Матричный формализм в теории систем

3.1. Понятия и определения

Говорят, что множество имеет структуру, если между элементами множества установлены определенные соотношения. Множество, наделенное структурой, называют пространством.

Пусть X - произвольное множество. Свяжем с каждой парой элементов из X некоторое вещественное неотрицательное число d0. Это число называют расстоянием или метрикой в X, если для любых x, y, zX оно удовлетворяет следующим трем аксиомам:

1) аксиома идентичности: d(x, y)=0 тогда и только тогда, когда x=y (аксиома идентичности);

2) аксиома симметрии: d(x, y)=d(y, x);

3) аксиома треугольника: для любой тройки x, y, zX имеет место d(x, y)d(x, y)+d(y, z).

Метрическим пространством называют пару (X, d), то есть множество X с определенной на нем метрикой d. Элементы множества X называют точками метрического пространства (X, d).

Метрическое пространство называется линейным, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) каждой паре элементов x, yX однозначно определен третий элемент zX, называемый их суммой и обозначаемый x+y, причем

x+y=y+x (коммутативность);

x+(y+v)=(x+y)+v (ассоциативность);

в X существует такой элемент 0, что x+0=x для всех xX (существование нуля);

2) для любого числа a и любого элемента xX определен элемент axX, причем

(a+b)x=ax+bx; a(x+y)=ax+ay.

Условия 1 и 2 называют условиями аддитивности и однородности линейного пространства. Множества, элементы которых допускают выполнение операций сложения и умножения на скаляр, весьма разнообразны. Однако в дальнейшим сосредоточим свое внимание на линейных пространствах, элементами которых являются векторы или вектор-столбцы. Такое пространство называется векторным пространством.

Совокупность векторов называется линейно-независимой, если существуют действительные числа k1, k2,…, kn, среди которых хотя бы одно не равнялось нулю, такие, что выполняется условие

Чтобы определить линейную зависимость или независимость совокупности векторов, можно использовать несколько способов.

1) Квадратная матрица называется особенной, если ее строки или столбцы линейно-зависимы. В этом случае det A=0.

2) Правило вырожденности Сильвестра. Дефект произведения двух матриц не меньше дефекта каждой из матриц и не выше суммы дефектов матриц.

3) Определитель Грама. Определитель Грама для системы векторов строится в предположении, что выполняется соотношение

Записывая последовательно скалярные произведения xi и обеих частей этого уравнения, получим систему уравнений

Система однородных уравнений имеет нетривиальное решение для ki только в том случае, если определитель матрицы с коэффициентами [<xi , xj>] равен нулю. Этот определитель называется определителем Грама и равен

Следовательно, система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Грама для этой системы векторов равен нулю. Отметим, что в случае ортогогальных векторов определитель Грама является диагональным определителем.

Базисом называется упорядоченное множество линейно-независимых векторов. Базисов в конкретном векторном пространстве может быть бесконечно много. Однако число векторов в базисе всегда меньше или равно определенному значению. Максимальное число линейно-независимых векторов в данном векторном пространстве называется размерностью данного векторного пространства.

Любой вектор векторного пространства можно разложить по базису этого пространства и представить в виде:

,где - базисные векторы пространства, а коэффициенты k1, k2,…, kn называются координатами данного вектора в базисе =

Линейное пространство называют нормированным линейным пространством, если для каждого xX существует неотрицательное число ||x||, называемое нормой x, которое удовлетворяет следующим условиям:

||x||=0 тогда и только тогда, когда x=0;

||ax||=|a|||x||;

||x+y||||x||+||y||.

Нетрудно установить, что величина ||x-y|| обладает всеми свойствами расстояния d(x, y) в метрическом пространстве.

3.2. Линейное преобразование

Преобразованием линейного n-мерного пространства X называют оператор A, отображающий это пространство в m-мерное пространство Y:

A: XY.

Таким образом, преобразование A ставит в соответствие каждому вектору x пространства X вектор

y=Ax

пространства Y. В частном случае может быть Y=X. При этом преобразование A ставит в соответствие каждому вектору x пространства X вектор Ax того же самого пространства.

Преобразование A называют линейным, если выполняется условие

A(k1x1+k2x2)=k1 Ax1 + k2 Ax2.

Это условие будет выполняться, если между компонентами x(j) и y(i) векторов x и y имеется линейная зависимость вида

,

где aij - произвольные числа. Совокупность чисел aij, i=1, 2,…, m; j=1, 2, …, n образует матрицу A=[aij], которую называют матрицей линейного преобразования.

Среди линейных преобразований линейного пространства особую роль играют два:

1. Нулевое преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору нулевой вектор o: Ox=o.

2. Единичное преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору x тот же самый вектор: Ix=x.

3.3. Подпространство

Рассмотрим произвольное конечное множество точек S={x1, …, xm} линейного пространства X. Множество

при всевозможных i также представляет собой линейное пространство, являющееся подмножеством линейного пространства X и называемое линейным подпространством.

4. Матричные преобразования

Матрица B эквивалентна матрице А в том случае, если существуют такие две неособенные матрицы P и Q, что

B=PAQ.

4.1. Преобразование подобия