Расчет параметров квадратичной регрессионной модели методом наименьших квадратов
Характеристика метода наименьших квадратов как самого известного метода параметрической идентификации. Основные этапы схемы применения МНК. Математическая постановка задачи и алгоритм ее решения. Проверка коэффициента модели на значимость и адекватность.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.06.2010 |
| Размер файла | 2,7 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
9
Международный институт компьютерных технологий
Кафедра: Информатика и вычислительная техника
Курсовая работа
по дисциплине моделирование:
Расчет параметров квадратичной регрессионной модели методом наименьших квадратов
Выполнили студенты ВМ-064:
Осипов А.С. Баранов Е.И. Дирин А.Ю.
Руководитель: В.А. Каладзе
Нововоронеж, 2009
Содержание
1. Теоретико-аналитическая часть
1.1 Метод наименьших квадратов
1.2 Проверка однородности дисперсии
1.3 Критерий Фишера
1.4 Определение дисперсий неточности модели и ошибки эксперимента
1.5 Определение дисперсии воспроизводимости эксперимента
1.6 Проверка значимости коэффициентов модели
2. Техническое задание
2.2 Математическая постановка задачи
2.3 Алгоритм решения задачи
3. Заключение
1. Теоретико-аналитическая часть
1.1 Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов (МНК) - самый известный в этом разделе моделирования метод параметрической идентификации. Схема его применения сводится к трём основным этапам:
1) решение задачи структурной идентификации;
2) постановка задачи выпуклой оптимизации;
3) формирование и решение системы нормальных уравнений.
Пусть регрессионная модель объекта будет иметь вид линейной зависимости:
. (1.1.1)
Чтобы получить оценки коэффициентов этой модели, формируют алгоритм, удовлетворяющий критерию НК:
. (1.1.2)
С этой целью, из необходимого условия экстремума
, (1.1.3)
получается система нормальных уравнений ( линейного алгебраического уравнения с неизвестными):
(1.1.4)
Эту систему неоднородных линейных уравнений следует решить любым из известных методов в высшей алгебре, например, методом Крамера, Гаусса, обратной матрицы и т.п., предварительно проверив матрицу коэффициентов этой системы на невырожденность.
Проводится проверка значимости коэффициентов по t - критерию Стьюдента. Оценки дисперсии и коэффициентов вычисляются по формулам:
(1.1.5)
(1.1.6)
(1.1.7)
Проверка адекватности модели проводится известным методом Фишера.
Рототабельные планы нашли широкое применение на практике. Однако с точки зрения математиков, занимающихся развитием математической статистики, выбор такого критерия представляется мало обоснованным. Он не вытекает логически из тех идей, на которые базируется математика. Например, как выбрать расстояние до звездных точек; не все пространства независимых переменных, отведенное для эксперимента, используется в композиционных планах и т.д. Невозможно из множества рототабельных планов при одном и том же числе факторов выбрать лучший, т.к. не было критерия оценки. Поэтому этот критерий стали относить к эмпирико-интуитивным критериям.
Наряду с развитием планирования экспериментов, основанных на эмпирико-интуитивным критериях Бокса в США стало развиваться второе чисто теоретическое направление, которое связывают с планом ученого Кифера. Он установил связь между некоторыми критериями оптимальности; теоретически доказал, что для отдельных видов регрессии одни и те же планы могут отвечать сразу нескольким критериям оптимальности.
1.2 Проверка однородности дисперсий
Простейшим критерием проверки однородности дисперсий является критерий Фишера, который представляет из себя отношение большей дисперсии к меньшей:
Полученная величина F сравнивается с табличной величиной . Если F>, то дисперсии значимо отличаются друг от друга и тогда они неоднородны. Если сравнивается много дисперсий (более двух) и одна из дисперсий значимо превышает остальные, то можно применять критерий Кохрена - это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:
,
Гипотеза об однородности подтверждается, если G<Gt, где Gt - табличное значение.
1.3 Критерий Фишера
Проверку адекватности модели выполняют с помощью критерия Фишера:
,
где - дисперсия неточности модели, - дисперсия ошибки эксперимента.
Если , то гипотеза о том, что линейная модель адекватна, принимается. Здесь - табличное значение; - уровень значимости;F- вычисленное значение.
При гипотеза адекватности линейной модели по параметрам отвергается.
1.4 Определение дисперсий неточности модели и ошибки эксперимента
Обратимся к рис.4.7. Дисперсия характеризует ошибку эксперимента. Её можно получить путем возведения в квадрат разности с последующим суммированием по всем экспериментальным точкам:
(1.4.1)
Знаменатель дисперсии равен разности между общим количеством экспериментальных точек и числом наложенных связей n, т.к. каждая выборка дает одну связь.
Дисперсия характеризует неточность подгонки модели, её неадекватность. Поэтому её можно получить из разности , которая после возведения в квадрат и суммирования представляет собой сумму квадратов отклонений относительно эмпирической линии регрессии:
(1.4.2)
Здесь число степеней свободы равно (n-2). Две связи вызваны двумя ограничениями , связанными с определением и . Если математическое ожидание дисперсии равно дисперсии выходной величины : , то полученная эмпирическая модель будет корректной.
1.5 Определение дисперсии воспроизводимости эксперимента
Дисперсия характеризует ошибку эксперимента и называют дисперсией воспроизводимости эксперимента. Она может быть получена путем объединения дисперсий и :
(1.5.1)
Более простое определение .
1.6 Проверка значимости коэффициентов модели
Проверка значимости коэффициентов проводится двумя равноценными способами:
путем построения доверительного интервала;
по критерию Стьюдента.
Для определения доверительного интервала используют безразмерную t- статистику Стьюдента и считают, что оценка bj распределена относительно по нормальному закону:
(1.6.1)
Согласно выражения (4.25), находим доверительные интервалы:
(1.6.2)
где - квантиль t- распределения.
Согласно критерия Стьюдента влияние коэффициента bj значимо, если, где - дисперсия ошибки в определении коэффициента. Она определяется из выражений (1.4.1),(1.4.2); - табличное значение выбирается с учетом уровня значимости.
2. Техническое задание
2.1. Математическая постановка задачи
В данной курсовой работе необходимо определить оптимальную модель синтеза полимера в зависимости от содержания составляющих его мономеров с использованием рототабельного центрального композиционного планирования.
Исходные данные:
Параметры: , , , ,;
Факторы: , ?1= 0.025; , ?2= 0.1.
2.2. Алгоритм решения задачи
Реализация программного продукта происходит по следующим этапам:
• Заполнение таблицы исходными данными (х1, х2);
• Расчёт отклика объекта (Y);
• Расчёт отклика модели (Y^);
• Расчёт параметров модели (а0, а1, а2, а11, а22);
• Проверка модели на адекватность;
• Проверка каждого параметра на значимость;
Заполнение таблицы исходными данными (x1, x2) и вычисленными значениями отклика объекта (Y):
Найдены значения отклика модели (Y^) и её параметры (а0, а1, а2, а11, а22):
Проверка адекватности модели с помощью критерия Фишера:
Определили значимость параметров:
Исходя из этой таблицы, мы видим, каковы значения критериев Фишера и Стьюдента, адекватна ли модель, и проверку параметров на значимость, что позволяет сделать нам выводы.
Заключение
• Идентифицирована МНК квадратичная модель.
• Проверена модель - не адекватность.
• Проверены коэффициенты модели на значимость.
Подобные документы
Разработка алгоритма аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Средства реализации, среда программирования Delphi. Физическая модель. Алгоритм решения. Графическое представление результатов. Коэффициенты полинома (обратный ход метода Гаусса).
курсовая работа [473,6 K], добавлен 09.02.2015Обзор методов аппроксимации. Математическая постановка задачи аппроксимации функции. Приближенное представление заданной функции другими, более простыми функциями. Общая постановка задачи метода наименьших квадратов. Нахождение коэффициентов функции.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 16.02.2013Определение зависимости одной физической величины от другой. Применение метода наименьших квадратов с помощью программного обеспечения Mathcad. Суть метода наименьших квадратов. Корреляционный анализ, интерпретация величины корреляционного момента.
курсовая работа [63,8 K], добавлен 30.10.2013Анализ методов идентификации, основанных на регрессионных процедурах с использованием метода наименьших квадратов. Построение прямой регрессии методом Асковица. Определение значения дисперсии адекватности и воспроизводимости, коэффициентов детерминации.
курсовая работа [549,8 K], добавлен 11.12.2012Развитие навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и программным продуктом MathCAD и применение их для решения задач с помощью электронно-вычислительных машин. Схема алгоритма. Назначение функции Линейн и метода наименьших квадратов.
курсовая работа [340,4 K], добавлен 17.12.2014Подбор параметров линейной функции. Вычисление значения функции в заданных промежуточных точках с использованием математических пакетов. Исследование математической модели решения задачи. Составление программы для вычисления коэффициента корреляции.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 21.10.2014Определение параметров линейной зависимости из графика. Метод парных точек. Метод наименьших квадратов. Блок-схема программного комплекса в Microsoft Visual Studio и Microsoft Excel. Инструкция пользователя, скриншоты. Общий вид программного кода.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 29.11.2014Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Линеаризация экспоненциальной зависимости. Элементы теории корреляции. Расчет коэффициентов аппроксимации, детерминированности в Microsoft Excel. Построение графиков функций, линии тренда.
курсовая работа [590,9 K], добавлен 10.04.2014Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Линеаризация экспоненциальной зависимости. Элементы теории корреляции. Расчет аппроксимаций в табличном процессоре Excel. Описание программы на языке Turbo Pascal; анализ результатов ее работы.
курсовая работа [390,2 K], добавлен 02.01.2015Идентификация объектов методом наименьших квадратов, построение линейной модели для неравноточных измерений входной величины. Численные процедуры оценивания параметров нелинейной регрессии; аналитическая модель химического реактора; линеаризация.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.12.2010
