Массивы, векторы и матрицы

1

Массивы, векторы и матрицы

Понятие о массивах

В ранжированных переменных невозможно использование их отдельных значений. При необходимости иметь доступ к каждому значению переменной с несколькими компонентами она должна быть задана в виде массива.

Массив - это имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных заданным образом и имеющих определенные адреса. В системе MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов: одномерные (векторы) и двумерные (матрицы). Применение многомерных массивов не предусмотрено. Массивы могут содержать числовые или символьные данные:

- вектор - столбец с числовыми данными;

вектор- строка с символьными данными;

матрица с элементами различного типа

Матрицы и вектора отображаются в длинных скругленных скобках.

Индексация элементов массивов

Порядковый номер элемента называется индексом. Нижняя граница индексации определяется значением системной переменной ORIGIN, которая может принимать значение 0 или 1. Индексы могут быть только целыми положительными числами (и нулем).

Для ввода индекса используется знак [ -прямая открывающаяся скобка. Не следует путать индексированные переменные со скалярными переменными с индексами в имени переменной. Подобные индексы вводятся с помощью точки, причем синий уголок курсора ввода при этом охватывает все имя, а не только область ввода индекса. Индексы в имени переменной отделены от собственно имени пробелом. Выглядит это примерно так:

o X ₁ -скалярная переменная с индексом;

o X₁ - индексированная переменная.

Векторы могут быть двух типов: векторы-строки и векторы-столбцы.

- вектор- столбец

- вектор- строка.

Несмотря на то, что два этих вектора имеют одни и те же числовые значения элементов, они различны по типу и дадут разные результаты при векторных и матричных операциях, чувствительных к типу векторов.

Элементы матриц являются индексированными переменными, имена которых совпадают с именами матриц. Но в этом случае для каждой индексированной переменной указываются два индекса: один -- для номера строки, другой -- для номера столбца.

M: =

Например, если ORIGIN=0 для указанной матрицы М средний элемент обозначается как М_1,1, а последний как М_2,2.

Вывод шаблонов матриц и векторов

Команда Matrices… (Матрицы) меню Insert (Вставка) обеспечивает задание векторов или матриц. Как известно, матрица является именованным объектом в виде массива данных. MathCAD использует одномерные массивы -- векторы и двумерные -- собственно матрицы

Матрица характеризуется числом строк (Rows) и числом столбцов (Columns). Таким образом, число элементов матрицы или ее размерность равны Rows x Columns. Элементами матриц могут быть числа, константы, переменные и даже математические выражения Соответственно матрицы могут быть численными и символьными

При выполнении команды Matriсes в текущем окне появится диалоговое окно, позволяющее задать размерность вектора или матрицы. Для этого нужно указать число строк в поле Rows и число столбцов в поле Columns. Нажав клавишу Enter или указав курсором мыши на изображение клавиши Insert (Вставить), можно вывести шаблон матрицы или вектора (вектор имеет один из параметров размерности, равный 1).

Шаблон содержит обрамляющие скобки и темные маленькие прямоугольники, обозначающие места ввода значений (числовых или символьных) для элементов вектора или матрицы. Место ввода можно сделать активным (щелкнув на нем мышью). При этом он заключается в уголок. Это указывает на то, что в него будут вводиться значения соответствующего элемента. С помощью клавиш перемещения курсора можно по горизонтали ввести все элементы вектора или матрицы.

Пока идет ввод элементов векторов или матриц, пустые места ввода отображаются без каких-либо комментариев. Однако если закончить ввод до полного заполнения шаблона, система выведет сообщение об ошибке -- незаполненный шаблон приобретет красный цвет. Аналогично несуществующая матрица или ошибочно указанный индекс отображается красным цветом.

Если щелкнуть по кнопке Insert (вставить) при заполненном шаблоне матрицы, то матрица расширяется и ее размер увеличивается. Кнопка Delete (удаление) позволяет убрать расширение матрицы, удалив из нее строку или столбец.

Каждый элемент матрицы характеризуется индексированной переменной, а его положение в матрице обозначается двумя индексами: номером строки, и номером столбца. Для задания индексированной переменной прежде всего надо ввести имя переменной, а затем перейти к вводу индексов нажатием клавиши, вводящей символ]. Сначала указывается индекс строки, а затем, через запятую, индекс столбца.

Ввод элементов векторов и матриц

Векторы и матрицы можно задавать путем ввода их элементов - индексированных переменных. Для указания подстрочных индексов после имени переменной вводится знак открывающейся квадратной скобки:

Для элементов матрицы подстрочные индексы аналогично с разделением их запятыми:

Индексы могут иметь только целочисленные значения Они могут начинаться с нуля или с целого числа, например с единицы, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN.

Для задания векторов и матриц можно либо воспользоваться командой Matrices (матрицы) меню Math (математика), либо нажать комбинацию клавиш Ctrl+V, либо щелкнуть на кнопке с изображением шаблона матрицы на палитре матричных операций Matrices (матрицы). Любое из этих действий вызывает появление диалогового окна, в котором надо указать размер матрицы, т.е. количество ее строк m и столбцов n. Для векторов один из этих параметров должен быть равен 1. При m=1 получим вектор- столбец, а при n=1- вектор-строку. Матрица является двумерным массивом с числом элементов mxn.

Задание векторов и матриц

В отношении индексированных переменных действуют те же правила присваивания и вывода, что и для обычных переменных. В частности, с помощью операций присваивания можно создать вектор или матрицу заданной размерности и заданного типа без ручного заполнения

Векторные и матричные операторы

Для работы с векторами и матрицами система MathCAD поддерживает ряд операторов и функций. Рассмотрим операторы, придерживаясь следующих обозначений: для векторов -V, для матриц- M, для скалярных величин- Z.

Следует отметить, что в некоторых операторах для ввода используется клавиша Ctrl. Все представленные операторы могут вызываться из палитры матричных операций.

Оператор векторизации

Большинство приведенных операторов достаточно известны из математического аппарата матричных вычислений. Под понятием векторизации подразумевается одновременное проведение некоторой скалярной операции над всеми элементами вектора или матрицы, помеченных операторами векторизации. Это можно понимать и как возможность параллельных вычислений.

Векторизация может изменить смысл математического выражения и даже превратить недопустимое выражение во вполне допустимое. Например, если V-вектор, то выражение cos(V) будет недопустимо, т.к. аргументом функции может быть только скалярная переменная. Однако с оператором векторизации функция cos(V) возвращает вектор, каждый элемент которого есть косинус соответствующего элемента исходного вектора V.

В системе MathCAD в качестве аргумента можно задавать векторы и матрицы. Таким образом, выражение cos(V), где V - вектор становится допустимым и без применения оператора векторизации. В подобных случаях векторизация выполняется автоматически.

Векторизация осуществляется помещением соответствующего выражения под знак длинной стрелки. Если, например, А и В -векторы, то А*В дает скалярное произведение этих векторов. Но это же произведение под векторизации создает новый вектор, каждый элемент есть произведение соответствующих элементов векторов А и В. векторизация позволяет использовать скалярные операторы и функции с массивами.

Векторные функции

MathCAD поддерживает ряд встроенных векторных и матричных функций, которые облегчают решение задач линейной алгебры и других сфер приложения векторов и матриц:

Матричные функции

Для работы с матрицами также существует ряд встроенных функций:

Функции, возвращающие специальные характеристики матриц

Следующие функции возвращают специальные характеристики матриц:

Функции сортировки для векторов и матриц