Главная
Коллекция "Otherreferats"
Программирование, компьютеры и кибернетика
Управление электроэнергетической системой
Управление электроэнергетической системой
Синтезирование системы автоматического управления электроэнергетической системой, тепловые станции с промежуточным перегревом. Математические модели непрерывной системы управления, анализ устойчивости систем управления, корневые критерии устойчивости.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.12.2010 |
| Размер файла | 1,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Постановка задачи
управление электроэнергетическая система
Синтезировать систему автоматического управления электроэнергетической системой, состоящей из тепловых станций с промежуточным перегревом пара. Структурная схема энергосистемы приведена ниже:
Рис.1
Все переменные, представленные на схеме, отражают отклонения соответствующих величин в относительных единицах к их значениям в установившемся базовом режиме:
щ - отклонение частоты в управляемой энергосистеме (выходная переменная);
Pн - изменение активной нагрузки;
u - изменение задающего воздействия на регуляторы турбин (управляющее воздействие).
Параметры системы:
Тс - постоянная времени первичных регуляторов турбин;
Тn - постоянная времени, определяемая паровым объемом между паровыпускными клапанами и первым рядом сопл турбины;
Тnn - постоянная времени промежуточного пароперегревателя;
с - доля мощности, соответствующая части высокого давления;
ТJ - постоянная инерции эквивалентного агрегата;
Кн - коэффициент, определяющий регулирующий эффект нагрузки;
Sc - статизм первичных регуляторов турбин.
Величины параметров:
Тс = 0.3 [с];
Тn = 0.3 [с];
Тnn = 5 [c];
с = 0.4;
ТJ = 8 [c];
Кн = 1.5;
Sc = 0.08.
2. Исследование систем автоматического управления
2.1 Математические модели непрерывной системы управления
2.1.1 Математическая модель в пространстве состояний
Под математической моделью системы автоматического управления (САУ) понимают совокупность математических соотношений (уравнений), описывающих процесс функционирования объекта управления (ОУ) с учетом воздействий управления и воздействий окружающей среды.
Составим уравнения динамики системы, приведенной на рисунке 1. Выражения, записанные в блоках схемы, являются передаточными функциями. Получим:
; ; ; .
Учитывая, что - оператор дифференцирования по времени, получим дифференциальные уравнения:
(2.1)
Запишем дифференциальные уравнения (2.1) в виде системы уравнений состояния:
Здесь - выходная переменная, - вектор воздействий, - вектор состояния, - производная вектора состояния. Из системы (2.1) получим матрицы:
; ; ;
После подстановки числовых значений параметров, имеем:
; .
Таким образом, составлена математическая модель заданной системы управления в пространстве состояний.
2.1.2 Переход от математической модели в пространстве состояний к математической модели «вход-выход»
Рассмотрим переход от уравнений в пространстве состояний к уравнениям «вход-выход». Необходимо получить математическую модель в следующем виде:
, (2.4)
,
.
Здесь y(t) и u(t) - векторы выходных координат и воздействий, - передаточная функция.
Обозначив вектор дифференцирования за p, из первого уравнения системы (2.2) имеем: , отсюда , или . Подставив последнее выражение во второе уравнение системы (2.2), получим: . Таким образом, находим выражение для передаточной функции:
Множитель называется резольвентой матрицы А. Для вычисления резольвенты воспользуемся алгоритмом Лаверье-Фадеева:
,
,
.
Так как матрица А имеет порядок 4, то n = 4, а полиномы и являются полиномами третьего и четвертого порядка соответственно. Значения коэффициентов и вычисляются следующим образом:
; ; ,
где tr - след матрицы (сумма диагональных коэффициентов).
Рассчитаем значения коэффициентов для заданной системы:
Расчеты коэффициентов проводились в математической среде MatLab 7.0.1. Для вычисления следа матрицы использовалась функция trace().
Для проверки воспользуемся соотношением . Вычисление дает нам нулевую матрицу 4х4, что говорит о правильности рассчитанных коэффициентов.
Зная и , найдем передаточную функцию. Для начала, учитывая, что вектор воздействий u(t) имеет две компоненты, представим y(t) в следующем виде:
.
По найденным коэффициентам вычислим компоненты передаточной функции:
Приведем полученное уравнение к виду (2.4):
Уравнение (2.8) является искомым уравнением «вход-выход».
Для проверки вычислим передаточную функцию в среде Matlab:
>>sys = ss(A,B,C,D);
>>tf(sys)
Результат:
Transfer function from input 1 to output:
0.5556 s + 0.2778
--------------------------------------------
s^4 + 7.054 s^3 + 13.73 s^2 + 11.5 s + 3.889
Transfer function from input 2 to output:
-0.125 s^3 - 0.8583 s^2 - 1.556 s - 0.2778
--------------------------------------------
s^4 + 7.054 s^3 + 13.73 s^2 + 11.5 s + 3.889
Как видно, выражения (2.6) и (2.7) совпадают соответственно с выражениями (2.9) и (2.10). Это говорит о том, что все расчеты выполнены правильно, и переход к математической модели «вход-выход» осуществлен верно.
2.1.3 Переход от математической модели «вход-выход» к модели в пространстве состояний
В предыдущем пункте была получена математическая модель «вход-выход». Теперь построим математическая модель в пространстве состояний. Необходимо получить систему, аналогичную (2.2) (матрицы состояния могут иметь другие значения), и доказать, что она эквивалентна (2.2).
Рассмотрим уравнение «вход-выход» (2.8). Приведем это соотношение к виду (2.1):
,
где , , , , , , , , .
Это равенство можно представить в виде
,
где матрица .
Введем координаты вектора состояния , определяемые соответствующими выражениями в скобках последнего уравнения:
,
,
,
,
.
Решение полученных уравнений относительно производных вектора состояния и представление как функции и позволяет получить уравнения в форме «вход-состояние-выход»:
где матрицы определяются равенствами.
, , ,
Матрицы системы (2.11) отличаются от матриц системы (2.2). Докажем эквивалентность систем. Пусть S - квадратная неособенная матрица (det(S)?0), такая что . Подставив это выражение в (2.2), получим:
Из (2.11) и (2.12) находим: , , ,
Таким образом, для доказательства эквивалентности систем (2.2) и (2.11) необходимо доказать выполнение равенств (2.13).
Найдем матрицу S. Для этого воспользуемся свойством управляемости Калмана. Построим матрицы управляемости системы (2.2) для каждого из входных воздействий:
; .
;
Ранги матриц и равен 4, то есть n. Это означает выполнение критерия выполняемости.
Построим матрицы управляемости для системы (2.11):
; .
;
.
Ранги матриц и равен 4, критерий управляемости выполняется.
Зная матрицы и , найдем матрицу S для каждого из входных воздействий:
;
.
Поскольку матрицы и совпадают, соответственно матрица является искомой матрицей перехода.
Теперь найдем матрицы , , , :
, , , .
Полученные матрицы полностью совпали с матрицами (2.12). Таким образом, доказана эквивалентность систем (2.2) и (2.11).
2.1.4 Переход от уравнений состояния непрерывных систем управления к уравнениям состояния дискретных систем
Дискретные системы управления содержат в структуре цифровые вычислительные устройства, входные и выходные сигналы которых поступают в определенные дискретные моменты времени. Дискретная модель описывается разностными уравнениями, которые отличаются от дифференциальных тем, что левые и правые части являются линейными комбинациями функций входа и выхода, вычисленные в дискретные моменты времени. При переходе от непрерывной модели к дискретной необходимо получить математическую модель с описанными в ней разностными уравнениями.
Приведем систему (2.2) к виду:
, здесь h - период временной дискретизации.
Учитывая, что матрица А является неособенной, матрицы системы (2.14) находим по формулам:
, , ,
Выбрав шаг дискретизации h = 0.1, имеем:
, ,
,
Для проверки построим дискретную модель системы в среде Matlab:
>> sys=ss(A,B,C,D);
>> c2d(sys,0.1)
Результат:
a = x1 x2 x3 x4
x1 0.7156 0.0008267 -0.02306 -3.508
x2 0.2388 0.7166 -0.002432 -0.5541
x3 0.0971 -0.09534 0.9792 -0.224
x4 0.0006719 -0.0006273 0.01226 0.9804
b =
u1 u2
x1 0.2834 0.02322
x2 0.04462 0.002444
x3 0.01804 0.0009852
x4 7.882e-005 -0.01238
c =
x1 x2 x3 x4
y1 0 0 0 1
d =
u1 u2
y1 0 0
Sampling time: 0.1
Discrete-time model.
Т.к. переход осуществлялся от непрерывной системы в математической модели пространства состояний, то получили дискретную систему тоже в пространстве состояний. Матрицы (2.16) являются матрицами состояния для дискретной системы.
2.1.5 Переход от математической модели в пространстве состояний к модели «вход-выход» для дискретной системы
Переход для дискретной модели осуществляется аналогично п.2.1.2 с той лишь разницей, что оператор дифференцирования p заменяется оператором сдвига о, который определяется соотношением . Таким образом, передаточная функция вычисляется по формуле:
Точно так же для вычисления резольвенты воспользуемся алгоритмом Лаверье-Фадеева:
Выполнение равенства говорит о верности расчетов. Теперь, разложив для простоты выходную функцию , найдем и :
Проверим результат в среде Matlab:
>>sys = ss(Ad,Bd,Cd,Dd);
>>tf(sys)
Как видно, результаты вычислений совпадают, значит передаточная функция вычислена верно. Искомое уравнение «вход-выход» имеет вид:
3. Анализ устойчивости систем управления
Анализ устойчивости является важным этапом исследования, без которого невозможно создание современных автоматических систем. Устойчивость - один из важных качественных показателей объектов и систем управления. Устойчивые системы способны осуществлять управление в соответствии с поставленными целями.
Поскольку главная цель данной работы - исследование поведения представленной системы в зависимости от управляющего воздействия u, то в дальнейшем будем считать возмущающее воздействие на нагрузке Pн равным нулю. Таким образом, задачей этого раздела является анализ устойчивости рассматриваемой системы управления, непрерывная модель которой представлена системой уравнений
, где
, , , ,
а дискретная модель соответственно системой
,
, , , .
3.1 Корневые критерии устойчивости
Корневые критерии устойчивости определяют условия устойчивости линейных объектов и систем управления с помощью анализа корней характеристических уравнений.
Для непрерывных объектов и систем, необходимо и достаточно выполнение неравенства:
.
Из п.2.3.1 знаем вектор собственных чисел матрицы А:
.
Очевидно, действительные части всех собственных чисел матрицы А меньше нуля, следовательно, система асимптотически устойчива.
Для асимптотической устойчивости дискретных систем необходимо и достаточно выполнение неравенства:
.
Из п.2.3.3 имеем вектор собственных чисел матрицы :
.
Найдем их модули: , , , . Как видно, модули всех собственных чисел матрицы меньше 1, следовательно, система асимптотически устойчива.
3.2 Алгебраические критерии устойчивости
Критерий Ляпунова выводится из метода Ляпунова и позволяет судить об устойчивости по решению уравнения Ляпунова. Для непрерывной системы уравнение Ляпунова выглядит так:
,
для дискретной:
,
где - некоторая симметричная, положительно определенная матрица. Решение уравнений - матрица P - определяет устойчивость. В случае, когда она положительно определена, система асимптотически устойчива.
Пусть для определенности матрица будет единичной, так как та удовлетворяет всем требованиям. В программе MatLab существуют две функции, позволяющие решить уравнения Ляпунова - lyap(A',Q) для непрерывной системы и dlyap(Ad,Q) для дискретной.
Решая уравнение для непрерывной системы, находим матрицу P:
.
Для того чтобы установить, что матрица P положительно определенная, воспользуемся разложением Холесского, которое получим с помощью функции chol(P) среды Matlab:
.
Как видно, в разложении Холесского матрицы P все диагональные элементы положительны. Это свидетельствует о положительной определенности матрицы P, что в свою очередь говорит об асимптотической устойчивости системы.
Решим уравнение Ляпунова для дискретной системы. В результате получим матрицу
.
И разложение Холесского для нее:
Поскольку все диагональные элементы разложения Холесского для матрицы положительны, то сама матрица является положительно определенной, а значит система асимптотически устойчива.
Критерий Стодолы определяет необходимое условие асимптотической устойчивости. Критерий говорит от том, что если все корни характеристического полинома принадлежат левой полуплоскости комплексной плоскости (т.е. ) , то все его коэффициенты положительны или одного знака.
Из п.2.1.2 знаем передаточную функцию непрерывной системы:
Соответственно, характеристический полином системы имеет вид:
Как уже было показано в п.3.1, что все корни характеристического многочлена принадлежат левой полуплоскости комплексной плоскости. Из (3.4) так же видно, что все коэффициенты положительны. Таким образом, выполняются условия критерия Стодолы.
Построим для характеристического полинома матрицу Гурвица :
.
Здесь - коэффициенты характеристического полинома (3.4). Для данного случая она будет выглядеть следующим образом:
.
Для того чтобы система была асимптотически устойчива по критерию Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля. Проверим матрицу М на соответствие критерию Гурвица:
l=eig(A);
p=poly(l);
M=[p(2) p(1) 0 0; p(4) p(3) p(2) 0; 0 p(5) p(4) p(3); 0 0 0 p(5)];
M1=det(M(1,1))
M2=det(M(1:2,1:2))
M3=det(M(1:3,1:3))
M4=det(M)
В результате выполнения программы получим миноры матрицы М:
M1 = 7.0542
M2 = 85.3674
M3 = 788.2093
M4 = 3.0653e+003
Как видно, все миноры матрицы М положительны, соответственно критерий Гурвица выполняется, а значит система устойчива.
Этот критерий применим только для дискретных систем. Пусть задана дискретная система в виде модели вход-выход. Ее характеристический полином имеет вид:
Для асимптотической устойчивости системы по критерию Шура-Кона необходимо и достаточно, чтобы знаки определителей чередовались и были больше нуля для четных k и меньше нуля для нечетных.
, где
, .
Здесь коэффициенты являются коэффициентами характеристического полинома, а именно: , , , , .
Итак, для вычислим матрицы , и соответственно определители :
, , ;
, ,
;
, ,
;
, ,
.
Как видно критерий Шура-Кона выполняется, а следовательно система является устойчивой.
3.3 Частотные критерии устойчивости
Система является устойчивой, если при возрастании щ от 0 до ? комплексный вектор (годограф Михайлова) повернется на угол , где n - степень характеристического полинома .
Зная характеристической многочлен для непрерывной системы (см. (3.4)), можем записать его частотное представление:
.
Построим годограф Михайлова с помощью системы Matlab и проверим выполнение критерия:
l=eig(A);
p=poly(l);
i=sqrt(-1);
n=1000;
d=10;
h=d/n;
for k=1:n+1;
t=(k-1)*h*i;
x(k)=real(p(1)*t^4 + p(2)*t^3 + p(3)*t^2 + p(4)*t+p(5));
y(k)=imag(p(1)*t^4 + p(2)*t^3 + p(3)*t^2 + p(4)*t+p(5));
end;
figure;
plot(x(:),y(:),'LineWidth',2);
grid on;
В результате выполнения программы был получен график:
Как видно из рис., годограф начинается на положительной вещественной полуоси и, делая оборот в положительном направлении (против часовой стрелки), обходит последовательно 4 квадранта. В нашем случае это означает устойчивость исследуемой системы управления.
Критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость системы после замыкания этой системы отрицательной единичной обратной связью. Подобная система с обратной связью будет называться замкнутой. Прежняя система (без обратной связи) - разомкнутая. Замкнутая система является устойчивой, если она не проходит через особую точку (-1, j0) или годограф Найквиста W(jщ) разомкнутой системы совершает вокруг этой точки p/2 оборотов против часовой стрелки при изменении частоты от нуля до бесконечности, где p - число корней знаменателя W (jщ), лежащих в правой полуплоскости.
Зная передаточную функцию (3.3) для непрерывной системы, запишем выражение для годографа Найквиста:
.
Полюса этой функции:
.
Имеем один полюс , лежащий в правой полуплоскости. Поэтому для определения устойчивости системы необходимо построить годограф Найквиста.
Как видно из графика, годограф Найквиста не охватывает особую точку (-1, j0), что, согласно критерию Найквиста, свидетельствует об устойчивости системы.
Пусть дискретная система задана в виде модели «вход-выход». Ее характеристический полином имеет вид (3.5):
.
Годограф Михайлова для этой системы может быть получен подстановкой , где - относительная частота:
.
Для того чтобы система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении годограф Михайлова обходил последовательно в положительном направлении 2n квадранта, n - степень характеристического полинома.
Построим годограф Михайлова с помощью системы Matlab и проверим выполнение критерия:
load res3.mat;
ld=eig(Ad);
pd=poly(ld);
n=1000;
d=pi;
h=d/n;
for k=1:n+1;
t=(k-1)*h*i;
xd(k)=real(pd(1)*exp(t*4) + pd(2)*exp(t*3) + pd(3)*exp(t*2) + pd(4)*exp(t)+pd(5));
yd(k)=imag(pd(1)*exp(t*4) + pd(2)*exp(t*3) + pd(3)*exp(t*2) + pd(4)*exp(t)+pd(5)));
end;
figure;
plot(xd(:),yd(:),'LineWidth',2);
grid on;
В результате выполнения программы получен график:
На рис. приведены фрагменты графика в разном масштабе от большего к меньшему по мере движения годографа в положительном направлении. Как видно, годограф Михайлова проходит 8 квадрантов, что равно удвоенной степени характеристического полинома. Это говорит о том, что критерий Михайлова для дискретной системы выполняется и система устойчива.
Чтобы замкнутая система была устойчива, годограф Найквиста разомкнутой должен совершать вокруг особой точки (-1; j0) m/2 оборотов, где m - число полюсов разомкнутой системы , расположенных вне круга единичного радиуса .
Для нашей системы , так как период T=0.1. Если разомкнутая система устойчива, то m=0. Замкнутая система будет устойчива, если годограф не охватывает точку (-1; j0) при изменении щ от 0 до р.
Исследуемая функция была найдена в п. 2.4.2 и имеет вид:
.
Полюса этой функции являются собственными числами матрицы и на этом основании равны:
, соответственно их модули равны .
Построим годограф Найквиста для дискретной системы:
Как видно из рис. годограф не охватывает особую точку (-1; j0), а все полюса расположены внутри единичного круга . Это означает, что критерий Найквиста выполняется и исследуемая система устойчива.
4. Синтез детерминированных систем
Проблема управляемости заключается в решении вопроса о возможности достижения целей управления. Решение этой задачи является первым этапом синтеза САУ. Рассмотрим линейный непрерывные стационарные объекты или системы управления
, , ,
где , , -- векторы состояния, управления и выхода размерности n, r и m соответственно.
Система (4.1) называется вполне управляемой, если для любых моментов и () и любых заданных состояний и существует управление (для ), переводящее систему из начального состояния в конечное .
Управляемость дискретного объекта или системы управления:
, ,
как и системы (4.1) определяется критерием Р. Калмана, который утверждает, что линейная система (4.1) в непрерывном и (4.2) в дискретном времени вполне управляемы тогда и только тогда, когда матрица управляемости имеет ранг, равный размерности вектора состояния n.
Применим критерий управляемости Калмана к непрерывной системе. В среде MatLab вычислим матрицу управляемости и ее ранг:
>> Sy = ctrb(A,B)
Sy =
3.3333 -11.1109 37.0359 -146.5992
0 11.1109 -74.0719 370.3556
0 4.4443 -28.2950 138.9846
0 0 0.5555 -3.6410
>> rank(Sy)
ans =
4
Как видно, ранг матрицы управляемости совпадает с размерностью вектора состояния и равен 4. Отсюда можем сделать вывод, что система управляема.
Теперь проверим управляемость дискретной системы. Так же, как и в случае с непрерывной системой, для этого необходимо вычислить матрицу управляемости и ее ранг:
>> Sdy=ctrb(Ad,Bd)
Sdy =
0.2834 - 0.0000i 0.2021 - 0.0000i 0.1422 - 0.0000i 0.0971 - 0.0000i
0.0446 - 0.0000i 0.0996 - 0.0000i 0.1192 - 0.0000i 0.1187 - 0.0000i
0.0180 - 0.0000i 0.0409 - 0.0000i 0.0501 - 0.0000i 0.0513 - 0.0000i
0.0001 + 0.0000i 0.0005 + 0.0000i 0.0010 + 0.0000i 0.0016 + 0.0000i
>> rank(Sdy)
ans =
4
Как видно, ранг матрицы управляемости совпал с размерностью вектора состояния. Это означает, что система вполне управляема.
Модальные регуляторы обеспечивают построение САУ с заданными корнями характеристического уравнения замкнутой системы. В терминах корней характеристических полиномов можно задать качество управления. Рассмотрим синтез модальных регуляторов при использовании математической модели объекта в пространстве состояний. Пусть объекты управления заданы уравнениями состояния для непрерывного времени (4.1) и для дискретного времени (4.2).
Предполагается, что объекты вполне управляемы и управляющие воздействия - скалярные функции. Требуется синтезировать линейны регуляторы, обеспечивающие заданные значения корней характеристических полиномов замкнутых САУ.
Синтез модальных регуляторов осуществляется в два этапа. Первый этап заключается в приведении пары матриц A и B к канонической форм. Задача второго этапа - выбор параметров регулятора.
Рассмотрим математическую модель системы управления:
Так как система вполне управляема, то ее можно привести к каноническому виду заменой переменных , где Q - неособенная матрица. Каноническая форма объекта управления: . Матрицы, имеют следующий вид:
, )
Матрица A, имеющая форму (4.4), называется фробениусовой.
-- вектор-строка параметров, определяющая коэффициенты характеристического полинома матрицы A.
Необходимо построить матрицу, которая обеспечивала бы переход от к . Для данного преобразования необходимо использовать матрицу .
-- верхняя треугольная относительно второй главной диагонали матрица, построенная из коэффициентов характеристического полинома следующим образом:
.
Тогда матрица вычисляется следующим образом: , где -- матрица управляемости.
Произведем замену переменных:
, ,
Матрица и векторы и при этом будут соответствовать каноническому виду.
Проведем все необходимые расчеты для системы (4.3). Характеристическое уравнение системы имеет вид . Отсюда получим матрицу :
.
Теперь вычислим матрицу Q и затем , и по формулам (4.5):
>> Q=S*T
Q =
0.4167 4.4305 12.4025 3.3333
0.4167 4.3055 11.1109 0
0.4167 3.0555 4.4443 0
0.2778 0.5555 0 0
>> Af=inv(Q)*A*Q
Af =
0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 1.0000 0
-0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000
-3.8888 -11.4997 -13.7317 -7.0541
>> Bf=inv(Q)*B
Bf =
0
0
1
>> Cf=C*Q
Cf =
0.2778 0.5555 0 0
Матрицы, полученные в результате вычислений, соответствует каноническому виду Фробениуса, это означает, что система (4.3) находится в каноническом виде.
Каноническую форму дискретного объекта можно получить, проделав те же самые операции, что и в случае непрерывной системы. Характеристический полином дискретной системы имеет вид: . Отсюда получим матрицу :
.
Теперь вычислим матрицу Q и затем , и по формулам (4.5):
>> Qd=Sd*Td
Qd =
-0.1955 0.6713 -0.7592 0.2834
0.0344 -0.0272 -0.0517 0.0446
0.0136 -0.0114 -0.0202 0.0180
-0.0001 -0.0002 0.0002 0.0001
>> Afd=inv(Qd)*Ad*Qd
Afd =
-0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000
-0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
-0.4939 2.3879 -4.2860 3.3918
>> Bfd=inv(Qd)*Bd
Bfd =
-0.0000
-0.0000
-0.0000
1.0000
>> Cfd=Cd*Qd
Cfd=
1.0e-003 *
-0.0609 -0.1711 0.1519 0.1000
Матрицы, полученные в результате вычислений, соответствует каноническому виду Фробениуса, это означает, что дискретная система находится в каноническом виде.
Необходимо определить параметры линейного регулятора , так чтобы обеспечить заданные собственные значения матрицы замкнутой системы.
Зададим необходимые нам собственные значения матрицы замкнутой системы так, чтобы длительность переходного процесса не превышала 6 секунд. Для этого необходимо выполнение условия . Учитывая эти ограничения, выберем вектор собственных значений: . Выбрав собственные значения таким образом, мы избавимся от комплексных значений и, соответственно, от ненужных нам колебательных процессов.
Вектор параметров регулятора для канонической формы равен: .
Здесь -- вектор-строка параметров, определяющая коэффициенты характеристического полинома матрицы A.
- вектор-строка параметров, определяющая коэффициенты характеристического полинома матрицы замкнутой системы :
>> Lu=[-2.0; -1.5; -1.0; -0.5]; p=poly(Lu); pu=[p(5); p(4); p(3); p(2)]
pu =
1.5000
6.2500
8.7500
5.0000
Вектор параметров регулятора определяется по формуле . Вычислим его в с помощью MatLab:
>> k=inv(Q')*(a-pu)
k =
0.6162
0.1987
-1.0955
9.0209
Теперь проверим правильность найденного решения. Посчитаем матрицу замкнутой системы и проверим ее собственные значения:
>> Az=A+B*k'
Az =
-1.2792 0.6623 -3.6518 -11.5972
3.3333 -3.3333 0 0
1.3333 -1.1333 -0.2000 0
0 0 0.1250 -0.1875
>> eig(Az)
ans =
-2.0000
-1.5000
-1.0000
-0.5000
Как видим, собственные значения матрицы замкнутой системы совпали с заданными, это говорит о правильности найденного решения.
Модальный регулятор для дискретного объекта синтезируется аналогично модальному регулятору непрерывного объекта.
Для того чтобы обеспечить свойства замкнутой системы с дискретной моделью объекта близким к тем, которые были для непрерывной модели, следует выбрать собственные значения матрицы замкнутой системы . Здесь - выбранные собственные значения при синтезе непрерывной системы, - собственные значения матрицы замкнутой системы с дискретной моделью системы, - период дискретности.
Для и периода дискретизации , имеем . Вектор значений коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы:
>> pd=poly(Lud)
pd =
1.0000 -3.5355 4.6825 -2.7535 0.6065
Далее, рассчитаем вектор параметров модального регулятора:
>> pud=[pd(5); pd(4); pd(3); pd(2)]
pud =
0.6065
-2.7535
4.6825
-3.5355
>> kd=inv(Qd')*(ad-pud)
kd =
0.5374
0.2392
-1.1182
8.5816
Теперь проверим правильность найденного решения. Посчитаем матрицу замкнутой системы и проверим ее собственные значения:
>> Azd=Ad+Bd*kd'
Azd =
0.8679 0.0686 -0.3400 -1.0755
0.2628 0.7273 -0.0523 -0.1714
0.1068 -0.0910 0.9591 -0.0695
0.0008 -0.0006 0.0122 0.9813
>> eig(Azd)
ans =
0.8187
0.8607
0.9048
0.9512
Как видим, собственные значения матрицы замкнутой системы совпали с заданными, это говорит о правильности найденного решения.
Под исследованием модального регулятора понимают изучение реакций замкнутой системы на различные внешние воздействия. Критерии оценки качества: перерегулирование, время переходного процесса, установившаяся ошибка.
1. Анализ реакции замкнутой системы на ненулевые начальные условия.
Установившееся значение выходной переменной должно равняться нулю; на графике переходного процесса не должно быть перерегулирования; время переходного процесса должно соответствовать заданным собственным значениям.
В рассматриваемом нами примере управляемой величиной является частота. Пусть в начальный момент времени вектор отличен от нуля, то есть (на выходе хотим получить значение частоты равное 1, а остальные переменные состояния нам не интересны). Построим график переходного процесса при ненулевых начальных условиях при помощи стандартной функции initial среды Matlab:
x0 = [0;0;0;1];
initial(ss(Az,B,C,D),x0,10);
Как видно из графика, перерегулирование отсутствует, статистическая ошибка равна нулю и время переходного процесса .
2. Анализ реакции замкнутой системы на изменение задающего воздействия.
Критерии оценки качества: перерегулирование, время переходного процесса, установившаяся ошибка.
Пусть нам необходимо получить на выходе системы значение частоты равное 1. Причем уставка не равна нулю, а внешнее воздействие . Найдем значение уставки и проанализируем переходный процесс при ступенчатом ее изменении, т.е. рассматривается как функция Хевисайда с некоторым коэффициентом. . Поскольку , , то уставка равна: .
Реакция системы на ступенчато воздействие , определяется соотношением: . Для построения переходного процесса воспользуемся функцией step среды MatLab:
ku=1/(C*inv(-Az)*B);
step(ss(Az,B*ku,C,D),10)
Выводы по проделанной работе
В ходе выполнения курсовой работы синтезирована система автоматического управления энергосистемой. Описана и проанализирована непрерывная система, построены ее математические модели в пространстве состояний и в виде модели «вход-выход». Построены графики реакции объекта на стандартные виды входного сигнала: единичное ступенчатое воздействие (функция Хевисайда) и импульсное воздействие (функция Дирака). Исследованы и построены частотные характеристики, т.е. рассмотрено влияние на систему входного воздействия в виде гармонической функции. Подобным же образом построена и исследована дискретная модель системы.
Произведен анализ устойчивости непрерывной и дискретной систем по следующим критериям: корневой, Ляпунова, Стодолы, Гурвица, Михайлова, Шура-Конна и Найквиста. Результаты анализа устойчивости показали, что система (как дискретная, так и непрерывная) по всем вышеперечисленным критериям является устойчивой как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии.
Проведены исследования моделей на предмет управляемости и наблюдаемости, в ходе которых было установлено, что непрерывная и дискретная модели являются вполне управляемыми и вполне наблюдаемыми.
Также произведен синтез модального и оптимального регуляторов (для дискретной и непрерывной модели) при полной информации о векторе состояния и проведены их исследования на стандартные типы воздействия, а именно:
анализ реакции замкнутой системы на ненулевые начальные условия;
анализ реакции замкнутой системы на изменение задающего воздействия;
анализ реакции замкнутой системы на возмущение, приведенное по входу.
Результаты данных исследований показали полное соответствие полученных результатов ожидаемым: во всех случаях отсутствует перерегулирование, длительность переходных процессов соответствует заданным условиям, а величина статистической ошибки достаточно мала, чтобы говорить о хорошей помехоустойчивости систем.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Динамические характеристики типовых звеньев и их соединений, анализ устойчивости систем автоматического управления. Структурные схемы преобразованной САУ, качество процессов управления и коррекции. Анализ нелинейной системы автоматического управления.
лабораторная работа [681,9 K], добавлен 17.04.2010Математические процессы, происходящие в системах автоматического управления. Определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем, критерии устойчивости. Физический смысл логарифмических асимптотических амплитудных частотных характеристик.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 12.05.2014Теория автоматического управления как наука, предмет и методика ее изучения. Классификация систем автоматического управления по различным признакам, их математические модели. Дифференциальные уравнения систем автоматического управления, их решения.
контрольная работа [104,1 K], добавлен 06.08.2009Обзор методов составления математических моделей систем автоматического управления. Математические модели системы в векторно-матричной форме записи. Моделирование в пакете программы Simulink. Оценка устойчивости системы, рекомендации по ее применению.
курсовая работа [514,5 K], добавлен 10.11.2011Исследование системы автоматического управления при помощи программного обеспечения MATLAB и пакета Simulink. Изучение замкнутой системы согласно критериям устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста. Реализация модели "жесткого" спутника Земли.
методичка [911,6 K], добавлен 10.10.2010Теория автоматического управления - совокупность целесообразных действий, направленных на достижение поставленных целей. Объект управления - техническое устройство, в котором протекает управляемый процесс. Алгебраические критерии устойчивости Гурвица.
курсовая работа [338,1 K], добавлен 03.10.2008Особенности структурной и функциональной схем систем автоматического управления, характеристика и определение запаса ее устойчивости. Принцип управления по замкнутому циклу и ошибки переходного процесса. Использование регулятора для коррекции системы.
контрольная работа [827,6 K], добавлен 09.12.2011Составление и анализ математической модели объекта управления и структурной схемы системы. Построение областей устойчивости, требуемой точности и быстродействия статического регулятора. Анализ замкнутой системы управления с непрерывным регулятором.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.04.2012Понятие системы управления, ее виды и основные элементы. Критерии оценки состояния объекта управления. Классификация структур управления. Особенности замкнутых и разомкнутых систем автоматического управления. Математическая модель объекта управления.
контрольная работа [1,0 M], добавлен 23.10.2015Синтез системы автоматического управления корневым методом, разработанным Т. Соколовым. Определение передаточных функций по задающему и возмущающему воздействиям. Оценка устойчивости замкнутой нескорректированной системы регулирования по критерию Гурвица.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 26.01.2015
