Нечітка логіка

Міністерство освіти і науки України

Чернівецький національний університет ім. Юрія Федьковича

Факультет комп'ютерних наук

Кафедра комп'ютерних систем і мереж

Реферат

по темі: «Нечітка логіка»

2010

Для природної мови характерна нечіткість. Наприклад: маленьке число, висока температура, тощо. Прилад невизначеності - означення купи, коли можливі псевдоіндуктивні логічні висновки:

1) Один камінець не утворює купу.

2) Додавання одного камінця до «не купи» не перетворює її на купу.

3) Отже, будь-яка кількість камінців не утворює купу.

Для формалізації нечітких понять запропоновано апарат нечітких (розмитих) множин (fuzzy sets).

Функція належності - основна характеристика нечіткої множини.

Якщо деяке поняття не можна окреслити точно, то його можна описати наближено. Наприклад, людина з ростом 135 см зовсім не висока, 170см - більш-менш висока, 185 см - досить висока. Тобто для кожного росту можна задати ступінь того, наскільки такий ріст відповідає поняттю висока людина.

Зі звичайними множинами тісно пов'язане поняття характеристичної функції.

Характеристичною функцією ч(х) називається функція, значення якої вказують, чи належить елемент х множині А: чА(х)=1, якщо хА і чА(х)=0, якщо хА.

Професор Л.Заде у 1965 р. запропонував розширити поняття характеристичної функції. Він ввів поняття функції нечіткої належності м(х) елемента до множини, дозволивши цій функції набувати будь-якого значення від 0 до 1. Чим більшим є значення функції належності, тим більшою мірою належить елемент до множини.

Якщо мА(х)=1, то елемент х чітко належить множині А, якщо ж мА(х)=0 , то елемент х чітко не належить А. При 0<мА(х)<1 елемент належить множин нечітко. Чим більшим є значення функції належності, тим більшою мірою елемент належить множині.

Означення. Нехай Е - довільна непуста множина. Нечіткою підмножиною А множини Е називається множина пар

,

де .

Функція називається функцією належності нечіткої підмножини А, а Е - базовою множиною (базовою шкалою).

Значення мА(х), визначене для кожного х, називається ступенем належності елемента до множини.

Приклад. Формалізуємо поняття „високий зріст”. Для цього слід визначити функцію належності для відповідної нечіткої множини. Базова множина Е - множина невід'ємних цілих чисел.

Рисунок 1 - Функція належності поняття „високий зріст”

Тоді відповідь на запитання „Чи є високою людина зі зростом 185 см?” може бути відповідь: „Ступінь належності 0,7”, що означає „досить висока”.

Цю саму нечітку множину можна задати явно, перелічивши деякі ступені належності:

А={ (1,5; 0), (1,6; 0,2), (1,7; 0,4), (1,8; 0,6), (1,9; 0,8), (2,1) }

Для нечітких множин є такі особливості:

1. Функція належності не може бути визначена однозначно, оскільки вона є суб'єктивною (кожна людина може запропонувати свої варіанти).

2. Самі значення функції належності можна розглядати як розмиті. Наприклад, дехто оцінив зріст 185 см як високий зі ступенем належності 0,8; але ступінь належності може приймати також значення 0,78 або 0,82. Тому можна говорити про інтервали оцінок ступенів належності. Якщо ступінь належності кожного елемента оцінюється інтервалом, то говорять про нечіткі множини другого роду з функцією належності .Такі міркування можна продовжити й далі. Проте на практиці звичайно користуються нечіткими множинами першого роду (з конкретними значеннями ступенів належності).

3. незважаючи на те, що функція належності є суб'єктивною оцінкою, її не можна вибрати довільно. У нашому випадку функція належності, яка описує поняття „високий зріст”, повинна бути неспадною: неможливо, щоб хтось оцінював зріст 165 см більшим ступенем належності, ніж зріст 195 см.

Розглянемо деякі операції:

1. Рівність. Дві нечіткі підмножини базової Е називаються рівними між собою, якщо ; позначається рівність А=В.

2. Включення. А є підмножиною В (), якщо .

3. Перетин. Перетином двох нечітких множин А і В називається нечітка множина з функцією належності .

4. Об'єднання. Об'єднанням двох нечітких множин А і В називається нечітка множина з функцією належності .

5. Доповнення. Нечітка множина В є доповненням нечіткої множини А, якщо .

Для нечітких множин виконуються всі основні властивості звичайних чітких множин, крім двох: об'єднання не обов'язково дорівнює базовій множині; перетин не обов'язково дорівнює порожній множині.

Розглянемо типову задачу логічного виведення в умовах невизначеності:

Дано (нечітке) продукцій не правило „Якщо А, то В”.

Спостерігається А/ (А в певній мірі).

Яким повинно бути В?

Формальніше задані носії U і V та їх нечіткі підмножини А і В. Задано або елемент , або множину . Потрібно визначити елемент , що являє висновок - результат застосування нечіткого правила.

Приклад. Дано нечітке продукцій не правило:

„Якщо студент багато працює в бібліотеці, то він отримає високу оцінку”.

Як множину U ми розглянемо множину чисел, яка визначає кількість годин на тиждень (0..30), які студент проводить в бібліотеці: U={0, 3, 6, 9, 12, 18, 21, 27}.

Як множину V оцінок (рейтингів) за 100-бальною шкалою розглянемо діапазон чисел від 59 до 100: V={59, 72, 84, 91, 96, 100}.

Задамо функції належності для нечітких множин А („багато працює в бібліотеці”) та В („високий рейтинг”) таким чином:

А={(3, 0); (6, 0.1); (9, 0.4); (12, 0.6); (18, 0.8); (21, 1); (27, 1)}.

В={(59, 0); (72, 0.2); (84, 0.4); (91, 0.7); (96, 0.9); (100, 1)}.

Нехай явно задана кількість годин х, які студент працює в бібліотеці. Знаючи х, ми можемо знайти ступінь належності б елемента до множини й навпаки. Тоді для отримання висновку можна застосувати метод простої підстановки нечіткого значення, відповідно до якогоV вибирається з умови:

.

Нехай у нашому прикладі дано, що студент працює в бібліотеці 9 годин. Ступінь належності дорівнює 0.4 і система робить висновок, що такий студент повинен отримати оцінку 84 (добре). Якщо у множені V відсутнє значення з таким ступенем належності, то береться найближче значення або виконується інтерполяція.

Метод центру тяжіння композиції максимум-мінімум.

Як повинне змінитися нечітке логічне виведення, якщо А/ задається не як конкретне значення, в як нечітка множина (наприклад, якщо у вище приведеному прикладі відомо, що „студент проводить у бібліотеці середню кількість часу”)? Для цього використовують відношення нечіткої імплікації:

- Нечітким відношенням між множинами А та В називається нечітка підмножина їх декартового добутку. Тобто, якщо

, ,

то відношення А R В визначається як множина пар

.

Відношення нечіткої імплікації А>В можна виводити по різному. Часто використовується формула min-імплікації:

.

Для задання імплікації задають також й інші формули:

1) нечітке розширення класичної імплікації:

;

2) нечітка імплікація Лукашевича:

.

Тепер ми можемо отримати множину В/ - нечітку множину висновків, які відповідають множині А/. Це є результатом композиції множини А/ й нечіткої імплікації:

де - знак композиції, що обчислюється за формулою

.

Але отримати лише множину В/ недостатньо, треба ще знайти конкретну числову відповідь (провести дефадзифікацію). Найчастіше за числову відповідь береться центр тяжіння знайденої нечіткої множини, який обчислюється за формулою .

Увесь описаний метод нечіткого логічного виведення часто називають методом центру тяжіння композиції максимум-мінімум.

Повернемося до попереднього прикладу.

Ми задали функції належності для нечітких множин А („багато працює в бібліотеці”) та В („високий рейтинг”) таким чином:

А={(3, 0); (6, 0.1); (9, 0.4); (12, 0.6); (18, 0.8); (21, 1); (27, 1)}.

В={(59, 0); (72, 0.2); (84, 0.4); (91, 0.7); (96, 0.9); (100, 1)}.

Нехай дано, що „студент працює в бібліотеці середню кількість часу”. Задамо нечітку множину А/ (середня кількість часу):

A/={(3, 0); (6, 0.2); (9, 0.7); (12, 1); (18, 0.6); (21, 0.2); (27, 0)}.

Таблиця 1- Відношення імплікації нечітких множин А та В

		59	72	84	91	96	100
	А/В	0	0.2	0.4	0.7	0.9	1
3	0	0	0	0	0	0	0
6	0.1	0	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1
9	0.4	0	0.2	0.4	0.4	0.4	0.4
12	0.6	0	0.2	0.4	0.6	0.6	0.6
18	0.8	0	0.2	0.4	0.7	0.8	0.8
21	1	0	0.2	0.4	0.7	0.9	1
27	1	0	0.2	0.4	0.7	0.9	1

Таблиця 2 - Композиція множини А/ та щойно знайденого відношення А>В. Результатом буде нечітка множина В/:

		59	72	84	91	96	100
	А/В	0	0.2	0.4	0.7	0.9	1
3	0	0	0	0	0	0	0
6	0.2	0	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1
9	0.7	0	0.2	0.4	0.4	0.4	0.4
12	1.0	0	0.2	0.4	0.6	0.6	0.6
18	0.6	0	0.2	0.4	0.6	0.6	0.6
21	0.2	0	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
27	0	0	0	0	0	0	0
	B/	0	0.2	0.4	0.6	0.6	0.6

Нарешті, проведемо дефадзифікацію отриманої множини В/:

v*=(72•0.2 + 84•0.4 + 91•0.6 + 96•0.6 + 100•0.6)/(0.2 + 0.4 + 0.6 + 0.6 + 0.6) = 220.2/2.4 = 91.75 ? 92.

Отже, на основі проведеного розрахунку із застосуванням нечіткого композиційного правила виведення можна дійти висновку, що студент повинен отримати оцінку 92 бали.

Логічне виведення для недостовірних знань. Неточне виведення - логічне виведення в умовах неточності (недостовірності) знань.

Розглянемо деякі визначення теорії ймовірностей.

р(А) - ймовірність події А, , неможлива подія р(А)=0, достовірна подія р(А)=1.

Ймовірність події А визначається відношенням кількості сприятливих наслідків до їх загальної кількості (множини елементарних наслідків Щ).

Наприклад, якщо кидається кубик, на кожній грані якого є числа від 1 до 6, то ймовірність випадання парного , (; ).

Протилежна подія: .

Частотне визначення ймовірності полягає в наступному. Нехай проведено n експериментів, KA(n) - кількість випадків, коли подія А відбулася. Тоді: .

- ймовірність, що буде подія А або В.

- ймовірність події А і В

Для несумісних подій: .

Умовна ймовірність: p(A\B) - ймовірність появи події А за умови, що В відбулася.

Події незалежні, якщо p(A\B)= p(A).

Нехай Н1... Нn - повна група подій, де .

Тоді справедлива формула повної ймовірності .

Формула Байеса:.

Формула Байеса дозволяє обчислювати апостеріорні ймовірності p(Hi\A) гіпотез Ні за умови, що подія А відбулася, через апріорні ймовірності p(A\Hi).

Неточне логічне виведення. Для кожної події можна ввести коефіцієнт упевненості (0.. 1).

Об'єктивна і суб'єктивна невизначеність. Об'єктивна - принципово випадкові процеси (ймовірність розпаду ядра).

Для об'єктивної невизначеності є такі особливості:

1) обов'язково настане момент, коли подія відбудеться або не відбудеться;

2) в серії експериментів в частині випадків подія відбудеться з ймовірністю б.

Суб'єктивна - залежить від знань суб'єкта, можливі свідомі чи несвідомі помилки.

Принцип індиферентності: якщо є n гіпотез і жодна не має переваги, то ймовірність кожної 1/n (під деревом є/немає скарбу - ймовірність 50/50?).

Принцип неточного виведення. Для кожного значення х вводиться міра достовірності г(х):

(незалежні події)

;

(подія х1 при умові х2)

Точкові та інтервальні міри неточності.

Експерт 1. „Ймовірність, того що команда А виграє - 0.5”:

1) індиферентно, б= [0,1].

2) на основі аналізу б = [0.45; 0.55].

Модальними називаються твердження з умовами. Наприклад: „На схемі написано, що площа кімнати 20 м2”. На основі модальних тверджень будуються модальні логіки:

1) Атлетичні - логіки можливого (твердження про можливість чи необхідність того чи іншого факту).

2) Епістемічні - визначають ставлення суб'єкта до того чи іншого факту.

Для модальних логік введено квантори необхідності ? та можливості ?. Наприклад: ?А, де А - твердження.

Найпростіша модальна логіка - це тризначна логіка Лукашевича. В такій логіці твердження може мати 3 рівні істиності: 0 - неможливе; 1 - можливе, але не необхідне; 2 - необхідне.

Логіка знання оперує знаннями суб'єкта. Позначимо твердження „суб'єкт Х знає твердження А” через Кх(А) і розглянемо основні аксіоми логіки знання.

1) Аксіома Modus Ponens: (Kx(A) Kx(A>B)) > Kx(B).

Якщо суб'єкт знає твердження А, й що з нього випливає твердження В, то він знає й В.

У формі аксіоми дистрибутивності: Kx(A > B) [Kx(A) > (Kx(B)].

2) Аксіома знання: Kx(false) false.

Знати хибні знання неможливо.

3) Аксіома позитивної інтроспекції: Kx(A) Kx(Kx(A)).

Якщо дехто знає певне твердження, то він знає і про те, що він знає це твердження.

4) Аксіома негативної інтроспекції: ~Kx(A) Kx(~Kx(A)).

Якщо дехто не знає деякого твердження, то він знає про те, що він його не знає.

5) Аксіома епістемічної необхідності: з логічної звідності А випливає Кх(А).

6) Аксіома логічної всемогутності: з тверджень „з А виводиться В” і з Кх(А) випливає Кх(В) Якщо суб'єкт знає деякий факт, то він знає всі наслідки з цього факту.

(Більшість аксіом у реальному світі виконуються не завжди).

Семантика можливих світів. Є припущення, що поряд з нашим існують також паралельні світи (які в дечому відрізняються від нашого). На семантиці можливих світів базується 4-значна логіка можливого, значення істиності в якій приймають значення:

3 - необхідно істинне (істинні у всіх світах);

2 - нейтрально істинні (істинні в деяких світах);

1 - нейтрально хибні (хибні у деяких світах);

0 - необхідно хибні (хибні у всіх світах).

Основи теорії можливостей. В теорії можливостей поєднуються модальні, недостовірні та нечіткі знання.

З кожним твердженням L пов'язано 2 міри:

1) міра можливості П(L);

2) міра необхідності H(L).

Основна аксіома - аксіома монотонності: якщо L>M, то П(M)>= П (L), H(M)>=H(L). / Міра можливості та необхідності висновку не менша, ніж міра передумови.

Основні можливості мір можливості та необхідності:

П(LM) = max (П(L), (M))

H(LM) = min(H(L), H(M))

(L)=1 - H(~L)

П(L)>=H(L) (якщо твердження є необхідно істинним, то воно повинне бути можливо істинним).

Відомості про об'єкти - інформаційні одиниці.

Опис, що утворює інформаційну одиницю - абстракція реальної сутності.

Зв'язки - часові, просторові відношення (знизу, зліва), причинно-наслідкові відношення.

Системи на таких відношеннях - псевдофізичні логіки (просторова, часова логіки) можуть робити висновки. / Напр.. Перебудова почалася у 1985 році, Україна отримала незалежність в 1991 році. Що раніше?

Таблиця 3 - Основні зв'язки між інформаційними одиницями

Агрегація	Узагальнення
Задає будову об'єкта (аудиторія складається з вікон і дверей...)	Задає ієрархію класів
Відношення „Має”, 1) „Ціле - частина”, HAS_PART 2) „Є частиною”, IS_PART	Відношення „Є” 1) клас - підклас (наслідуються всі властивості) 2) екземпляр - клас (наслідуються ті властивості, що належать всім екземплярам класу)
Множина - закритий характер, різнотипні елементи	Клас - відкритий характер, однотипні елементи
Птах - екземпляр	Птах - клас
Ієрархія об'єктів (відношення елемент - множина)	Ієрархія класів (відношення клас - підклас)
Відношення екземпляр - клас	- спільне (об'єднує)

У випадку винятків логіка БЗ стає немонотонною - додавання нового твердження змінює висновок. При виникненні суперечностей успадковується властивість від найближчого попередника в ієрархії класів. / Класи - вказівними (загально), елементи - значення (конкретно).

Знання відрізняються від даних за такими ознаками:

1) внутрішня інтерпретованість - кожна інформаційна одиниця повинна мати унікальне ім'я (для пошуку).

2) структурованість - частина / ціле.

3) зв'язність: можна додавати, віднімати, змінювати зв'язки (причинно-наслідкові, просторові).

4) семантична метрика - близькість за змістом.

5) активність - виконання програм повинно визначатись станом БЗ.

Модель знань - це фіксована система формалізмів (понять і правил), згідно яких інтелектуальна система сприймає знання та здійснює операції над ними.

Моделі знань, що ґрунтуються на вербально-дедуктивній парадигмі, мають 4 класи:

1) семантичні мережі

2) фрейми

3) логічні моделі

4) продуційні моделі

Неоднорідності знань. Області і рівні знань. В БЗ можна виділити відносно незалежні фрагменти (області):

1) зміни в одній області приводять до малих змін у іншій;

2) задача може бути розбита на підзадачі.

В ЕС виділяються такі області знань:

1) предметна область знань, знання про систему;

2) область мови діалогу;

3) область системи, знання про власні можливості;

4) область користувача (доступ, рівень);

5) обл.. діалогу (мета).