Абак - древнейший счетный прибор

Абак

Слово «абак» большинство из вас наверняка никогда не слышало. И даже объяснение, что абак - это древнейший счетный прибор, вряд ли поможет «вспомнить», что же это такое и как он выглядит. Но вы будете очень удивлены, узнав, что совсем недавно не раз видели абак в магазинах у кассиров. Да, оказывается, незаменимые, казалось, еще вчера счеты -- это одна из разновидностей абака. Теперь вам легче будет представить себе то, о чем пойдет рассказ. Происхождение слова «абак» не установлено. Согласно одной из распространенных версий, оно имеет семитские корни и означает «дощечка, покрытая пылью». Самый примитивный абак, действительно, представлял из себя такую дощечку. На ней острой палочкой проводили линии, и в получившихся колонках размещались камешки или палочки по позиционному принципу. Это значит, что были колонки единиц, десятков, сотен и так далее. Точно неизвестно, где именно появился первый абак. Возможно, в Финикии. Во всяком случае, в Древнюю Грецию он был завезен именно финикийцами и стал там незаменимым инструментом греческих купцов. Греки передвигали камешки слева направо. В отличие от них, египтяне делали это справа налево. В Древнем Риме абак назывался «calculi» или «abaculi» и изготовлялся из бронзы, камня, слоновой кости или цветного стекла. От слова «calculus», означающего «галька», «голыш», произошло латинское же слово «calculatore» (вычислять) и современное «калькулятор». Сохранился бронзовый римский абак, на котором камешки передвигались в вертикальных желобках. В нижней части помещались камешки для счета до пяти, а в верхней -- камешки, соответствующие пятерке.

Китайский абак -- суаньпань -- появился, видимо, в VI веке н.э., а современный его вид - примерно в XII веке. Суаньпань это прямоугольная рама, в которой протянуто 9 или более параллельных проволок или веревок. Перпендикулярно этому на правлению суаньпань перегорожен линейкой на две неравные части: «землю», в которой по 5 шариков, нанизанных на каждую проволоку, и «небо» -- здесь по 2 шарика. Шарики в «земле» -- это как бы пять пальцев руки, а шарики в «небе» -- две руки. Проволоки - это десятичные разряды: единицы, десятки и так далее.

От китайского суаньпаня произошел японский абак - соробан. Он проще суаньбаня - здесь на небе на один шарик меньше.

О русском абаке -- счетах, появившихся на рубеже XVI - XVII веков - мы уже упомянули. Счеты имеют горизонтальное расположение спиц с косточками и основаны на десятичной, а не пятеричной системе счисления Русские счеты широко использовались не только для вычислений, но и в качестве учебного пособия для начального обучения арифметике

Абак (греч. abax, abakion, латинский abacus - доска, счётная доска), счётная доска, применявшаяся для арифметических вычислений в Древней Греции, Риме, затем в Западной Европе до 18 века. Доска разделялась на полосы, счёт осуществлялся передвижением находящихся в полосах счётных марок (костяшек, камней и т.п.). В странах Дальнего Востока распространён китайский аналог абака - суан-пан, в России - счёты.

Считают что первый счетный прибор был изобретен в древнем Китае в конце второго тысячелетия до нашей эры он представлял собой обычную счетную доску. (Позиционный принцип возник позже, уже в III веке-до нашей эры.) В таком виде, с незначительными изменениями, она дошла до нашего времени . Ей и поныне пользуются в Китае. Называется она - суан-пан. Счет на нем шел снизу вверх, слагаемые располагались на нижней части доски, а суммирование проводилось от старших разрядов к младшим. Числа выкладывали из небольших палочек, по аддитивному принципу. Нуль никак не обозначался, вместо него просто оставляли пустое место (знак нуля появился в Китае лишь в VIII веке нашей эры). С помощью суан-пана можно было не только складывать, но и умножать, делить, оперировать с дробями, извлекать квадратные и кубические корни. По всей вероятности, это была первая известная нам позиционная десятичная система счисления. Причем действия, производимые в то время на счетной доске, были не вспомогательными - и суан-пан, и операции на нем составляли сущность самой математики. Древнекитайский ученый считал задачу выполненной только в том случае, когда он мог составить для нее правило решения на доске. Суань-пан помог сделать фундаментальные открытия в математике. Действия с числителями и знаменателями привели к понятию дроби как числа, После обобщения правил, разработанных на счетной доске на основе формулы бинома, еще до конца первого тысячелетия нашей эры возник способ извлечения корней, соответствующий методу Руфинни-Горнера.

Древнекитайским ученым были подвластны и вычисления корней систем линейных уравнений. Коэффициенты системы располагались в виде таблицы, и с ее помощью по специально разработанным правилам производились все операции. Не пасовали китайские математики и перед большими числами: в "Математике в девяти книгах" описывается случай, когда нужно было умножить число 1 644 866 437 500 на 16/9.

Чтобы отличить положительные числа от отрицательных, в суан-пане применялись различные палочки. Положительные числа обозначались палочками красного цвета или с квадратным сечением, а отрицательные были черного цвета или треугольного сечения. Такие цифры-палочки употреблялись с IV века д.н.э. Но уже спустя примерно тысячелетие счетная доска с палочками начала постепенно вытесняться новым прибором, ставшим прототипом более позднего суан-пана. Он представлял собой расчерченную на квадраты прямоугольную доску, на которой раскладывались специальные фишки. Горизонтальных полос всегда было десять, а число вертикальных не фиксировалось. Каждая фишка в зависимости от своего местоположения обозначала число единиц данного разряда. Вскоре прибор усовершенствовали: появились фишки двух цветов. Желтые обозначали числа от 0 до 4, а черные от 5 до 9. На доске осталось только пять горизонтальных полос, что значительно уменьшило размеры суан-пана и сделало его более удобным в обращении. Затем, в следующих модификациях, появилась горизонтальная перегородка, поделившая счетную доску на две части. В каждом столбце, находящимся ниже этой перегородки, помещалось не более пяти фишек - они обозначали единицы данного разряда. Одна фишка над перегородкой означала пять единиц.

В таком виде суан-пан существовал вплоть до VIII века. Затем его снова немного усовершенствовали - счетную доску заменили рамой с продетыми в нее прутьями, и, наконец, к XVII веку прибор принял вид современного китайского суан-пана, не претерпевшего с тех пор никаких изменений.

Внешне суан-пан очень похож на обычные русские конторские счеты. Отличие состоит в том, что ящик китайского прибора разделен перегородкой на две неравные части (на самой перегородке иногда делались иероглифические надписи, соответствующие значению каждого ряда). Считающий кладет суан-пан длинной стороной к себе: ближе к нему на всех прутьях в большей части ящика находится по пять костяшек для отсчета единиц, а с другой стороны перегородки на тех же прутьях нанизано по две костяшки - две пятерки. Чтобы сложить число, нужно придвинуть к перегородке с обеих сторон необходимое количество костяшек.

Японский аналог суан-пана - со-рубан - известен с XVI века. Его вид тоже оставался неизменным в течение столетий; правда, в нем для откладывания пятерок было всего по одной костяшке. Похожий на со рубан счетный прибор, кстати, распространен в Иране. Идентичные "счеты" можно также встретить в Пакистане и Индии, где крестьяне и торговцы, проводя вычисления, до сих пор раскладывают камешки на расчерченной на песке таблице.

Русский абак появился на рубеже 16-17 веков. Наиболее распространенным инструментом счета в допетровской Руси был "счет костьми", представлявший собой специальную доску или стол. Перед проведением вычислений их нужно было разграфить горизонтальными линиями. Четыре арифметических действия осуществлялись с помощью камешка, фруктовой косточки или специального жетона.

В тридцатые годы 17 века московское правительство, возглавляемое матерью будущего Ивана Грозного Еленой Глинской, провело денежную реформу, в результате чего были объединены московская и новгородская денежные системы. Появились новые монеты - копейка и московская деньга, а рубль стал делиться на сто единиц.

Видимо, именно тогда и возникла идея заменить линии "счета костьми" на натянутые веревки, навесив на них, по существу, все те же "кости". Можно допустить, что подсказка пришла от четок, древнейшего примитивного счетного инструмента, который был широко распространен в русском быту в 16 веке. Тогда термина "счеты" еще не было, и прибор именовался "дощатым счетом". Он представлял собой два неглубоких соединенных между собой ящика, каждый из которых был разделен перегородкой на два отделения. Поперек всех четырех отделений натягивались веревочки или проволочки. На верхних десяти веревках помещалось по девять косточек (четок). В каждом из этих рядов средняя косточка окрашена в отличный от остальных цвет. На одиннадцатой помещалось всего четыре косточки, на остальных - по одной. Существовали и другие варианты "дощатого счета". Он давал возможность производить четыре арифметических действия как с целыми числами, так и с дробями, для вычислений с которыми предназначались неполные ряды "дощатого счета" с разным количеством костей. Но из дробей рассматривались только 1/2 и 1/3, а также полученные из них при помощи последовательного деления на 2. Для действий с дробями других рядов "дощатый счет" приспособлен не был. При оперировании с ними нужно было обращаться к специальным таблицам, в которых приводились итоги разного сочетания дробей. В "Переписной книге домной казны патриарха Никона 1658 года" среди "рухляди" никонова келейного старца Сергия были упомянуты "счоты", которые, по свидетельству археологов и историков, в 17 столетии уже изготавливались на продажу. Так за прибором, именовавшимся и как "дощатый счет", и как "счетная дщица", закрепилось название "счеты".

Долгое время существовала теория, что они ведут свою родословную с китайского суан-паня, и лишь в начале пятидесятых годов нашего века ленинградский ученый И.Г. Спасский доказал оригинальное русское происхождение этого счетного прибора.

Широкое использование счетов началось в 17-18 веках. Тогда они и приняли тот вид, в котором сохранились и поныне. В них осталось лишь одно счетное поле, на спицах которого размещалось либо 10, либо 4 косточки (спица с четырьмя четками - дань полушке, денежной единице в 1/4 копейки). Французский математик Ж. Понселе познакомился со счетами в Саратове, будучи военнопленным офицером наполеоновской армии. Спустя некоторое время аналогичный прибор появился во французских школах, а затем и в других странах Европы.

Основной причиной отказа от второго счетного поля на счетах явилось распространение в России в 18 веке десятеричной позиционной системы (цифровой арифметики). Счеты стали утрачивать значение универсального счетного прибора, постепенно превращаясь во вспомогательный. При помощи новой системы письменно, на бумаге, оказалось гораздо удобнее выполнять математические выкладки, чем с использованием абака. Этот процесс сопровождался острой борьбой, как тогда считали, двух наук: математики на абаке и математики без абака - на бумаге. Эта борьба известна как противодействие абакистов и алгоритмиков. Форма счетов остается неизменной вот уже более 250 лет. Но на протяжении столетия было предложено немало модификаций этого прибора. Стоит вспомнить счетный прибор генерал-майора русской армии Ф.М. Свободского, изобретенный им в 1828 году. Его детище состояло из нескольких обычных счетных полей, которые использовались для запоминания промежуточных результатов при арифметических действиях. Ф.М. Свободский разработал простые правила сведения арифметических действий к последовательности сложения и вычитания, что вместе с запоминанием нескольких простых вспомогательных таблиц (вроде таблицы умножения) заметно сокращало время вычислений. Комиссии инженерного отделения ученого комитета Главного штаба и Академии наук одобрили способ Ф.М. Свободского и рекомендовали ввести его преподавание в российских университетах. И действительно, в течение нескольких лет такое преподавание велось в университетах Петербурга, Москвы и Харькова. Другие интересные модификации русских счетов были предложены А.Н. Больманом (1860), Ф.В. Езерским (1872) и известным русским математиком, академиком В.Я. Буняковским, который в 1867 году изобрел самосчеты. В основу этого прибора - для многократного сложения и вычитания - положен принцип действия все тех же русских счет.

Невозможно представить цивилизацию без культуры. В свою очередь невозможно представить себе культуру без языка и письменности. Опускаясь чуть ниже, скажем - письменность не может существовать без каких-нибудь, пусть самых элементарных, инструментов для письма. Хотя бы без глиняных табличек, восковых таблет, папируса и тростниковых палочек с чернилами. На чем бы великий Архимед написал свои трактаты, не будь у него пишущих инструментов? Кстати, а написал бы он вообще что-нибудь, не будь у него каких-нибудь инструментов для... счета? Ведь сложнейшие (для Древней Греции) вычисления в уме не удержишь.

На заре цивилизации для счета использовали подручные средства - зарубки на дереве или камне, палочки и мелкие камешки, узелки на кусках веревки. Но в этих инструментах не было главного - они практически не облегчали подсчеты. Простым перекладыванием палочек или камешков можно выполнить лишь два действия - умножение и деление приходилось осуществлять многократным сложением и вычитанием. Если числа были достаточно большими, возникала другая проблема - запоминания промежуточного результата. Древнему земледельцу, к примеру, надо было подсчитать количество мешков с семенами для засева большого поля. Где-то в середине вычислений он вдруг обнаруживал, что допустил ошибку. Вернуться бы на одно-два действия назад, но как это сделать? А если ошибка допущена при заключении торговой сделки и речь идет о деньгах, от которых зависит выживание целого селения?

Для подобных вычислений был изобретен абак - счетная доска (в переводе с греческого абак и есть доска). Абак использовался многими народами. Греки и египтяне использовали абак с нарисованными линиями или выдолбленными желобками. Вдоль линий или в желобки укладывались камешки. Каждый камешек означал единицу вычислений, а сама линия - разряд этой единицы.

В Древнем Китае и Японии использовались аналоги абака - суан-пан и соробан соответственно. Вместо камешков использовались цветные шарики, а вместо желобков - прутики, на которые шарики нанизывались.

Вычисления при помощи греческого и египетского абаков, равно как и при помощи суан-пана и соробана, производились следующим образом. В каждом желобке (на каждой линии или на каждом прутике) располагались пять камешков (или шариков). Камешек в первом желобке означал единицу. Камешек во втором желобке - пять единиц. Камешек в третьем желобке - двадцать пять единиц. Камешек в четвертом желобке - сто двадцать пять единиц.

Число 130 на абаке выглядело как один камешек в первом желобке и один камешек в четвертом желобке. При счете камешки перекладывались из одной стороны в другую. То есть камешки, располагавшиеся справа, означали незадействованные в вычислениях единицы, переложенные к левой стороне - задействованные единицы.

Таким образом, в абаке и его ранних аналогах использовалась пятеричная система исчисления. О дробных значениях чисел речи не шло, поскольку древние дробей не знали. Основным же достоинством абака была наглядность вычислений и так называемая позиционная система представления чисел. Результат расчетов не требовал какой-либо расшифровки - достаточно было взглянуть на расположение камешков на абаке, чтобы моментально определить, какое число получилось. Значительно облегчился и визуальный контроль над правильностью вычислений, поскольку расчеты были наглядными и достаточно простыми.

Недостатком древнего абака была именно пятеричная система счисления, которая не соответствовала изобретенной позже десятеричной системе и не позволяла оперировать дробями. Тем не менее, абак широко применялся вплоть до XVIII века, а в странах Востока и позже.

Десятеричный абак, или всем известные русские счеты, в которых используется десятеричная система счисления и возможность оперировать десятыми и сотыми дробными долями, появился на рубеже XVI и XVII веков (точное время не установлено). От классического абака счеты отличаются увеличением разрядности каждого числового ряда и конструкцией. Счеты представляют собой раму, внутри которой располагаются тонкие стержни. На стержни насажены круглые костяшки - по десять штук на каждом стержне. Два нижних ряда означают сотые и десятые доли. Затем идет промежуточный ряд (обычно он выделен четырьмя костяшками, которые в вычислениях не участвуют). Затем идет первый ряд костяшек, каждая из которых означает единицу, второй ряд, в котором каждая костяшка соответствует десятку, затем, соответственно, идут сотни, тысячи, десятки тысяч и так далее. Позже появились расширенные модификации счетов - дробная часть могла достигать четырех рядов, а часть целых чисел - семи рядов. Подобные счеты назывались бухгалтерскими, они позволяли вести вычисления со стотысячными долями целых чисел и с целыми числами, вплоть до 9 999 999, 9999.

Для наглядности вычислений костяшки русских счетов имели двухцветную окраску. Пятая и шестая костяшки на каждой оси окрашивались в более темный (черный) цвет, остальные - в светлый (коричневый или желтый). Двухцветная окраска костяшек позволяла очень быстро определить, какое число набрано на счетах, поскольку четыре светлых костяшки и две темных на левой стороне быстрей определяются, как цифра 6, чем шесть одноцветных костяшек.

Следует заметить, что с момента возникновения русского абака счеты со временем мало изменились. Стержни, на которых располагались костяшки, приобрели выпуклый профиль - чтобы костяшки самопроизвольно не перемешались из одной стороны в другую. Сами стержни стали делать из толстой металлической проволоки, а костяшки и раму счетов изготавливали из древесины дуба.

Счеты благополучно дожили до нашего времени и сошли со сцены только в последние десятилетия, уступив место электронным калькуляторам. Однако русский абак был и остается самым эффективным инструментом для обучения счету. Человек, умеющий быстро считать на счетах, быстрей считает и в уме.

Несмотря на то, что счеты упрощают однообразные громоздкие вычисления, они не позволяют упростить операции умножения и деления. Умножать и делить при помощи абака - это в любом случае многократно складывать и вычитать. Не проще ли в таком случае взять бумагу и произвести умножение «столбиком»? И тут самое время вспомнить еще о двух замечательных инструментах, не имеющих отношения к древности, но напрямую повлиявших на организацию работы с большими числами.

Первый инструмент - механический арифмометр. Он был изобретен в 1820 году французом Шарлем Ксавье Тома де Кольмаром. В отличие от счетов арифмометр значительно облегчал и ускорял операции деления и умножения. Принцип действия арифмометра основан на механическом взаимодействии флажков-переключателей, расположенных на соседних валах. Набрав при помощи переключателей необходимое число, пользователь вращал рукоятку арифмометра по часовой стрелке, если число надо было умножить, или против - если число надо было разделить. Количество оборотов рукоятки соответствовало значению множителя (то есть каждый оборот соответствовал операции однократного вычитания или сложения). Допустим, нам надо число 2 умножить на 3. Набираем на оси умножаемого числа в поле целых чисел значение 2, передвигая флажок на соответствующую этому числу риску, и прокручиваем рукоятку по часовой стрелке три раза (либо наоборот - выставляем флажок на число 3 и вращаем рукоятку два раза). За три оборота флажок трижды зацепится за флажок вала вывода результата. И мы увидим, что вал вывода результата провернулся трижды, показав число 6.

Конструкция арифмометра многократно совершенствовалась. Появлялись модели с кнопочным набором чисел, со специальными окнами для вывода результатов вычислений, выпускались даже арифмометры с электрическим мотором. Но принцип действия оставался прежним - арифмометр работал как механический счетчик оборотов приводной рукоятки.

Арифмометр верой и правдой прослужил людям около ста пятидесяти лет, а в последние девяносто лет своего существования был основным средством автоматизации расчетов. Но все же для инженерных и научных вычислений, особенно по сложным формулам, он не годился. Для этих целей использовался другой замечательный инструмент - счетная или логарифмическая линейка.

В основу принципа действия счетной линейки положены логарифмические шкалы, позволяющие упростить математические операции умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень и так далее. Логарифмическая линейка состоит из основания, движущейся внутри него второй линейки и стеклянного бегунка с риской. Результат вычислений определяется совмещением двух подвижных шкал и риски бегунка. Сегодня, в эпоху электронных калькуляторов, трудно не только купить саму логарифмическую линейку, но и найти человека, умеющего при помощи нее считать. Основной недостаток счетной линейки - невысокая точность расчетов. А основное достоинство - простота и наглядность вычислений. Кроме того, это еще и просто линейка, которая может пригодиться для чертежной и любой канцелярской работы.

Счеты, арифмометр, логарифмическая линейка - все осталось в прошлом. Интересно, а что станет в будущем с персональным компьютером? Не покажется ли он нашим потомкам таким же примитивом, каким выглядит сегодня древний пятиразрядный абак?

Абак и пальцевой счет