Компьютерное моделирование систем управления

16

Введение

Аналитические исследования целого ряда проблем, которые относятся к предмету теории управления, можно обнаружить еще в работах И. Ньютона, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и других известных ученых, а история искусственных регуляторов и автоматически действующих систем самой разнообразной физической природы восходит к началам цивилизации. Тем не менее, возникновение теории управления (регулирования) как самостоятельной науки принято связывать с первыми публикациями в этой области Дж.К. Максвелла («On Governors», 1868) и И.А. Вышнеградского («Об общей теории регуляторов», 1876), предложивших научное обоснование некоторых проблем устойчивости динамических систем. Первый, так называемый «классический» этап развития науки управления в значительной степени характеризуется инженерной направленностью и использованием, в основном, частотных методов исследований, а ее технические приложения - применением ряда стандартных управляющих устройств (регуляторов) механического и электромеханического типа.

В середине ХХ века развитие технического оснащения всех отраслей человеческой деятельности, усложнение процессов, подлежащих управлению, и повышение требований к качеству автоматических систем привело к изменению облика теории управления. В этом немалую роль сыграли кибернетика и развитие средств вычислительной техники. Кибернетика как наука о связи и управлении, выдвигающая на передний план информационную сторону исследуемых динамических систем (в противовес их физическим особенностям), инициировала новый взгляд на процессы управления как процессы обмена и обработки информации. Это сразу же выявило необходимость более интенсивного развития математического аппарата для их описания и удобство временных методов исследования систем. Повышенное внимание, уделяемое аналитическому (математическому) описанию динамических процессов, является ключевой особенностью современной теории управления как науки /1/, впитавшей в себя целый ряд подходов, развитых ранее в механике и математике (работы Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, В.Р. Гамильтона, А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова и многих других). В этой связи вполне естественным оказалось привлечение метода пространства состояний. Метод ввел в обиход исследователей временной анализ процессов, что позволило взглянуть на многие положения теории управления с позиции развития явлений во времени, и обозначил необходимость пространственной интерпретации динамический процессов. Это, во-первых, дало возможность привлечь хорошо разработанный математиками аппарат линейной алгебры и теории дифференциальных уравнений, а во-вторых, положило начало развитому впоследствии дифференциально-геометрическому подходу.

Интенсивное развитие во второй половине ХХ века вычислительной техники и информатики предоставило необходимый технический аппарат для реализации сложных алгоритмических процедур и практической организации совершенных процессов управления сложными системами, а развитие робототехники, механотроники и других инженерных дисциплин - широкую базу внедрения теории в практику электромеханических и физических систем нового поколения.

Теория автоматического управления ХХI века является основной кибернетической дисциплиной, тесно связанной с новейшими достижениями математики и информатики.

Системы управления автоматизированным производством, системами, представляются объектами, способными к автоматической адаптации относительно окружающей среды и условий эксплуатации.

Квалификация современного инженера по разработке систем автоматизации и управления технологическим оборудованием, технологическим процессом, включающих в себя электронные и микропроцессорные системы, в итоге определяется уровнем его математических знаний в области теории управления и математического моделирования указанных систем на ЭВМ.

Курсовая работа направлена на освоение студентами основ теории управления и математического аппарата моделирования систем управления любой предметной области, нацеливает студентов на освоение системного подхода к разработке автоматизированных систем управления и их программной реализации.

Цели работы:

1. Освоить отдельные понятия и вопросы теории управления (корректирующие элементы, структурно-неустойчивые системы, жесткие и гибкие обратные связи в качестве корректирующих элементов, введение в закон регулирования производных и интегралов, применение астатических звеньев в качестве корректирующих элементов; оптимальный переходный процесс; критерий оптимальности; интегральные методы оценки качества систем).

2. Закрепить навыки работы с программным комплексом моделирование в технических устройствах (ПК «МВТУ»); методику определения устойчивости систем управления (СУ) с помощью частотных и алгебраических критериев устойчивости; методику параметрической оптимизации СУ на примерах линейных СУ.

3. Получить практические навыки программной реализации алгоритмов управления.

Для выполнения работы необходимо изучить принципы и методику моделирования СУ с помощью ПК «МВТУ», а также понятия коррекции СУ и законы регулирования, особенности параметрической оптимизации СУ, функциональные возможности ПК «МВТУ» и основные этапы работы в ПК, цифровые модели типовых динамических звеньев (ТДЗ).

1 Краткий теоретический материал

В общем случае под термином математическое моделирование автоматических систем понимаются процессы отыскания их математических моделей, а также непосредственного исследования и анализа этих моделей на основе методов теории автоматического управления и регулирования аналитически, графоаналитически или с использованием ЭВМ. По мере развития вычислительной техники разработано достаточно много прикладных программ применительно к современным компьютерам, обеспечивающих исследование переходных и установившихся процессов в автоматических системах любой сложности и практически в любых режимах работы при изменении их параметров и структуры. Метод исследования СУ на основе таких прикладных программ и является методом математического моделирования с помощью компьютера - методом компьютерного моделирования /2/. Его сущность заключается в том, что на основе математической модели СУ с помощью прикладной программы на компьютере получают графики переходных процессов. Анализируя эти графики, достигают следующих целей:

– определяют устойчивость системы,

– определяют качество системы,

– если система оказывается неустойчивой или показатели качества не отвечают заданным требованиям, то, изменяя параметры элементов СУ или ее структуру (вводя дополнительные корректирующие элементы), добиваются желаемого результата (устойчивости системы или требуемых показателей качества), оптимизируя закон регулирования или параметры регулятора.

Устойчивость СУ можно оценить по виду переходного процесса. Если график переходного процесса сходящийся, то система устойчивая, а если расходящийся, то неустойчивая (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Переходные процессы СУ:

1.2.1 Критерии устойчивости линейных СУ

Прямой анализ устойчивости СУ, основанный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью вычисления корней, что является непростой задачей. Поэтому в инженерной практике важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.

Способы определения устойчивости СУ без вычисления корней характеристического уравнения называются критериями устойчивости СУ /3/. Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические - основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения, и частотные - основанные на анализе частотных характеристик СУ.

Алгебраический критерий Гурвица

Этот критерий позволяет определить устойчивость СУ, если характеристическое уравнение замкнутой системы представлено в виде:

(1.1)

Для этого строится главный определитель Гурвица (1.2) по следующему правилу: по главной диагонали выписываются все коэффициенты от a1 до an в порядке возрастания коэффициентов. Столбцы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На месте коэффициентов с индексами, большими порядка характеристического уравнения и меньшими нуля, проставляют нули. Выделяя в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определитель Гурвица низшего порядка:

, .

Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель.

Определение: чтобы СУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения замкнутой САУ. При a00 для устойчивости СУ необходимо и достаточно выполнение условий:

.

Критерий Михайлова - это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по поведению ее характеристического вектора на комплексной плоскости. Характеристический вектор получают путем подстановки в выражение для характеристического полинома значения . Тогда характеристический вектор представляется комплексной величиной, определяемой как:

, (1.3)

где ;

.

Формулировка критерия: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы ее характеристический вектор при изменении частоты от 0 до повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с положительной вещественной оси на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения.

На рисунке 1.2 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых СУ.

Рисунок 1.2 - Годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых СУ

Изменение коэффициента а0 вызывает сдвиг годографа Михайлова вдоль горизонтальной оси без его деформации. Это дает возможность оценить предельное значение этого коэффициента, при котором сохраняются условия устойчивой работы СУ.

Частотный критерий Найквиста

Амплитудно-фазовый критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

Рассмотрим три амплитудно-фазовые характеристики простейшей статической СУ, устойчивой в разомкнутом состоянии. Из рисунка 1.3 видно, что для точек, определяемых частотами 1, 2, 3 находящихся на пересечении амплитудно-фазовой характеристики с отрицательной вещественной осью, сдвиг по фазе , в тоже время модули коэффициентов передачи W(1) 1, W(2)=1, W(3)1.

Формулировка критерия: если амплитудно-фазовая характеристика системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, построенная для частот, изменяющихся в интервале (0; ), не охватывают критическую точку с координатами (-1; j0), то система устойчива и в разомкнутом состоянии.

Логарифмический частотный критерий

Логарифмический критерий - это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой СУ по виду логарифмической характеристики разомкнутой системы (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 - ЛЧХ и ФЧХ разомкнутой СУ

Формулировка критерия: для устойчивости замкнутой системы при устойчивой разомкнутой необходимо и достаточно, чтобы при достижении ЛФЧХ линии - ордината ЛАЧХ была отрицательной, или иначе для всех частот с для которых L()фазовая характеристика не должна пересекать линию -.

Устойчивость СУ можно количественно оценить запасом устойчивости по фазе и амплитуде (усилению):

- величина фазы на частоте среза Д3с называется запасом устойчивости системы по фазе;

- величина ДL3 для частоты , при которой значение фазы равно -180, называется запасом устойчивости по усилению.

Обычно в нормально функционирующих СУ запас устойчивости по амплитуде (усилению) должен быть не менее 1015дб, по фазе 3060.

Запас устойчивости системы по амплитуде показывает, во сколько раз нужно увеличить коэффициент усиления системы для того, чтобы система из устойчивой перешла на границу устойчивости.

1.2.2 Показатели качества СУ

Оценки качества делятся на две группы:

1. Прямые методы (прямые показатели качества) основаны на получении переходной характеристика h(t) системы по результатам решения дифференциального уравнения, на применение интеграла свертки или экспериментально, например, при моделировании системы.

2. Косвенные методы (косвенные показатели (критерии) качества). Они оценивают качество переходных процессов по другим характеристикам системы, таким как частотные характеристики, характер и расположение корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции), интегралы временной функции переходного процесса.

Оценка качества переходного процесса при воздействии ступенчатой функции

Прямые оценки качества определяют по графику переходной характеристики системы управления , то есть при воздействии на систему единичной ступенчатой функции:

, (1.4)

при нулевых начальных условиях, или по кривой переходного процесса регулируемой переменной при воздействии на вход ступенчатой функции с амплитудой, соответствующей номинальному или иному определенному значению регулируемой переменной.

На вход системы поступает ступенчатый сигнал, на выходе можно наблюдать реакцию системы, кроме того, в качестве переходного процесса может рассматриваться изменение ошибки регулирования:

. (1.5)

Примерные графики изменения сигнала на выходе и ошибки регулирования показаны соответственно на рисунках 1.6 и 1.7.

Рисунок 1.6 - График переходной характеристики

Рисунок 1.7 - График установившейся ошибки

Рассмотрим прямые оценки качества переходных процессов, показанные на рисунках 1.6 и 1.7:

1. - минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью:

,

где Д - предварительно задается в процентах от установившегося значения , где нет определенных требований - принимают Д % = 5%.

2. у - перегулирование - максимальное отклонение от установившегося значения, выраженное в относительных единицах или процентах:

.

Обычно требования по перегулированию составляют , иногда к качеству процессов может быть предъявлено требование , на пример в системах позиционирования манипуляторов промышленных роботов.

3. - частота колебаний: ,

где - период колебаний для колебательных процессов.

4. - это число полных колебаний, которое имеет или за время регулирования , обычные требования по числу колебаний , в некоторых системах накладывают ограничение на колебательность , например, в системах с существенным люфтом в механических передачах.

5. - время достижения первого максимума.

6. - время нарастания переходного процесса, время от начала переходного процесса до момента первого пересечения графиком линии установившегося значения.

2. Синтез СУ

Если в результате компьютерного моделирования установлено, что СУ оказалась неустойчивой или ее показатели качества не соответствуют заданным, то дальнейший процесс моделирования сводится к синтезу СУ в соответствии с рекомендациями, изложенными далее /4,6-8/.

Синтез СУ - процедура определения структуры и параметров системы по заданным показателям качества управления.

Для решения задачи синтеза, например, алгоритмической структуры типовой одноконтурной СУ должны быть известны:

- передаточная функция объекта управления Wо(p);

- возмущение, действующее на выходе объекта, f(p), рисунок 2.1.

Рисунок 2.1 - Алгоритмическая структура типовой одноконтурной СУ

Результатом решения задачи синтеза алгоритмической структуры должна быть передаточная функция регулятора .

Зачастую при создании СУ на первом этапе проектирования в алгоритм ее функционирования закладывают простейший закон регулирования, согласно которому связь между сигналом рассогласования и сигналом следующая: