Сетевой моделью (другие названия: сетевой график, сеть) называется экономико-компьютерная модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научно-исследовательского, производственного и др.), в их логической и технологической последовательности и связи.

Анализ сетевой модели, представленной в графической или табличной (матричной) форме, позволяет:

- более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта;

- определить наиболее оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, например, сокращения сроков выполнения всего комплекса работ.

Таким образом, методы сетевого моделирования относятся к методам принятия оптимальных решений, что оправдывает рассмотрение этого типа моделей в данной курсовой работе.

I. Алгоритмы на графах

сетевое моделирование матрица граф

Графом называется совокупность двух конечных множеств: - множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами.

Если рассматриваемые пары вершин являются упорядоченными, т. е. на каждом ребре задается направление, то граф называется ориентированным; в противном случае -- неориентированным. Последовательность неповторяющихся ребер, ведущая от некоторой вершины к другой, образует путь.

Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь, их соединяющий; в противном случае граф называется несвязным.

В экономике чаще всего используются два вида графов: дерево и сеть.

Дерево представляет собой связный граф без циклов, имеющий исходную вершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями.

Сеть -- это ориентированный конечный связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток). Таким образом, сетевая модель представляет собой граф вида «сеть».

В экономических исследованиях сетевые модели возникают при моделировании экономических процессов методами сетевого планирования и управления (СПУ).

Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающих определенными ресурсами и выполняющих определенный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т.п.

Основой сетевого планирования и управления является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы.

Основные понятия сетевой модели:

событие;

работа;

путь.

Работа характеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, или логическое, требующее лишь взаимосвязи событий. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i,j), где i -- номер события, из которого работа выходит, а j -- номер события, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит.

Каждая работа имеет определенную продолжительность t (i,j)-Например, запись t (2,5) = 4 означает, что работа (2,5) имеет продолжительность 5 единиц. К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками (см. работу (6,9)).

На рис. 1 графически представлена сетевая модель, состоящая из 11 событий и 16 работ, продолжительность выполнения которых указана над работами.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 - Сетевая модель

Работа характеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, или логическое, требующее лишь взаимосвязи событий. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i,j), где i -- номер события, из которого работа выходит, а j -- номер события, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность t (i,j). Например, запись t (2,5) = 4 означает, что работа (2,5) имеет продолжительность 5 единиц.

К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками (см. работу (6,9)).

Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие свершается в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него. События обозначаются одним числом и при графическом представлении сетевая модель изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер (i = 1, 2, ..., n).

В сетевой модели имеется начальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечное событие (с номером N), в которое работы только входят.

Путь -- это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины, например, в приведенной выше модели путями являются L1 = (1, 2, 3, 7, 10, 11), L2 = (1, 2, 4, 6, 11) и др.

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную длину, называют критическим и обозначают LKp, а его продолжительность -- tкр.

Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.

Cетевая модель имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.

Перед расчетом СМ следует убедиться, что она удовлетворяет следующим основным требованиям:

1. События правильно пронумерованы, т. е. для каждой работы (i, j) i <j (см. на рис. 2 работы (4,3) и (3,2)). При невыполнении этого требования необходимо использовать алгоритм пере нумерации событий, который заключается в следующем:

- нумерация событий начинается с исходного события, которому присваивается № 1;

- из исходного события вычеркивают все исходящие из него работы (стрелки), и на оставшейся сети находят событие, в которое не входит ни одна работа, ему и присваивают № 2;

- затем вычеркивают работы, выходящие из события № 2, и вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа, и ему присваивают № 3, и так продолжается до завершающего события, номер которого должен быть равен количеству событий в сетевом графике;

- если при очередном вычеркивании работ одновременно несколько событий не имеют входящих в них работ, то их нумеруют очередными номерами в произвольном порядке.

2. Отсутствуют тупиковые события (кроме завершающего), т. е. такие, за которыми не следует хотя бы одна работа (событие 5).

3. Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа (событие 7).

4. Отсутствуют циклы, т. е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим.

При невыполнении указанных требований бессмысленно приступать к вычислениям характеристик событий, работ и критического пути. Для событий рассчитывают три характеристики: ранний и поздний срок совершения события, а также его резерв.

Ранний срок свершения события определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного до рассматриваемого события, причем tр(1) = 0, a tр (N) = tKp(L):

tр(j)=max { tр(j) +(i,j)}; j=2,N

Поздний срок свершения события характеризует самый поздний допустимый срок, к которому должно совершиться событие, не вызывая при этом срыва срока свершения конечного события:

tn (i) = min { tn (i) - t(i,j)}; j=2,N-1.

Независимый резерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие -- начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ.

Путь характеризуется двумя показателями -- продолжительностью и резервом. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.

Резерв определяется как разность между длинами критического и рассматриваемого путей. Из этого определения cледует, что работы, лежащие на критическом пути, и сам критический путь имеют нулевой резерв времени. Резерв времени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ, составляющих данный путь, без изменения продолжительности общего срока выполнения всех работ.

Перечисленные выше характеристики СМ могут быть получены на основе приведенных аналитических формул, а процесс вычислений отображен непосредственно на графике, либо в матрице (размерности N*N), либо в таблице.

Рассмотрим последний указанный способ для расчета СМ, которая представлена на рис. 1; результаты расчета приведены в табл. 1.

Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы табл.1. При этом работы следует последовательно записывать в гр. 2: сперва начинающиеся с номера 1, затем с номера 2 и т.д.

Граф - система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий {геометрический способ задания графа - см. рисунок 1). Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками - дугами, без стрелок - ребрами. Граф, в котором направление линий не выделяется (все линии являются ребрами), называется неориентированным; граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным.

Теория графов может рассматриваться как раздел дискретной математики (точнее - теории множеств), и формальное определение.

Начало теории графов датируют 1736 г., когда Л. Эйлер решил популярную в то время «задачу о кенигсбергских мостах». Термин «граф» впервые был введен спустя 200 лет (в 1936 г.) Д. Кенигом.

Решение графа таково: задано конечное множество X, состоящее из n элементов (X = {1, 2,.., n}), называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения X хХ, то есть VcX 2, называемое множеством дуг, тогда ориентированным графом G называется совокупность (X, V) (неориентированным графом называется совокупность множества X и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству X). Дугу между вершинами i и j, i, j еХ, будем обозначать (i, j). Число дуг графа будем обозначать m (V = (v 1, v 2,..., v m)).

Язык графов оказывается удобным для описания многих физических, технических, экономических, биологических, социальных и других систем.

Приведем ряд примеров приложений теории графов:

* «Транспортные» задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребрами - дороги (автомобильные, железные и др.) и/или другие транспортные (например, авиационные) маршруты.

Другой пример - сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т.д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами - возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т.д.).

Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т.д., иногда называется задачами обеспечения или задачами о размещении. Их подклассом являются задачи о грузоперевозках [7, 12].

* «Технологические задачи», в которых вершины отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т.д.), а другие потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков [7, 12].

* Обменные схемы, являющиеся моделями таких явлений как бартер, взаимозачеты и т.д. Вершины графа при этом описывают участников обменной схемы (цепочки), а дуги - потоки материальных и финансовых ресурсов между ними. Задача заключается в определении цепочки обменов, оптимальной с точки зрения, на­ пример, организатора обмена и согласованной с интересами участников цепочки и существующими ограничениями [6, 9, 17].

* Управление проектами. С точки зрения теории графов проект - совокупность операций и зависимостей между ними {сетевой график - см. ниже). Хрестоматийным примером является проект строительства некоторого объекта.

Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ) [7, 10]. В рамках КСПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени выполнения проекта, затрат, риска и др.).

* Модели коллективов и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т.д.) - в виде ребер или дуг. В рамках подобного описания решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения, определения агрегированных показателей, отражающих степень напряженности, согласованности взаимодействия и др.

* Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы, а ребрами или дугами - связи (информационные, управляющие, технологические) между ними [13, 18].

Управление проектами - раздел теории управления, изучающий методы и механизмы управления изменениями (проектом называется целенаправленное изменение некоторой системы, осуществляемое в рамках ограничений на время и используемые ресурсы; характерной чертой любого проекта является его уникальность, то есть нерегулярность соответствующих изменений).

Завершив краткое описание прикладных областей, вернемся к введению основных понятий теории графов.

Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми ребрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если из графа удалить часть ребер (дуг), то получим частичный граф.

Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) - инцидентным соответствующим вершинам.

Путем называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги является началом другой дуги. Простой путь - путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды. Элементарный путь - путь, в котором ни одна вершина не встречается дважды. Контур - путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной. Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).

Граф, для которого из следует называется симметрическим. Если из следует, что то соответствующий граф называется антисимметрическим.

Цепью называется множество ребер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого. Другое определение: цепь - последовательность смежных вершин. Замкнутая цепь называется циклом. По аналогии с простым и элементарным путем, можно определить соответственно простые и элементарные цепь и цикл. Любой элементарный цикл является простым, обратное утверждение в общем случае неверно. Элементарная цепь (цикл, путь, контур), проходящая через все вершины графа называется гамильтоновой цепью (циклом, путем, контуром). Простая цепь (цикл, путь, контур), содержащая все ребра (дуги) графа называется эйлеровой цепью (соответственно - циклом, путем, контуром).

Если любые две вершины графа можно соединить цепью, то граф называется связным. Если граф не является связным, то его можно разбить на связные подграфы, называемые компонентами. Связностью графа называется минимальное число ребер, после удаления которых граф становится несвязным.

Для ориентированных графов, если любые две вершины графа можно соединить путем, то граф называется сильно связным. Известно [7], что: связность графа не может быть больше, чем [2m /n], где [x] - целая часть числа x; существуют графы с n вершинами и m ребрами, имеющие связность [2m /n]; в сильно связном графе через любые две вершины проходит контур. Связный граф, в котором существует Эйлеров цикл, называется Эйлеровым графом.

В неориентированном графе степенью вершины i называется число di инцидентных ей ребер. Очевидно, dj < n - l, i eX. Граф, степени всех вершин которого равны n - 1, называется полным. Граф, все степени вершин которого равны, называется однородным.

Вершина, для которой не существует инцидентных ей ребер (di = 0) называется изолированной. Вершина, для которой существует только одно инцидентное ей ребро (di = 1) называется висячей.

Известно [7], что: (данное выражение называется «леммой о рукопожатиях» - поскольку в каждом рукопожатии участвуют две руки, то при любом числе рукопожатий общее число пожатых рук четно (при условии, что каждая рука учитывается столько раз, в скольких рукопожатиях она участвовала)); в любом графе число вершин нечетной степени четно.

Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны (теорема Эйлера). Обозначим щ -- число вершин, имеющих степень k, k = 0, 1, 2,....

Для ориентированных графов для каждой вершины можно ввести два числа - полустепень исхода (число выходящих из нее вершин) и полустепень захода d (число входящих в нее для эйлерова графа имеет место: d * = d i, вершин)).

В дальнейшем, если не оговорено особо, будем рассматривать графы без петель, то есть без дуг, у которых начальная и конечная вершины совпадают. Известно [7, 15], что: эйлеров граф является объединением контуров, попарно не имеющих общих ребер.

Определим матрицу смежности графа как квадратную матрицу n хп, элемент a i j которой равен единице, если и нулю, если. Для неориентированного графа матрица смежности всегда симметрическая.

Определим матрицу инциденций для ребер графа как прямоугольную матрицу n х m, элемент Гц которой равен единице, если вершина i инцидентна ребру j, и нулю в противном случае.

Аналогично определяется матрица инциденций для дуг графа - как прямоугольная матрицу m хп, элемент Гц которой равен плюс единице, если дуга Uj исходит из вершины i, минус единице, если дуга Ц заходит в вершину i, и нулю в остальных случаях.

Деревом называется связный граф без простых циклов, имеющий не менее двух вершин. Для дерева m = n -1, а число висячих вершин равно. Легко показать, что в дереве любые две вершины связаны единственной цепью.

Прадеревом называется ориентированное дерево, у которого одна из вершин, называемая корнем, не имеет заходящих дуг, а степени захода остальных вершин равны единице.

Плоским (планарным) называется граф, который можно изобразить на плоскости так, что различным вершинам соответствуют различные кружки и никакие два ребра не имеют общих точек, отличных от их границ (не пересекаются). Для плоского графа существует понятие грани - части плоскости, ограниченной ребрами и не содержащей внутри себя ни вершин, ни ребер. Для простоты определения грани в дальнейшем в основном будем рассматривать графы без висячих вершин. Например, дерево имеет всего одну внешнюю грань - всю плоскость. Степенью грани называется число ее граничных ребер (висячие ребра считаются дважды). Обозначим/? - число граней плоского графа, pk - число его граней, имеющих степень k, q i - степень гой грани. Можно показать, что имеет место - формула Эйлера [7, 15]. Данные выражения являются необходимыми условиями существования плоских графов с заданными наборами чисел.

Любому связному плоскому графу G можно поставить в соответствие двойственный ему связный плоский граф G *, определяемый следующим образом: каждой грани графа G соответствует вершина графа G*, каждому ребру V графа G, являющемуся граничным для граней z 1 и z 2, соответствует ребро V * графа G *, соединяющее соответствующие граням z 1 и z 2 вершины. Понятие двойственного графа тесно связано с понятием двойственности в линейном программировании [7].

Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и потому в практической работе вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки -- минимальная и максимальная.

Минимальная (оптимистическая) оценка tmin (i,j) характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) tmin (i,j) -- при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается, как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение tox оценивается по формуле (при бета-распределении плотности вероятности):

tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5.

Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии S2:

S2 (i,j) = (t max (i,j) - t min (i,j) 2 :5 2 = 0.04 ( t max (i,j) - t min (i,j)2.

На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики СМ, однако они будут иметь иную природу, будут выступать как средние характеристики. При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом -- лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.

Кроме обычных характеристик СМ, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:

1) определить вероятность того, что продолжительность критического пути tкр не превысит заданного директивного уровня Т;

2) определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р.

1.6 Сетевое планирование в условиях неопределенности

Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и потому в практической работе вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки -- минимальная и максимальная.

Минимальная (оптимистическая) оценка tmin (i,j) характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) tmin (i,j) -- при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается, как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение tox оценивается по формуле (при бета-распределении плотности вероятности):

tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5.

Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии S2:

S2 (i,j) = (t max (i,j) - t min (i,j) 2 :5 2 = 0.04 ( t max (i,j) - t min (i,j)2.

На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики СМ, однако они будут иметь иную природу, будут выступать как средние характеристики.

При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом -- лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.

Кроме обычных характеристик СМ, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:

1) определить вероятность того, что продолжительность критического пути tкр не превысит заданного директивного уровня Т;

2) определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р.

Первая задача решается на основе интеграла вероятностей Лапласа Ф(г) использованием формулы:

P (t kp < T) = 0,5 + 0,5 Ф(z),

Где нормированное отклонение случайной величины:

z = (Т - tKp)/S Kp;

SKp -- среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути.

Соответствие между z и симметричным интегралом вероятностей приведено в табл. 2. Более точно соответствие между этими величинами (когда z вычисляется более чем с одним знаком в дробной части) можно найти в специальной статистической литературе.

При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0,8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность выполнения всего комплекса работ.

Для решения второй задачи используется формула:

Т = t ож (Lkp )+ z *S kp

Таблица 2 - Фрагмент таблицы стандартного распределения

Кроме описанного способа расчета сетей с детерминированной структурой и вероятностными оценками продолжительности выполнения работ, используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В соответствии с ним на вычислительной технике многократно моделируется продолжительность выполнения работ и рассчитывается на основе этого основные характеристики сетевой модели. Большой объем испытаний позволяет более точно выявить закономерность моделируемой сети.

1.7 Метод Флойда

2.1 Построение сетевой модели

Структура сетевой модели и оценки продолжительности работ (в сутках) заданы в табл. 3. Требуется:

а) получить все характеристики СМ;

б) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней;

в) оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с надежностью 95% (т. е. р = 0,95).

Три первые графы табл. 3. содержат исходные данные, а две последние графы -- результаты расчетов по формулам Так, например:

- tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5;

- tож(1,2)=(3*5 +2*7,5):5 =6;

- tож(2,3)=(3*4 +2*6,5):5 =5;

- S2 (i,j) = (t max (i,j) - t min (i,j) 2 :5 2 = 0.04 ( t max (i,j) - t min (i,j)2;

- S2 (1,2) = (7,5 - 5) 2 :25 =0,25;

- S2 (2,3) = (6,5 - 4) 2 :25 =0,25.

Таблица 3 - Структура сетевой модели

Получим сетевую модель аналогичную рассматриваемой:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом ход расчета характеристик модели остается аналогичен рассмотренному во второй главе. Напомним, что критическим является путь: Lкр = (1,2,4,5,10,11), а его продолжительность равна tкр = tож = 33 дня.

Дисперсия критического пути составляет:

S2Kp = S2(l,2) + S2(2,4) + S2(4,5) + S2(5,10) + S2(10,M) = 0,25 + 1,00 + 0,25 + 1,00 + 0,25 = 2,75.

Для использования формулы показателя дисперсии необходимо иметь среднее квадратическое отклонение, вычисляемое путем извлечения из значения дисперсии квадратного корня, т. е. SKp = 1,66. Тогда имеем:

Р(tкр <35) = 0,5 + 0,5 Ф{(35 - 33)1,66} = 0.5 + 0.5 Ф(1,2)=0,5+0,5*0,77=0,885.

Р(tкр <30) = 0,5 + 0,5 Ф{(30 - 33)/1,66} = 0,5 - 0,5Ф(1,8) = 0,5 - 0,5 * 0,95 = 0,035.

Таким образом, вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней, составляет 88,5%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней -- всего 3,5%.

Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего в табл.2 найдем значение аргумента z, которое соответствует заданной вероятности 95% . В графе Ф(z) наиболее близкое значение (0,9545 * 100%) к ней соответствует г = 1,9. В этой связи в формуле (3.61) будем использовать именно это (не совсем точное) значение. Тогда получим:

Т = tож(Lкр) + z-SKp = 33 + 1,9*1,66 = 36,2 дн.

Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности р = 95% составляет 36,2 дня.

Составим словесно-формульное описание алгоритма:

Начало процесса;

Ввод данных ((i,j), tmin(i,j), t max(i,j), tож(i,j), S2 (i,j);

Организация цикла;

Вычисление для каждого значения работы:

tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5;

S2 (i,j) = (t max (i,j) - t min (i,j) 2 :5 2 = 0.04 ( t max (i,j) - t min (i,j)2;

Завершение цикла;

Вычисление дисперсии критического пути:

S2Kp = S2(l,2) + S2(2,4) + S2(4,5) + S2(5,10) + S2(10,M);

Вычисление вероятности выполнения работ за 35 и 30 дней:

Р(tкр <35) = 0,5 + 0,5 Ф{(35 - 33)1,66} = 0.5 + 0.5 Ф(1,2)=0,5+0,5*0,77=0,885;

Р(tкр <30) = 0,5 + 0,5 Ф{(30 - 33)/1,66} = 0,5 - 0,5Ф(1,8) = 0,5 - 0,5 * 0,95 = 0,035;

Организация цикла для нахождения Ф(z);

Завершение цикла;

Вычисление срока выполнения всего комплекса работ:

Т = tож(Lкр) + z-SKp = 33 + 1,9*1,66 = 36,2 дн.

Вывод результатов;

Конец процесса.

Список литературы