Системы построения графических изображений

В компьютерной графике все, что относится к двумерному случаю принято обозначать символом (2D) (2-dimention).

Допустим, что на плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х, у) ее координат (рис.1). Вводя на плоскости еще одну прямолинейную систему координат, мы ставим в соответствие той же точке М другую пару чисел - (x^*, y^*).

Рис. 1

Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к другой описывается следующими соотношениями:

x^* = ax + by +l, (2.1)

y^* = gx + by + m, (2.2)

где a, b, g, l, m - произвольные числа, связанные неравенством:

a b

= 0. (2.3)

g d

Формулы (2.1) и (2.2) можно рассматривать двояко: либо сохраняется точка и изменяется координатная система (рис.2) - в этом случае произвольная точка М остается той же, изменяются лишь ее координаты (х, у) | (х^*, y^*), либо изменяется точка и сохраняется координатная система (рис.3) - в этом случае формулы (2.1) и (2.2) задают отображение, переводящее произвольную точку М (х, у) в точку М* (х*, у*), координаты которой определены в той же координатной системе.

X*

Y*

Рис. 2

Рис. 3

В дальнейшем, формулы (2.1) и (2.2) будут рассматриваться как правило, согласно которому в заданной системе прямолинейных координат преобразуются точки плоскости.

В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют несколько важных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемые геометрические характеристики. При исследовании геометрического смысла числовых коэффициентов в формулах (2.1) и (2.2) для этих случаев удобно считать, что заданная система координат является прямоугольной декартовой.

Поворот вокруг начальной точки на угол j (рис.4) описывается формулами:

х* = x cosj - y sinj, (2.3)

y* = x sinj - y cosj. (2.4)

2. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей можно задать так:

x* = ax, (2.5)

y* = dy, (2.6)

a > 0, d > 0. (2.7)

Растяжение (сжатие) вдоль оси абсцисс обеспечивается при условии, что a > 1 (a < 1). На рис.5 a = d > 1.

Отражение (относительно оси абсцисс) (Рис.6) задается при помощи формул:

x* = x, (2.8)

y* = - y. (2.9)

На рис.7 вектор переноса ММ* имеет координаты l, m. Перенос обеспечивает соотношения:

x* = x + l, (2.10)

y* = y + m. (2.11)

Выбор этих четырех частных случаев определяется двумя обстоятельствами.

Каждое из приведенных выше преобразований имеет простой и наглядный геометрический смысл (геометрическим смыслом наделены и постоянные числа, входящие в приведенные формулы).

Как известно из курса аналитической геометрии, любое преобразование вида (2.1) всегда можно представить как последовательное исполнение (суперпозицию) простейших преобразований вида 1 - 4 (или части этих преобразований).

Таким образом, справедливо следующее важное свойство аффинных преобразований плоскости: любое отображение вида (2.1) можно описать при помощи отображений, задаваемых формулами (2.3) - (2.11).

Пусть М - произвольная точка плоскости с координатами х и у, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно не равных нулю чисел х₁, х₂, х₃, связанных с заданными числами х и у следующими соотношениями:

x_1/x₃ = x, x_2/x₃ = y (3.1)

При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так: произвольной точке М (х, у) плоскости ставится в соответствие точка М_Э (х, у,

1) в пространстве.

Необходимо заметить, что произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку О (0, 0, 0), с точкой М_Э (х, у,

1), может быть задана тройкой чисел вида (hx, hy, h).

Будем считать, что h = 0. Вектор с координатами hx, hy, h является направляющим вектором прямой, соединяющей точки О (0, 0, 0) и М_Э (х, у,

1). Эта прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у,

1), которая однозначно определяет точку (х, у) координатной плоскости ху.

Тем самым между произвольной точкой с координатами (х, у) и множеством троек чисел вида (hx, hy, h), h = 0, устанавливается взаимно однозначное соответствие, позволяющее считать числа hx, hy, h новыми координатами этой точки.

Широко используемые в проективной геометрии однородные координаты позволяют эффективно описывать так называемые несобственные элементы (по существу, те, которыми проектная плоскость отличается от привычной евклидовой плоскости).

В проективной геометрии для однородных координат принято следующее обозначение:

х: у: 1 (3.2)

или, более общо,

х₁: х₂: х₃ (3.3)

(здесь непременно требуется, чтобы числа х₁, х₂, х₃ одновременно в нуль не обращались).

Применение однородных координат оказывается удобным уже при решении простейших задач.

Рассмотрим, например, вопросы, связанные с изменением масштаба. Если устройство отображения работает только с целыми числами (или если необходимо работать только с целыми числами), то для произвольного значения h (например, h = 1) точку с однородными координатами (0.5, 0.1, 2.5) представить нельзя. Однако при разумном выборе h можно добиться того, чтобы координаты этой точки были целыми числами. В частности, при h = 10 для рассматриваемого примера имеем (5, 1, 25).

Рассмотрим другой случай. Чтобы результаты преобразования не приводили к арифметическому переполнению для точки с координатами (80000, 40000, 1000) можно взять, например, h = 0.001. В результате получим (80, 40,1).

Приведенные примеры показывают полезность использования однородных координат при проведении расчетов. Однако основной целью введения однородных координат в компьютерной графике является их несомненное удобство в применении к геометрическим преобразованиям.

При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.

Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, мы получим формулы (2.1) и (2.2) и верное числовое равенство 1 = 1. Тем самым сравниваемые записи можно считать равносильными.

Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не несут в себе явно выраженного геометрического смысла. Поэтомучтобы реализовать то или иное отображение, то есть найти элементы соответствующей матрицы по заданному геометрическому описанию, необходимы специальные приемы. Обычно построение этой матрицы в соответствии со сложностью поставленной задачи и с описанными выше частными случаями разбивают на несколько этапов.

На каждом этапе пишется матрица, соответствующая тому или иному из выделенных выше случаев 1 - 4, обладающих хорошо выраженными геометрическими свойствами.

3. Аффинные преобразования в пространстве