Управление скоростью полёта тяжёлого транспортного самолёта

Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализ устойчивости линейного непрерывного объекта

Устойчивость - один из важнейших качественных показателей объекта, необходимое условие работы любой системы управления.

Дадим определения устойчивости:

Опр. 1. Система автоматического управления устойчива по входу, если при любом ограниченном входном воздействии и нулевых начальных условиях, выходная реакция является ограниченной при любых .

Опр. 2. Решение системы при начальных условиях считается устойчивым по Ляпунову, если:

Опр. 3. Решение системы считается асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие:

.

Математическая модель непрерывного объекта задана в пространстве состояний:

;

Данный критерий определяет устойчивость объекта путем анализа корней характеристического уравнения, причём линейная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда выполняется , где - корни характеристического уравнения системы.

Запишем характеристическое уравнение для нашей системы:

Найдём корни характеристического уравнения(чтобы не считать вручную можно воспользоваться функцией eig(A) в MatLab-е):

.

Вещественная часть 3 и 4 корня больше 0, значит наша система не является устойчивой.

Критерий Стодолы (необходимое условие асимптотической устойчивости): если непрерывный объект устойчив, то все коэффициенты характеристического уравнения системы положительны или одного знака.

Запишем характеристическое уравнение для нашей системы:

Раскроем скобки:

Проанализировав полином видим что критерий Стодолы выполняется, то есть возможна устойчивость системы (остальные критерии показывают что наша система неустойчива).

Критерий Гурвица (является необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости системы): линейная непрерывная система устойчива тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры матрицы Гурвица больше нуля.

Построим матрицу Гурвица для нашего характеристического полинома (пункт 11.2.2):

Для неё определим главные диагональные миноры:

5 и 4 главный диагональный минор меньше нуля, значит наша система не является асимптотически устойчивой.

Линейная система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда решение уравнения Ляпунова: Р - положительно определенно.

Для непрерывного объекта уравнение Ляпунова выглядит следующим образом:

, (11.3.1)

где - симметричная положительно определенная матрица.

Возьмем следующую матрицу :

Подставим в уравнение Ляпунова нашу матрицу А и Q и найдём P(В системе Matlab это также можно сделать с помощью функции lyap()).

Проверим, является ли матрица P положительно определённой.

Положительно определённая матрица может быть разложена следующим образом:

,

где H матрица Холевского.

Нашу матрицу P нельзя так разложить (проверено с помощью функции chol() в MatLab)

Критерий Ляпунова не выполняется, значит наша система не является устойчивой.

САУ является асимптотически устойчивым, если при изменении от 0 до вектор (годограф Михайлова), начинаясь на вещественной оси, монотонно повернется в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол .

Характеристическое уравнение для нашей системы имеет вид:

Вместо подставим и раскроем скобки:

График годографа Михайлова непрерывного объекта выглядит следующим образом:

График 1. По графику 1 видно что критерий Михайлова не выполняется, значит наша система не является устойчивой.

Критерий Найквиста позволяет проанализировать устойчивость замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы.

В зависимости от состояния разомкнутой системы есть 2 критерия:

I. САУ устойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчива в замкнутом тогда и только тогда, когда АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами при изменении .

II. Если разомкнутая система неустойчива и характеристический полином имеет корней в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ охватывал точку с координатами (-1; j0) в положительном направлении раз при изменении .

На основе данных из пункта 10.1 приведём передаточную функцию разомкнутой системы:

Построим АФЧХ разомкнутой системы при изменении .

График 2. Воспользуемся 2 критерием, т.к. система в разомкнутом состоянии неустойчива.

Мы видим по графику что число корней в правой полуплоскости = 2 и АФЧХ охватывает точку с координатами (-1; j0) 1 раз, что по критерию Найквиста свидетельствует о том, что наша система в замкнутом состоянии является устойчивой.

Математическая модель дискретного объекта задана в пространстве состояний:

, ,,,

Линейная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда выполняется , где - корни характеристического уравнения дискретной системы.

Запишем характеристическое уравнение для нашей системы:

Найдём корни характеристического уравнения:

, ,

Вычислим модули этих корней:

 , ,

Видим, что есть модули больше 1, значит наша система не является устойчивой.

Линейная система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда решение уравнения Ляпунова: Р - положительно определенное.

Для дискретного объекта уравнение Ляпунова выглядит следующим образом:

где - симметричная положительно определенная матрица.

Возьмем следующую матрицу :

Подставим в уравнение Ляпунова нашу матрицу А_д и Q и найдём P. В системе Matlab это также можно сделать с помощью функции dlyap()).

Проверим, является ли матрица P положительно определённой.

Положительно определённая матрица может быть разложена следующим образом:

,

где H матрица Холевского.

Нашу матрицу P нельзя так разложить (проверено с помощью функции chol() в Matlab)

Критерий Ляпунова не выполняется, значит наша система не является устойчивой.

САУ является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда при имеют строгое чередование знаков: при нечетных и при четных , где - определители порядка , задаваемые соотношением:

, , ,

Где - коэффициенты характеристического уравнения

Запишем характеристическое уравнение для нашей системы:

Вычислим определитель 1 порядка:

Вычислим определитель 2 порядка:

Вычислим определитель 3 порядка:

Вычислим определитель 4 порядка:

Вычислим определитель 5 порядка:

Видим, что чередование знаков не наблюдается. Значит наша система не является устойчивой.

Пусть есть характеристический полином дискретной системы:

Сделаем следующую замену переменных: и подставим данное выражение в характеристический полином и приравняем полином к . Из получившегося уравнения выразим полином . Нули характеристического уравнения совпадают с нулями полинома .

Анализа устойчивости дискретной системы сводится к анализу полинома с помощью критериев Гурвица и Стодолы.

Запишем характеристическое уравнение для нашей системы:

Выполнив вышеописанные действия найдём полином для нашей системы:

1) Применим критерий Стодолы:

Проанализировав выражение (12.4.1) видим что есть отрицательные и положительные коэффициенты, значит наша система не является асимптотически устойчивой.

2) Применим критерий Гурвица:

Построим матрицу Гурвица для полинома (пункт 12.4.1):



Для неё определим главные диагональные миноры:

2, 4 и 5 главные диагональные миноры меньше нуля, значит наша система не является устойчивой.

САУ является асимптотически устойчивым, если при изменении от 0 до вектор (годограф Михайлова), начинаясь на вещественной оси, монотонно повернется в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол .

Характеристическое уравнение для нашей системы имеет вид:

Вместо подставим и раскроем скобки:



График 3. Независимо от того, сколько раз охватит начало координат, можно сказать, что система не является устойчивой, так как этот поворот происходит в отрицательном направлении(по часовой стрелки).

Для устойчивости дискретной замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы охватывал точку с координатами (-1; j0) в положительном направлении раз при изменении ,, где - число корней передаточной функции, удовлетворяющих :

На основе данных из пункта 10.2 приведём передаточную функцию разомкнутой системы:

.

Построим АФЧХ разомкнутой системы:



График 4. Проанализировав график видим что АФЧХ не охватывает точку , поэтому замкнутая система не является устойчивой.

Анализ управляемости объекта

полёт тяжёлый транспортный самолёт

Управляемость - это задача перевода системы из текущего состояния в требуемое на время (может быть бесконечно большое).

Пусть математическая модель задана в пространстве состояний (для непрерывной и дискретной системы):

Матрицы А,B,C можно посмотреть в параграфе 11 (стр. 3), А_д, B_д, С_д в параграфе 12 (стр.6).

Объект является управляемым (вполне управляем), если для любых моментов времени и таких, что , и любых заданных состояниях и существует управление , определенное на , которое переводит объект из состояния в состояние (за конечное время, ).

Критерий Калмана управляемости объекта:

Объект управляем тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости равен размерности вектора состояния :

Матрица управляемости непрерывного объекта была найдена в пункте 2.4 в выражени 2.4.4 и имеет вид:

Ранг данной матрицы равен 5, значит по критерию Кламана управляемости объекта иследуем объект управляем.

Найдём матрицу управляемости дискретного объекта по формуле:

, А=А_д и B=B_д .

Определим ранг матрицы:

Таким образом видим, что при данном шаге дискретизации дискретный объект не является управляемым, так как размерность вектора Х равна 5 и ранг равен 4. Сделаем объект управляемым поменяв шага дискретизации на 0.7. Получим следующую матрицу управляемости дискретного объекта:

Sd =

1.5e+005 1.0571e+005 74490 52493 36992

0 0.25125 0.42883 0.5539 0.64137

0 0.0001455 0.00034996 0.00058815 0.00084489

0 0.00011877 0.00018971 0.00024345 0.00028611

0 4.632e-005 0.00015574 0.00030809 0.00049405

>> rank(Sd)

ans = 5

Проверка.

Проверим данное решение с помощью Matalab:

sys=SS(A,B,C,D) // создаём непрерывную модель

sysd=c2d(SYS,0.7) // переводим её в дискретную с период дискретности 0,5

Sd=ctrb(sysd.a,sysd.b) // находим матрицу управляемости дискретной модели

rank(Sd) => 5 // находим ранг матрицы.

Приведение математической модели к канонической форме

Пусть математическая модель задана в пространстве состояний (для непрерывной и дискретной системы):

Матрицы А,B,C можно посмотреть в параграфе 11 (стр. 3), А_д, B_д, С_д в параграфе 12 (стр.6).

Чтобы привести математическую модель (14.1.1) к канонической форме надо матрицы A и B представить в следующем виде:

 (14.1.2)

Матрица называется Фробениусовой. - коэффициенты характеристического полинома матрицы А, взятые в обратном порядке.

Для перевода нашей системы к канонической форме надо:

1) Строим матрицу - верхняя треугольная относительно второй главной диагонали, построенная из коэффициентов характеристического полинома следующим образом:

2) Вычисляем матрица следующим образом:

где - матрица управляемости.

3) С помощью матрицы проводим замену базиса:

Характеристическое уравнение для непрерывной системы имеет вид:

Построим матрицу T по шаблону в пункте (14.1.3):

Найдём матрицу Q:

Построим матрицы :

;

Проверка.

С помощью Matlab 6.5 проверим какая получается передаточная функция от данной модели в пространстве состояний. Как это делать смотрите в параграфе 2.2.

Сравним её с нашей передаточной функцией непрерывного объекта:

Как видно, с учётом погрешности при вычислении и округления результат совпадает. Значит каноническая форма построена верно.

Дискретная система в канонической форме.

Характеристическое уравнение для дискретной системы имеет вид:

где коэффициенты характеристических уравнений:

>> af=poly(eig(Ad));

af =

1.0000 -3.4757 4.6556 -2.9963 0.9298 -0.1132

Построим матрицу T_д по шаблону в пункте (14.1.3):

Найдём матрицу Q_д:

>>Q_d=Sypr_d*T_dis_kan\

Q_d =

1.0e+005 *

0.2409 -1.6373 4.0543 -4.1565 1.5000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0

0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0

Построим матрицы :

=

0 1.0000 0 0 0

0 0 1.0000 0 0

0 0 0 1.0000 0

0 0 0 0 1.0000

0.1132 -0.9298 2.9963 -4.6556 3.4757

Проверка.

С помощью Matlab 6.5 проверим какая получается передаточная функция от данной модели в пространстве состояний. Как это делать смотрите в параграфе 2.2.

Получим следующею функцию:

Transfer function:

0.05526 s^4 - 0.06145 s^3 - 0.03004 s^2 + 0.04971 s - 0.01355

-------------------------------------------------------------

s^5 - 3.766 s^4 + 5.564 s^3 - 4.031 s^2 + 1.435 s - 0.2019

Сравним её с нашей передаточной функцией дискретного объекта:

0.05526 s^4 - 0.06145 s^3 - 0.03004 s^2 + 0.04971 s - 0.01355

-------------------------------------------------------------

s^5 - 3.766 s^4 + 5.564 s^3 - 4.031 s^2 + 1.435 s - 0.2019

Как видно функции совпадают. Значит каноническая форма построена верно.

Синтез модального регулятора для непрерывной системы

Математическая модель непрерывного объекта задана в пространстве состояний:

,

матрицы А,B,C можно посмотреть в параграфе 11 (стр. 3). (15.1.1)

Обеспечим требуемый характер переходных процессов данной системы за счёт собственных значений матрицы замкнутой системы. Для этого требуется вычислить компоненты вектора регулятора K, обеспечивающие следующие значения собственных чисел замкнутой системы:

Такие значения были выбраны по следующим причинам:

1) Для обеспечения устойчивости линейного непрерывного объекта.

2) Так как объект является медленным, то для обеспечения большой точности и правильности работы берём собственные числа ближе к границе устойчивости.

3) Определим собственные числа исходного объекта (параграф 11.1):

Возьмём значения собственных чисел замкнутой системы находящиеся недалеко от исходных.

4) Подберём значения так, чтобы при проверке настроек регулятора через матрицу собственные числа не получались комплексными (происходит из-за близкого расположения 2 желаемых собственных чисел и погрешностях при вычислениях)

Вектор регулятора K берётся из следующего выражения:

Данное выражение означает, что мы формируем управляющие воздействие.

Подставим (15.1.3) в уравнение (15.1.1) получим:

Ведём обозначение:

де - матрица замкнутой системы.

Компоненты вектора регулятора K вычисляются следующим образом:

1. Определение .

, где

- коэффициенты характеристического уравнения.

- коэффициенты искомого характеристического уравнения.

В нашем случае:

Характеристическое уравнение:

Искомое характеристическое уравнение:

Вычислим :

2. Вычисление настроек регулятора .

Q берётся из пункта (14.2.3).



Проверим достоверность вычисления настроек регулятора. Найдем матрицу по формуле и вычислим её собственные числа.

>>A3=sys.a+sys.b*transp(K_nepr)

>>eig(A3)

Получим следующие собственные числа:

С учётом погрешности, связанной с вычислениями, собственные числа замкнутой системы равны тем, которых мы добивались (см. пункт 15.1.2), значит модальный регулятор для непрерывной системы построен верно.

Математическая модель замкнутой системы.

Схема замкнутой системы выглядит следующим образом:

Математическая модель определяется следующими уравнениями состояния:



матрицы А,B,C можно посмотреть в параграфе 11 (стр. 27).

На схему замкнутой системы подаются следующие параметры (x(0)-начальные значения ОУ):

Учтя условия (15.2.2) запишем уравнение (15.2.1):

,

найдена в пункте (15.1.10). С помощью Matlab 6.5 постоим график по следующему алгоритму: S1=SS(A_з,B,C,D) / создаём математическую модель в пространстве состояний initial(S1,X0) / строим график отображающий воздействие начальных условий X0 на замкнутую систему непрерывного объекта Возьмём следующий вектор начальных условий:

Для анализа начальных условий вспомним какие компоненты входят в вектор X. Начальные условия из пункта (15.2.4) означают что в начальные моменты времени у нас не известно по каким обстоятельствам компонента была равна 1, а остальные равны 0.

Построим график с этими НУ:



График 15. Проанализируем характер изменения (выходной переменной) на этом графике, для анализа также будем использовать значения компонент вектора X полученные при решении данного дифференциального уравнения с помощью функции ode45 в Matlab:

В начальный момент времени и где-то до 5 секунд отклонение тяги двигателя (1 компонента) увеличивается в отрицательном направлении, остальные компоненты также незначительно изменяются (будем анализировать относительно отклонение тяги двигателя, т.к. по этой компоненте легче всего понять физический смысл). С физической точки зрения это значит что тяги двигателя нет, и изменение скорости движения падает за счёт сил трения воздуха и других сил (не путать со скоростью объекта, она по прежнему возрастает).

Когда становится ниже 0 начинает расти, и растёт до пикового значения (где-то -0,22 в момент времени примерно 8.3 секунды). Это значит что тяга двигателя возрастает чтобы компенсировать падение .

Далее по модулю падает и стремится к нулю (т.к. объект управляемый), соответственно падает и и тоже стремится к 0.

Длительность переходного процесса составляет примерно 25 секунд.

Вот мы упрощённо описали поведение на данном графике, на самом деле всё гораздо сложнее… Ещё я хочу сказать, что таки начальные условия возможны только при расчётах, т.е. теоретически. На практике ни с того ни с всего при 0 остальных параметрах взяться неоткуда.

Рассмотрим случай который возможен на практике, возьмём следующий вектор начальных условий:

Как получен данный вектор смотрите ниже (параграф 15.2 часть 4). Данные условия означают что существует установившийся процесс с данными параметрами при котором =1. Т.е. был Х_уст , процесс установился, а мы уберём Х_уст и установившиеся параметры зададим как Х_о.

Построим график с этими НУ:

График 16.

Анализ данного графика соответствует анализу предыдущего графика с 1 дополнением, вначале , и отсюда происходит увеличение (в это время падает).

Длительность переходного процесса составляет примерно 25 секунд.

На схему замкнутой системы подаются следующие параметры:

Учтя условия (15.2.6) запишем уравнение (15.2.1):

С помощью Matlab 6.5 постоим график по следующему алгоритму:

S2=SS(A_з,-B,C,D) / создаём математическую модель в пространстве состояний

step(S2) / строим график отображающий реакцию замкнутой системы непрерывного объекта на внешнее воздействие

График имеет следующий вид:

График 17. Т.е. при внешнем воздействии сначала падает до -0.82 в течении 4.5 секунд, потом падение прекращается и начинает расти и стабилизируется в районе 0,04.

Длительность переходного процесса составляет примерно 30 секунд.

Процесс устойчив.

На схему замкнутой системы подаются следующие параметры:

Учтя условия (15.2.7) запишем уравнение (15.2.1):

Хотим чтобы выходной параметр Y=1. Выходным параметром является .

Для того чтобы найти вектор X^уст воспользуемся следующим условием:

Так как 1 параметр вектора X^уст мы уже знаем (=1) то можем его подставить и получить следующие выражение:

Отсюда можно записать следующие:

Т.е. получили 4 неизвестных 5 уравнений. Решаем путём исключения 1 из уравнений. В данном случае при исключении разных уравнений получаются разные значения x_i, но всегда происходит установка на выходе значения больше 0 (т.е. процесс устойчив). Подберём наиболее подходящий вариант, при котором устанавливается значение на выходе ближе всего к 1.

Получим следующий вектор уставки:

С помощью Matlab 6.5 постоим график по следующему алгоритму:

S2=SS(A_з, ,C,D) / создаём математическую модель в пространстве состояний

step(S2) / строим график отображающий реакцию замкнутой системы непрерывного объекта на уставку.

График имеет следующий вид:

График 17. По графику видно что происходит уставка в значение 0.86 за 28 секунд. Данная уставка имеет статическую погрешность в 14%. Процесс устойчив.

Таким образом, был синтезирован модальный регулятор для непрерывной системы, который обеспечивает заданную устойчивость.

Синтез регулятора для дискретной системы производится аналогично синтезу регулятора для непрерывной системы.

Математическая модель дискретного объекта задана в пространстве состояний:

,

матрицы А_д,B_д,C_д можно посмотреть в параграфе 12 (стр. ).

Управление ищется в классе линейных регуляторов . Определим параметр регулятора , обеспечивающий получение требуемых собственных значений характеристического полинома дискретной замкнутой системы.

Требуемые собственные значения: 0.9295

Такие значения были выбраны по следующим причинам:

1) Для обеспечения устойчивости линейного дискретного объекта, т.е.

2) Так как объект является медленным, то для обеспечения большой точности и правильности работы берём собственные числа ближе к границе устойчивости.

3) Подберём значения так, чтобы при проверке настроек регулятора через матрицу собственные числа не получались комплексными (происходит из-за близкого расположения 2 желаемых собственных чисел и погрешностях при вычислениях).

4) Возьмём собственные числа близкие по значению с исходными:

>> eig(Ad)

ans = 0.3834 + 0.1121i ; 0.3834 - 0.1121i ; 1.0021 + 0.0483i ; 1.0021 - 0.0483i ; 0.7047

5) Учтём кратность корней для избежания излишних колебаний.

Матрица замкнутой системы определяется как:

,

где - матрица дискретной замкнутой системы. (16.2.3)

Компоненты вектора регулятора K вычисляются следующим образом:

1) Определение .

Характеристическое уравнение дискретной системы с коэффициентами:

Искомое характеристическое уравнение дискретной системы с коэффициентами:

p =

-0.1183

0.9592

-3.0235

4.6283

-3.4452

Вычислим :

2) Вычисление настроек регулятора .

Q_д берётся из пункта (14.3.3).

Q_d = 1.0e+005 *

0.2409 -1.6373 4.0543 -4.1565 1.5000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0

0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0

Проверим достоверность вычисления настроек регулятора. Найдем матрицу по формуле и вычислим её собственные числа.

>>A3_d=sysd.a+sysd.b*transp(K_dis)

>>eig(A3_d)

A3_d =

0.71905	-39831	9.664e+007	-9.0241e+007	-9.9145e+007
1.69e-006	0.96325	98.199	-95.44	-107.79
9.7806e-010	0.00046292	0.77291	0.016548	0.016548
7.9951e-010	0.0002358	0.27912	0.11071	-0.28147
3.1009e-010	9.5656e-005	0.12027	0.3353	0.8793

Получим следующие собственные числа:

0.9295 + 0.0679i

0.9295 - 0.0679i

0.7045

0.4409 + 0.1179i

0.4409 - 0.1179i

С учётом погрешности, связанной с вычислениями, собственные числа замкнутой системы равны тем, которых мы добивались (см. пункт 16.2.2), значит модальный регулятор для дискретной системы построен верно.

Исследование замкнутой системы дискретного объекта.

Математическая модель замкнутой системы.

Схема замкнутой системы выглядит следующим образом:

Математическая модель определяется следующими уравнениями состояния:

где матрицы , , имеют следующий вид:

0.71905	-39831	9.664e+007	-9.0241e+007	-9.9145e+007
1.69e-006	0.96325	98.199	-95.44	-107.79
9.7806e-010	0.00046292	0.77291	0.016548	0.016548
7.9951e-010	0.0002358	0.27912	0.11071	-0.28147
3.1009e-010	9.5656e-005	0.12027	0.3353	0.8793

Каким образом строятся графики можно посмотреть в соответствующих пунктах параграфа 15.2.

Переходный процесс при ненулевых начальных условиях.

На схему замкнутой системы подаются следующие параметры (x(0)-начальные значения ОУ):

Учтя условия (15.2.2) запишем уравнение (15.2.1):

Возьмём следующий вектор начальных условий (его нахождение описано ниже):

Построим график с этими НУ:

График 18. Длительность переходного процесса 30 секунд. Критерием явилось вхождение Y в 5%-ную зону (значение ?0.5055), после чего процесс затухает и устанавливается в 0. Процесс устойчив.

Переходный процесс при ненулевом внешнем воздействии. На схему замкнутой системы подаются следующие параметры:

Учтя условия (16.2.5) запишем уравнение (16.2.1):

График имеет следующий вид:

График 19. Длительность переходного процесса составляет 62 секунды, после чего процесс устанавливается в значении 0.159. Процесс устойчив.

Переходный процесс при ненулевой учтавке.

На схему замкнутой системы подаются следующие параметры:



Учтя условия (16.2.6) запишем уравнение (16.2.1):

Хотим чтобы выходной параметр Y=1. Выходным параметром является .

Для того чтобы найти вектор X^уст воспользуемся следующим условием:

Так как 1 параметр вектора X^уст мы уже знаем (=1) то можем его подставить и получить следующие выражение:

Т.е. получили 4 неизвестных 5 уравнений. Решаем путём исключения 1 из уравнений. В данном случае при исключении разных уравнений получаются разные значения x_i,. Подберём наиболее подходящий вариант, при котором устанавливается значение на выходе ближе всего к 1. Также проверим получившиеся хуставки в Matalb с помощью и получим:

Значение, к которому стремится Х на графике -0,146. Оно меньше уставки более чем в 7 раз и имеет другой знак.

Значение вектора снова показывает, что для небольшого изменения скорости требуется сильное увеличение тяги двигателя.

Длительность переходного процесса почти 62 секунды.

Таким образом, был синтезирован модальный регулятор для дискретной системы, который обеспечивает заданную устойчивость.

Корни регуляторы были выбраны такие не случайно, при других проверенных мной корнях система теряла устойчивость.

Синтез оптимального регулятора для непрерывного объекта

Математическая модель непрерывного объекта задана в пространстве состояний:

;

Для того чтобы синтезировать оптимальный регулятор необходимо синтезировать управление минимизирующее функционал качества управления:

где Q - симметричная, неотрицательно определенная матрица:

и представима в виде , а такая, что пара - неособенная.

R - симметричная положительная матрица

Также объект должен являться управляемым (в нашем случае выполняется).

Синтезированное оптимальное управление будет иметь следующий вид:

,

где вектор настроек К определяется по формуле

P является решением матричного алгебраического уравнения Риккати:

В качестве матрицы R возьмём

.

Матрицу Q найдём благодаря следующему алгоритму:

Введём вектор z: ,

Где y - наша выходная переменная (изменение скорости движения).

z находится от вектора x с помощью следующего соотношения: ,

где

в 1 строке ставим 1 на месте нашей выходной переменной (в нашем случае на месте );

во 2 строке записываем коэффициенты при .

В итоге получим:

Напомним что является частью функционала (17.1.2).

Остаётся только определить матрицу :

,

где, в соответствии с рекомендациями Александрова, q_ii следующие:

;

- статическая ошибка; - длительность переходного процесса.

По формуле (17.1.6.) находим матрицу Q:



Проверим симметричность матрицы Q в Matalb и убедимся что .

Выводы

В данной работе было проведено исследование управления скоростью полёта тяжёлого транспортного самолёта, в котором математическая модель объекта определяется системой дифференциальных уравнений в количестве 5 штук.

В ходе проделанной работы были построены непрерывная и дискретная модели управления объекта. Математические модели были представлены в пространстве состояний и в виде модели «вход-выход». Для непрерывной и дискретной системы была доказана эквивалентность модели «вход-выход» и модели в пространстве состояний, что подтверждает достоверность построения моделей.

Дискретная модель была построена для 1 части курсовика с шагом дискретизации 0.073, для 2 с шагом 0.5. Шаг был поменян для того чтобы выполнялось условие управляемости системой (параграф 13).

Были построены частотные характеристики в параграфе 10, а именно АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для непрерывного объекта, а для дискретного объекта - АФЧХ, также была построена ИПФ для непрерывного объекта в параграфе 7.

В параграфах 11 и 12 был произведен анализ устойчивости непрерывной и дискретной математических моделей управления объекта по критериям устойчивости: Ляпунова, Стодолы, Гурвица, Михайлова, Шура - Кона и Найквиста. Для моделей (непрерывной и дискретной) разомкнутой системы получены одинаковые результаты: разомкнутая система не является устойчивой. Результаты анализа устойчивости моделей замкнутой системы по критерию Найквиста оказались различными. Это объясняется тем, что рассматриваемая система находится на границе устойчивости, вследствие чего при построении дискретной модели проявляются дополнительные задержки, влияющие на устойчивость системы.

Был произведен синтез модального регулятора для непрерывной и дискретной модели при полной информации о векторе состояния и был исследован получившийся модальный регулятор.

В последних пунктах были синтезированы оптимальные регуляторы для непрерывной и дискретной модели и исследованы.

При исследованиях замкнутой системы построены переходные процессы для случаев: переходный процесс при ненулевых начальных условиях, ступенчатое изменение уставки, ступенчатое внешнее воздействие. Все переходные процессы отражены графически и проанализированы.

Для математических расчетов и преобразований использовались следующие математические пакеты: Matlab 6.5, MathCAD 2001 Professional, Maple 9.

Размещено на Allbest.ru