подход предполагает следующие этапы решения проблемы [7]:

изучение предметной области (обследование),

выявление и формулирование проблемы,

математическая (формальная) постановка проблемы,

натурное и/или математическое моделирование исследуемых объектов и процессов,

статистическая обработка результатов моделирования,

формулирование альтернативных решений,

оценка альтернативных решений,

формулирование выводов и предложений по решению проблемы.

В общем случае процесс исследования можно представить в виде следующей формальной системы:

Y(t) = f [X(t), И(t)] - функция выходов,

И(t) = g [X(t), И(t-1)] - функция переходов (2.1)

X(t) = u [Y(t-1)] - функция управления процессом.

Здесь X(t) - множество значений входных факторов в момент времени t, О(t) - множество значений параметров, характеризующих различные внутренние состояния сложной системы в этот же момент времени, Y(t) и Y(t-1) - множества значений измеряемых показателей изучаемых свойств системы в обозначенные моменты времени. Первые два уравнения моделируют суть изучаемого процесса, а третье уравнение является математическим описанием (моделью) процесса воздействий исследователя на изучаемую систему. Исследователю, как правило, доступно только определенное подмножество Y'(t) наблюдаемых параметров и весьма ограниченное подмножество X'(t) управляемых факторов. Его представление о внутренних состояниях исследуемой системы также ограничено некоторым подмножеством.

Поэтому в представлении исследователя математическая модель исследуемой им системы имеет вид:

f ` [X'(t), И'(t)] = Y”

g ` [X'(t), И'(t)] = И'(t+1) (2.2)

В целом формализованная схема процесса исследования сложной системы показана на рис. 3.



Рис. 3. Схема обобщенной математической модели процесса

Таким образом, необходимость математического моделирования является основой системного подхода к решению сложных проблем. Разработка математических моделей представляет собой сложную исследовательскую задачу, процесс решение которой состоит из следующих этапов:

концептуальное проектирование,

эскизное проектирование,

техническое проектирование,

рабочее проектирование,

постановка и проведение модельного эксперимента,

статистическая обработка результатов моделирования,

формирование альтернативных решений исследуемой проблемы.

В зависимости от изучаемой предметной области, от решаемой проблемы, от математической подготовки исследователя и требований заказчика математические модели могут иметь различные формы и способы представления. В простейшем случае модель может представлять собой однофакторную линейную или нелинейную функцию с постоянными числовыми коэффициентами (параметрами модели, отражающими внутренне состояние изучаемой системы). В этом случае показатель эффективности системы y'(t) является однозначной неслучайной функцией от определенного фактора x'(t).

Более сложным классом систем с точки зрения теории математического моделирования являются, так называемые, системы массового обслуживания. К ним относятся любые системы, в которых существует один или несколько потоков материальных или информационных объектов, которые обрабатываются определенным способом. Реальными системами массового обслуживания являются, например: телефонные станции, билетные кассы, информационно-вычислительные системы, автозаправочные станции и им подобные.

При исследовании и моделировании систем массового обслуживания в качестве основных параметров, характеризующих функционирование этих систем, обычно рассматривают временные показатели: время наступления некоторого события - ti, интервалы времени между событиями - li, интенсивность событий - mi и соответствующие этим величинам распределения вероятностей. Показателями эффективности функционирования систем массового обслуживания обычно являются:

для систем c отказами - среднее число отказов R(t0, t) за время (t0, t0 + t), вероятность P(t0, t) того, что за определенное время (t0, t0 + t) в системе не будет ни одного отказа,

для систем с ожиданиями обслуживания показателями эффективности также являются: среднее время ожидания заявки в очереди, среднее количество заявок в очереди, среднее время обслуживания одной заявки и тому подобные величины.

Способы математического моделирования систем массового обслуживания в настоящее время достаточно хорошо изучены и часто применяются на практике. Имеются аналитические формулы для оценки эффективности обслуживания в системах с простейшими (Пуассоновскими) потоками заявок. Они названы по имени их автора формулами Эрланга.

Еще более сложными для исследования являются системы, функционирование которых представляет собой неоднородные разветвляющиеся процессы. К таким системам относятся, например: универсальные ЭВМ, центры и пункты управления различного назначения, сложные технические комплексы, в том числе и ракетно-космические. Эти системы имеют сложную внутреннюю структуру, состоящую из элементов (подсистем), выполняющих различные функции, подчиненные некоторой единой цели (целевой функции). Математическая модель сложной системы состоит из математических моделей ее подсистем и математической модели процесса взаимодействия между ними. Цели и задачи сложной системы достигаются в результате выполнения определенной композиции, состоящей из множества целевых функций ее подсистем, то есть:

F(S) = Ф[F1(S1), F2(S2), . . ., Fn(Sn)], (3)

где S - сложная система, S1, ..., Sn - ее подсистемы, F1, ..., Fn - цели функционирования соответствующих подсистем, Ф - математическое (формальное) описание закономерных связей между перечисленными целями.

Предполагается, что:

подсистема Si сложной системы, как и вся система S в целом, функционирует во времени, и в каждый момент времени t она находится в одном из возможных состояний Si(t);

с течением времени подсистема и система в целом под воздействием внешних и внутренних факторов переходят из одного состояния в другое;

в процессе функционирования системы (или подсистемы) она взаимодействует с внешней средой и другими системами, получая от них входной поток X(t) и выдавая выходной поток Y(t) событий, энергетических или материальных объектов.

Эффективность функционирования системы S, как правило, оценивается условной вероятностью достижения цели F(S) к заданному моменту времени. Целью функционирования системы S обычно является достижение определенного результата: обслуживание заданного количества заявок, поражение заданных объектов, решение заданных задач, производство определенного продукта и так далее. Существует несколько способов математической формализации таких процессов. К ним относятся: Марковские процессы, сети Петри, семантические сети, конечные автоматы и алгоритмы. Перечисленные математические формализмы хорошо изучены и достаточно полно изложены в литературе. Весьма эффективным методом математического моделирования является построение математических моделей сложных систем на основе типовых алгоритмических процессов. Описание алгоритмического процесса (3) позволяет воспроизвести этот процесс на ЭВМ с имитацией наиболее существенных событий, происходящих в системе. Замечательно то, что имитация может быть проведена в любом масштабе времени и с различными законами распределения. Порядок проведения эксперимента, перечень входных факторов, измеряемых величин и порядок обработки результатов моделирования определяется на этапе планирования модельного эксперимента. В результате модельного эксперимента получают оценки нескольких альтернативных вариантов решения исследуемой проблемы, или же получают единственное оптимальное решение проблемы, если оно существует.

Раздел 2. Динамические системы

2.1 Общие сведения о динамических системах

Первоначально термин динамическая система стал использоваться в механике. Под динамической системой понималась механическая система с конечным числом степеней свободы, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Со временем круг управляемых объектов расширился и стал включать не только процессы с механическим движением, но также электрические, электромагнитные, тепловые, химические - словом, любые физические системы произвольной природы, состояния которых изменяются во времени. Но термин сохранился, поскольку сохранилась форма уравнений. При этом расширились понятия сопутствующих терминов - координатами стали называть не только геометрические координаты, но и значения всех физических показателей состояния, движением - не только геометрическое перемещение, но любой процесс изменения этих показателей [14].

В настоящее время, говоря о динамической системе, подразумевают:

систему обыкновенных дифференциальных уравнений

= f(x), x M Rn

относительно неизвестной вектор-функции времени x=x(t), предполагая, что каждое решение данной системы определено при всех t?0 - динамическая система с непрерывным временем (поток);

систему разностных уравнений

xk+1= f(xk), xk M ? Rn,

где (k=0,1,2,...) - динамическая система с дискретным временем (каскад).

При этом пространство Rn называют пространством состояний или фазовым пространством системы. Фазовое пространство системы - это совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Аргументами входных и выходных сигналов системы могут служить время, пространственные координаты, а также некоторые переменные, используемые в преобразованиях Фурье, Лапласа и других. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство Rn, множество моментов времени T и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени T может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Основное содержание теории динамических систем -- это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репелеры) множеств (многообразий).

Важнейшие понятия теории динамических систем -- это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы).

Основные свойства динамических систем:

Целостность и членимость - указывает на то, что система должна быть делима на составные части (элементы, подсистемы), которые образуют, взаимодействуя друг с другом, единое целостное множество. При этом данное множество элементов должно быть совместимо, в смысле устойчивого функционирования всех элементов, образующих систему, на заданном интервале времени.

Второе свойство - наличие достаточно сильных и длительно действующих (устойчивых, стабильных) взаимных связей (отношений) между элементами или их свойствами. Причём сила этих внутренних связей должна быть заведомо больше, чем сила внешних связей этих же элементов с другими элементами, не входящими в данную систему и относящимся к её окружающей среде, что позволяет отличать систему от простой суммы (набора) элементов.

Упорядоченность (организация) системы указывает на объективное существование в ней упорядоченного (по определённым правилам и законам) распределения элементов и связей между ними в пространстве и времени.

Наличие интегративных качеств подразумевает, что в системе достигается такое качество (свойство), которое присуще системе в целом и не имеется ни у одного из её элементов в отдельности: свойство системы не определяется простой суммой свойств её отдельных элементов и связей между ними.

Любая система имеет цель функционирования. Под целью здесь понимается либо желаемое конечное состояние, либо желаемый конечный результат функционирования (движения, управления) системы, достижимый в пределах некоторого интервала времени.

Последнее свойство - достижение цели наилучшим образом с точки зрения экономии ресурсов, быстродействия или качества.

Динамические системы, также как и другие объекты, модели и т.д., можно классифицировать по различным признакам. В данном случае классификация динамических систем будет осуществляться в зависимости от идеализации, принятой при их математическом описании. Динамические системы по этому признаку подразделяются на следующие классы.

Линейные и нелинейные системы. Предположим, что при воздействии на вход системы каждого из сигналов u1(t), u2(t), …, um(t) отдельно, выходные сигналы системы соответственно равны y1(t), y2(t), …, ym(t). Пусть yi(t)=F{ui(t)}, iЃё F{...}- некоторый оператор преобразования.

Линейной системой называется система, для которой выполняется принцип суперпозиции:

при воздействии на вход суммы сигналов, выходной сигнал является суммой реакций системы на каждый из входных сигналов отдельно;

изменение амплитуды входного сигнала в несколько раз приводит к такому же изменению амплитуды выходного сигнала.

Аналитически эти условия можно выразить следующим образом:

F = =

где ci - произвольные константы, F - некоторый оператор преобразования.

Динамическая система называется нелинейной динамической системой (или просто нелинейной системой), если векторное дифференциальное уравнение для состояний системы x(t) есть нелинейное дифференциальное уравнение или если выходная реакция y(t) есть нелинейная функция от переменных величин x(t) и u(t), то есть принцип суперпозиции не выполняется.

Реальные системы практически всегда нелинейны. Это связано с обилием факторов, которые влияют на них; и среди них всегда найдутся те, при влиянии которых не будет выполняться принцип суперпозиции. В определенных условиях (учет небольшого числа выбранных факторов, рассмотрение процессов в некоторой малой окрестности выбранных точек и ряд других) реальные системы могут рассматриваться как линейные системы. В этих случаях линейная модель будет описывать все наиболее существенные качественные и количественные характеристики рассматриваемой системы, и модель будет существенно более простой и удобной для исследований.

Стационарные и нестационарные системы. Стационарной системой называется система, параметры которой неизменны во времени.

Для стационарных систем характерно то, что сдвиг во времени входного сигнала приводит к такому же сдвигу во времени выходного сигнала.

F{u (t - t0)} = y(t - t0) (4)

Форма выходного сигнала при этом не изменяется. Иначе говоря, система инвариантна к сдвигу во времени входного сигнала.

Нестационарной системой называется система, параметры которой зависят от времени. В нестационарных системах вышеприведенное условие (4) не выполняется.

Примером стационарной системы является, космический аппарат, находящийся на круговой орбите вокруг Земли, или космическая ракета на этапе взлета, когда интенсивно расходуется топливо.

Аналоговые дискретные системы. Аналоговой (непрерывной) системой называется система, в которой циркулируют непрерывные во времени информационные сигналы.

Дискретной системой называется система, в которой на всех или на некоторых участках системы используются дискретные во времени информационные сигналы.

Аналоговый сигнал является непрерывной функцией времени. Цифровой сигнал может принимать лишь определенное число дискретных значений в дискретные моменты времени.

Примером аналоговой системы является автомобиль, движущийся по дороге, если учитывать только координаты его местоположения. Примером дискретной системы является любой компьютер.

Скалярные и векторные системы.

Скалярной динамической системой называется линейная стационарная модель конечномерной динамической системы с одним входом и одним выходом.

Векторной (матричной) динамической системой называется система, в которой входной и (или) выходной сигналы - векторные величины, т.е. в векторной системе возможно несколько входов и (или) несколько выходов.