Численные методы в решении инженерных задач

Метод трапеций. Величина определенного интеграла численно равна площади фигуры, образованной графиком функции и осью абсцисс (геометрический смысл определенного интеграла).

Следовательно, найти - это значит оценить площадь фигуры, ограниченной перпендикулярами, восстановленными к графику подынтегральной функции f(x) из точек a и b, расположенных на оси аргумента x.

Для решения задачи разобьем интервал [a,b] на n одинаковых участков. Длина каждого участка будет равна h=(b-a)/n (см. рис. 1).

Рис. 1.

Восстановим перпендикуляры из каждой точки до пересечения с графиком функции f(x). Если заменить полученные криволинейные фрагменты графика функции отрезками прямых, то тогда приближенно площадь фигуры, а следовательно и величина определенного интеграла оценивается как площадь всех полученных трапеций. Обозначим последовательно значения подынтегральных функций на концах отрезков f₀, f₁, f₂,..., f_n и подсчитаем площадь трапеций

В общем случае формула трапеций принимает вид

где f_i - значение подынтегральной функции в точках разбиения интервала (a,b) на равные участки с шагом h; f₀, f_n - значения подынтегральной функции соответственно в точках a и b.

Остаточный член пропорционален длине интервала [a,b] и квадрату шага h

Согласно рис. 1 и формуле остаточного члена, точность вычисления определенного интеграла повышается с уменьшением шага h (увеличением числа отрезков n).

2. Прикладные программы

Microsoft Excel - это идеальное средство для решения учетных задач, обработки экспериментальных данных, составления отчетов и т.п. Это прикладная программа, предназначенная для автоматизации обработки данных, представленных в табличной форме. Наиболее широкое применение электронные таблицы нашли в экономических и бухгалтерских расчётах, а также при решении научно-технических задач [1, c.21].

Microsoft Excel это прикладная программа, предназначенная для автоматизации обработки данных, представленных в табличной форме. Наиболее широкое применение электронные таблицы нашли в экономических и бухгалтерских расчётах, а также при решении научно-технических задач.

Документ Excel называется рабочей книгой. Книга Excel состоит из листов, представляющих собой таблицы ячеек, в которых может храниться числовая и текстовая информация. Такая книга служит хорошим организационным средством. Например, в ней можно собрать все документы (рабочие листы), относящиеся к определенному проекту (задаче), или все документы, которые ведутся одним исполнителем (рис. 2). Таблицы Excel удобны для хранения и сортировки информации, для проведения математических и статистических расчетов. Помимо работы с числами, в Excel хорошо развиты возможности работы с текстом, позволяющие создавать документы практически любой сложности. Excel располагает большим количеством шаблонов, с помощью которых можно быстро оформить самые разные, в том числе финансовые, документы. Microsoft Excel имеет массу встроенных функций для математических, статистических, финансовых и др. вычислений [3,c.16].

Рис. 2 Microsoft Excel 2003

Одна из важнейших функций программы - возможность представления данных в виде разнообразных графиков, диаграмм и карт.

Excel предлагает мощный аппарат для решения задач подбора параметров, статистического анализа данных и т.д. Программа имеет возможности доступа к внешним источникам данных (таблицам, базам данных) [6].

3. Практическое применение метода трапеций

3.1 Текст варианта задачи

Задание:

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с точностью 10^-4 методом трапеций.

Решение:

Точность формул приближенного вычисления интеграла зависит от шага интегрирования. Приведем формулу приближенного вычисления интеграла по известным отсчетам значений функции с равномерным шагом.

Имеется функция f(x), которая определена на n+1 отсчетах (x₀, x₁, x_n) или на n интервалах. Метод трапеций:

Для решения задачи принимаем фиксированное значение шага интегрирования h=0.05. Всего в вычислении интеграла будут участвовать 17 значений функции, поскольку интервалы интегрирования от 0 до ? 0,785. После анализа формулы приближенного вычисления определенного интеграла нам понадобятся две колонки изменения аргумента функции x_i и x_i+h/2, две колонки значений функции от этих аргументов. Формирование колонок аргументов.

В колонке А будет располагаться аргумент x_i. Для этого в A13 введем начало интервала интегрирования (в нашем случае это 0), а в A14 - формулу вычисления следующего значения аргумента =A13+$B$8 ($B$8 - это абсолютный адрес шага интегрирования). Затем формулу из A14 размножаем до ячейки A29. В колонке С будет располагаться аргумент x_i+h/2, т.е. в ячейку С13 вводим формулу =A13+$B$8/2 и размножаем ее до C29.

Формирование колонок значений функции.

В колонке B будет располагаться значение функции от аргумента x_i. Введем в ячейку В13 формулу =(SIN(4*A13)) и размножим ее до ячейки B29. В колонке D будет располагаться значение функции от аргумента x_i+h/2. Введем в ячейку D13 формулу =(SIN(4*С13)) и размножим ее до ячейки D29.

Вычисление значений интегралов.

Значение интеграла по методу трапеций вычисляется следующим образом: в ячейке D10 формула =$B$8*(СУММ(B13:B29)+(B13+B29)/2)

3.2 Вычисление в Microsoft Excel

Рис. 3

3.3 Вычисление приближенного значения определенного интеграла с точностью 10^-4 методом трапеций в программной среде MathCAD