Управление перемещением считывающей головки дисковода

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Постановка задачи

считывающая головка дисковод

Необходимо исследовать динамические свойства объекта и построить для него управляющее устройство.

Данные:

Исследование управления перемещением считывающей головки дисковода.

Требование к точности позиционирования составляет 1 мкм, перемещение от дорожки к дорожке должно совершаться не более чем за 50 мс.

Перемещение считывающей головки осуществляется двигателем постоянного тока, управляемым по напряжению, приложенному к цепи якоря. Передаточная функция устройства определяется выражением:

. (1.1)

Таблица 1

Параметр	Обозначение	Значение
Момент инерции рычага и считывающей головки	J	2 н • м • с2 / рад
Коэффициент трения	b	60 кг / м / с
Сопротивление якоря	R	3 Ом
Коэффициент передачи двигателя	Кm	8 н • м / А
Индуктивность якоря	L	6 мГн

2. Построение математической модели линейного непрерывного объекта

В этой части работы будут построены математические модели объекта управления: в пространстве состояний и «вход-выход». Затем будет осуществлен переход от модели «вход-выход» к модели в пространстве состояний и обратно. Далее будет доказана эквивалентность исходной модели в пространстве состояний и полученной после перехода от модели «вход-выход».

2.1 Непрерывные математические модели

2.1.1 Математическая модель «вход-выход». Переход от модели «вход-выход» к модели в пространстве состояний

Объект имеет передаточную функцию, определяемую выражением (1.1):

,

где W(p)-передаточная функция

Функция представляет собой математическую модель типа «вход-выход», общий вид которой представлен ниже:

, (2.1)

где - входное воздействие,

- выходная переменная.

2.1.2 Переход от модели «вход-выход» к модели в пространстве состояний

Теперь осуществим непосредственно переход от модели «вход-выход» к математической модели в пространстве состояний.

Значения параметров подставим в формулу (2.1):

Математическая модель типа «вход-выход» выглядит следующим образом:

, (2.3)

где

Пусть

,,

тогда

(2.4.1)

оператор дифференцирования, поэтому выражение (2.4.1) можно представить:

(2.4.2)

Проведем такую замену переменных:

Тогда уравнение (2.4.2) можно записать:

(2.5.1)

Поделим все члены уравнения (2.5.1) на коэффициент :

(2.5.2)

То есть получили систему уравнений:

(2.6)

Систему (2.6) можно представить как:

,

.

где

, , ,

матричные коэффициенты уравнений состояний вида:

(2.7)

Получили математическую модель объекта в пространстве состояний.

2.1.2 Переход от математической модели в пространстве состояний к модели типа «вход-выход»

Математическая модель в пространстве состояний выглядит следующим образом:

(2.8)

;

взаимосвязь входной переменной с вектором состояния;

-модель «вход-выход»

(2.9)

W(s)- передаточная функция модели «вход-выход», записанная через матричные коэффициенты уравнений состояний.

Чтобы найти передаточную функцию модели «вход-выход», необходимо найти резольвенту . Будем считать по методу Леверье-Фаддеева.

(2.10)

где

Нам надо вычислить коэффициенты

, , , , ,.

;

;

;

;

;

Проверка контрольного соотношения:

?₃A + a₃E = 0 (2.11)

Согласно методу Леверье-Фаддеева в результате контрольного соотношения (2.11) получили нулевую матрицу.

Многочлен можно также было найти, вычислив определитель . Сделаем это для проверки коэффициентов:

;

Теперь найдём передаточную функцию.

В начале пункта вывели следующее соотношение:

;

Отсюда находим,

=

= ;

или

.

Значит:

, , , (2.12)

Это передаточная функция модели «вход-выход».

Таким образом, при помощи алгоритма Леверье-Фаддеева осуществили переход от математической модели в пространстве состояний к модели типа «вход-выход».

Воспользуемся пакетом Control System Toolbox, входящим в состав среды Matlab 6.5, для проверки полученных результатов.

Проверим результат для передаточной функции. Для этого воспользуемся функциями:

Видим, что значение передаточной функции, полученное аналитически, совпадает с полученным в среде Matlab.

Докажем теперь эквивалентность полученной модели в пространстве состояний (2.7) исходной модели «вход-выход»(2.1).

Матрица управляемости для модели в пространстве состояний строится следующим образом:

Рассчитаем матрицы управляемости для моделей в пространстве состояний:

С помощью матриц управляемости можно определить матрицу S - подобного преобразования, позволяющего перейти от одной модели к другой. Это и будет являться доказательством того, что модели эквивалентны:

Тогда для проверки идентичности моделей необходимо, чтобы выполнялись равенства:

Проверим:

=

=; ;

Убеждаемся, что данные равенства выполняются, т.е. модели (2.7) и (2.12) эквивалентны.

3. Анализ переходных процессов в линейных непрерывных объектах и системах

Модель объекта задана соотношением Рассмотрим модель в пространстве состояний:

(3.1)

Решение дифференциального уравнения (3.1) определяется соотношением (интегральная форма Коши):

(3.2)

интегральная матрица системы

Произведем замену базиса , где матрица S - неособенная.

Таким образом, преобразуем систему (3.1) в следующий вид:

(3.3)

где - Жорданова форма матрицы A.

Решение для нового базиса выглядит так:

 (3.4)

где u(?) - единичное ступенчатое воздействие , а z(0) является нулевым вектором, так как - начальное условие.

Матрицы и подобные, значит собственные значения матрицы и совпадают.

Собственные значения матрицы :

(3.5)

Матрица A не имеет кратных собственных значений, поэтому ее Жорданова форма будет диагональной и состоять из одного блока Жордана:

. (3.6)

Найдем матрицу S.

, - столбцы матрицы S.

для :

Пусть , тогда ;

для :

Если , тогда ;

для :

Если , тогда .

Таким образом, получили матрицу S:

. (3.7)

Используя математическую среду MATLAB, посчитаем обратную матрицу:

Теперь необходимо найти экспоненту матрицы Жордана и интеграл от нее.

Экспонента от матрицы Жордана будет выглядеть следующим образом:

. (3.8)

Матрица J - особенная, поэтому интеграл в формуле (2.14) разложим в ряд:

Итак, решение системы (3.1):

(3.9)

Тогда решение системы (3.1):

Тогда выходная функция при единичном воздействии и нулевых начальных условиях (переходная функция):

Вычислим y(t) - выходной сигнал, используя уравнение системы (2.13).

y(t) = 0.12500000t - 0.12658228e^-0,5t(t+0.25000000t²+0.04166667t³) + 0.00158228e^-40t (t+ 20.00000000t²+266.66666667t³).

Если построить зависимости x₁(t) и y(t) на одном графике, то можно будет увидеть, что произойдет наложение одной кривой на другую. Это говорит о том, что в формировании выходного сигнала участвует в основном одна переменная x₁(t).

Исследовали переходный процесс при единичном ступенчатом воздействии.

4. Построение математических моделей объектов и систем дискретного типа. Анализ переходных процессов

4.1 Переход от уравнений состояния линейных непрерывных систем к уравнениям состояния дискретных систем

Дискретная модель объекта описывается разностными уравнениями зависимостей выходного сигнала от входного, вычисленных в дискретные моменты времени.

Для того чтобы перейти от уравнений состояния линейных непрерывных систем к уравнениям состояния дискретных систем, необходимо систему (2.8) привести к следующему виду:

(4.1)

, где T - период временной дискретности.

Если воспользоваться интегральной формулой Коши (3.2), можно найти дискретные матрицы

.

Они могут быть вычислены по формулам:

, , , . (4.2)

Известно, что . Согласно (3.2) мы получим дискретную матрицу.

Так как матрица A - особенная, то дискретную матрицу можно вычислить, разложив интеграл от матричной экспоненты в ряд по формуле

, то есть:

(4.3)

Возьмем Т = 0.25с и вычислим дискретные матрицы (3.2):

,,,. (4.4)

Осуществим переход от непрерывной модели к дискретной в Matlab при помощи функции c2d(sys,T) c периодом дискретности Т = 0.25 с.

Приведем листинг вычислений:

>> sys=ss(A,B,C,D) \\ так строится непрерывная модель

a = \\ матрица А

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 0 0 1

x3 0 -15 -30

b = \\ матрица В

u1

x1 0

x2 0

x3 0.67

c = \\ матрица С

x1 x2 x3

y1 1 0 0

d = \\ матрица D

u1

y1 0

Continuous-time model. \\ непрерывная модель

>> dis=c2d(sys,0.002) \\ переход от непрерывной модели к дискретной

a = \\ матрица

x1 x2 x3

x1 1 0.2383 0.006931

x2 0 0.896 0.03036

x3 0 -0.4554 -0.01481

b = \\ матрица

u1

x1 0.0005233

x2 0.004644

x3 0.02034

c = \\ матрица

x1 x2 x3

y1 1 0 0

d = \\ матрица

u1

y1 0

Sampling time: 0.25 \\ период временной дискретности

Discrete-time model. \\ дискретная модель

При помощи функции step(sys,dis,10) мы получим график, на котором изображены две модели: непрерывная и дискретная. Период дискретности Т = 0.25 с.

Рис. 4. Иллюстрирует реакцию объекта на единичное ступенчатое воздействие. Чем больше задавать значение периода временной дискретности, тем больше кривая дискретной модели будет стремиться к кривой непрерывной модели.

Осуществили переход от уравнений состояния линейных непрерывных систем к уравнениям состояния дискретных систем.

4.2 Переход от модели в пространстве состояний к модели «вход-выход» для дискретной системы

Также как и в пункте 2.2. будем использовать алгоритм Леверье-Фаддеева.

Математическая модель в пространстве состояний будет содержать дискретные матрицы вида (3.1).

Необходимо найти передаточную функцию W():

, где (4.5)

, , , .

Найдем резольвенту:

(4.6)

где

Для этого вычислим коэффициенты

Проверим следующее равенство (4.7)

В итоге получаем нулевую матрицу, что верно с точки зрения метода Леверье-Фаддеева.

Теперь можно составить передаточную функцию по формуле (3.5):

Это и есть математическая модель «вход-выход» для дискретной системы.

Получим передаточную функцию в среде Matlab:

>> sys=ss(A,B,C,D);

>> dis=c2d(sys,0.25);

>> w=tf(dis)

Transfer function:

0.0005233 z^2 + 0.0007863 z + 2.287e-005

----------------------------------------

z^3 - 1.881 z^2 + 0.8818 z - 0.0005531

Sampling time: 0.25

Вычисления совпадают. Передаточная функция вычислена правильно.

4.3 Анализ переходных процессов в линейных дискретных объектах и системах

Необходимо проанализировать переходные процессы, возникающие при изменении внешних условий, для модели дискретного объекта, заданного системой (3.1). Для вычислений будем использовать следующую формулу:

 (4.8)

Для упрощения процесса вычислений:

- подставим в систему (3.1) и получим систему в следующем виде:

, (4.9)

тогда

(4.10)

Метод итерационный, поэтому для вычислений будем использовать Matlab.Используем Matlab для построения реакции дискретной системы на единичное cтупенчатое воздейcтвие при нулевых начальных уcловиях:

% Построение графика реакции дискретного

% объекта на единичное входное воздействие

A=[0 1 0;0 0 1;0 -15 -30];

B=[0;0;0.67];

C=[1 0 0];

D=[0];

system=ss(A,B,C,D);

T=0.03;

system_d=c2d(system,T);

[S_d,J_d]=eig(system_d.A);

t_start=0.03;

t_step=T;

t_end=10;

points=333;

t=t_start:t_step:t_end;

y=0;

for k=1:points

sum=0;

for l=0:k-1

sum=sum+J_d^(k-1-l)*inv(S_d)*system_d.B;

end

y(k)=system_d.C*S_d*sum;

end

plot(t,y);

Рис. 5. Можно сравнить рис. 5. и рис. 4. На обоих графиках изображены кривые, характеризующие реакцию дискретного объекта на внешнее воздействие. Кривые идентичны.

5. Импульсные переходные функции для непрерывных и дискретных объектов и систем

5.1 ИПФ для непрерывной системы

На практике, исследуя модели объектов или систем, часто рассматривается, когда начальные условия нулевые и внешние воздействия изменяются в пределах:. Поэтому интегральную формулу Коши (2.11) в этом случае можно записать в следующем виде:

(5.1)

Если ввести в рассмотрение функцию , (5.2)

тогда соотношение

(5.3)

будет определять математическую модель, называемую сверткой функции.

Запишем соотношение (5.3) через функцию :

(5.4)

 называется импульсной переходной функцией (ИПФ) объекта или системы, а - обобщенная функция Дирака.

Физический смысл ИПФ можно определить, если рассмотреть реакцию объекта на управляющее воздействие в виде - функции

Тогда соотношение (5.1) можно переписать следующим образом:

(5.5)

Найдем ИПФ для нашего объекта управления. Для этого воспользуемся уже известными параметрами и вычислениями в предыдущих пунктах, а именно:

, , , ;

,

.

определим из соотношения (4.2):



Так как , то на выходе ИПФ примет вид то есть:

Построим график ИПФ на выходе системы управления:

Рис. 6. ИПФ есть реакция системы на входное воздействие в виде - функции.

5.1 ИПФ для дискретной системы

Дискретная модель задана соотношением (4.1).

Для дискретного объекта можно записать следующую систему, применяя интегральную формулу Коши:

(5.6)

Учитывая начальное условие :

(5.7)

ИПФ для дискретной системы или объекта будет выглядеть следующим образом:

(5.8)

Тогда (5.9)

Посчитаем в Matlab ИПФ на выходе дискретной системы:

for a=1:10001

y(a)=C_d*(A_d^(a-1))*B_d;

t=[0:0.25:20];

end

plot(t,y)

В результате получили следующий график:



Рис. 7. При помощи функции impulse() в среде Control System мы можем построить ИПФ для непрерывных и дискретных систем.

>> impulse(sys)

>> impulse(dis,20)

Получим два графика.

- для непрерывной системы:

- для дискретной системы:

Кривые полностью соответствуют найденным ранее ИПФ.

6 Преобразование Лапласа для построения передаточных функций

6.1 Передаточная функция непрерывного объекта

Передаточные функции вводятся с помощью преобразования Лапласа для уравнений «вход-выход» или уравнений состояния.

Элементы теории преобразования Лапласа.

f(t)-функция временного аргумента, такая что

Тогда функция комплексной переменной s, определяемая соотношением

(6.1.1)

называется изображением по Лапласу функции .

Обратное преобразование Лапласа:

(6.1.2)

Дана математическая модель «вход-выход» в следующем виде:

(6.1.3)

где p - оператор дифференцирования по времени ;

Получим , применяя преобразование Лапласа:

 (6.1.4)

где ,

то есть

передаточная функция непрерывного объекта.

6.2 Передаточная функция дискретного объекта

Преобразование Лапласа для дискретной системы:

, (6.2.1)

где - комплексный параметр суммы.

z - преобразование:

где . (6.2.2)

Обратное преобразование:

(6.2.3)

Задана дискретная модель в следующем виде:

. (6.2.4)

К соотношению (5.8) применим теорему сдвига ( и - оригиналы дискретного преобразования):

Тогда

где

.

(6.2.6)

, определенное соотношением (5.10), называется передаточной матрицей или функцией, которая определяет взаимосвязь изображений выхода и входа при нулевых начальных условиях.

Если , то примет вид

, (6.2.7)

где - передаточная функция дискретного объекта при использовании z-преобразования.

Общие выводы по проделанной работе

В ходе проделанной работы были построены непрерывная и дискретная модели объекта (перемещение считывающей головки дисковода). Математические модели были представлены в виде модели «вход-выход» и в пространстве состояний. Для непрерывной и дискретной системы была доказана эквивалентность модели «вход-выход» и модели в пространстве состояний. Также были построены графики реакции объекта (непрерывного и дискретного) на стандартные виды входного сигнала: единичное воздействие (функция Хевисайда) и импульсное воздействие (функция Дирака); исследованы и построены частотные характеристики, т.е. рассмотрено влияние на систему входного воздействия в виде гармонической функции.

Также был произведен анализ устойчивости непрерывной и дискретной систем по следующим критериям: корневой, Ляпунова, Стодолы, Гурвица, Михайлова, Шура-Кона и Найквиста. Результаты анализа устойчивости показали, что исследуемый объект является неустойчивым. Анализ критерия Найквиста для непрерывной и дискретной системы показал, что при замыкании системы отрицательной обратной связью она становится асимптотически устойчивой. При этом непрерывный и дискретный объект имеют бесконечный запас по амплитуде,так как объект устойчив и по фазе, равный =1.4 рад.=80 .

Было произведено исследование моделей на предмет управляемости, в ходе которого было выяснено, что непрерывная и дискретная системы являются вполне управляемыми, поэтому для них возможен синтез управляющих устройств (регуляторов). Поэтому был также произведен синтез модального регулятора (для дискретной и непрерывной модели) и проведено его исследование:

1.анализ реакции замкнутой системы на ненулевые начальные условия

2.анализ реакции замкнутой системы на изменение задающего воздействия

3.анализ реакции замкнутой системы на возмущение, приведенное по входу.

При анализе полученных графиков, были сделаны выводы о качестве разработанной системы:

Во всех случаях отсутствует перерегулирование; длительность переходного процесса примерно равняется заданному; установившаяся ошибка стремится к нулю. Это главные критерии оценки качества системы. Далее, при анализе реакции объекта на ступенчатое изменение внешнего воздействия, по графику, мы увидели, что установившееся значение выходной переменной небольшое, поэтому можно считать что система помехоустойчива.

В ходе работы мы выяснили, что исследуемый линейный объект является вполне наблюдаемым.

Также было синтезировано оптимальное управление для непрерывной и дискретной модели и проведено его исследование:

-анализ реакции замкнутой системы на ненулевые начальные условия

-анализ реакции замкнутой системы на изменение задающего воздействия

- анализ реакции замкнутой системы на возмущение, приведенное по входу.

При анализе полученных графиков, были сделаны выводы о качестве разработанной системы:

Во всех случаях отсутствует перерегулирование; время переходного процесса равно заданные 0.05с,как и было задано; при отработки ненулевых начальных условий, при ступенчатом изменение уставки и при ступенчатом внешнем воздействие ошибка управления практически равна 0 и не превышает заданные 0.0001%.

Размещено на Allbest.ru