Программирование в системе MatLAB

1 ЧИСЛОВЫЕ МАССИВЫ

Применение массивов позволяет обращаться к нескольким ячейкам памяти, используя одно имя. Рассмотрим, как в системе MATLAB формируются и описываются одно-, двух- и многомерные массивы и покажем, как осуществлять вычисления с массивами.

Одномерные массивы. Часто бывает необходимо хранить в памяти компьютера большой набор данных, имеющих характеристики, такой, например, как множество оценок, полученных учениками на зачете. Создавая массив, вместо того, чтобы давать каждой ячейке памяти, используемой для хранения одного элемента данных, отдельное имя, всей последовательности ячеек дается одно имя. Конкретный элемент данных определяется по его расположению в последовательности. Для формирования такого массива используют операцию конкатенации, которая обозначается квадратными скобками. Например, операция

a=[2,4,6]

формирует массив чисел, который на экране отобразится следующим образом:

a = 2 4 6

Числовые массивы являются элементами типа double. В качестве элементов массива могут использоваться любые переменные типа double, т.е. вещественные или комплексные числа, а также переменные, которые сами являются массивами. Для доступа к конкретному элементу или компоненте массива требуется некоторая дополнительная информация. Такая информация предоставляется индексным выражением массива. Для обращения к какому-либо элементу массива используется операция индексации, которая обозначается круглыми скобками:

>> a(1)

ans = 2

Если требуется, например, присвоить второму элементу массива новое значение, то к нему надо применить одновременно операции индексации и присваивания.

Теперь массив a будет иметь следующий вид:

>> a(2)=93

a = 2 93 6

Выполнив функцию length (имя), можно узнать, из скольких элементов состоит массив с указанным именем. Например:

>> length(a)

ans = 3

Присвоив несуществующему четвертому элементу, значение типа double, получим массив, увеличившийся на один элемент:

>> a(4)=1;

>> a

a = 2 93 6 1

Если же присвоить значение типа double, например, восьмому элементу, то все элементы с номерами в диапазоне от 4 до 8 будут иметь значения ноль.

>> a(8)=5;

>> a

a = 2 93 6 1 0 0 0 5

Рассмотрим другой способ создания массивов с помощью функций ones и zeros, которые сразу создают массив нужного размера, заполненный, соответственно, единицами (ones) или нулями (zeros). Например, для создания массива а, можно вначале вызвать функцию ones:

>> a=ones(1,3)

a = 1 1 1

а затем с помощью операций индексации и присваивания постепенно создавать массив:

>> a(1)=2;

>> a(2)=93;

>> a(3)=6;

>> a(4)=1;

>> a

a = 2 93 6 1

Наконец, последний способ создания одномерных масс основан на применении операции «:». Эта операция применяется в том случае, когда необходимо создать массив чисел, изменяющихся с заданным шагам по мере увеличения индекса. Например, необходимо создать массив чисел в интервале от 3 до 17 с шагом 0,7. Выражение будет иметь следующий вид:

>> b=3:0.7:17

b = Columns 1 through 7

3.0000 3.7000 4.4000 5.1000 5.8000 6.5000 7.2000

Columns 8 through 14

7.9000 8.6000 9.3000 10.0000 10.7000 11.4000 12.1000

Columns 15 through 21

12.8000 13.5000 14.2000 14.9000 15.6000 16.3000 17.0000

Двумерные массивы. Массивы такого типа подобны одномерным, за исключением того, что их элементы определяются не одним индексом, а двумя. В математике подобные массивы называют матрицами, состоящими из строк и столбцов. Любая строка (или столбец) в матрице является одномерным массивом, который принято называть вектор - строкой или вектор - столбцом соответственно. Формирование матрицы осуществляется операцией конкатенации, которая обозначается квадратными скобками. Ниже показано, как формируется двухмерный массив с помощью операции вертикальной конкатенации. При этом элементы каждой последующей строки массива отделяются от предыдущей точкой с запятой, в то время как элементы той же строки разделяются запятыми, либо пробелами:

>> c=[4,5;7 9;3,1]

c = 4 5 7 9 3 1

Эту же матрицу можно сформировать горизонтальной конкатенацией вектор - столбцов;

>> c=[[4;7;3],[5;9;1]]

c = 4 5 7 9 3 1

Элементы матрицы можно также задавать с помощью функции cat, аргументы которой заключаются в круглые скобки. Для вертикальной конкатенации ее первый аргумент равен 1:

>> c=cat(1,[4 5],[7 9],[3 1])

c = 4 5 7 9 3 1

а для горизонтальной - равен 2:

>> c=cat(2,[4;7;3],[5;9;1])

c = 4 5 7 9 3 1

Размер созданного массива можно узнать с помощью функции size:

>> size(c)

ans =3 2

Результатом этой функции является пара чисел, причем первое из них - количество строк, а второе-количество столбцов. Ниже приведен пример применения функции size к переменной, которая состоит из одного числа:

>> d=7;

>> size(d)

ans = 1 1

Отсюда видно, что в системе MATLAB все переменные типа double представляются в виде двухмерных массивов, а именно: векторы - в виде двухмерных массивов, размер которых по одному из направлений равен единице; матрицы - в виде двухмерных массивов размера m x n; скаляры - в виде двухмерных массивов размером 1x1.

Существует также пустой массив, обозначаемый квадратными скобками [ ] , между которыми: ничего нет. Такой массив трактуется как матрица размером 0x0. Обычно пустой массив используют для того, чтобы удалять строки или столбцы матриц. Например:

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> A(3,:)=[ ]

A = 1 2 3 4 5 6

Информацию обо всех созданных массивах в текущем рабочем пространстве можно получить, выполнив команду whos, например:

>> whos

Name Size Bytes Class

A 2x3 48 double array

a 1x4 32 double array

ans 1x2 16 double array

b 1x21 168 double array

c 3x2 48 double array

d 1x1 8 double array

В системе MATLAB существует операция транспонирования, которая обозначается знаком «'» (апостроф). Ниже приведен пример транспонирования заданной матрицы А:

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =1 2 34 5 67 8 9

>> A'

ans =1 4 7 2 5 8 3 6 9

В результате применения операции транспонирования к вектор - строке получается вектор-столбец, и наоборот. В представленном ниже примере эти действия наглядно проиллюстрированы:

>> a=[1 2 3]

a = 1 2 3

>> b=a'

b = 1 2 3

>> b'

ans = 1 2 3

Многомерные числовые массивы. Многомерными называются массивы с размерностью больше двух. Для вызова элемента такого массива требуются три или более индексов, указывающих расположение требуемого элемента в нескольких направлениях.

Формирование многомерных массивов осуществляется аналогично работе с одно- и двухмерными массивами при помощи функций ones, zeros или cat. Таким образом, сначала формируется массив нулей или единиц заданного размера, затем с помощью операций индексации и присваивания можно получить нужный числовой массив.

Следующий пример наглядно иллюстрирует использование этих функций для создания многомерного числового массива.

Рисунок - Схематическое изображение трехмерного массива

Пусть в некотором городе в течение десяти лет каждый месяц ежедневно измеряется дневная температура, и все результаты за один год заносятся в прямоугольную таблицу. Тогда по истечении десяти лет получится десять двухмерных таблиц. Для того чтобы упорядочить все эти данные, удобно расположить таблицы в одном направлении и пронумеровать их. Таким образом получился трехмерный массив Т1.

Для его формирования в системе MATLAB необходимо сначала выполнить функцию ones или zeros:

>> T1=ones(M,N,L)

где М,N,L - размеры трехмерного массива по трем направлениям.

В данном примере М=12 (количество месяцев в году), N=31 (максимальное количество дней в месяце), L=10 (количество лет, в течение которых производятся: измерения). Т.е. функция будет иметь вид:

>> T1=ones(12,31,10)

>> T1=zeros(12,31,10);

Затем с помощью операций индексации и присваивания можно задать значение каждого элемента

>> T1(1,1,1)=-5;T1(2,1,1)=-20;...T1(12,31,10)=-9;

Необходимо отметить, что при помощи функций ones и zeros можно формировать только одно-, двух- и трехмерные массивы.

Пусть в трехмерном массиве Т2 собраны данные такого же типа, что и в Т1, но для другого города. После объединения данных обоих массивов в одно целое можно получить четырехмерный массив Т. Для его создания следует использовать второй способ выполнения операции конкатенации - с помощью функции cat:

T=cat (4, T1, T2)

где число 4 - номер направления, вдоль которого осуществляется конкатенация.

Для конкатенации вдоль пятого направления (измерения), например, если собраны данные по городам из разных стран, надо сначала создать четырехмерный массив C (для городов из другой страны), а затем объединить его с массивом Т:

A=cat (5, T, C)

Такая операция возможна, если размерности массивов Т и C совпадают. В противном случае программа выдаст на экран сообщение об ошибке. Созданный массив A можно изменять при помощи функций, представленных ниже.

reshape (X,m,n) - формирует матрицу размера m x n из элементов объекта X. Пример.

>> X=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]

X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

>> B=reshape(X,3,4)

B = 1 10 8 6 4 2 11 9 7 5 3 122

rref (X) - приводит матрицу X к треугольной форме методом Гаусса. Пример.

>> X=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12];

>> R=rref(X)

R = 1 0 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0

Операция двоеточие

В предыдущем разделе эта операция использовалась для создания массива с заданным шагом:

<НЗМ>:<Шаг>:<КЗМ>

где <НЗМ> - начальное значение массива; <КЗМ> - конечное значение массива.

При таком задании массивов действуют следующие правила:

1. <Н3М> < <КЗМ>, если <Шаг> > 0;

2. <Н3М > > <КЗМ>, если <Шаг> < 0 .

Если шаг не задан, то он принимается равным 1 либо -1, в соответствии с указанными правилами. Например:

>> 1:7

ans = 1 2 3 4 5 6 7

>> 11:-3:2

ans = 11 8 5 2

Выражения с оператором «;» могут также использоваться в качестве аргументов функций для получения множества значений этих функций. Например, в приведенном ниже примере вычислены функции Бесселя порядка от 0 до 3 со значением аргумента х=0.5.

>> x=0.5;

>> B=bessel(0:3,x)

B =

0.9385 0.2423 0.0306 0.0026

В следующем примере показано, как создать матрицу размером 2x3, используя оператор «;».

>> A=[1:3;4:6]

A = 1 2 3 4 5 6

Этот оператор можно использовать также для индексации элементов имеющегося массива, например:

>> A(:,3)

ans = 3 6

Таким образом, операция «;» является очень удобным средством для задания последовательности чисел и индексации массивов.

2 ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ

Основным элементом, с которым оперирует MATLAB, не число, а двухмерный массив - матрица, не требующая задания размерности. Это позволяет решать много технических вычислительных задач, особенно в матричной и векторной формулировках гораздо быстрее, чем при написании программ на скалярном интерактивном языке, таком как Си или Фортран. Рассмотрим основные операции над матрицами в MATLAB и применение их для решения некоторых простых задач.

Следующий пример иллюстрирует выполнение в MATLAB простых операций с векторами.

>> u=[1 2 3 4 ]

u = 1 2 3 4

>> cos(u)

ans = 0.5403 -0.4161 -0.9900 -0.6536

Из этого примера видно, что в М-языке системы MATLAB возможны групповые операции над всем массивом одновременно. Именно такие операции позволяют компактно задавать математические выражения, при вычислении которых выполняется огромный объем работы.

Над массивами любой размерности возможны операции сложения и вычитания. Однако при этом массивы должны иметь одинаковые размеры.

C=A+B; D=B-A .

Здесь, в частности, каждый элемент массива C равен соответствующих элементов массивов A и B. Например:

>> a= [1,2,3;4,5,6;7,8,9]

a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> b=[9,8,7;6,5,4;3,2,1]

b = 9 8 7 6 5 4 3 2 1

>> c=a+b

c = 10 10 10 10 10 10 10 10 10

>> c=b-a

c = 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8

Если массивы A и B будут разных размеров, то MATLAB выдаст сообщение об ошибке

>> a=[1,2,3;4,5,6]

a = 1 2 3 4 5 6

>> b=[9,8,7;6,5,4;3,2,1]

b = 9 8 7 6 5 4 3 2 1

>> c=b-a

??? Error using ==> -

Matrix dimensions must agree.

При сложении (или вычитании) массива А скаляра, последний преобразовывается в матрицу такого же размера, как и массиа А, а затем система производит вычисления.

>> a=[1,2,3;4,5,6]

a = 1 2 3 4 5 6

>> t=6

t = 6

>> d=a+t

d = 7 8 9 10 11 1

Для операций деления, умножения и возведения в степень массивов в системе MATLAB зарезервированы обозначения, состоящие двух символов.

Обозначения операций с массивами

Символ	Операция
/	деление
*	умножение
^	возведение в степень
./	поэлементное деление
.*	поэлементное умножение
.^	поэлементное возведение в степень

Следующий пример наглядно демонстрирует отличия операциями «/» и « ./'

>> x=1:3

x = 1 2 3

>> cos(x)/x

ans = -0.2330

>> cos(x)./x

ans = 0.5403 -0.2081 -0.3300

Различие заключается в том, что оператор «/» вычисляет отношение двух матриц, векторов или массивов по правилам линейной алгебры. С другой стороны, оператор “. / ” осуществляет деление соответствующих элементов массивов. Различия между операторами «*» и « .*» , «^» и «.^» аналогичны.

Знак «/» (а также знак «\») используют при решении СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений) вида

Ax=B

где A - заданная матрица коэффициентов уравнений;

В - заданный вектор-столбец свободных членов;

x - вектор-столбец неизвестных переменных.

Для нахождения x достаточно вычислить выражение В/А или, что то же самое, А\В. Например, решить систему уравнений:

>> A=[3 1;-1,1];

>> B=[1;2];

>> x=A\B

x = -0.2500 1.7500

В системе MATLAB имеются также особые функции для задания матриц и векторов. Например, функция magic(n) задает «магическую» матрицу размера nхn, у которой сумма всех строк, всех столбцов и всех диагоналей одинакова. Например:

>> M=magic (5)

M = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

Далее, с помощью функций sum, вычисляющей сумму всех элементов заданной вектор - строки (либо вектор - столбца), будет произведено суммирование элементов строк, столбцов и диагоналей этой матрицы.

>> Sstr=sum(M)

Sstr = 65 65 65 65 65

>> Sst=sum(M')

Sst = 65 65 65 65 65

>> Sdiag=sum(diag(M))

Sdiag = 65

Здесь запись М' означает транспонирование матрицы М, т.е. замену строк столбцами и наоборот.

Скалярное произведение векторов u и v также можно вычислить при помощи функции sum:

>> u=[1 2 3]

u = 1 2 3

>> v=[4 5 6]

v = 4 5 6

Векторное произведение вычисляется с помощью функции cross:

>> u=[1 2 3];

>> v=[4 5 6];

>> vect_pr=cross(u,v)

vect_pr = -3 6 -3

Длина вектора определяется по формуле:

где x - разность координат начала и конца вектора по оси x;

у - разность координат начала и конца вектора по оси у; z- разность координат начала и конца вектора по оси z. Например:

>> u=[2 4 4 ]

u = 2 4 4

>> lengs=sqrt(sum(u.*u))

lengs = 6

Угол между двумя заданными векторами u и v определяется с помощью следующей последовательности действий:

>> u=[1 2 3]

u = 1 2 3

>> v=[1 2 6]

v = 1 2 6

Длина вектора u:

>> len1=sqrt(sum(u.*u));

Длина вектора v:

>> len2=sqrt(sum(v.*v));

Угол между векторами u и v

>> phi=acos(sum(u.*v)/(len1*len2))

phi = 0.2838

Операции отношения, сравнения, а также логические операции для массивов выполняются поэлементно. Ниже приведен пример сравнения двух матриц A и B:

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

>> B=[9 8 7;6 5 4;3 2 1];

>> A>B

ans = 0 0 0 0 0 1 1 1 1

Здесь нуль означает «ложь» для данной позиции, а единица - «истину».

Далее будут приведены некоторые специальные функции и примеры их применения, предназначенные для работы и создания матриц в системе MATLAB.

3 ФУНКЦИИ ДЛЯ СОЗДАНИЯ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ

eye (n) - формирование единичной матрицы размера n x n. Пример. Создание единичной матрицы Е размера 3x3.

>> E=eye(3)

E = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

diag (v, n) - формирование диагональной матрицы. Пример. Создание диагональных матриц d, D, D1.

>> v=[3 5 7];

>> d=diag(v)

d = 3 0 0 0 5 0 0 0 7

>> D=diag(v,2)

D = 0 0 3 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

>> D1=diag(v,-2)

D1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 7 0 0

rand (n) - формирование матрицы размера n x n случайных элементов. Пример. Формирование матрицы случайных чисел R размера 3x3.

>> R=rand(3)

R = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214

ones (n) - формирование матрицы единичных элементов размера n х n. Пример. Создание единичной матрицы A размера 3x3.

>> A=ones(3)

A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

zeros (n) - формирование матрицы размера n x n нулевых элементов. Пример. Создание матрицы нулей Z размера 3x3,

>> Z=zeros(3)

Z = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

magic (n) - формирование магической матрицы размера n x n. Пример. Создание «магической» матрицы М размера 4x4.

>> M=magic(4)

M = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1

4 ФУНКЦИИ НАД КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЕЙ

diag(А) - определение элементов главной диагонали матрицы А. Пример.

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> D=diag(A)

D = 1 5 9

fliplr(A) - формирование матрицы с элементами, переставленными относительно вертикальной оси матрицы А. Пример.

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> B=fliplr(A)

B = 3 2 1 6 5 4 9 8 7

flipud(A) - формирование матрицы с элементами, переставленными относительно горизонтальной оси матрицы А. Пример.

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> B=flipud(A)

B = 7 8 9 4 5 6 1 2 3

prod (А) - формирование вектора произведений элементов каждого столбца матрицы А. Пример.

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> P=prod(A)

P = 28 80 162

sum (A) - формирование вектора сумм элементов каждого столбца матрицы А. Пример:

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> S=sum(A)

S = 12 15 18

rot90(A) - поворот матрицы А на 90° по направлению против часовой стрелки. Пример.

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> T=rot90(A)

T = 3 6 9 2 5 8 1 4 7

tril (A) - выделение нижней треугольной части матрицы А. Пример.

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> T=tril(A)

T = 1 0 0 4 5 0 7 8 9

triu (A) - выделение верхней треугольной матрицы А. Пример.

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> triu(A)

ans = 1 2 3 0 5 6 0 0 9

5 ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

cond (А) - возвращает число обусловленности, ocнованное на второй норме. Пример. Вычисление числа обусловленности матрицы А.

>> A=[1 2 ; 3 4 ]

A = 1 2 3 4

>> C=cond(A)

C = 14.9330

condeig (А) - формирует вектор чисел обусловленности для собственных значений матрицы А. Пример.

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> C=condeig(A)

C = 1.0396 1.0396 1.0000

de t (A) - вычисляет определитель матрицы А. Пример.

>> A=[7 2 1; 4 11 6; 7 3 9];

>> d=det(A)

d = 514

rank (A) - определяет ранг матрицы А. Пример.

>> A=[7 2 1; 4 11 6; 7 3 9]

A = 7 2 1 4 11 6 7 3 9

>> R=rank(A)

R = 3

norm (А) - вычисляет норму матрицы А. Пример

>> A=[7 2 1; 4 11 6; 7 3 9];

>> N=norm(A)

N = 17.3499

orth (А) - формирует ортонормальный базис матрицы А. Пример.

>> A=[7 2 1; 4 11 6; 7 3 9];

>> B=orth(A)

B = -0.3233 0.4496 -0.8327 -0.7067 -0.6999 -0.1036 -0.6293 0.5550 0.5440

null (A) - возвращает ортонормальный базис нулевого пространства. Пример

>> A=[7 7 7; 4 4 4; 1 1 1];

>> N=null(A)

N = 0.8165 0 -0.4082 -0.7071 -0.4082 0.7071

trace(A) - вычисляет «след» матрицы А, т.е. сумму ее диагональных элементов. Пример.

>> A=[7 7 7; 4 4 4; 1 1 1];

>> T=trace(A)

T = 12

eig(A) - возвращает вектор собственных значений матрицы А. Пример.

>> A=[7 7 7; 4 4 4; 1 1 1];

>> E=eig(A)

E = 12.0000 0.0000 0

mах (А) - определяет максимальные элементы в столбцах матрицы А.

>> A=[7 2 1; 4 11 6; 7 3 9]

A = 7 2 1 4 11 6 7 3 9

>> M=max(A)

M = 7 11 9

min(A) - находит минимальные элементы в столбцах матрицы А. Пример.

>> A=[7 2 1; 4 11 6; 7 3 9];

>> M=min(A)

M = 4 2 1

poly (А) - возвращает вектор коэффициентов характеристического полинома матрицы А. Пример.

>> A=[7 2 1; 4 11 6; 7 3 9];

>> P=poly(A)

P =

1.0000 -27.0000 206.0000 -514.0000

sort (А) - сортирует в порядке возрастания элементы каждого столбца матрицы А. Пример.

>> A=[7 2 1; 4 11 6; 7 3 9]

A = 7 2 1 4 11 6 7 3 9

>> S=sort(A)

S = 4 2 1 7 3 6 7 11 9

find(A>c) - возвращает набор индексов, удовлетворяющих заданному условию, т.е. определяет, какие элементы матрицы А больше указанного числа с, и возвращает соответствующие этим элементам индексы. Пример.

>> A=[7 2 1; 4 11 6; 7 3 9]

A = 7 2 1 4 11 6 7 3 9

>> N=find(A>4)

N = 1 3 5 8 9

Следует отметить, что в аргументе функции find может быть и любой другой знак неравенства между матрицей A и числом с.