Системы компьютерной графики

Предмет, задачи и применение машинной графики

Долгое время машинной графикой могли позволить себе пользоваться и заниматься лишь наиболее передовые в техническом отношении организации (институты военной и космической техники, крупные архитектурно-строительные, автомобиле- и авиастроительные фирмы и корпорации). Однако, в последние десятилетия электроника добилась больших успехов в повышении мощности и одновременно снижении стоимости и габаритов вычислительной техники. Миниатюрные персональные компьютеры сейчас имеют мощность и быстродействие значительно большее, чем занимающие целые залы установки 15-20 летней давности. Мышление и программирование на языке графических образов становится неотъемлемой частью процесса обучения, а машинная графика - привычным занятием людей самых разных профессий.

Машинная графика - это совокупность методов и приемов для преобразования при помощи персонального компьютера данных в графическое представление или графическое представление в данные. Таким образом, машинная графика представляет собой комплекс аппаратных и программных средств для создания, хранения, обработки и наглядного представления графической информации с помощью компьютера.

Обработка информации, представленной в виде изображений, с помощью персонального компьютера имеет несколько разновидностей и практических приложений. Исторически сложилось так, что область манипулирования с изображениями, разделяют на три направления: компьютерная (машинная) графика, обработка изображений, распознавание (анализ) образов.

В задачи компьютерной графики входит синтез (воспроизведение) изображения, когда в качестве исходных данных выступает смысловое описание объекта (образа). Простейшие примеры задач компьютерной графики: построение графика функции одной переменной y=f(x) , визуализация процесса вращения трехмерного тела (куб, тетраэдр и т.д.), синтез сложного рельефа с наложением текстуры и добавлением источника света. Здесь также можно выделить бурно развивающуюся в настоящее время интерактивную компьютерную графику. Это система, с которой пользователь может вести "диалог" на уровне команд. Примерами могут быть всевозможные системы автоматизированного проектирования (САПР), геоинформационные системы (ГИС), компьютерные игры.

Обработка изображений представляет собой направление, в задачах которого в качестве входной и выходной информации выступают изображения (матрицы пикселей). Примеры подобных задач: увеличение/уменьшение яркости в изображении, получение изображения в оттенках серого (grayscale), повышение контраста, устранение шумовых элементов, размытие изображения, выделение границ на изображении и др. Причем количество выходных изображений может быть больше одного, например, восстановление трехмерной модели фигуры (тела) по ее проекциям.

Задачей распознавания образов является применение математических методов и алгоритмов, позволяющих получать некую описательную (смысловую) информацию о заданном изображении. Распознавание (анализ) образов можно представить себе как обратная задача компьютерной графики. Процедура распознавания применяется к некоторому изображению и преобразует его в некоторое абстрактное описание: набор чисел, цепочку символов и т.д. Следующий шаг позволяет отнести исходное изображение к одному из классов.

Эти три направления можно представить следующей таблицей.

	Основные задачи
	Синтез изображений	Анализ изображений	Обработка изображений
Вход	Формальное описание, графические указания, команды оператора (пользователя)	Визуальное представление	Визуальное представление
Выход	Визуальное представление	Формальное описание	Визуальное представление
Цели	Генерация и представление изображений	Распознавание образов, структурный анализ, анализ сцен	Повышение качества изображений

Как научную и учебную дисциплину машинную графику можно считать одним из специальных разделов информатики. Теория машинной графики развивается на базе взаимных связей информатики с другими науками и учебными дисциплинами, такими, как начертательная, проективная, аналитическая и дифференциальная геометрии, топология, черчение, вычислительная математика, операционные системы и языки программирования. Высокая точность, быстрота и аккуратность автоматизированного выполнения чертежно-конструкторских работ, возможность многократного воспроизведения изображений и их вариантов, получение динамически изменяющихся изображений машинной мультипликации - вот не полный перечень достоинств машинной графики.

Машинная графика становится все более доступным и популярным средством общения человека с компьютером. Знание азов компьютерной графики и умение их использовать на простейшем бытовом уровне становится неотъемлемыми элементами грамотности и культуры современного человека.

Машинная графика широко применяется в системах автоматизированного проектирования (САПР) различных изделий. Конструкторы средствами машинной графики получают чертежи отдельных типовых деталей и сборочные чертежи узлов. Используя различные манипуляторы, инженеры могут многократно изменять виды и конструктивные характеристики проектируемого изделия.

Архитектор, рассматривая задуманную композицию в различных ракурсах, может многократно изменять ее, сравнивать десятки вариантов, на прорисовку которых вручную у него ушло много времени. Сочетание фототехники с машинной и ручной графикой значительно расширяет область применения компьютерной графики.

Машинная графика позволяет дизайнеру формировать геометрические объекты и наблюдать на экране дисплея их образы в различных ракурсах на всех этапах творческого процесса. С помощью ее средств автоматически изготавливаются объемные модели, сложные литейные формы и штампы, минуя трудоемкие шаблонные работы. Обувь и одежда могут конструироваться также средствами машинной графики, включенной в систему САПР.

При исследованиях в различных областях науки и техники компьютерная и машинная графика наглядно представляет результаты расчетных процессов и обработки экспериментальных данных. Компьютер строит модели и мультипликационные кадры, отображающие физические и химические процессы, структуры молекул, конфигурации электромагнитных полей. Средствами машинной графики воспроизводятся переданные из космоса снимки других планет и комет, а также томограммы и другие изображения в медицине и биологии.

Машинная графика применяется для моделирования (имитации) непредсказуемых ситуаций при подготовке на электронных тренажерах водителей автомобилей, летчиков, пилотов космических кораблей. Компьютерная модель автомобиля, "врезавшегося" в модель стены, позволяет инженеру проанализировать, что произошло с моделями пассажиров, и усовершенствовать конструкцию автомобиля.

Метрическая точность и высокая скорость изготовления машинных чертежей обуславливает их широкое применение в картографии и топографии.

Машинная графика экономит труд и время художника-мультипликатора, позволяя ему рисовать только ключевые кадры эпизода, создавая без участия художника (автоматически) все промежуточные картинки.

Художники и режиссеры создают с помощью компьютеров не только заставки для кино и телепередач, но и компьютерные фильмы, восхищая зрителя фейерверками красок, форм, фантазии, скорости и звуков.

Машинная графика широко используется в компьютерных играх, развивающих у человека фантазию, изобретательность, логику, скорость реакции и любознательность. Современные компьютерные игры своей популярностью обязаны именно машинной графике.

Наглядность и доступность графического представления информации, мощные изобразительные возможности обеспечивают машинной графике прочное место и в учебном процессе. Даже школьники начальных классов работают с графическими терминалами как с инструментом для рисования и создания графических композиций, что весьма полезно для развития воображения, живости ума и скорости реакции.

Многие разделы математики, физики, информатики и других дисциплин могут быть достаточно успешно освоены только с привлечением зрительных образов, графических изображений и иллюстраций. Поэтому главной частью современного арсенала педагогического инструмента таких разделов являются хорошо подобранные иллюстрации на экранах компьютера. В практику преподавания различных дисциплин все более активно вводятся автоматизированные обучающие системы, в которых основная психолого-педагогическая нагрузка возложена именно на средства машинной графики.

Следует отдельно отметить область, которая сейчас проникла во все сферы человеческого бытия. Речь идет о трехмерной (3D) графике как подразделе компьютерной графике в целом.

Окружающий нас мир вещей не плоский. Мы живем в мире трехмерных объектов. Компьютеры пытаются вызвать у нас те же ощущения, что возникают от реального мира, помещая его копию на свои экраны. Экран дисплея приоткрывает дверь в огромный трехмерный мир. Третье измерение (глубина) резко увеличивает количество информации, доступной пользователю в данный момент. Придавая графике глубину, мы создаем модель мира, который можно исследовать теми же интуитивно привычными нам методами, какими мы познаем окружающий нас реальный мир.

В процессе формирования изображений присутствует по крайней мере две сущности: объект и наблюдатель (камера). Объект существует в пространстве независимо от кого-либо. В компьютерной графике имеют дело, как правило, с воображаемыми объектами. Любая система отображения должна обладать средствами формирования изображений наблюдаемых объектов. В качестве такого средства может выступать человек или фотокамера. Именно наблюдатель формирует изображение объектов. Хотя и наблюдатель и наблюдаемый объект существуют в одном и том же трехмерном мире, создаваемое при этом изображение получается двухмерным. Суть процесса формирования изображения и состоит в том, чтобы, зная положение наблюдателя и положение объекта, описать (синтезировать) получаемое при этом двухмерное изображение (проекцию).

Процесс формирования изображения с помощью персонального компьютера может быть описан следующей блок-схемой.

Взаимодействие между прикладной программой и графической системой - это множество функций, которые в совокупности образуют графическую библиотеку. Спецификация этих функций и есть то, что обычно называют интерфейсом прикладного программирования (API - application programmer's interface). Для программиста, занимающегося разработкой прикладной программы, существует только API, и он избавлен от необходимости вникать в подробности работы аппаратуры и программной реализации функций графической библиотеки.

Существует много различных API: OpenGL, PHIGS, Direct3D, VRML, JAVA3D. В составе любого API должны присутствовать функции, которые позволяли бы описывать следующие сущности трехмерной сцены:

· Объекты;

· Наблюдателя (камеру);

· Источники света;

· Свойства материалов объекта.

Для описания объектов чаще всего используют массивы вершин. Изначально объект представляется в виде набора точек или значений координат в трехмерной координатной сетке. В большинстве API (графических библиотеках) в распоряжение пользователя предоставляется практически один и тот же набор примитивов. Типовой набор включает точки, отрезки прямых, треугольники, многоугольники, а иногда и текст.

Описать наблюдателя или камеру можно различными способами. Доступные на сегодняшний день графические библиотеки отличаются как гибкостью, которую они обеспечивают при выборе параметров камеры, так и количеством имеющихся в распоряжении пользователя методов ее описания. Как правило, для камеры задают четыре типа параметров, однозначно определяющих характеристики создаваемого ею изображения.

· Положение камеры задается положением центра проекции;

· Ориентация. Расположив центр проекции в определенной точке пространства, можно совместить с ним начало локальной системы координат камеры и вращать ее относительно осей этой системы координат, изменяя таким образом ориентацию объекта;

· Фокусное расстояние объектива камеры фактически определяет размер изображения на плоскости проекции;

· Размеры (высота и ширина) задней стенки камеры.

Источник света характеризуется своим положением, интенсивностью, цветом излучения и его направленностью. Во многих API имеются функции для задания таких параметров, причем в сцене может присутствовать несколько источников света с разными характеристиками.

С точки зрения компьютерной графики наибольшее значение имеет возможность реализовать конвейерный принцип обработки информации. Этот принцип означает, что необходимо выполнять вычисления по одним и тем же формулам с разными данными. Именно в задачах трехмерной графики присутствует такой случай - нужно многократно обрабатывать по одним и тем же формулам список вершин, характеризующих отображаемые объекты. Предположим, что имеется множество вершин, определяющих графические примитивы, из которых формируется изображение. Поскольку все объекты представлены в терминах координат положения точек в пространстве, можно рассматривать множество типов примитивов и вершин как геометрические данные. Сложная сцена может описываться тысячами, если не миллионами, вершин. Все их нужно обработать по одному алгоритму и в результате сформировать в буфере кадра описание растра. Если рассматривать этот процесс в терминах геометрических операций с исходными данными, то можно представить его в виде следующей блок-схемы.

· Геометрические преобразования

Большинство этапов обработки графической информации можно описать в форме геометрических преобразований представления объектов сцены в разных системах координат. Очевидно, что основная часть процесса визуализации представляет собой преобразование представления объектов из базовой (мировой) системы координат в систему координат камеры. Внутреннее представление геометрических объектов - будь то в системе координат камеры или в любой другой подходящей системе координат, используемой в графическом API, - должно быть преобразовано на этой стадии в представление в системе координат устройства отображения (дисплей, принтер). Каждое такое преобразование можно представить в матричной форме, причем последовательные преобразования выражаются перемножением (конкатенацией) соответствующих матриц элементарных преобразований. В результате формируется матрица комплексного преобразования.

· Отсечение

Вторая важная операция в графическом конвейере - отсечение (clipping). Необходимость в ней возникает по той простой причине, что имеющиеся в нашем распоряжении средства отображения сами по себе имеют конечные размеры. Отсечение выполняется на разных этапах формирования изображения. Отсечение геометрических примитивов можно выполнить, анализируя только координаты.

· Проективное преобразование

Как правило, при обработке геометрической информации трехмерное описание объектов стараются сохранить как можно дольше по мере продвижения по "по конвейеру". Но после стадий геометрических преобразований и отсечения неизбежно наступает момент, когда те объекты, которые попадают в поле видимости, нужно преобразовать из трехмерной формы в двухмерную. Существует множество видов проективного преобразования, некоторые из которых позволяют использовать математический аппарат операций с матрицами размером 4x4.

· Растровое преобразование

Последний этап процесса - преобразование описания двухмерных объектов в коды засветки пикселей в буфере кадра. Поскольку регенерация изображения выполняется аппаратно, этот процесс практически скрыт от прикладного программиста, и можно считать, что последняя операция геометрического конвейера - это растровое преобразование.

Конвейерная архитектура обработки геометрических данных занимает сейчас доминирующее положение среди существующих на сегодняшний день структур аппаратных средств графических систем, в особенности тех систем, которые должны формировать динамические изображения в реальном масштабе времени.

Математические основы компьютерной графики

Для того чтобы отображать графические объекты на дисплее нужно иметь некий инструмент, позволяющий легко и просто описывать эти объекты на языке математики. Положение точек на плоскости очень удобно описывать с помощью декартовой системы координат. Чтобы создать декартову систему координат нужно провести две прямые неколлинеарные линии, которые называют осями. Пусть они пересекаются в точке O, которую называют началом координат. Выберем на построенных осях единицу измерения. Тогда положение любой точки плоскости можно описать через координаты этой точки, которые представляют собой расстояния от начала координат до проекций точки на соответствующие оси координат. Проекцией точки на координатную ось называется точка пересечения прямой, проходящей через заданную точку и параллельной другой оси координат. Вообще введенные оси координат могут располагаться под произвольным углом (рис. 1.1).



Рис. 1.1.

Однако, на практике удобно пользоваться системой координат со взаимно перпендикулярными осями. Такая система координат называется ортогональной. Оси координат имеют названия; горизонтальная ось называется осью абсцисс (Ox), вертикальная - осью ординат (Oy). Таким образом, точка на плоскости представляется двумя своими координатами, что записывается в виде двумерного вектора P=(x,y).

Математический аппарат описания точек на плоскости с помощью декартовой системы координат идеально подходит для выполнения различных аффинных преобразований над точками (сдвиг, масштабирование, вращение).

Точку P(x,y), заданную на плоскости можно перенести (сдвинуть) в новую позицию путем добавления к координатам этой точки констант переноса. Для произвольной точки P=(x,y), которая перемещается в новую точку P'=(x',y'), сдвигаясь на Tx единиц параллельно оси абсцисс и на Ty единиц параллельно оси ординат, можно записать следующие выражения: x'=x+Tx, y'=y+Ty. Так, например, точка с координатами P(1,2) смещаясь на расстояние (5,7) преобразуется в точку P'(6,9). Определяя точку и перенос как вектор-строки P=(x,y), P'=(x',y') и T=(Tx,Ty) можно записать преобразование переноса (сдвига) в векторной форме: (x',y')=(x,y)+(Tx,Ty) или P'=P+T. Преобразованию можно подвергнуть не только одни точки. Геометрический объект можно переместить, применив к каждой его точке преобразование переноса. Так, если в описании объекта имеются отрезки прямой, то достаточно применить преобразование к концам отрезка и затем провести прямую линию между двумя преобразованными точками. Это правило справедливо и для операций масштабирования и поворота. На рис. 1.2 представлен результат действия на треугольник операции переноса на расстояние (2,-1).

Рис. 1.2.

Точки можно подвергнуть операции масштабирования (растяжения или сжатия) в Sx раз вдоль оси абсцисс и в Sy раз вдоль оси ординат. Полученные в результате новые точки будут выражаться как: x'=x*Sx;y'=y*Sy. Определив S как

данные выражения можно записать в матричной форме:

или P'=P*S. На рис. 1.3 показан треугольник, промасштабированный с коэффициентами 0,5 по оси абсцисс и коэффициентом 2 вдоль оси ординат.

Рис. 1.3.

Следует отметить, что операция масштабирования производится относительно начала координат. В результате преобразования объект может стать меньше/больше в размерах и ближе/дальше от начала координат. Пропорции объекта также могут измениться при масштабировании с различными коэффициентами:SxSy. Для сохранения пропорций необходимо, чтобы масштабные коэффициенты были равны:Sx=Sy.

Точка плоскости P=(x,y) может быть повернута на произвольный угол относительно начала координат и перейдет в новую точку P'=(x',y') (рис. 1.4)

Рис. 1.4.

Выведем формулы для пересчета точки (x,y) в точку (x',y'). Обозначим расстояние от начала координат до точки P(x,y) через с. Очевидно, что расстояние от начала координат до точки P'(x',y') также будет с. Пусть Q и Q' - проекции точек P и P' соответственно на ось абсцисс. Тогда из прямоугольного треугольника OP'Q' и тригонометрических определений синуса и косинуса имеем:

Домножим правую и левую части уравнений на с.

Используя простейшие тригонометрические свойства прямоугольного треугольника OPQ, следует заметить, что сcosи=x, а сsinи=y. Таким образом, формула "перевода" точки P(x,y) в точку P'(x',y') поворотом на угол относительно начала координат будет:

В матричном виде преобразование вращения будет выглядеть так:

Так треугольник с координатами вершин (20,0),(60,0),(40,100) после поворота на угол 45 градусов по часовой стрелке относительно начала координат (=-45°) будет иметь новые значения координат вершин:.

Точка плоскости P(x,y) может быть легко отражена относительно прямых y=0, x=0, y=x следующим образом. Отражение относительно прямой y=0 (ось абсцисс) может быть получено с использованием матрицы . Так, например, точка P=(2,3) при таком отражении преобразуется в точку (рис. 1.5).

Подобным образом матрица отражения относительно прямой x=0 (ось ординат) будет иметь вид . Точка P=(2,3) при отражении относительно оси ординат преобразуется в точку (рис. 1.5).

Отражение относительно прямой y=x осуществляется с помощью матрицы . Точка P=(2,3) в результате такого отражения преобразуется в точку (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

Рассмотренные выше аффинные преобразования переноса, масштабирования, вращения и отражения можно записать в матричной форме следующим образом: P'=P+T, P'=P*S, P'=P*R, P'=P*M, где P' - координаты преобразованной точки, P - координаты исходной точки, T - вектор сдвига (translate), S - матрица масштабирования (scale), R - матрица вращения (rotate), M - матрица отражения (mirror). К сожалению, операция переноса (сдвига) реализуется отдельно (с помощью сложения) от масштабирования, поворота и отражения (с помощью умножения). Тем не менее, существует возможность, чтобы все эти элементарные преобразования (перенос, масштабирование, вращение, отражение) можно было реализовать с помощью только операций умножения матриц. Данная возможность реализуется с помощью так называемых однородных координат точки.

Однородное представление двумерной точки (x,y) в общем случае имеет вид (wx wy w), где w - любой ненулевой скаляр, иногда называемый множителем. При этом если для точки задано ее представление в однородных координатах P(x y w), то найти ее двумерные координаты можно поделив первые две на скалярный множитель (x/w y/w). Вообще двумерное представление точки (x y w) есть ее проекция на плоскость w=1 (рис. 1.6).

Рис. 1.6.

Теперь точки плоскости можно описывать трехэлементным вектором, а матрицы преобразования должны иметь размер 3х3. В общем случае преобразование точки (x,y) в новую точку (x',y') можно представить следующим образом .

Уравнения переноса (сдвига), масштабирования и вращения записываются в виде матриц преобразования однородных координат следующим образом:

где Tx,Ty - величины сдвига, Sx,Sy - масштабные множители, - угол поворота.

Преимущество такого подхода (матричных формул) заключается в том, что совмещение последовательных элементарных преобразований при этом значительно упрощается. Рассмотрим следующую последовательность преобразований: масштабирование исходной точки P(x,y) при масштабных коэффициентах Sx и Sy, а затем смещение ее (после масштабирования) на Tx и Ty. Запишем преобразования масштабирования и переноса (сдвига) через однородные координаты точки:

Подставим первое уравнение во второе:

Две квадратные матрицы независимы от преобразуемой точки (x,y) и поэтому их можно перемножить между собой.

В результате получим

Таким образом, результирующая матрица, полученная произведением двух исходных матриц преобразования, представляет собой совмещение элементарных преобразований. Независимо от количества элементарных преобразований в последовательности, можно всегда произвести совмещение так, чтобы только одна матрица 3х3 представляла всю последовательность преобразований. Следует заметить, что если и представляют собой матрицы элементарных преобразований, то существует две возможные композиции: и . Однако, результаты таких преобразований будут различны, в силу того, что произведение матриц не является коммутативной операцией. Если геометрический объект состоит из большого количества вершин (точек), то с вычислительной точки зрения гораздо более эффективнее и проще применять композитную (результирующую) матрицу преобразования вместо того, чтобы последовательно использовать ("умножать на") одну за другой элементарные матрицы.

До сих пор мы рассматривали преобразования как перевод множества точек, принадлежащих объекту, в некоторое другое множество точек, причем оба эти множества описаны в одной и той же системе координат. Другими словами система координат у нас оставалась неизменной, а сам объект преобразовывался относительно начала координат. Эквивалентным способом описания преобразования является смена системы координат. Такой подход оказывается полезным и удобным, когда необходимо собрать вместе много объектов, каждый из которых описан в своей собственной локальной системе координат, и выразить (пересчитать) их координаты в одной глобальной (мировой) системе координат. Например, точка на рис. 1.7 описана в четырех системах координат, и имеет соответствующие координаты: (11,10), (8,8), (12,10), (3,3)

Рис. 1.7.

Преобразование из системы координат 1 в систему координат 2 есть ; из 2 в 3 есть ; из 3 в 4 есть . В общем случае преобразование переводит оси системы координат j в оси системы координат i. Если - точка, координаты которой заданы в системе координат j, то будет справедлива запись . Так, например, в рассматриваемом случае записывается в однородных координатах , а . И преобразование будет иметь вид:

Преобразование имеет обратное - преобразование из системы координат 2 в систему 1, причем . В рассматриваемом случае

Нетрудно проверить, что (единичная матрица). Кроме того будет справедливо и такое выражение . Другими словами, преобразование из системы координат 1 в систему координат 3 есть произведение двух матриц, первая из которых описывает преобразование из системы 1 в систему 2, а вторая - из системы 2 в систему 3.

Для введения трехмерной декартовой системы координат проведем три направленные взаимно перпендикулярные прямые линии, называемые осями, так чтобы они пересекались в одной точке - начале координат. Выберем на осях единицу измерения. Тогда положение любой точки пространства можно описать через координаты этой точки, которые представляют собой расстояния от начала координат до проекций точки на соответствующие оси. Такая система координат называется ортогональной. Таким образом, положение точки P в пространстве описывается ее координатами: P=(x,y,z). Взаимное расположение координатных осей в ортогональной системе трехмерного пространства может быть двух видов. При добавлении третьей оси к двумерной системе координат ось Oz можно направить как от наблюдателя в плоскость листа, так и от плоскости листа к наблюдателю.

Рис. 1.8.

В первом случае систему координат принято называть левосторонней, во втором - правосторонней. Известен способ определения типа системы по ладоням. Так для левой ладони большой (ось Y), указательный (ось Z) и средний (ось X) пальцы образуют левую тройку ортогональных векторов.

В трехмерном пространстве значительно возрастает разнообразие геометрических объектов. При работе на двумерной плоскости мы рассматривали отрезки, плоские кривые и многоугольники. При переходе в трехмерное пространство это многообразие примитивов можно рассматривать в разных плоскостях, а также здесь появляются пространственные кривые: с(t)=[x(t),t(t),z(t)], tе[a,b]. Помимо всего прочего в трехмерном пространстве присутствуют пространственные объекты - участки криволинейных поверхностей и объемные тела - параллелепипеды, эллипсы, тетраэдры и др.

При работе в трехмерном пространстве возникает проблема описания формы объектов. На практике получили широкое распространение три основных типа моделей трехмерных объектов: описание объекта поверхностями, сплошными телами и с помощью проволочной сетки. При первом подходе объект представляется в виде тонких поверхностей, под которым находится пустое незаполненное пространство. Примером такого объекта может выступать неразбитая скорлупа совершенно пустого внутри яйца. Поверхность объекта может быть описана различными математическими моделями. Поверхности, заданные в виде x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v), где u,v - параметры, изменяющиеся в заданных пределах, относятся к классу параметрических. Для одной фиксированной пары значений u,v можно вычислить положение только одной точки поверхности. Для полного представления всей поверхности необходимо с определенным шагом перебрать множество пар u,v из диапазона их изменений, вычисляя для каждой пары значение XYZ в трехмерном пространстве. Очень широкое распространение получили параметрические бикубические поверхности, с помощью которых достигается непрерывность составной функции и ее первых производных (функция, составленная из нескольких смежных бикубических участков, будет обладать непрерывностью и гладкостью в местах стыковки). Основным преимуществом параметрического описания является возможность построения объекта с очень сложной и замысловатой формой. Недостатком такого способа описания являются большие вычислительные затраты при построении поверхностей. Частным случаем параметрических поверхностей являются поверхности первого порядка. Из таких поверхностей можно составить описание формы объекта типа полигонального поля. Такими полями называют серию смежных многоугольников, не имеющих разрывов между собой. Каждое ребро такого поля является общим для смежных многоугольников. В результате чего составная функция, описывающая поверхность, обладает непрерывностью, а производная имеет разрывы в местах стыка участков поверхностей. В настоящее время полигональный способ описания трехмерных объектов является одним из самых распространенных и востребованных. Так, например, производительность современных графических процессоров (видеокарт) определяется количеством выводимых полигонов в единицу времени, как правило, в секунду.

Еще один способ описания поверхностей, который следует упомянуть, заключается в представлении формы объекта множеством отдельных точек, принадлежащих этой поверхности. Теоретически при бесконечном увеличении числа точек такая модель обеспечивает непрерывную форму описания. Точки, используемые для описания, должны располагаться достаточно близко друг к другу, чтобы можно было воспринять поверхность без грубых потерь и искажений. Поточечное описание поверхностей применяют в тех случаях, когда поверхность очень сложна, не обладает нужной гладкостью, а детальное представление многочисленных геометрических особенностей важно для практики.

Описание объекта сплошными геометрическими конструктивами (твердотельное моделирование) заключается в представлении сложного объекта в виде объединения простых объемных примитивов. Обычно такие примитивы включают кубы, цилиндры, конусы, эллипсоиды и другие подобные формы. Булевы операции над примитивами позволяют достигать объединения, вычитания и выделения общих частей примитивов. Структуры данных модели этого вида идентичны бинарному дереву, причем узлы (нетерминальные вершины) дерева являются операторами над примитивами, а листья - примитивами.

Следует также отметить метод описания объекта с помощью проволочной сетки (wire-frame), суть которого заключается в представлении поверхности серией пересекающихся линий, принадлежащих поверхности объекта. Как правило, в качестве таких линий принято использовать отрезки прямых. Достоинством проволочного представления является простой и эффективный способ построения объектов.

Для наилучшего восприятия формы объекта необходимо иметь его представление в трехмерном пространстве. Как правило, наглядное представление об объекте можно получить с помощью выполнения операций вращения и переноса, а также путем построения его проекций. Как и двумерном случае, существует три основных преобразования в трехмерном пространстве: перенос (изменение положения), изменение масштаба и вращение.

Преобразование перемещения точки трехмерного пространства P=(x,y,z) в новую точку P'=(x',y',z') можно записать следующим образом: x'=x+Tx, y'=y+Ty, z'=z+Tz, где Tx,Ty,Tz - величины перемещения в направлениях x,y,z соответственно. Определяя точку и операцию переноса как вектор-строку P=(x,y,z), P'=(x',y',z'),T=(Tx,Ty,Tz), преобразование сдвига можно записать в векторной форме: (x',y',z')=(x,y,z)+(Tx,Ty,Tz) или P'=P+T.

Точку трехмерного пространства P=(x,y,z) можно подвергнуть операции масштабирования (растяжения или сжатия) в Sx раз по оси абсцисс, в Sy раз по оси ординат и в Sz раз по оси аппликат. Полученная в результате преобразованная точка P'=(x',y',z') будет выражаться как: x'=x*Sx,y'=y*Sy,z'=z*Sz. Определив S как матрицу

выражения для масштабирования можно переписать в матричной форме:

или P'=P*S. Как и в двумерном случае операция масштабирования производится относительно начала координат. Поэтому если масштабируемые множители Sx,Sy,Sz>1, то преобразуемая точка отдаляется от начала координат, если же Sx,Sy,Sz<1 то точка приблизится к началу координат.

Трехмерные преобразования вращения являются более сложными, чем их двумерные аналоги. В данном случае необходимо дополнительно задать ось вращения. Рассмотрим сначала простейшие случаи, когда ось вращения совпадает с одной из координатных осей.

Найдем матрицу поворота вокруг оси OZ на угол ?. Будем записывать матрицу преобразования для левосторонней системы координат. Следует отметить, что в левосторонней системе координат положительными будут повороты, выполняемые по часовой стрелке, если смотреть с конца положительной полуоси в направлении начала координат (рис. 1.9).

Рис. 1.9.

В данном случае ось поворота перпендикулярна к плоскости рисунка, и поскольку мы используем левостороннюю систему координат, то вращение вокруг оси OZ сводится к повороту точки на плоскости XOY на угол ?. При этом координата z точки вращения не изменяется. Таким образом, формулу поворота точки (x,y,z) вокруг оси OZ на угол ? можно записать следующим образом:

или в матричной форме

Изменим теперь положение координатных осей левосторонней системы координат таким образом, чтобы ось OY была направлена в плоскость рисунка. Тогда положительная полуось OZ будет направлена горизонтально вправо, а положительная полуось OX - вертикально вверх (рис. 1.10).

Рис. 1.10.

Получить формулу вращения точки вокруг оси OY на угол в можно заменив x на z, y на x в формуле двумерного поворота. При этом координата точки y при таком вращении не изменяется. В результате чего формула вращения точки (x,y,z) вокруг оси OY на угол в будет иметь следующий вид:

или в матричной форме



Аналогично поступаем с осью вращения OX. Изменим положение координатных осей так, чтобы ось OX была направлена в плоскость рисунка, ось OY - горизонтально вправо, ось OZ - вертикально вверх (рис. 1.11).

Рис. 1.11.

Заменив в формуле двумерного поворота y на z, x на y, получим формулу вращения точки (x,y,z) вокруг оси OX на угол :

или в матричной форме

Способ двумерного плоского вращения вокруг произвольной точки может быть обобщен на случай вращения вокруг произвольной оси трехмерного пространства. Пусть произвольная ось вращения задается вектором , причем - точка, определяющая начало вектора, а - конец вектора (рис. 1.12)

Рис. 1.12.

Вращение вокруг задаваемой оси (вектора ) на угол и выполняется в несколько этапов:

1. Перенос вектора так, чтобы начало вектора (точка ) совпала с началом системы координат. Это осуществляется с помощью операции сдвига T(-a,-b,-c);

2. Поворот вокруг оси OY на угол в так, чтобы вектор (m,l,n) оказался в плоскости OYZ: ;

3. Поворот вокруг оси OX на угол так, чтобы вектор (m',l',n') совпал с осью OZ: ;

4. Поворот вокруг оси OZ на заданный угол и: R_x(и);

5. Выполнение преобразования, обратного, произведенному на шаге 3. Т.е. поворот вокруг оси OX на угол -;

6. Выполнение преобразования, обратного, произведенному на шаге 2. Т.е. поворот вокруг оси OY на угол -в;

7. Выполнение преобразования, обратного, произведенному на шаге 1. Т.е. сдвиг на вектор (a,b,c):T(a,b,c)

Данный алгоритм вращения вокруг произвольной оси можно записать с помощью произведения серии элементарных матриц:

,

где V - исходная точка, V' - точка после поворота.

Остается определить чему равны углы поворотов и в (рис. 1.13).

Рис. 1.13.

Из простых тригонометрических соотношений можно получить следующие формулы:

Как видно, операции трехмерного масштабирования и вращения могут быть реализованы с помощью умножения вектор-строки (точки) на матрицу преобразования. Операция же сдвига реализуется через сложение двух вектор-строк. Аналогично тому, как все двумерные преобразования (сдвиг, масштабирование и вращение) описываются матрицами размером 3х3 (через однородные координаты), трехмерные преобразования могут быть представлены в виде матриц размером 4х4. И тогда точка трехмерного пространства (x,y,z) записывается в однородных координатах как Wx,Wy,Wz,W, где W0. Если W1, то для получения трехмерных декартовых координат точки (x,y,z) первые три однородные координаты нужно разделить на W. Отсюда следует, что две точки и в пространстве однородных координат описывают одну и ту же точку трехмерного пространства в том и только том случае, когда для любой константы c не равной нулю. Таким образом, преобразование точки трехмерного пространства P=(x,y,z) в новую точку P'=(x',y',z') с использованием однородных координат можно записать как:

Уравнения трехмерного сдвига, масштабирования и вращения записываются в виде матриц преобразования однородных координат следующим образом:

где Tx,Ty,Tz - величины сдвига по осям OX, OY, OZ соответственно, Sx,Sy,Sz - масштабные множители по OX,OY,OZ соответственно, - матрицы вращения вокруг осей OX,OY,OZ на углы ,в, Х соответственно.

Как и в двумерном случае, матричный подход позволяет совместить два или более элементарных преобразования в одно. Таким образом, последовательное применение двух преобразований и может быть заменено применением одного преобразования T, причем матрица T будет равна произведению матриц преобразований и . Это легко можно увидеть на простом примере. Пусть точка (x,y,z) трансформируется в точку (x',y',z') с помощью преобразования : . Применяя затем преобразование к точке (x',y',z'), получим точку . Теперь подставляя первое выражение во второе, получим: . Причем порядок применения преобразований должен быть сохранен при перемножении соответствующих матриц.

Процесс вывода трехмерной графической информации по существу является более сложным, чем соответствующий двумерный процесс. Сложность, характерная для трехмерного случая, обуславливается тем, что поверхность вывода не имеет графического третьего измерения. Такое несоответствие между пространственными объектами и плоскими изображениями устраняется путем введения проекций, которые отображают трехмерные объекты на двумерной проекционной картинной плоскости. В процессе вывода трехмерной графической информации мы задаем видимый объем в мировом пространстве, проекцию на картинную плоскость и поле вывода на видовой поверхности. В общем случае объекты, определенные в трехмерном мировом пространстве, отсекаются по границам трехмерного видимого объема и после этого проецируются. То, что попадает в пределы окна, которое само является проекцией видимого объема на картинную плоскость, затем преобразуется в поле вывода и отображается на графическом устройстве. В общем случае операция проекции преобразует точки, заданные в системе координат размерности n, в точки системы координат размерности меньшей, чем n. В нашем случае точка трехмерного пространства отображается в двумерное пространство. Проекция трехмерного объекта строится при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами и которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию. На рис. 1.14 представлены две различные проекции одного и того же отрезка и проекторы, проходящие через его конечные точки.

Рис. 1.14.

Определенный таким образом класс проекций известен под названием плоских геометрических проекций, т.к. проецирование осуществляется на плоскость, а не на искривленную поверхность и в качестве проекторов используют прямые линии. Плоские геометрические проекции можно подразделить на два основных класса: центральные (перспективные) и параллельные (ортогональные). Различие между ними определяется соотношением между центром проекции и проекционной плоскостью. Так, если расстояние между ними, конечно, то проекция будет центральной, если же оно бесконечно, то - параллельной. При описании центральной проекции мы явно задаем ее центр проекции, в то время как для параллельной проекции мы указываем лишь направление проецирования. Центр проекции порождает визуальный эффект, аналогичный тому, к которому приводят фотографические системы и используется в случаях, когда желательно достичь некоторой степени реализма. Следует заметить, что размер центральной проекции объекта изменяется обратно пропорционально расстоянию от центра проекции до объекта. Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, т.к. отсутствует перспективное "укорачивание" объекта. Проекция фиксирует истинные размеры объекта, и параллельные линии остаются параллельными.

В общем случае задача получения центральной проекции заключается в том, чтобы определить проекцию точки объекта, расположенную в произвольном месте трехмерного пространства, на некоторую плоскость в этом же пространстве, называемую картинной. Нахождение центральной проекции является частным случаем задачи определения пересечения луча L с плоскостью в трехмерном пространстве (рис. 1.15)

Рис. 1.15.

В машинной графике задача вычисления центральной проекции, как правило, сильно упрощена. В данном случае центр проекции, который также называют точкой зрения, находится на одной из осей системы координат, картинная (проекционная) плоскость перпендикулярна оптической оси. Как правило, точку зрения (центр проекции) располагают на оси OZ, тогда картинная плоскость будет параллельна плоскости OXY системы координат (рис. 1.16).

Рис. 1.16.

В нашем случае точка C=(0,0,c) - центр проекции (положение наблюдателя), плоскость z=0 - картинная плоскость. Пусть точка P=(x,y,z) имеет проекцию P'=(x',y',0). Рассмотрим два подобных треугольника CPQ и CP'Q', и запишем отношение катетов: . Рассмотрим два других подобных треугольника CQ'O и CQB, и запишем отношения катетов для них: . С другой стороны имеем: . Так как OQ'=x', BQ=x, P'Q'=y', PQ=y имеем

или после преобразований

Если теперь c стремится к бесконечности, то получим формулу параллельной проекции:.

Следующим шагом необходимо спроецированное изображение перевести в координаты экрана. Это можно проделать следующим образом:

где - середина экрана, l - количество пикселей в единице.

Существует связь однородных координат с операцией центральной и параллельной проекциями, которая может быть выражена так:

.

Для перехода от однородных координат к обычным, необходимо разделить все компоненты точки на четвертую координату: .

Для параллельной проекции матрица преобразования будет иметь вид:

.

Таким образом, шаг проецирования можно описать в терминах матричной операции умножения. В результате этого мы можем объединить вместе операции преобразования объекта (сдвиг, масштабирование, вращение) и операцию проецирования в одну общую матрицу преобразования. Аналогично можно поступить с приведением спроецированных точек к экранным координатам:

Таким образом, все операции преобразования объекта трехмерного пространства на картинную плоскость (экран) можно описать в терминах матричных умножений.